第四章 信源编码 习题解答
信息论与编码第四章习题参考答案
4.1某离散无记忆信源概率空间为分别使用长度为10和100的序列进行等长无失真编码，分别计算最短平均码长和编码效率。
解：信源的熵为881.03.03.07.07.0)(H =--=lb lb X 比特/符号当N=10时，序列码长应当满足 81.81881.0102)(L 1=⨯=>lb X NH 比特/序列考虑到序列码长应该为整数，取L1=9比特/符号，平均每个符号的码长为9.0NL L 11==比特/符号 所以编码效率为%9.97L )(H 11==X η 当N=100时，序列码长为1.881881.01002)(L 1=⨯=>lb X NH 比特/100符号取L1=89比特/符号，平均每个符号的码长为89.0NL L 22==比特/符号 编码效率为%99L )(H 22==X η 4.2设离散无记忆信源为如果要求编码效率为，允许错误概率为，求编码序列的长度。
解：信源的熵为722.02.02.08.08.0)(H =--=lb lb X 比特/符号自信息量方差为64.0722.0-）2.0（2.0）8.0（8.0D 222=+=lb lb采用二进制码进行等长编码，序列长度应当满足72221062.1)1)((D N ⨯=-≥δηηX H4.3设离散无记忆信源的概率空间为要求编码效率为(1) 如果采用序列等长编码，而允许译码错误概率为，求编码序列的长度。
(2) 如果采用序列变长编码，求编码序列的长度，并且与(1)比较，说明为什么会有这样的结果。
解1）信源的熵为811.025.025.075.075.0)(H =--=lb lb X 比特/符号自信息量方差为471.0811.0-）25.0（25.0）75.0（75.0D 222=+=lb lb采用二进制编码，序列长度为62221029.1)1)((D N ⨯=-≥δηηX H2）对信源进行二次扩展，并采用下列编码方式构成唯一可译码平均码长为6875.13161316321631169L =⨯+⨯+⨯+⨯=比特/2符号 每个符号码长为84375.026875.12L L ===比特/符号 编码效率为%95%1.9684375.0811.0L H(X)=>===δη 由于变长编码能够更好利用不同序列的概率分布进行编码，概率越大，序列的码长越短，概率越小，序列的码长越长，所以相对等长编码而言，变长编码的平均码长很短。
信息论、编码与密码学课后习题答案
第1章 信源编码
1.1考虑一个信源概率为{0.30，0.25，0.20，0.15，0.10}的DMS。求信源熵H（X）。
解： 信源熵
H(X)=-[0.30*(-1.737)+0.25*(-2)+0.2*(-2.322)+0.15*(-2.737)+0.1*(-3.322)]
10100+11110=01010 10100+00111=10011
10100+01101=11001
11110+00111=11001 11110+01101=10011
00111+01101=01010
满足第一条性质
2、全零码字总是一个码字
{00000，01010，10011，11001，10100，11110，00111，01101}
(1)给出此信源的霍夫曼码并确定编码效率。
(2)每次考虑两个符号时，给出此信源的霍夫曼码并确定编码效率。
(3)每次考虑三个符号时，给出此信பைடு நூலகம்的霍夫曼码并确定编码效率。
解：
(1)本题的霍夫曼编码如下图所示：
图1.11 霍夫曼编码
则霍夫曼码如下表：
符号
概率
码字
x1
0.5
1
x2
0.4
00
x3
0.1
01
该信源的熵为：
（2）全零字总是一个码字，
（3）两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小重量，即
设 ，即 ， ， ， ，
首先证明条件（1）：
， ， ， ， ， ，
很明显，条件（1）是满足的。条件（2）也是显然成立的。
清华《信源编码》第四章
b 1 4e b e 2b
要使D最小, 令 e-b=0.293, D=0.657,则 =R(D)=60.6%, 比分别量化有所提高. 三维四维联合量化尚可进一步提高.
