灰色系统理论简介
灰色预测理论详解
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
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灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
灰色系统简介
灰色系统简介灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20世纪80年代。
邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。
1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。
他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。
事实上，灰色系统的概念是由英国科学家艾什比（W·R·Ashby）所提出的“黑箱”（Black Box）概念发展演进而来，是自动控制和运筹学相结合的产物。
艾什比利用黑箱来描述那些内部结构、特性、参数全部未知而只能从对象外部和对象运动的困果关系及输出输入关系来研究的一类事物。
邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。
所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。
灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。
灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域展示了极为广泛的应用前景。
灰色系统理论介绍
灰色系统理论介绍1）两个概念：累加法生成数（AGO ）和累减法生成数（IAGO ）（1）累加法生成数1-AGO 指一次累加生成。
记原始序列为{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),...,()X x x x n = 一次累加生成序列为 {}(1)(1)(1)(1)(1),(2),...,()X x x x n =其中， (1)(0)(1)(0)0()()(1)()k i x k x i x k x k ===-+∑（2）累减生成数（IAGO ）是累加生成的逆运算。
记原始序列为{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),...,()X x x x n = 一次累减生成序列为 {}(0)(0)(0)(0)(1),(2),...,()X x x x n = 其中， (0)(1)(1)()()(1)x k x k x k =--规定(1)(0)0x = 2）GM （1，1）模型符号的含义：表示一阶、一个变量的灰色系统模型。
令(0)X表示需要建模的序列，(1)X 为(0)X 的1-AGO 序列，则有(1)(0)0()()k i x k x i ==∑ 定义(1)Z 为(1)X 的紧邻均值（MEAN ）生成序列：(1)(1)(1)()(1)()2x k x k z k +-=则可建立如下灰微分方程：(0)(1)()()x k az k b += 记(,)Ta b a ∧=，则灰微分方程的最小乘估计参数列满足下式：1()T T n B B B Y a∧-=其中，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z B z z n ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ (1)(1)(1)(2)(3)...(4)n x x Y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称(1)(1)dx ax b dt +=为微分方程(0)(1)()()x k az k b +=的白化方程，也称为影子方程。
综上所述，则有（1）白化方程(1)(1)dx ax bdt +=的解也称为时间响应函数：(1)(1)()((0))at b b t x e a a x ∧-=-+（2）GM （1，1）灰色微方程(0)(1)()()x k az k b +=的时间相应序列为(1)(1)(1)(0)ak b b k x e a a x ∧-⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦，k=1，2，3…n （3）取(1)(0)(0)(1)x x =，则有 (1)(0)(1)(1)ak b b k x e a a x∧-⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦，k=1，2，3…n （4）将值还原得到 (0)(1)(1)(1)(1)()k k k x x x ∧∧∧+=+- 上式即为预测方程。
