灰色系统理论与方法
灰色系统理论简介
通过灰色关联分析等法，研究社会问题的内在关联和影响因素，为解决社会 问题提供思路。
环境领域
气候变化预测
利用灰色系统理论对气候数据进行处理和分析，预测未来气候变化趋势，为应对气候变化提供依据。
环境污染评估
通过构建灰色预测模型，评估环境质量状况和污染发展趋势，为环境治理提供参考。
农业领域
行预测，为空气污染防治提供决策支持。
案例三：灰色系统理论在农业生产中的应用
总结词
利用灰色关联分析和灰色预测模型指导农业生产，提 高农业产量和经济效益。
详细描述
农业生产是一个复杂的系统，受到多种因素的影响， 而灰色系统理论可以为农业生产提供有效的指导。通 过灰色关联分析和灰色预测模型，可以分析农业系统 中各因素之间的关联程度和未来发展趋势，为农业生 产提供科学依据。例如，在农作物种植中，可以利用 灰色系统理论分析气候、土壤等因素对农作物生长的 影响，制定合理的种植计划，提高农业产量和经济效 益。
灰色关联分析的优势在于 它能够处理不完全信息， 对数据量要求不高，且计 算简单。
ABCD
它通过比较各因素之间的 相似度，量化它们之间的 关联程度，从而为决策提 供依据。
在实际应用中，灰色关联 分析广泛应用于经济、社 会、工程等多个领域。
灰色预测模型
01
灰色预测模型是灰色系统理论中 用于预测未来发展趋势的方法。
发展历程
灰色系统理论经过多年的研究和发展，已经广泛应用于各个领域， 包括经济、管理、社会、环境等。
未来展望
随着信息技术和大数据的不断发展，灰色系统理论将会在更广泛的 领域得到应用和发展，同时也将面临更多的挑战和机遇。
02
灰色系统理论的核心概 念
灰色关联分析
第七章灰色系统综合评价方法
（ ）
于是，灰色聚类系数（即加权合成值）为：
（ ）
第五步：进行灰色系统聚类评价。
记 ，则与模糊聚类评价类似，可以根据“最大隶属原则”进行聚类。若
则该单位被判别为“c灰类”。但当“最大隶属原则”失效时，采用点值进行灰类识别更加合理。
第六步：若需要进行综合评价排序，则将B转化为点值y，即
式中，tj为第j灰类的“灰水平”赋值。根据每个单位的y值大小就可以进行综合评价排序，其赋值原则与模糊综合评价类似。
第四步：计算聚类系数bj，确定聚类向量。
第j类的聚类系数定义为：
（ ）
即为第j灰类各指标的白化权函数值的加权算术平均。
若将各指标在各灰类之下的白化权函数值用矩阵表示，记为R，即
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
灰度理论
灰色关联四公理：规范性、整体性、偶对对 称性、接近性 灰色关联度分析：度量两事物间的相互依赖 关联的程度r(x0,xi)
1 N 定义 r x0 , xi i k N i 1 其中关联系数定义为 min min x0 k xi k max max x0 k xi k k i k i i k x0 k xi k max max x0 k xi k i k 0 为分辨系数， 0 1, 一般取0.5。 i0 i0
两个技术处理： 技术1：对b1 由GM（ 1， 1 ）预测得2003 、 2004 预测值 技术2：对c1 、c2 — 32 做等权均值白化
max S c1 x1 c2 x2
11 3,5,12 3.5,6.5, 21 7,11, 22 3,5,
年份 日供电量 1999 168 2000 174 2001 180 2002 190
建模：设甲、乙两种产 品的日产量为 x1 , x2 , 则数学模型为灰色线性 规划：
11 x1 12 x2 b1 s.t. 21 x1 22 x2 b2 360 x x b 300 32 2 3 31 1 c1 600,800, c2 900,1500 31 2.5,3.5,32 8,12
实际数x(0) 3.278 3.337 3.39 3.679
ˆ 0 k q(k ) x0 k x
e qk 100% / x0 k
0.04 -0.0175 -0.0917
1.402% -0.5259% -2.705%
0.0654
1.7755%
•
•
不确定型决策的五种方法
不确定型决策的五种方法不确定型决策在实际生活和工作中经常出现，对于这类决策，我们需要运用一些特殊的方法来应对。
以下是关于不确定型决策的五种方法：一、灰色系统理论灰色系统理论是一种用于处理不确定性信息的数学工具，它可以有效地处理缺乏充分信息的情况。
在进行不确定型决策时，我们通常会遇到信息不完全、数据不确定等问题，此时可以运用灰色系统理论进行分析和预测。
这一方法的优势在于可以有效地处理不确定性信息，提高决策的准确性和可靠性。
二、模糊综合评价方法模糊综合评价方法是一种用于处理模糊信息的常用方法，它可以将模糊的、不确定的信息进行定量分析和综合评价。
在不确定型决策中，我们往往需要面对模糊的信息和多因素的影响，此时可以采用模糊综合评价方法来帮助决策。
通过该方法，可以将不确定性信息转化为可计量的指标，从而有助于进行综合评价和决策选择。
三、蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，它通常应用于不确定型决策的风险分析和决策模拟中。
在不确定性情况下，我们往往需要对不同的决策方案进行风险评估和模拟分析，此时可以采用蒙特卡洛模拟方法。
通过该方法，可以对决策方案进行多次随机抽样，并基于概率分布进行模拟，从而评估不同方案的风险程度和可能性。
四、多目标决策方法不确定型决策通常伴随着多个决策目标和多个决策方案，此时可以运用多目标决策方法进行决策分析和优化选择。
常见的多目标决策方法包括层次分析法、灰色关联分析法、TOPSIS法等。
通过多目标决策方法，可以将不确定情况下的多种目标和因素进行量化分析和综合评价，帮助决策者进行合理的决策选择。
五、决策树分析方法决策树分析方法是一种基于树状结构的决策模型，它可以帮助决策者在不确定型决策中进行多条件的分析和决策选择。
在不确定情况下，我们通常需要考虑多个因素和条件对决策的影响，此时可以利用决策树分析方法进行全面的多条件决策分析。
通过该方法，可以将不确定的决策条件和因素进行系统化的组织和分析，有助于找到最优的决策路径和选择方案。
