青岛版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题1(附答案详解)

青岛版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试题1（附答案详解）一、单选题

1．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）

A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确

2．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）

A．1

6

B．

1

5

C．

1

4

D．

1

3

3．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），那么该圆的半径为（）

A．13cm B．25

c m

16

C．3cm D．

13

c m

4

4．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）

A．8

83

3

π-B．

16

83

3

π-C．

16

43

3

π-D．

8

43

3

π-

5．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是（）

A．B．C．D．

6．下列说法的错误的是（）

A．垂直于弦的直径平分这条弦

B．半圆是弧

C．相等的弦所对的圆心角都相等

D．直径是最长的弦

7．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，下列各式中错误的是（ ）

A ．AE AF A

B B

C = B ．AE AF AB DF = C ．AE EF AB CF =

D ．CD CF B

E EC = 8．如图是有一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图．这些相同的小正方体的个数是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

9．下列说法正确的是( )

A ．所有的菱形形状都相同

B ．所有的矩形形状都相同

C ．所有的正方形形状都相同

D ．所有的梯形形状都相同

10．下列说法不一定正确的是（ ）

A ．所有的等边三角形都相似

B ．所有的等腰直角三角形都相似

C ．所有的菱形都相似

D ．所有的正方形都相似

二、填空题

11．如图，A B C 中，2cos 2

B =，3sin 5

C =，5A C =，则A B C 的面积是________．

12．已知二次函数2241

ya x a xa =++-，当41x -≤≤时，y 的最大值为5，则实数a 的值为_______.

13．朝阳市第三中学要修建一个圆心角为60°，半径为12米的扇形投掷场地，则该扇形场地的面积约为_____米2． (π取3.14，结果精确到0.1米2 )

14．如图，AB 是半O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，若2A B =，P 是直径AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积是________．

15．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2+x ﹣5=0的两个根，则x 12+x 22﹣x 1x 2=_____．

16．如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行20分钟到达C 处，在C 处观测灯

塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是____海里．

17．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过点A （0，4），点B （3，0），点

P 为⊙M 上一点，且在第一象限，则sin ∠P 的值为_____________.

18．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段AB ．

求作：以AB 为斜边的一个等腰直角三角形ABC ．

作法：如图，

（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12A B 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；

（2）作直线P Q ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，O A 的长为半径作圆，交直线P Q 于点C ；

（4）连接AC ，B C ．

则A B C △即为所求作的三角形．

请回答：在上面的作图过程中，①A B C △是直角三角形的依据是________；②A B C △是等腰三角形的依据是__________．

19．如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD 、BC 分别与x 轴交于E 、F ，连接BE 、DF ，若正方形ABCD 有两个顶点在双曲线y=

2a x

+上，实数a 满足a 3﹣a =1，则四边形DEBF 的面积是_____．

20．如图，在A B C ?中，90,30A C B A ∠=?∠=?，2A B =，将A B C ?

绕着点C 逆时针旋转到D E C ?位置时，点B 恰好落在DE 边上，则在旋转过程中，点B 运动到点E 的路径长为____．

三、解答题

21．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 于点D ．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；

（2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD=CE ；

（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使3CD ，请说明你的理由．

22．已知，如图：反比例函数y=

k x

的图象经过点A （﹣3，b ）过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，S △AOB =3．

（1）求k ，b 的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A ，且与x 轴交于M ，求AM 的长．

23．已知关于x的一元二次方程．

求证：方程有两个实数根；

若的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根第三边BC的长为3，当

是等腰三角形时，求k的值．

24．棱长为a的小正方体，按照如图所示的方法一直维续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、……第n（n＞0）层，第n层的小方体的个数记为S．

（1）完成下表：

n 1 2 3 4 …

S 1 3 _____ _____ …

（2）上述活动中，自变量和因变量分别是什么；

（3）研究上表可以发现S随n的增大而增大，且有一定的规律，请你用式子来表示S 与n的关系，并计算当n=10时S的值．

25．某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间一天或两天去该景区旅游．求下列事件的概率：

(1)随机选择一天，恰好天气预报是晴；

(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．

26．用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．

(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折合起来(如图所示)．设小正方形的边长为xcm，当做成盒子的底面积为900cm2时，求该盒子的高；

(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件：

①必须在薄钢片四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截)；

②折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面．

请你画出符合上述制作方案的一种草图，并求当底面积为800cm2时，该盒子的高．

27．在抛硬1导致乘积减小最大币的实验中，某一小组的数据统计表如下所示，请将此表填写完整．

抛掷次数100250500…

出现正面的频数48252…

出现正面的频率51.6%…

28．黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人

间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．

（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；

（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？

29．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）

（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）

参考答案

1．C

【解析】

解方程（x﹣2）（x﹣4）=0，得：x=2或x=4，

当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；

当x=4时，3，4，6构成三角形，周长为3+4+6=13。

故选C。

2．A

【解析】

【分析】

画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.