30
进一步提高压缩比的探讨（7）
K维情况,Zador得下列结果:
Lim n 2 / k G ห้องสมุดไป่ตู้ [ p( x ) k ,
21
语声的脉码调制(6)
A=87.65, y’(0)=16, =20log1016=24 db, 可压缩4比特，仍能满足小信号信扰比。 y’(1)=0.183, =-15db, 大信号时量化 噪声仍可满足。 实际用13线段来近似，均匀量化后用数 字逻辑电路实现
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语声的脉码调制(7)
1
y
信号功率 W=2/2, 量化噪声 L 2 n L2 L Wq pi L p( x)dx 3n 2 (1 e ) 12 i 1 12
18
语声的脉码调制(3)
过载噪声
2 Wo 2 ( x L ) p( x )dx 2 L
2 L L 2 2 ( } n n
26
进一步提高压缩比的探讨（3）
要后处理,也可不用先达到最小平均失真, p(y)=p(-y)=z/2, H(Y)=z+H(z) =-log(1-2z+2z)/[z+H(z)] 取导置零,可得z=0.41, =69%. 对于独立序列,后处理虽能提高编码效率, 但效果不明显,如何能快速逼近R(D)也不 知. 对于相关信源,后处理以消除相关性, 可取得很大压缩比,以后讨论.
13
2
最佳标量量化(7)
绝对失真
( 2i 1) L dx L D |x | n L 4n 4 i 1 ( i 1) L
信息论第四章习题解答
四 解 (1) 要能纠一位错，监督位数 r 必须满足 2r ? n ? 1,
章
由 n = 6 ? r 可求得满足该条件的最小的 r 为 r = 4 .
抗
故需构造 (10, 6 ) 码。
干
(2) 可以构造出多种 (10, 6 ) 码，下面仅给出其中的一种。
扰
111100 1000
二 元
监督阵 [H ] =
二
元 编
当
d
为偶数时，可以纠正
??? d
2
2 ?? 位错误， ?
码
且发现 ?? d - 2 ?? ? 1 位错误。
?2?
4
习题解答
第 4.4 试计算 ( 8, 7 ) 奇偶校验码的漏检概率和编码效率，
四
已知码元的错误概率为 Pe = 10- 4 .
章 解 (1) 奇偶校验码不能发现偶数位错误，其漏检概率为：
码
(5) 系统码和非系统码 (略)。
(P 175)
19
习题解答
第 4.13 已知 (7, 4) 循环码的生成多项式为 g( x) = x3 ? x2 ? 1,
四
当收到一循环码字为 0010011 时，根据校验子判断有
章
无错误？哪一位错了？
抗 解 (1) 求校验子 干 扰 二 元 编 码
c0 位错 c1 位错 c2 位错 c3 位错 c4 位错 c5 位错 c6 位错
00000，11101，11110，11000，10100。
编
码
2
习题解答
第 4.2 求 000000、110110、011101、101010 四码字的汉明距离，
四
并据此拟出校正错误用的译码表。
通信原理第四章(数字基带传输系统)习题及其答案
第四章（数字基带传输系统）习题及其答案【题4－1】设二进制符号序列为110010001110，试以矩形脉冲为例，分别画出相应的单极性码型，双极性码波形，单极性归零码波形，双极性归零码波形，二进制差分码波形。
【答案4－1】【题4－2】设随机二机制序列中的0和1分别由g(t)和g(t)组成，其出现概率分别为p和(1p)：1）求其功率谱密度及功率；2）若g(t)为图（a）所示的波形，T为码元宽度，问该序列存在离散分量s1f Ts否？3）若g(t)改为图（b）所示的波形，问该序列存在离散分量1f Ts否？【答案4－2】1）随机二进制序列的双边功率谱密度为2 2P ( ) f P(1 P) G ( f ) G ( f ) f [PG (mf ) (1 P)G (mf )] ( f mf ) s s 1 2 s 1 s 2 s sm由于g1(t) g2 (t) g(t )可得：22 2 2P ( ) 4 f P(1 P)G ( f ) f (1 2P) G(mf ) ( f mf )s s s s sm式中：G( f )是g(t )的频谱函数。
在功率谱密度P() 中，第一部分是其连续谱成s分，第二部分是其离散谱成分。
随机二进制序列的功率为1S P ( )ds2－－22[4 f P(1 P)G ( f ) f (1 2P)G (mf ) ( f mf )] dfs s s sm224 f P(1 P) G ( f )df f (1 2P)G( mf ) ( f mf )dfs s s s－－m2 2 24 f P(1 P) G ( f )df f (1 2P) G( m f )s s s－m22）当基带脉冲波形g(t ) 为Ts1 tg(t) { 20 elset g(t )的付式变换G( f )为G( f ) T Sa( T f )s s因此sinG( f s ) T s Sa( T s f s) T s 0式中：fs1T 。
信息论与编码技术第四章课后习题答案
解：（1） D =
∑ P(u,υ )d (u,υ ) = (1 − p)q
UV
（2）根据题4.5，可知R(D)的最大值为H(p),此时q=0,平均失真D=0; （3）R(D)的最大值为0,此时q=1,平均失真D=（1-p）; 4.7 设连续信源 X ，其概率密度分布为
p ( x) =
a − a | x| e 2
达到
D
min
的信道为
⎡1 ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 [ P (υ j | u i )] = ⎢ ⎢ 0 1 ⎥ , ⎢1 0 ⎥ 或 ⎢ 2 ⎢ ⎣0 1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1⎥ ⎦ ⎢0 ⎣
4.2 已知二元信源 ⎢
0⎤ 1⎥ ⎥ 2⎥ 1⎥ ⎦
1 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ 0, ⎡0 1⎤ =⎢ =⎢ 以及失真矩阵 ⎡ dij ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ，试求： ⎣ ⎦ ⎣ p ( x ) ⎦ ⎣ p, 1 − p ⎦ ⎣1 0 ⎦