灰色系统理论及其应用
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
将时刻 k 2,3,, n 视为连续变量t 则数列 x(1) 就可视为时间 t 的函数，x(1) x(1) (t) GM(1,1) 的白化型为：
dx(1) ax(1) (t) b dt
5 灰色模型
5.2 GM(1, N)模型
GM (1, N) ：模型是一阶的，包含N个变量的灰色模型
x(1) 的灰导数为： d (k) x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2,3,, n
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
x(1) 的紧邻均值序列为： z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n))
z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1), k 2,3,, n
1 n
n
( k
k 1
)2
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（5）小误差概率合格模型： 小误差概率为：
p P k 0.67445S1
给定 p0 0, p p0 称模型为小误差概率合格模型
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
常用精度等级：
6 灰色预测
6.3 Verhulst GM (2,1) DGM
2 2
可容覆盖区域：(e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理：
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
数据列可用为模型的预测数据 数据列需进行变换处理
平移变换
灰色系统理论
灰色系统理论简单介绍灰色系统法理论就是某一个系统内部各个因素之间的关系不是非常的明确。
例如：在农业生产中，生产作物的生长情况与农药、土壤以及气候等条件之间的关系。
我们对于这一系统内这些因素之间的关系不是非常的了解，所以这就叫作一个灰色系统。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。
由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
相关理论对因素间关联度的分析：对数据进行变换取消数据的纲量，使数据具有可比性，以保证建模的质量。
对数据变换的方法有：1、初值化变换 f(x(k))==y(k), k=1,2,…,n ()(1)x k x 2、均值化变换 f(x(k))=1()1(),()nk x k y k x x k n x===∑3、百分比变换 ()(())()()max kx k f x k y k x k ==4、倍数变换 ()(())(),()0()min min k kx k f x k y k x k x k ==≠5、归一化变换 其中x 为大于零的某个值0()(())()x k f x k y k x ==06、极差最大之化变换 ()(())()min ()max ()k kx k f x k y k x k x k -==7、区间之化变换 ()(())()min ()max ()min ()k k k x k f x k y k x k x k x k -==-某一时刻的比较数列为x =i {}()1,2,...,((1),(2),...,()),1,2,...,i i i ix k k n x x x n i m ===参考书列为x =o {}0000()1,2,...,((1),(2),...,())x k k n x x x n ==称 （1）式 000()()()()()()()()()maxmax minmin maxmax o s s s t s tii ss tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+-为比较数列x 对参考数列x 在时刻k 的关联系数，其中为分辨系数。
灰色系统基本原理
灰色系统基本原理
灰色系统理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的方法，它的基本原理包括以下几个方面：
1. 灰色性：灰色系统理论认为，系统中的信息部分已知、部分未知，这种介于白色（完全已知）和黑色（完全未知）之间的状态被称为灰色。
2. 灰色关联分析：通过计算系统中各因素之间的灰色关联度，可以分析它们之间的相互关系和影响程度。
灰色关联分析用于确定因素间的相似性或相关性，常用于因素筛选、预测和决策等方面。
3. 灰色建模：灰色系统理论提供了多种建模方法，如灰色预测模型、灰色决策模型等。
这些模型基于灰色系统的特征和数据，通过对历史数据的分析和挖掘，对系统的未来发展进行预测或决策。
4. 灰色聚类：灰色聚类是一种基于灰色关联度的聚类方法，它根据各样本之间的相似程度进行分类或分组。
5. 灰色决策：灰色决策方法用于在不确定和模糊的环境下做出决策。
它考虑了多种因素和不同方案的影响，通过综合评价和比较，选择最优的决策方案。
6. 数据预处理：在应用灰色系统理论之前，通常需要对数据进行预处理，如数据归一化、灰色生成等，以使数据符合灰色系统的要求。
总的来说，灰色系统理论提供了一种处理不确定性和模糊性问题的方法，它通过对系统中部分已知信息的分析和利用，推测和预测系统的整体行为和发展趋势。
需要注意的是，灰色系统理论并非适用于所有情况，具体应用时需要根据问题的特点进行选择和调整。
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ˆ (a1 , a2 ,...,an b1 , b2 ,...,bn1可以 )T 则微分方程的系数向量为：a 1 T ˆ 通过最小二乘法求解 ；式中 a ( A B ) ( A B ) ( A B) T y N A B 为由( A ， B) 组成的分块矩阵。