【详解】

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，

∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率

21

. 126

故选A．

【点睛】

考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比. 3．D

【解析】

【分析】

由题意可知弦长和弓形高，运用垂径定理和勾股定理即可求解.

【详解】

解：由题意得下图，

设半径为r，则OB=r-2，BC=6cm，由垂径定理可知BC=3，由勾股定理可得：

r2=(r-2)2+32，解得r=13

c m

4

，故选择D.

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理的实际应用.

4．B

【解析】

【分析】

连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．

【详解】

连接OB和AC交于点D，如图所示：

∵圆的半径为4，

∴OB=OA=OC=4，

又四边形OABC是菱形，

∴OB⊥AC，OD=1

2

OB=2，

在Rt△COD中利用勾股定理可知：22

4223

,243

A

C D

-===,

∵sin∠COD=

3 CD

OC

=

∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，

∴S菱形ABCO=11

44383 22

O

B A C

?=??=,

∴S扇形=

2 120416

3603

π

π

??

=,

则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=16

83 3

π-.

故选B. 【点睛】

考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=1

2

a?b（a、

b是两条对角线的长度）；扇形的面积=

2 360

n rπ

.

5．C

【解析】

【分析】

先根据反比例函数y=的系数2>0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1

【详解】

解：函数大致图象如图，

∵k>0，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，

又∵x1

∴y2

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.

6．C

【解析】

【分析】

直接根据圆的基本性质及垂径定理对各选项进行解答即可．

【详解】

解：A．由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分这条弦，故本选项正确；

B．∵圆上的任意一段叫弧，∴半圆是弧，故本选项正确；

C．只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角都相等，故本选项错误；D．直径是最长的弦，故本选项正确．

故选C．

【点睛】

本题考查的是圆的基本性质及垂径定理，熟知圆的基本知识是解答此题的关键．7．A

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．

【详解】

∵AD∥BC，∴AE EF AB CF

=．

∵ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．

∵CD∥BE，∴∠DCF=∠E，∴△CDF∽△EBC，∴CD CF BE EC

=．

∵CD∥BE，∴AF EF

DF CF

=，∴

AE AF

AB DF

=．

∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC，∴AE AF

EB BC

=，∴A错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了平行四边形、相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．8．B

【解析】

根据题意可知：

第一行第一列只能有1个正方体，

第二列有3个正方体，

第一行第3列有1个正方体，

共需正方体1+3+1=5．

故选B．

9．C

【解析】A选项：所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故形状不一定相同，故是错误的；

B选项：所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，故形状不一定相同，故是错误的；

C选项：所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；

D选项：所有的梯形是形状不唯一确定的图形，故形状不一定相同，故是错误的；

故选C.

10．C

【解析】A、所有的等边三角形都相似,正确;

B、所有的等腰直角三角形都相似,正确;

C、所有的菱形不一定都相似,故错误;

D、所有的正方形都相似,正确.

所以C选项是正确的.

点睛：本题考查了相似图形的定义,解题的关键是了解对应角相等,对应边的比也相等的多边形相似,比较简单.

11．21 2

【解析】

【分析】

根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】

解：过点A作AD⊥BC，

∵△ABC中，，sinC=3

5

，AC=5，

∴=B D

A B

，

∴∠B=45°，

∵sinC=3

5

=

5

AD AD

AC

=，

∴AD=3，

∴，∴BD=3，

则△ABC的面积是：1

2

×AD×BC=

1

2

×3×（3+4）=

21

2

．

故答案为21

2

．

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．

12．2 1

【解析】

试题分析：二次函数的对称轴为直线x＝

4

2

a

a

-＝－2，

①a＞0时，在－4≤x≤1范围内，当x＝1时，取得最大值，a×12＋4a×1＋a2－1＝5，

整理得，a2＋5a－6＝0，

解得a1＝1，a2＝－6（舍去），

②a＜0时，当x＝－2时，取得最大值，

a×（－2）2＋4a×（－2）＋a2－1＝5，

整理得，a2－4a－6＝0，

解得a1＝2，a2＝2（舍去），

所以实数a的值为2或1．

故答案为：2或1．

13．75.4

【解析】

【分析】

本题中，已知了扇形的圆心角的度数和半径的长，可直接根据扇形的面积公式求得扇形场地的面积．

【详解】

解：S=60144

360

π?

≈75.4（米2）．

故答案是：75.4.

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积公式．

14．

3

π

【解析】

【分析】

连CD，OC，OD，根据圆周角定理得到∠AOC=∠COD=∠BOD，则∠AOC=∠COD=60°，得到△OCD为等边三角形，则∠OCD=60°，判断CD∥AB，得到S△PCD=S△OCD，则阴影部分的面积=S半圆-S扇形OCD，然后利用圆的面积公式和扇形的面积公式计算即可．

【详解】

连CD，OC，OD，如图，

∵AB是半⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，

∴∠AOC=∠COD=∠BOD，

∴∠AOC=∠COD=60°，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠OCD=60°，

∴CD∥AB，

∴S△PCD=S△OCD，

∴阴影部分的面积=S半圆-S扇形OCD，

=1

2

π×12-

2

601

360

π??

