7年级数学培优新帮手241页

能力训练A 级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题)5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 () A ．4B ．8C ．12D ．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(“希望杯”邀请赛试题)7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A ．1个B ．3 个C ．5个D ．6 个(“希望杯”邀请赛试题)8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)a b c d ()()2222a b c d ++2222a b c d +++n n p q k m q m p k a b a 3b a p 6p 11p p q r p q r p q p(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴ 6个数中任意两个都互质；⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．p q p q pq q pp q专题02数的整除性阅读与思考设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数， 而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数的个位数是偶数，则2|；②若整数的个位数是0或5，则5|；③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．2．整除的基本性质设，，都是整数，有：①若|，|，则|；②若|，|，则|(±)；③若|，|，则[，]|；④若|，|，且与互质，则|；⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中 ( )A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①，②都正确D ．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．a b b q a bq a b b a b a b a a b a a a a a a a a a a a a a a a a b c a b b c a c c a c b c a b b a c a b c a b a c a b c bc a a bc a c a b p bc p b p c n n a b a b a b ab a b a b ab a b【例3】已知整数能被198整除，求，的值． (江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．13456ab a b 13456ab a b a b a b c a b c a b c a b c m m n 1a 2a n a m 1a 2a n a m 7i i a k t =+i n t m 10k i a m + k m i【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．⑴ 写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；⑵ 若=13，=2 012，求的值；⑶ 对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2 012，从经过1 999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．k a 1k a +k a 1k a +1k a +k a 1a n n A 1a 2a 3a n a 5A 150a a ==1a 2a 3a 4a 5a 1a 2000a 1000a n n n A 1a 1a 2a 3a n a n n 150a a ==1a 2a 3a 4a 5a 1a 2000a 1a 2000a x y 1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩19990x y =⎧⎨=⎩n A 1a 1a 2a 3a n a 1a k k a k k x k y k a k x k y k x k y k 1a 2a 3a n a 22x y -33x y -n n x y -1x 2x n x 22x y +33x y +n n x y +2x 3x n x ()12n n -1a 2a 3a n a n n 2x 3x n x n n能力训练A 级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题)3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()A ．532B ．665C ．133D ．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()A ．1B ．2C ．3D ．6(江苏省竞赛试题)6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()A ．12个B ．18个C ．20个D ．30个(“希望杯”邀请赛试题)7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)171312398ab abcde abcd abcde abcdef abc bcd cde defB 级1．若一个正整数被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_________，的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知，都是正整数，若1≤≤≤30，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有___________个． (天津市竞赛试题)3．一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A ．333B ．334C ．335D ．3365．一个六位数能被12整除，这样的六位数共有()个．A ．4B ．6C ．8D ．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数除时，所得的余数都是，则－的值为()． A ．15B ．1C ．164D ．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：，，， ，，并把这五个数加起来求出和N ．只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么．如果N =3 194，请你确定．