g (θ ) 的傅立叶变换
G s(w) = ∫
+∞ −∞
g
s
(θ )e
− jwθ
dθ =
s
2
s
2 2
+w
, (3)
得: Q( w) = P ( w) + w2 P( w), (4)
2
s
求式（4）的傅立叶反变换，又根据式（2）得
p( y ) = p( x = y) − D 所以 p( y ) =
2
p ( x = y), (5)
⎡0 ⎢1 定义为 D = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1
解：
1 0 1 1
1 1 0 1
1⎤ 1⎥ ⎥ ，求 Dmax , Dmin 及信源的 R ( D ) 函数，并作出率失真函数曲线(取4到5个点)。 1⎥ ⎥ 0⎦
《信息论与编码》习题解答第四章(新)new
《信息论与编码》习题解答第四章 信息率失真函数-习题答案4.1解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=εεεε11)|(i j a b p 平均失真：εεεεε=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯==∑∑==0)1(2/112/112/10)1(2/1),()|()(2121j i i j i j i b a d a b p a p D4.2解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0210d ， 0min =D ,∑=⨯+⨯=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )102/122/1(2/112/102/1),()(min min max 舍去当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P当2/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第二列的max D 值，所以输出符号概率:,1)(,0)(21==b p b p ,,2221b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010P 4.3解：0min =D0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 当0min =D ，bit X H R D R 24log )()0()(min ==== 因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P 当4/3max =D ，0)(max =D R因为任何一列的max D 值均为3/4，所以取输出符号概率:0)(,0)(,0)(,1)(4321====b p b p b p b p ，即14131211,,,b a b a b a b a →→→→因此编码器的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P 4.4解： 依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/1014/110d ， 0min =D∑=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )2/12(4/1)4/12/14/12/1min(),()(min min max 个均为其它当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010001P 当4/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第三列的max D 值为1/4，所以取输出符号概率:1)(,0)(,0)(321===b p b p b p ，即3231,b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100100P 4.5解：(1)依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=q q P 101 )1(0)1()1(1)1(1001),()|()(11p q q p q p p p y x d x y p x p D n i mj j i i j i -⨯=⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯==∑∑==(2) 0min =D因为)(D R 是D 的递减函数，所以)1log()1(log )()()())(m ax (min min p p p p D H p H D R D R ----=-==当0=q 时可达到))(max(D R ，此时0=D(3) ∑-=⨯+⨯===iji i j j ，p p p p y x d x p D D )1(10),()(min min max 舍去更大另一个 因为)(D R 是D 的递减函数，所以0)()()())(m in(max max =-==D H p H D R D R当1=q 时可达到))(min(D R ，此时p D -=1(图略，见课堂展示)4.6解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞=1010d ，信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(u p u 0min =D ，∑⨯+⨯⨯+∞⨯∞⨯+⨯===iji i j j y x d x p D D )12/112/1,02/12/1,2/102/1min(),()(min min max )(1]1,,m in[舍去另二个，∞=∞∞=10≤≤D因为二元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中1,2==a n ，所以率失真函数为：D D R -=1)(4.7解：失真矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110d ，按照P81页方法求解。