，

=1

3π．

故答案为：1

3π．

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式：S=

2

360

n Rπ

．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质以及三

角形的面积公式．

15．16

【解析】

分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=-1，x1x2=-5，再利用完全平方公式变形得到

x12-x1x2+x22=（x1+x2）2-3x1x2，然后利用整体代入的方法计算．

详解：根据题意得x1+x2=-1，x1x2=-5，

所以x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（-1）2-3×（-5）=16．

故答案为16．

点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，

x1+x2=-b

a

，x1x2=

c

a

．

16．203 3

【解析】

如图，作AM⊥BC于M.

由题意得,∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×20

60

=20海里,∠NCA=10°，

则∠ABC =∠ABD ?∠CBD =50°?20°=30°，

∵BD ∥CN ，

∴∠BCN =∠DBC =20°

， ∴∠ACB =∠ACN +∠BCN =10°

+20°=30°， ∴∠ACB =∠ABC =30°

， ∴AB =AC ，

∵AM ⊥BC 于M ，

∴CM =12

BC =10海里． 在直角△ACM 中,

∵∠AMC =90°

,∠ACM =30°，

∴AC =cos CM ACM ∠ =10÷(海里).

. 17．45

【解析】

【分析】连接AB ，利用同弧所对圆周角相等，可得∠P=∠ABO ，利用勾股定理可得AB ， 利用三角函数定义，可得 sin ∠P=sin ∠ABO=

45. 【详解】连接AB ，

因为∠P 和∠ABO 是弧AO 所对的圆周角，

所以，∠P=∠ABO ，

因为点A （0，4），点B （3，0），

所以，OA=4,OB=3,

所以，AB=5，

所以，sin ∠P=sin ∠ABO=45

.

故正确答案为：4 5

【点睛】本题考核知识点：圆周角，解直角三角形.解题关键：作辅助线，利用同弧所对圆周角相等，得∠P=∠ABO.再解直角三角形.

18．直径所对的圆周角为直角线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【解析】

分析:首先作了线段AB的垂直平分线PQ,直角三角形外接圆的圆心就在斜边的中点处，接下来以O为圆心，O A的长为半径作圆，交直线P Q于点C；A C B

∠是直径所对的圆周角，则90,

A C B

∠=同时点C在线段AB的垂直平分弦上，则A B C

△即为所求.

详解：在上面的作图过程中，①A B C是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角,

②A B C是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

故答案为：(1). 直径所对的圆周角为直角；(2). 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

点睛：考查了圆周角定理以及线段垂直平分弦的作法以及性质，比较综合.

19．6或2或10

【解析】

【分析】

根据乘方，可得a的值，根据正方形的对称中心在坐标原点，可得B点的横坐标等于纵坐标，根据平行四边形的面积公式，可得答案．

【详解】

由a3﹣a=1得a=1、a=﹣1或a=3．

①当a=1时，函数解析式为y=3

x

，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得

B 点的横坐标等于纵坐标，，

四边形DEBF 的面积是=6；

②当a=﹣1时，函数解析式为y=1x

，由正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，得 B 点的横坐标等于纵坐标，x=y=1，

四边形DEBF 的面积是2x?y=2×1×1=2；

③当a=3时，函数解析式为y=5x

，由正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，得

B 点的横坐标等于纵坐标，

四边形DEBF 的面积是，

故答案为6或2或10．

【点睛】

本题考查了正方形的中心对称性质、平行四边形的面积、反比例函数的意义等，利用乘方的意义得出a 的值、运用分类讨论思想进行解答是解题关键．

20．3π

【解析】

分析：首先证明△BCE 是等边三角形，再根据弧长公式计算即可；

详解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =30°，AB =2，∴BC =12

AB =1，∠ABC =60°． ∵CB =CE ，∠E =∠ABC =60°，∴△CBE 是等边三角形，∴∠BCE =60°，∴点B 运动到点E 的路径长为

601180π??=3π． 故答案为：3π

．

点睛：本题考查了旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明△BCE 是等边三角形．

21．（1）

275 （2）证明见解析（3）F 在直径BC 下方的圆弧上，且23

BF BC = 【解析】

【分析】

（1）由直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF ∽△BEC ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF 的长；

（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得

CD CE

BA BC

=，又由AB=BC，即可证得CD=CE；

（3）由CE=CD，可得BC=3CD=3CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即

可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且

2

3

BF BC

=.

【详解】

（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，

∴∠BFC=∠CFE=90°，

∵∠FEC=∠CEB，

∴△CEF∽△BEC，

∴CE EF BE CE

=，

∵BE=15，CE=9，

即：

9

159

EF

=，

解得：EF=27

5

；

（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD，

同理：∠AFB=∠CFD，

∴△CDF∽△BAF；

②∵△CDF∽△BAF，

∴CF CD BF BA

=，

又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，∴△CEF∽△BCF，

∴CF CE BF BC

=，