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)a a a m n m n mn m n 1989x y 1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩ 1991ab n m n m abc acb bac bca cab cba N abc abc9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题)11．从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)n n专题02 数的整除性例1 267 提示：333－66＝267．例2 C 提示：关于②的证明：对于a ，b 若至少有一个是3的倍数，则ab 是3的倍数．若a ，b 都不是3的倍数，则有：(1)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋1时，a －b ＝3(m －n )；(2)当a ＝3m ＋1，b ＝3n ＋2时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(3)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋1时，a ＋b ＝3(m ＋n ＋1)；(4)当a ＝3m ＋2，b ＝3n ＋2时，a －b ＝3(m －n ).例3 a ＝8．b ＝0提示：由9｜(19＋a ＋b )得a ＋b ＝8或17；由11|(3＋a －b )得a －b ＝8或－3．例4 设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设5a ＋7b －22c ＝x (7a ＋2b ＋3c ) ＋13(ya ＋zb ＋tc ).比较上式a ，b ，c 的系数，应当有，取x ＝－3，可以得到y ＝2，z ＝1，t ＝－1，则有13 (2a ＋b －c )－3(7a ＋2b ＋3c )＝5a ＋7b －22c ．既然3(7a ＋2b ＋3c )和13(2a ＋b －c )都能被13整除，则5a ＋7b －22c 就能被13整除．例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a 1，a 2，…，a n 互不相等，不妨设a 1 ＜a 2＜…＜a n ，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设a i ＝k i ＋t (i ＝1，2，3，…，n ；t ＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m 的“魔术数”，因为a i ·10k ＋m (k 是m 的位数)，是7的倍数，当i ≤b 时，而a i ·t 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i ＝7时，而a i ·10k 除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i ＝7时，依抽屉原理，a i ·10k 与m 二者余数的和至少有一个是7，此时a i ·10k ＋m 被7整除，即n ＝7．例6 (1)A 5：0，1，2，1，0.(或A 5：0，1，0，1，0) (2)a 1000＝13＋999＝1 012． (3)n 被4除余数为0或1．A 级1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B7．五位数abcde ＝10×abcd ＋e .又∵abcd 为4的倍数．故最值为1 000，又因为abcde 为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e 能被9整除，所以e 只能取8．因此abcde 最小值为 10 008.8．324 561提示：d ＋f －e 是11的倍数，但6≤d ＋f ≤5＋6＝11，1≤e ≤6，故0≤d ＋f －e ≤10，因此d ＋f －e ＝0，即5＋f ＝e ，又e ≤d ，f ≥1，故f ＝l ，e ＝6，9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．B 级1．2 521 a ＝2 520n ＋1(n ∈N ＋)2．573．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x ＋1＋9＋8＋9＋y )也能被3整除，故x ＋y 能被3整除．4．B5．B6．A 提示：两两差能被n 整除，n ＝179，m ＝164．7．由题意得acb ＋bac ＋bca ＋cab ＋cba ＝3 194，两边加上a bc ．得222(a ＋b ＋c )＝3194＋a bc ∴222(a ＋b ＋c ) ＝222×14＋86＋a bc ．则a bc ＋86是222的倍数．⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=+2213371325137t x z x y x且a ＋b ＋c ＞14．设abc ＋86＝222n 考虑到abc 是三位数，依次取n ＝1，2，3，4.分别得出abc 的可能值为136，358，580，802，又因为a ＋b ＋c ＞14．故abc ＝358．8．设N 为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a ，b ，c (a ，b ，c 不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为abc ，则最小数为cba ．故N ＝ abc －cba ＝(100a ＋10b ＋c )－ (100c ＋10b ＋a )＝99(a －c )．可知N 为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．9．设原六位数为abcdef ，则6×abcdef ＝defabc ，即6×(1000×abc ＋def )＝1000×def ＋abc ，所以994×def －5 999×abc ，即142×def ＝857×abc ， ∵(142，857)＝1，∴ 142|a bc ，857|def ，而abc ，def 为三位数，∴a bc ＝142，def ＝857，故abcdef ＝142857．10．设这个数为abcd ，则1 000a ＋100b ＋10c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＝1 999，即1 001a ＋101b ＋11c ＋2d ＝1 999，得a ＝1，进而101b ＋11c ＋2d ＝998，101b ≥998－117－881，有b ＝9，则11c ＋2d ＝89，而0≤2d ≤18，71≤11c ≤89，推得c ＝7，d ＝6，故这个四位数是1 976．11．