灰色系统理论简介1
四. 灰色系统模型
GM(1,1)模型的发展四阶段(4)
阶段四：进化阶段
打破发展系数(-2,+2)的范围； 提出了GM(1,1| , r )模型及其推理模型； 模型的最新阶段。
四. 灰色系统模型
4、GM(1,1)模型的建模步骤（1）
第一步：级比检验、建模可行性分析
四. 灰色系统模型
4、GM(1,1)模型的建模步骤（2）
第三步：GM(1,1)建模
(0)
GM(1,1)模型 x 列为
(k ) az (1) (k ) b 的时间响应序
,n
b ak b ˆ (k 1) ( x (1) )e ， k 1,2, x a a 还原值
(1) (0)
二、灰色关联分析技术（3）
1. 点关联度(续) 如果
( x0 (k ), xi (k ))
n
m ax 0i (k ) m ax
( x0 , xi ) k ( x0 (k ), xi (k ))
k 1
max max max 0i (k ) 为两极最大 其中 0i (k ) x0 (k ) xi (k ) 为绝对差， i k 差， 为分辨系数, (0,1) ,一般地,取 0.5 ， 则 ( x0 , xi ) 满 足灰关联四公理 ( x0 , xi ) 上述定义的 ( x0 (k ), xi (k )) 称为 k 点灰色关联系数， 称为灰色关联度。
分布建模以预测跳变点未来的时分布称为灾变灰预测, 或异 常值灰预测。通俗的说, 即为对一定时间内是否发生灾变, 或某种异常的数据可能发生在哪些年代的预测。
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
灰色系统理论
灰色系统理论简单介绍灰色系统法理论就是某一个系统内部各个因素之间的关系不是非常的明确。
例如：在农业生产中，生产作物的生长情况与农药、土壤以及气候等条件之间的关系。
我们对于这一系统内这些因素之间的关系不是非常的了解，所以这就叫作一个灰色系统。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。
由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
相关理论对因素间关联度的分析：对数据进行变换取消数据的纲量，使数据具有可比性，以保证建模的质量。
对数据变换的方法有：1、初值化变换 f(x(k))==y(k), k=1,2,…,n ()(1)x k x 2、均值化变换 f(x(k))=1()1(),()nk x k y k x x k n x===∑3、百分比变换 ()(())()()max kx k f x k y k x k ==4、倍数变换 ()(())(),()0()min min k kx k f x k y k x k x k ==≠5、归一化变换 其中x 为大于零的某个值0()(())()x k f x k y k x ==06、极差最大之化变换 ()(())()min ()max ()k kx k f x k y k x k x k -==7、区间之化变换 ()(())()min ()max ()min ()k k k x k f x k y k x k x k x k -==-某一时刻的比较数列为x =i {}()1,2,...,((1),(2),...,()),1,2,...,i i i ix k k n x x x n i m ===参考书列为x =o {}0000()1,2,...,((1),(2),...,())x k k n x x x n ==称 （1）式 000()()()()()()()()()maxmax minmin maxmax o s s s t s tii ss tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+-为比较数列x 对参考数列x 在时刻k 的关联系数，其中为分辨系数。
灰色系统理论
灰色系统理论及其在农业上的应用1、灰色系统1.1：灰色系统理论的概念1.2：灰色系统理论的基本原理1.3：灰色系统理论的主要内容 1.1、灰色系统理论的概念及研究对象灰色系统是按颜色的深浅形容信息的明确程度。
我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、表示部分信息不明确。