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10.1.2 灰色系统的特点
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不 确定性系统的研究方法，如表10.1所示。研究对象都具 有不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确 定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型适用范围分析 （一）作为预测模型，常用GM(n, 1)模型，即只有一个 序列变量的GM模型。这是因为对社会、经济、农业等 系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析 和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列。 （二）作为状态模型，常用GM(1, h)模型。因为它可以 反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响。当然，这 需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析， 以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中。但 GM(1, h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一 阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相 互作用。
当j=3时有
(10.2)
a ( n) ( xi(1) , t ) a ( n1) ( xi(1) , t 1) a (n1) ( xi(1) , t )
(10.3)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
再构造如下累差矩阵A，累加矩阵B及常向量yn
..., a (1) ( x1(1) ,2) (1) (1) ..., a ( x1 ,3) ... ... (1) (1) ..., a ( x1 , n)
(10.4)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
1 (1) (1) (1) (1) ( x (2) x (1)), x (2) ... x (2) 1 1 2 n 2 1 (1) (1) ( x (1) (3) x (1) (2)), x (3) ... x 1 1 2 n (3) B 2 (10.4) ... ... ... ... 1 (1) (1) (1) (1) ( x1 (n) x1 (n 1)), x2 (n) ..., xn ( n) 2
( 0)
(1) i i k 1 ( 0) i
i
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
当j=1时有
a (1) ( xi(1) , t ) xi(1) (t 1) xi(1) (t ) xi(0) (t ) (10.1) 当j=2时有
a ( 2) ( xi(1) , t ) xi(0) (t 1) xi(0) (t )
数据挖掘技术与应用
第10章 灰色系统理论与方法
本章提纲
10.1
灰色系统的基础理论 灰色预测模型
灰色聚类分析 灰色综合评价方法 小结
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10.2
10.3 10.4 10.5
10.1灰色系统的基础理论
10.1.1 灰色系统理论介绍 10.1.2 灰色系统的特点 10.1.3 灰色系统建模与适用范围
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20 世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统 学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术 报告中首次使用了“灰色系统”一词。1982年，邓聚龙 发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系 统的控制问题”等引起了高度的重视，美国哈佛大 学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特 （Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多 的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探 索灰色系统理论及其应用研究。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
)i＝1, 2, …, h; t=1, 2,…, N； 定理：给定下列序列： X i (t , 1) 2,…, h; t=1, 2, …, N； (t ) 有相应的一阶累加序列： ,Xii(＝ 1, x (t ) x (k ) 其中： 为一次累加序列；并有相应的多次累差 ( j ) 2, (t ) , h；t=1, 2, …, N；j=1, 2,…, m。 序列： , i＝ a1, (x … , t )