当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n ＝5时，设a 1a 2，…，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n 的最小值为5125,,,a a a 125,,,a a a 125,,,a a a 4(45110)⨯++=3(36110)⨯++=2(21710)⨯++=125,,,a a a 6(69520),⨯++=7(74920),⨯++=8(89320),⨯++=53210++=专题03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a ＋1开始，这100个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100)＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A ＝＋…＋＋，求A 的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项的特征入手.221212++⨯222323++⨯223434+⨯221003100410031004+⨯221004100510041005+⨯22(1)(1)n n n n ++⨯+【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），…. 个个个n n n 9199999999+⨯1112211322311423324115243342511622001111221132231142332411524334251能力训练A 级1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10 ＋＝102×（a ，b 均为正整数），则a ＋b ＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n （n ≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s ，按此规律推断s 与n 之间的关系是______________.n ＝2n ＝3 n ＝4 s ＝4 s ＝8 s ＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ）， 当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）＝（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）＝（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）＝（5，0），则p ＋q ＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n 个图形中需要黑色瓷砖______块（含n 代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a ＋1B. 100a ＋1C. 10a ＋1D. a ＋1 (重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2—b 3，a 3＋b 5，a 4—b 7，…，其中第十个式子是（ ）A. a 10＋b 19B. a 10-b 19C. a 10-b 17D. a 10-b 21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A. B. C. a ＋b －c D. 3(a ＋b －c )(希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次23233838415415a b a b3a b c ++3a b c +-将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）；（2）试求出用b 表示a 的关系式；（3）若1名质检员1天能检验b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；...752＝5625可写成______；852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______；（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）542.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)，计算：（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则＋＋…＋＋＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B 地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．B ．C ．D ．(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）1613a a 24a a 20102012a a 20112013a a 22c a b 2c ab 2ab c 22a b c1315专题03 从算术到代数例1 例2 A例3 原式= = 故其整数部分为2008例4 设图③中含有个正方形. (1) 由,得(2) 由得,因均是正整数, 所以当时,此时例5解法1: 时,;时, ,猜想: 个, 计算过程类似于解法2: 时,时, 猜想: 原式验证如下:反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设,得另一种解法解法3: 原式例6 (1)(※) 可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中, 该组前面共有2(2)1(1)n n n ++=+1111111112(1)2()2()2(2()223341003100410041005+-++-++-+++-++- 121004(1)1005⨯+-3p 3152m n +=+513n m +=315273,a m n p =+=+=+325177m n p --==,,m n p 17,10m n ==7,p =317152a =⨯+=1n =29919811910010⨯+=+==2n =49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==2999999199910n n n n ⨯+=个个个2n =29999991999(101)9991999999000999199910n nn n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个1n =2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=210n =9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n nn =⨯=⨯=个999n a =个22222(1)a 21(1)(10)10n na a a a a =+++=++=+==112123123412345(,,,),(,,,),(,,,,),,1213214321543211,2,3, 2200120021232002(,,,,2002200120001个数. 