相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分” 已知信息的生成、开发，实现对现实世界的确切描述和认识。
1.2、灰色系统理论的基本原理公理1—差异信息原理：“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理差异信息原理：差异信息原理公理2—解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非解的非唯一性原理：公理解的非唯一性原理唯一的。
公理3—最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分开发利最少信息原理：公理最少信息原理用已占有的“最少信息”。
公理4—认知根据原理：信息是认知的根据。
认知根据原理：公理认知根据原理公理5—新信息优先原理：新信息认知的根据。
新信息优先原理：公理新信息优先原理公理6—灰性不灭原理：“信息不完全”（灰）是绝对的。
灰性不灭原理：公理灰性不灭原理 1.3、灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起一门新兴学科的结构体系。
其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系，下面展开讨论灰色关联分析。
2、灰色关联分析及其农业应用2.1：灌溉用水量变化趋势的灰色关联分析2.2：多目标决策灰色关联投影法在水利工程开发中的应用 2.3:用灰色关联法对制造业信息化投入产出进行分析2.1、灌溉用水量变化趋势的灰色关联分析众所周知，灌溉用水量是反映灌区经营管理水平的一个主要经济指标，它的变化一方面说明了气候因素的影响，另一方面又是灌区作物种类及其种植面积变化的具体体现，还是政府农业政策的“晴雨表”。
走向世界的灰色系统理论
走向世界的灰色系统理论1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
现实世界中普遍存在的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，为灰色系统理论提供了十分丰富的研究资源。
目前，美国、英国、德国、法国、日本、罗马尼亚、澳大利亚、加拿大、匈牙利、波兰、俄罗斯、南非、土耳其、荷兰、伊朗、韩国、朝鲜和我国港澳台地区等有许多知名学者从事灰色系统的研究和应用。
1989年在英国创办的英文版国际学术刊物《灰色系统学报》（The Journal of Grey System）已成为《英国科学文摘》（SA）、《美国数学评论》（MR）和《科学引文索引》（SCI）等重要国际文摘机构的核心期刊；1997年在台湾创办的中文版学术刊物《灰色系统学刊》，2004年改为英文版，刊名为“Journal of Grey System”。
2010年2月，英国著名期刊出版集团Emerald董事会决定，支持南京航空航天大学灰色系统研究所创办新的国际期刊“Grey Systems: Theory and Application”。
全世界有数千种学术期刊接受、刊登灰色系统论文；近年来，系统与控制世界组织会刊Kybernetes (Emerald出版集团，SCI源期刊)先后出版了十多期灰色系统专辑；美国计算机学会会刊、台湾《模糊数学通讯》、南京航空航天大学学报（英文版），海洋出版社、河南大学出版社、华中理工大学出版社、Springer-Verlag 等出版了灰色系统专辑和论文集。
国内外许多著名大学开设了灰色系统理论课程。
在南京航空航天大学，不仅博士和硕士研究生开设了灰色系统理论课程，灰色系统理论作为全校各专业的公共选修课受到同学们的欢迎。
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灰色系統理論簡介一、什麼是灰色系統二、什麼是灰色系統理論三、灰色系統理論建立的歷史背景四、灰色系統理論的主要內容五、灰色系統理論的兩條基本原理六、灰色系統的應用範疇七、灰色系統的優點八、灰色系統的應用實例一、什麼是灰色系統（Grey System）灰色分析全名為灰色系統理論分析（Grey System Theory），是由中國鄧聚龍教授於1982年在國際經濟學會議上提出，該理論主要是針對系統模型之不明確性，資訊之不完整性之下，進行關於系統的關聯分析（Relational Analysis）、模型建構（Constructing A Model）、借由預測（Prediction）及決策（Decision）之方法來探討及瞭解系統。
自然界對人類社會來講不是白色的(全部都知道)，也不是黑色的(一無所知)，而是灰色的(半知半解)。