第四章信源编码习题解答
第四章信源编码习题解答1种编码方法：1）哪些是非奇异码哪些是唯一可译码哪些是即时码2）分别计算每个唯一可译码的平均码长和编码效率。
解：1）A、B、C、D、E、F是非奇异码。
A、B、C、F是唯一可译码（E不满足克拉夫特不等式）。
A、C、F是即时码（B是续长码）。
3）编码A：平均码长：3AL=码元/消息信源熵：111111()lb lb4lb222441616H X=---⨯=比特/消息编码效率：max ()/2/366.7% lb21AH H X L Hη====码码编码B和C：平均码长：11111123456 2.1252416161616B CL L==+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=码元/消息编码效率：max ()/2/2.12594.1% lb21B CH H X L Hηη=====码码编码F：平均码长：111234 2.52416FL⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⎪⎝⎭码元/消息编码效率：max ()/2/2.580%lb21F H H X L H η====码码2、离散无记忆信源X 的概率空间为：1234567()0.200.190.180.170.150.100.01X x x x x x x x p X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 1）对其进行费诺编码，并计算其编码效率；2）对其进行哈夫曼编码，并将其编码效率与费诺编码相比较。
解：1平均码长：()()()0.20.1720.190.180.1530.10.014 2.74L =+⨯+++⨯++⨯=码元/符号 信源熵：()0.20lb0.200.19lb0.190.18lb0.180.17lb0.170.15lb0.150.1lb0.10.01lb0.01 2.60/874H X =-------= 比特符号编码后平均码元熵：() 2.608740.95212.74H X H L===码比特/码元编码效率：max 0.952195.21%lb2H H η===码码2）哈夫曼编码： 码长码字 信源X (X )2 10 x 1 2 11 x 2 3000 x 33 001 x 43 010 x 54 0110 x 64 0111x 7平均码长：()()()0.20.1920.180.170.1530.10.014 2.72L =+⨯+++⨯++⨯=码元/符号 编码后平均码元熵：() 2.608740.95912.72H X H L===码比特/码元编码效率：max 0.959195.91%lb2H H η===码码与费诺编码相比，哈夫曼编码的编码效率要高于费诺编码。
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第四章信源编码 习题解答1、一个信源由1） 哪些是非奇异码？哪些是唯一可译码？哪些是即时码？ 2） 分别计算每个唯一可译码的平均码长和编码效率。
解：1）A 、B 、C 、D 、E 、F 是非奇异码。
A 、B 、C 、F 是唯一可译码（E 不满足克拉夫特不等式）。
A 、C 、F 是即时码（B 是续长码）。
3） 编码A ：平均码长：3A L = 码元/消息 信源熵：111111()lb lb 4lb 222441616H X =---⨯=比特/消息 编码效率：max ()/2/366.7%lb21A H H X L H η====码码编码B 和C ：平均码长：11111123456 2.1252416161616B C L L ==+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 码元/消息 编码效率：max ()/2/2.12594.1%lb21B C H H X L H ηη=====码码编码F ：平均码长：111234 2.52416F L ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 码元/消息 编码效率：max ()/2/2.580%lb21F H H X L H η====码码2、离散无记忆信源X 的概率空间为：1234567()0.200.190.180.170.150.100.01X x x x x x x x p X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 1）对其进行费诺编码，并计算其编码效率；2）对其进行哈夫曼编码，并将其编码效率与费诺编码相比较。
解：1）费诺编码：平均码长：()()()0.20.1720.190.180.1530.10.014 2.74L =+⨯+++⨯++⨯=码元/符号 信源熵：()0.20lb0.200.19lb0.190.18lb0.180.17lb0.170.15lb0.150.1lb0.10.01lb0.01 2.60/874H X =-------= 比特符号编码后平均码元熵：() 2.608740.95212.74H X H L===码比特/码元编码效率：max 0.952195.21%lb2H H η===码码2）哈夫曼编码： 码长 码字 信源X p (X ) 2 10 x 1 2 11 x 2 3 000 x 3 3 001 x 4 3 010 x 5 4 0110 x 6 40111x 7平均码长：()()()0.20.1920.180.170.1530.10.014 2.72L =+⨯+++⨯++⨯=码元/符号 编码后平均码元熵：() 2.608740.95912.72H X H L===码比特/码元编码效率：max 0.959195.91%lb2H H η===码码与费诺编码相比，哈夫曼编码的编码效率要高于费诺编码。
一般情况下哈夫曼编码效率较高，但费诺编码如果每次划分概率很接近，则效率也很高。