故当时,. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为(2) 依题意, 为每组倒数第2个数, 为每组最后一个数, 设它们在第n 组, 别.即,得,A 级1. 100 提示: 中, 根据规律可得故2.3. 提示: 根据题中定义的运算可列代数式,可得故4. 105. C6. B7. B8. B9.(1) 1013 (2) 不能, 33不符合10. (1) 或或 (2) 由,得(3)B 级1. (1) (2) (3)2. (1) (2) 提示: 原式3.提示: 由可得, 123420012003001+++++= 2()2001F m =200300122003003m =+=121200220012003001⨯=c d 1,,21n n c d -==(1)20010002n n -∴=(1)400200020012000n n -==⨯2001,n ∴=20011200022c -==20011d =21010a ab b+=⨯210,10199,a b ==-=1099109a b +=+=4(1)(2)s n n =-≥1-25,20p q q p -=+=1,2,p q ==-1p q +=-31n +31n +31n +2a b +2(5)3a b +32b +2(2)2(5)23a b a b ++=4a b =2(2)47.5825a b b +÷=≈1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++100(1)25n n ⨯++39800252085221002224(1225)=⨯+++ 201140261234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯原式4. 595 提示: 设17个连续整数为且,它后面紧接的17个连续自然数应为,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝n ，b ＝m ，故m －m ＝n －n ，．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-= ,1,,16,m m m ++ (1)(16)306m m m +++++= 17,18,19,,33m m m m ++++ cabc 2c ab 1315151356m n =()211212312⨯+=专题4 初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1.去绝对值符号法则2.绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数，表示数轴上数、数的两点间的距离.3.绝对值常用的性质① ② ③ ④⑤ ⑥例题与求解【例1】已知，且，那么 .（祖冲之杯邀请赛试题）解题思路：由已知求出、的值，但要注意条件的制约，这是解本题的关键.【例2】已知、、均为整数，且满足，则（ ）A .1B .2C .3D .4（全国初中数学联赛试题）解题思路：≥0，≥0，又根据题中条件可推出，中一个为0，一个为1.()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a a a a a b a -a b 0≥a 222a a a==b a ab ⋅=()0≠=b ba b ab a b a +≤+ba b a -≥-3,5==b a a b b a -=-=+b a a b a b b a -=-a b c 11010=-+-ca ba =-+-+-a c cb b a 10b a -10c a -b a -c a -【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代数式…－的值.解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出…，的值，注意的化简规律.【例4】设、、是非零有理数，求的值.解题思路：根据、、的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.（希望杯邀请赛试题）【例5】设是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.记，求S 的最小值.（四川省竞赛试题）解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯竞赛试题）解题思路：由知，即，代入原式中，得，再对的取值，分情况进行讨论.11-x 22-x 33-x 20022002-x 20032003-x ---321222x x x 2003200222x x +,,,321x x x 20032002,x x nn 221-+a b c abcabcbc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++a b c 654321,,,,,x x x x x x ||||||||||||166554433221x x x x x x x x x x x x S -+-+-+-+-+-=55)(2+=+++b b b a 012=--b a ab 012=--b a 012=--b a 12-=a b 4242)13(2+=++-a a a 13-aA 级1.若为有理数，那么，下列判断中：（1）若，则一定有；（2）若，则一定有；（3）若，则一定有；（4）若，则一定有；正确的是 .（填序号）2.若有理数满足，则.3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示，则化简后的结果是 .4.已知正整数满足，，且，则的值是 .（四川省竞赛试题）5.已知且，那么 .6.如图，有理数在数轴上的位置如图所示：则在中，负数共有（ ）A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个（湖北省荆州市竞赛试题）7. 若，且，那么的值是（ ）A ．3或13B ．13或－13C ．3或－3D ．－3或－138.若是有理数，则一定是（ ）A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数9.如果，那么的取值范围是（ ）n m ,n m =n m =n m >n m >n m <n m <n m =22)(n m -=p n m ,,1=++pp nn mm =mnpmnp22c b a ,,b a c a c -+-+-1b a ,022=-+-b b 0=-+-b a b a b a ≠ab ,3,2,1===c b a c b a >>()=-+2c b a b a ,4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 5,8==b a 0>+b a b a -m m m -022=-+-x x xA ．