人類的思考、行為也是灰色的，人類其實是生存在一個高度的灰色信息關係空間之中，例如：人體系統、糧食生產系統等。
部分信息已知，部分信息未知的系統，稱為灰色系統。
控制論中主要以顏色命名，常以顏色之深淺表示研究者對內部信息（information）和對系統本身的了解及認識程度之多寡，黑色，表示信息缺乏；白色，表示信息充足；而介於白色（W）系統與黑色（B）系統之間，其信息部份已知，信息部分未知的這類系統便稱之為灰色（G）系統。
二、什麼是灰色系統理論灰色系統理論是研究灰色系統分析、建模、預測、決策和控制的理論。
它把一般系統論、信息論及控制論的觀點和方法延伸到社會、經濟和生態等抽象系統，並結合數學方法，發展出一套解決信息不完全系統（灰色系統）的理論和方法。
灰色系統理論分析具有溝通社會科學及自然科學的作用，可將抽象的系統加以實體化、量化、模型化及做最佳化。
三、灰色系統理論建立的歷史背景1948年，美國數學家申農提出『信息論』，學者維納（Weiner）發表『控制論』一書。
1951年，巴黎舉行了第一屆國際會議，確認了控制論是一們新興的學科。
1968年，奧地利生物學加倍塔朗菲發表了--『一般系統理論－基礎、發展和應用』，正式確定了一般系統理論。
四、灰色系統理論的主要內容信息不完全是灰色系統的特徵，因此研究灰色系統的關鍵是：（一）、如何處理灰元信息不完全的元素，稱之為灰元或灰參數。
（二）、如何使系統結構上、模型上、關聯上由灰變白，或使系統的白度增加（又稱淡化或白化）。
灰色系統理論就是從這兩方面來發展討論的。
通過白化，我們對系統的認識變由知之不多到知之較多，由知之較多再到認識其變化規律，最後從變化規律中提取出所需要的信息。
灰色模型是灰色系統理論的核心，是灰色預測、決策、控制的基礎。
利用灰色模型及其他理論，可分析事物的可控性、可觀性、可達成性，說明哪些因素是可控性的，哪些是不可控性的；哪些是將要發生的，哪些是將要消滅的；哪些是需要扶持的，哪些是要制止的；從而為系統迅速、正確地提供決策。
灰色系統理論的主要內容有：（一）、GM模型（二）、灰色預測（三）、灰關聯分析（四）、灰色統計與聚類（五）、灰色決策（六）、灰色控制五、灰色系統理論的兩條基本原理（一）、信息不完全原理（二）、過程非唯一原理六、灰色系統的應用範疇灰色系統的應用範疇大致分為以下幾方面：（一）、灰色預測1、人口預測；2、初霜預測；3、災變預測….等等（二）、灰色關聯度分析（三）、灰色決策（四）、灰色預測控制現實世界中，許多系統即使是有大樣本，其分布也不一定是典型的，非典型的隨機過程是難以用統計方法處理的。
且現實中的許多灰系統，因為沒有物理原型，信息難以完全判斷，而且數據很少，這就難以用統計方法處理。
七、灰色分析的優點（一）、不需要大量的樣本。
（二）、樣本不需要有規律性分布。
（三）、計算工作量小。
（四）、定量分析結果與定性分析結果不會不一致。
（五）、可用於近期、短期，和中長期預測。
（六）、灰色預測精準度高。
八、灰色系統的應用實例（一）應用灰色系統理論對李福恩十項全能成績的因素分析與成績預測之探討（作者：沈啟賓、莊艷惠）。
（二）攻防技術灰色關聯分析與階段訓練目標設定之探討－國泰女子籃球隊（作者：王冷、沈啟賓）。
（三）2000年雪梨奧運女子跆拳道49公斤以下級比賽之技戰術分析與探討（作者：洪佳君）。
現分述如下：例（一）：應用灰色系統理論對李福恩十項全能成績的因素分析與成績預測之探討－－本研究期以體育界優秀選手李福恩過去十年來十項全能運動的成績來進行以下目的之探討：1、用關聯分析法探討各單項與總分之間的相互關係及他們在全能運動訓練中應佔的地位，對於科學安排、控制訓練全部過程及其十項全能成績能提供量化的參考。
2、以李福恩過去十年的成績作為依據，應用GM(1，1)建模的方法預測其未來五年各單項與總分之成績，作為其未來各階段訓練目標之精確定量描述，以供訓練過程中的檢查評定，期能有助於訓練目標的實現。
本研究之說明如下：不少運動員，儘管他們也像世界優秀運動員一樣多年地從事艱苦的訓練，經歷了無數次精疲力竭的競賽，但他們卻無法取得與世界優秀運動員相同的成績。
這就是說，在現代運動訓練中，教練與運動員不僅僅是使用身體，同時還要使用智慧和科學。
在體育界，亦有人應用灰色系統理論對李福恩十項全能成績作因素分析與成績之預測，也就是說利用灰色系統理論來找出對增加李福恩十項全能的訓練之最有效的項目。
運動訓練的基本任務是充分地挖掘運動員的競技能力，最大限度地提高其競技能力。
男子十項全能運動被人譽為「鐵人」項目，其比賽是以10個單項得分的總合決定名次。
而總分與各單項之間以及影響總分成績的各個單項之間是相互促進、相互制約，它們既對立又統一，共處於一個統一體中，如果將十項全能總分的提高過程看成是一個系統的話，那麼影響十項全能總分的因素中部分因素是已知的，而部分因素是未知的。