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展 变化的规律。这是因为，客观系统所表现出来的现象尽 管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律， 是系统整体各功能间的协调统一。因此，如何通过散乱 的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要。 灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱 化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色 数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的 可能变化状态。灰色系统理论认为微分方程能较准确地 反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通 过方程就能够基本反映事件的变化规律。
a ( n 1) ( x1(1) ,2), a ( n 2) ( x1(1) ,2), ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , 3 ), a ( x 1 1 ,3), A ... ... ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , n ) a ( x 1 1 , n)
a ( n ) ( x1(1) ,2) ( n ) (1) a ( x1 ,3) yn ... ( n ) (1) a ( x1 , N )
(10.6)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
若记h个序列n阶微分方程所表达的动态模型，即GM(n, h)模型为：
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色系统GM(n, h)建模 灰色建模是进行灰色预测与灰色决策的基础，其建 模过程可分为五步：语言模型、网络模型、量化模型、 动态模型、优化模型。五步建模过程事实上是信息不断 补充，系统因素及其关系不断明确，明确的关系进一步 量化，量化后关系进行判断改造的过程，是系统由灰变 白的过程。
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10.2 灰色预测模型
10.2.1 建立灰色预测模型 10.2.2 灰色预测模型实例
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10.2.1 建立灰色预测模型
灰色预测是指基于灰色动态模型GM(1, 1)的预测，灰色 预测模型一般指GM(1, 1)模型。数列灰色预测的步骤如 下： 第一步：级比检验，建模可行性分析。 对于给定序列 X ，能否建立精度较高的GM(1,1)预测模 ( 0) ) 型，一般可用 X (0)的级比 (k的大小与所属区间，即其 覆盖来判断。 事前检验准则：设 X x 1, x 2,...,x ,n x (0) (k ), x (0) (k 1) X (0)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
第二步：数据变换处理 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容 覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择 数据变换处理后能够进行GM(1, 1)建模。通常的数据变 换有平移变换、对数变换、方根变换。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性， 而是有其特定的建模条件。灰色模型的特点在于其建模 机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色 序列生成找寻数据演变的规律性。在进行灰色系统建模 前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰 指数规律。灰色系统的模型GM(n, h)是以灰色模块概念 为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。其中 n 表示 微分方程阶数， h 表示参与建模的序列个数，用得较多 的是GM(1, 1)模型。GM(n, h)建模原理如下：
题
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10.1.2 灰色系统的特点
灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的 “小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通 过序列生成寻求现实规律。其特点是“少数据建模”。 与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明 确，内涵不明确”的对象。比如：到2050年，中国要将 总人口控制在15亿到16亿之间，这“15到16亿之间”就 是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要 问到底是哪个具体值，则不清楚。灰色系统理论与概率 论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用 方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良 好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
10.1.2 灰色系统的特点
表10.1 灰色系统与概率、模糊的对比
概率与数理 统计 模糊数学 样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性 ”问题 人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性” 问题 既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问