B ．C ．D ．10.是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（ ）A ．只有（1）正确B ．只有（2）正确C ．（1）（2）都正确D ．（1）（2）都不正确（江苏省竞赛试题）11.已知是非零有理数，且，求的值.12.已知是有理数，，且，求的值.（希望杯邀请赛试题）B 级1.若，则代数式的值为 .2.已知 ，那么的值为 .3.数在数轴上的位置如图所示，且，则 .（重庆市竞赛试题）4.若，则的值等于（五城市联赛试题）2>x 2<x 2≥x 2≤x b a ,b a b a +=-a b c b a ,,0=++c b a ac a c cb c b ba b a ++d c b a ,,,16,9≤-≤-d c b a 25=+--d c b a c d a b ---52<<x xx xx x x +-----22550212=-+-ab a )2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a aba 21=+a =+73a 0>ab abab bb aa -+5.已知，则 .（希望杯邀请赛试题）6.如果，那么代数式在≤≤15的最小值（ ） A .30 B .0 C .15 D .一个与有关的代数式7.设k 是自然数，且，则等于（ ） A .3 B .2 C . D .（创新杯邀请赛试题）8.已知，那么的最大值等于（ ）A ．1B ．5C ．8D ．9（希望杯邀请赛试题）9.已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ ）A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值10.满足成立的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．（湖北省黄冈市竞赛试题）11.有理数均不为0，且，设，试求代数式的值.（希望杯邀请赛训练题）06)5(22=-+++y y x =++-32251x x xy y 150<<p 1515--+-+-p x x p x p x p 0=+b ka 21-+-ba b ak 33+k22-40≤≤a a a -+-32c b a ,,abcabcc c b b a a x +++=c b a ,,x b a b a +=-0≥ab 1>ab 0≤ab 1≤ab c b a ,,0=++c b a ba c bc b cb a x +++++=20009919+-x x专题04　初识非负数例1　－2或－8例2　B 提示：｜a －b ｜，｜a －c ｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a －b ｜＝0，｜a －c ｜＝1，则a ＝b ，｜b －c ｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例3　6　提示：由题意得x 1＝1，x 2＝1，…，x 2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4　－1或7　提示：分下列四种情形讨论：（1）若a ，b ，c 均为正数，则ab >0，ac >0，bc >0，原式＝＝7；（2）若a ，b ，c 中恰有两个正数，不失一般性，可设a >0，b >0，c <0，则ab >0，ac <0，bc <0，abc <0，则原式＝－1；（3）若a ，b ，c 中只有一个正数，不失一般性，可设a >0，b <0，c <0，则ab <0，ac <0，bc >0，abc >0，则原式＝－1；（4）若a ，b ，c 均为负数，则ab >0，bc >0，ac >0，abc <0，原式＝－1．例5　根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x 4＝4，x 5＝5，x 6＝6，则S ＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x 1＝1，x 2＝4，x 3＝6，x 4＝5，x 5＝3，x 3＝2）．　例6　根据｜2a －b －1｜＝0知2a －b －1＝0，即b ＝2a －1．代人原式中，得（3a －1）2＋｜2a ＋4｜＝2a ＋4．对3a －1的取值分情况讨论为：（1）当3a －1＞0，即a ＞时，∵（3a －1）2＞0，｜2a ＋4｜＞0，2a ＋4＞0．∴（3a －1）2＋｜2a＋4｜＞2a ＋4，矛盾．（2）当3a －1＜0，即a ＜时，①若2a ＋4≤0，而（3a －1）2＋｜2a ＋4｜＞0，矛盾．②若2a ＋4＞0，则（3a －1）2＋｜2a ＋4｜＞2a ＋4，矛盾．（3）当3a －1＝0，即时，（3a －1）2＋｜2a ＋4｜＝2a ＋4成立，得b ＝－．综上可知a ＝，b ＝－，ab ＝－．A 级1．（4） 2．－3．1－2c ＋b 提示：－1<c <0<a <b ∴c －1<0，a －c >0，a －b <0．∴原式＝1－c ＋a －c ＋b －a ＝1－2c ＋b ．4．2　提示：原式变形为｜b －2｜＝2－b ，｜a －b ｜＝b －a ．∴b －2≤0，a －b ≤0．又∵a ≠b ，∴a <b ≤2．又∵a ，b 为正整数，故a ＝1，b ＝2．5．4 6．A 7．A 8．B 9．D 10．A11．－1　提示：a ，b ，c 中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为－1．12．∵｜a －b ｜<9，｜c －d ｜≤16，故｜a －b ｜＋｜c －d ｜<25．又∵25＝｜a －b －c ＋d ｜＝｜(a －b )＋(d －c )｜≤｜a －b ｜＋｜c －d ｜<25，∴｜a －b ｜＝9，｜c －d ｜＝16，故原式＝9－16＝－7．B 级1．1 2． 3．2 4．1或－3 5．－946．C 提示：利用绝对值的几何意义，结合数轴进行分析，当x 取15时，原式有最小值15．131313a 1313131923200320047．A 提示：b ＝－ka 且k >0．故｜b ｜　＝k ｜a ｜，代人原式中，原式＝．当a ＞0时，原式＝；当a ＜0时，原式＝．故原式＝3．8．B 提示：分0≤a ≤2，2<a ≤3，3<a ≤4三种情况讨论．9．B 10．C11．提示：a ，b ，c 中不能全同号，必一正二负或二正一负，得a ＝－(b ＋c )，b ＝－(c ＋a )，c ＝－(a＋b )，即，，，∴，，中必有两个同号，另一个符号与其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1，1＝1，原式＝1902．|a -k |a ||+||a |+2ka |k |a ||(1)|+|(2+1)|(1)+(2+1)==3k a k a k a k a ka ka--|(1)|+|(21)|(1)(21)==3k a k a k a k a ka ka+--+----1a b c =-+1b a c =-+1c b a =-+||a b c +||b a c +||c b a+1 a+bAB=BC专题05 数与形的第一次联姻例1 12 提示：点A 表示数为3或－3，满足条件的点B 共有4个．