例如對影響總分的身體素質、運動能力這些因素是明確的，用灰色控制系統理論的專有名詞而言，這些因素是「白數」；然而，各單項在全能運動訓練中應佔的地位及它們對總分成績所起的作用尚屬未知，我們以灰色系統理論的觀點來看，信息部分明確，部份不明確的系統乃灰色系統，因而可把十項全能總分提高的過程看成是一個灰色系統。
為了弄清楚系統中各因素的內在聯系及其發展規律，我們常用的定量方法是數理統計如迴歸分析、方差分析、主成份分析等，儘管這些方法解決了許多實際問題，但也還存在某種侷限性，因為它往往要求大量的樣本，然而這在運動訓練中有時又很難實現，尤其是優秀運動員的研究，往往難以取得足夠的樣本，而灰色系統理論在1982年由大陸學者鄧聚龍教授在國際經濟會議上發表提出一種新的分析方法，即系統關聯度分析，其根據因素間發展態勢的相似或相異程度來衡量因素間的關聯度，這種方法對樣本的多少幾乎沒有要求（n不少於3），也不需要典型的分佈規律，計算量少，且不至於出現關聯度的量化結果與定性分析不一致的情況；再系統模型的建立方面亦有獨到之處；對於任一隨機量值都看作是在一定範圍，一定時區內變化的灰色量，在處理上，透過原始數據的整理運算來尋找規律，這是一種就數找數的現實規律，即便是沒有明顯規律的數據，也可被生成有規律的數據。
學者應用關聯度分析法探討各單項與總分之間的相互關係及它們在全能運動訓練中應佔的地位，對於科學安排、控制訓練全部過程及儘快提升其十項全能成績提供量化的參考；以李福恩過去十年的成績作為依據，應用Gm（1,1）建模的方法預測其未來五年各單項與總分之成績，做為其未來各階段訓練目標之精確定量描述，以供訓練過程中的檢查評定，更有益於訓練目標的實現。
本研究是以總分為參考函數X0（k），10個單項為比較函數：設100公尺X1（k）；跳遠X2（k）；鉛球X3（k）；跳高X4（k）；400公尺X5（k）；110中欄X6（k）；鐵餅X7（k）；撐竿跳X8（k）；標槍X9（k）；1500公尺X10（k），依關聯度分析之方法先求關聯係數，再根據係數值求關聯度，然後再作標準值化（無量綱化）。
研究結果：透過關聯分析，得知對李福恩十項總分影響的項目中（X1）100公尺是第一位，其次為（X5）400公尺，其餘順序是（X3）鉛球；（X6）110中欄；（X2）跳遠；（X9）標槍；（X4）跳高；（X7）鐵餅；（X10）1500公尺；（X8）撐竿跳高。
例（二）：攻防技術灰色關聯分析與階段訓練目標設定之探討－國泰女子籃球隊－－本研究蒐集國泰女子籃球隊參加82年第十六屆瓊斯盃籃球賽，以所遭遇的6個隊伍、7場比賽時，11種籃球攻防技術表現得失分資料，且依時間順序，列成動態數列，以灰色系統關聯理論來分析探討各場次勝率與11種籃球攻防技術之間的動態發展關聯，以了解11種攻防技術在國泰女子籃球隊中應佔地為及其對比賽勝率所起的作用，並預測其未來攻防技術表現。
本研究目的為：1、應用關聯分析法探討各種攻防技術與比賽勝率之間的相互關係及他們在國泰女籃隊運動訓練過程中應佔的地位，對於科學安排、控制訓練全部過程及對提昇其比賽成績提供量化的參考。
2、以國泰女籃隊參加第十六屆瓊斯盃的比賽攻防技術表現為依據，應用GM（1，1）建模的方法預測未來階段訓練之精確定量描述，以提供教練訓練過程中作為檢查評定的依據，以期有助於訓練目標的實現與實力的提昇。
例（三）：2000年雪梨奧運女子跆拳道49公斤以下級比賽之技戰術分析與探討－－本研究目的為探討2000年雪梨奧運女子跆拳道49公斤以下級，共計12位選手，15場比賽之：1、探討影響比賽勝率的跆拳道技術有哪些？2、探討主動攻擊與被動攻擊之差異性。
以下內容為探討主動攻擊與被動攻擊之動作關聯分析其步驟如下：（1）、將比賽成績與十種綜合技術項目原始資料依時間順序列成動態數列，並找出平均數。
（2）、將原始數據標準化（無量綱化）。
（3）、列出對應差數列表，並列出最大值與最小值。
（4）、求關聯係數。
（5）、求關聯度。
（6）、排關聯序。
(因數據太多只取五個動作及五個國家為例)X1 :左旋踢 A :澳洲X2 :右旋踢 B :中華台北X3 :左上端旋 C :古巴X4 :右上端旋 D :丹麥X5 :左前腳旋 E :菲律賓步驟（1）：被動攻擊表現數列及平均成績表步驟（2）：主動攻擊標準值化數列表被動攻擊標準值化數列表步驟（3）：主動攻擊對應差數列表被動攻擊對應差數列表步驟（4）：主動攻擊關聯係數表被動攻擊關聯係數表步驟（5）：主動攻擊關聯度被動攻擊關聯度步驟（6）：關聯度直接反應各個比較數列對於參考數列的優劣關係,因此主動攻擊關聯度按大小排列為：X2(0.8716)>X1(0.7244)>X4(0.687)>X3(0.6068)被動攻擊關聯度按大小排列為：X1(0.6574)>X2(0.643)>X5(0.5162)參考文獻：王冷、沈啟賓（1993）。