3、离散无记忆信源X 的概率空间为：12345678()0.220.200.180.10.150.020.050.08X x x x x x x x x p X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 1）对其进行费诺编码；2）对其进行哈夫曼编码。
解：1信源X p (X ) 编码过程 码字 码长 x 1 0.22 00 00 2 x 2 0.20 1 01 2 x 3 0.18 1 00 100 3 x 5 0.15 1 101 3 x 4 0.1 1 0 110 3 x 8 0.08 10 1110 4 x 7 0.05 10 11110 5 x 60.0211111152）哈夫曼编码：4、离散无记忆信源S 描述为：123456()0.370.250.10.180.030.07S s s s s s s p S ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 1）计算信源熵及其冗余度；2）对其进行费诺编码；3）对其进行哈夫曼编码；4*）对其进行香农-费诺-埃利阿斯编码； 5*）对其进行香农编码；6）计算哈夫曼码的平均码长、编码效率和码冗余度；7）把哈夫曼编码器的输出看成一个新信源X ，计算其概率分布p (x 1) 和 p (x 2)； 8）H [p (x 1), p (x 2)] 是否等于H 码（即平均码元熵）？为什么？ 解：1）信源熵：()0.37lb0.370.25lb0.250.18lb0.180.1lb0.10.07lb0.070.03lb0.03 2.229H S =------= 比特/消息冗余度：max ()2.231113.788%()lb6H S E H S =-=-=2）费诺编码：信源S p (S ) 编码过程 码字 码长 s 1 0.37 00 00 2 s 2 0.25 1 01 2 s 4 0.18 1 0 10 2 s 3 0.1 10 110 3 s 6 0.07 10 1110 4 s 50.031111143）哈夫曼编码：4） 香农-费诺-埃利阿斯编码：信源S p (S ) F (s ) ()F s()F s 的二进制数 码长 码字s 1 0.37 0.37 0.185 0.00101.. 3 001 s 2 0.25 0.62 0.495 0.01111.. 3 011 s 40.180.800.710.101101..410115）香农编码：6）分析哈夫曼码，其平均码长：61()2(0.370.250.18)30.14(0.07+0.03=2.3i i i L p s l ===⨯+++⨯+⨯∑） 码元/消息平均码元熵：() 2.2290.968962.3H S H L===码 比特/码元 编码效率：max 0.97096.896%lb2H H η===码码码冗余度：max 0.9689611 3.104%lb2H E H η==-=-=码码码1-7）把哈夫曼编码器的输出看成一个新信源X ，计算其概率分布p (x 1) 和 p (x 2)：11211()(0)0.370.250.10.03+0.07=0.60422342p x p ==+⨯+⨯+⨯⨯21131()(1)0.250.10.180.030.070.39582342p x p ==⨯+⨯++⨯+⨯=8）计算12[(),()](0.6042,0.3958)0.6042lb0.60420.3958lb0.39580.9685 /H p x p x H ==--=比特码元 相比平均码元熵：12() 2.2290.96896[(),()]2.3H S H H p x p x L===≈码 比特/码元 可见，两者很相近，但理论上不相同。
因为平均码元熵计算的是算术平均值，而12[(),()]H p x p x 作的是统计平均。
5. 设有6个消息，其出现概率分别为A B C D E F 1/16 1/16 2/16 3/16 4/16 5/16将它们分别进行费诺编码和霍夫曼编码，并比较编码效率。
是否在任何情况下费诺编码比霍夫曼编码效率都低？解：信源：112345()161616161616A B C D E F X p X ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭费诺编码：信源X p (X ) 编码过程 码字 码长 F 5/16 00 00 2 E 4/16 1 01 2 D 3/16 1 0 10 2 C 2/16 10 110 3 B 1/16 10 1110 4 A1/16111114平均码长：543211234 2.375161616161616L ⎛⎫⎛⎫=++⨯+⨯++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭码元/符号信源熵：111111331155()lb lb lb lb lb lb 2.35216161616881616441616H X =------=比特/符号 编码后平均码元熵：() 2.3520.992.375H X H L===码比特/码元 二元信源最大码元熵为1比特/码元，故编码效率：max 0.9999%1H H η===码码哈夫曼编码：由于平均码长与费诺编码一样，故编码效率也为99%。
一般情况下哈夫曼编码效率较高，但费诺编码如果每次划分概率很接近，则效率也很高。
6. 有一冗余位序列，N =15，码字为001000000010000，试将其编成L-D 码，并将L-D 码译回原序列。
解：001000000010000 N=15 编码：[]()2112212111111312152,3,1145247105 lb105 6.77 lb 151 4n n Q n n T C C C C C ----====+=+=+====+=⎡⎤⎣⎦已知：计算： 24477Q T ==将转变成位二进制数，转变成位二进制数，于是得L-D 码： 0010 0101111译码：221011215,2,4745475510111N Q T C C n ====≤<==+=修正：21101123147452223213T T C C C n =-=-==≤<==+=故译码恢复出原序列：001000000010000作业：1、2、4。