例2 B 提示：由数轴知a ＜－1＜0＜b ＜c ＜1．∴abc ＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a －b ＜0，b －c ＜0，c －a ＞0，故（a －b ）（b－c ）(c －a ）＞0，③正确；|a |＞1，1－bc ＜1，|a |＞1－bc ，④不正确．例3 原点O 在线段AC 上．例4 ①3，3，4 ②|x ＋1| 1或－3 ③－1≤x ≤2 ④997 002例5 如图，用A ，B ，C ，D ，E 点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给，，，，台电脑．依题意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本题要求y ＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y ＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|．由绝对值几何意义可知，当＝3时，y 有最小值12．此时有＝0，＝1，＝－6，＝－2．所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．例6 （1）A ，B ，C 三点在数轴上同时向正方向运动．当点A 运动到点C 左侧时，∵线段AC ＝6，∴6＋6t ＝30＋18＋3t ，解得t ＝14．当点A 运动到点C 右侧时，∵线段AC －6，∴6t －6＝30＋18＋3t ，解得t ＝18．综上可知，t 为14或18时，线段AC ＝6．（2）当点A ，B ，C 三个点在数轴上同时向正方向运动t 秒后，点A ，B ，C 在数轴上表示的数分别为：6t －30，10＋3t ，18＋3t ．（3）∵P ，M ，N 分别为OA ，OB ，OC 的中点．∴P ，M ，N 三个点在数轴上表示的数分别为：，，．且点M 始终在点N 左1x 2x 3x 4x 5x 1x 2x 2x 3x 3x 4x 4x 5x 5x 1x 2x 1x 3x 1x 4x 1x 5x 1x 1x 2x 3x 4x 5x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 2x 3x 4x 5x 2306-t 2310t +2318t +侧．①若点P 在M ，N 左边，则PM ＝－＝20－1．5t ，PN ＝－＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（20－1．5t ）－（24－1．5t ）＝2，∴t ＝．②若点P 在M ，N 之间，则PM ＝－＝－20＋1．5t ，PN ＝－＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（24－1．5t ）＝2，∴t ＝．③若点P 在M ，N 右边，则PM ＝－＝－20＋1．5t ，PN ＝－＝－24＋1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（－24＋1．5t ）＝2，∴t ＝12．但此时PM ＝－20＋1．5t ＜0，所以此情况不成立 ．综上可知，t ＝或时符合题意．A 级1．2m 2．2或83.， 提示：AB 的长为＝，对应的数为3－＝，点A 移动的距离为－（－3）＝．4．b ＜－a ＜a ＜|b | 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 510．－30．06 提示：设点表示的有理数为x ，则，，…，点所表示的有理数分别为x －1，x －1＋2，x －1＋2－3，…，x －1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x －1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94．2310t +2306-t 2318t +2306-t 3282306-t 2310t +2318t +2306-t 3442306-t 2310t +2306-t 2318t +32834447419()221--⎪⎭⎫ ⎝⎛-25A '2521⨯47474190K 1K 2K 100K11．（1）M 点对应的数为＝40． （2）相遇时间为＝12秒，C 点对应的数为100－12×6＝28． （3）追击时间为60秒，D 点对应的数为－260．B 级1．－2 2．3．24或40． 提示：设N 点对应的数为x ．根据绝对值的几何意义可知|x |＝4|x －30|．对x 分情况讨论得出x ＝24或x ＝40．4.b ≤x ≤a 5．A 6．C 7．D 8．C9．原式化为|x ＋2|＋|1－x |＋|y －5|＋|1＋y |＝9．∵|x ＋2|＋|1－x |≥3，当－2≤x ≤1时等号成立；|y －5|＋|1＋y |≥6，当－1≤y ≤5时等号成立．∴x ＋y 的最大值＝1＋5＝6；x ＋y 的最小值＝－2－1＝－3．10．调运后各仓库的存货量都相等，应为×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨．设A 库运往B 库吨，B 库运往C 库吨，C 库运往D 库吨，D 库运往E 库吨，E 库运往F库吨，F 库运往A 库吨，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64．所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19．若使调运量最小，则有y ＝||＋||＋||＋||＋||＋||＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤-6时，y 有最小值，此时，-33-20，-130，316，922，013.当=-19时，=-33, =-13，=3, =9, =0.即A 库运往B 库-33吨，亦即B 库运往A 库33吨.B 库运往C 库-13吨，亦即C 库运往B 库13吨.C 库运往D 库3吨，D 库运往E 库9吨，E 库运往F 库0吨，F 库运往A 库19吨，总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任210020+-46120+311-61B x C x D x E x F x A x A x B x B x C x C x D x D x E x E x F x F x A x B x A x C x B x A x D x C x A x E x D x A x F x E x A x A x B x C x D x E x F x A x A x A x A x A x A x ≤A x ≤≤B x ≤≤C x ≤≤D x ≤≤E x ≤≤F x A x B x c x D x E x F x。