灰色系统理论及其应用

5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
将时刻 k 2,3,, n 视为连续变量t 则数列 x(1) 就可视为时间 t 的函数，x(1) x(1) (t) GM(1,1) 的白化型为：
dx(1) ax(1) (t) b dt
5 灰色模型
5.2 GM(1, N)模型
GM (1, N) ：模型是一阶的，包含N个变量的灰色模型
x(1) 的灰导数为： d (k) x(0) (k) x(1) (k) x(1) (k 1), k 2,3,, n
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
x(1) 的紧邻均值序列为： z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n))
z(1) (k) 0.5x(1) (k) 0.5x(1) (k 1), k 2,3,, n
1 n
n
( k
k 1
)2
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（5）小误差概率合格模型： 小误差概率为：
p P k 0.67445S1
给定 p0 0, p p0 称模型为小误差概率合格模型
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
常用精度等级：
6 灰色预测
6.3 Verhulst GM (2,1) DGM
2 2
可容覆盖区域：(e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理：
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
2 2
(k ) (e n1 , e n2 )
数据列可用为模型的预测数据 数据列需进行变换处理
平移变换
灰色系统理论 及其应用
1 灰色系统概论
灰色数
（原始数据列)
生成数
（数据处理）
生成函数
灰 色
关联度分析
系
GM (1,1)
统
理
灰色预测 GM Verhulst
论 GM (2,1)
2 关联分析
2.1数据变换技术
设有序列： x (x(1), x(2),, x(n)) 则称映射： f : x y
f (x(k)) y(k), k 1,2,, n
4 生成数
2.累减生成 IAGO：（累减生成是对累加生成数的还原）
r次累减生成 r IAGO：
x(r1) (k) x(r) (k) x(r) (k 1), k 2,3,, n 3.均值生成：
原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
z(0) (k) ax(0) (k) (1 a)x(0) (k 1)
设：rij 表示比较数列 x j 对参考数列 yi 的关联度 可构造关联度矩阵： R (rij )ml
根据矩阵中各元素的大小，判断起主要作用的优势因素
4 生成数
原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
1.累加生成 AGO ：
（1）一次累加生成 1 AGO ：
比较序列：xi (xi (1), xi (2),, xi (n)), i 1,2联分析
2.关联度：
ri
1 n
n
i (k)
k 1
为数列 xi 对参考数列 x0 的关联度
3 优势分析
（参考数列、比较因素都不止一个） 参考序列m个：y1, y2 ,, ym 比较序列l个：x1, x2 ,, xl
k
4.倍数变换：f (x(k)) x(k) y(k),min x(k) 0
min x(k)
k
k
2 关联分析
5.归一化变换： f
( x(k ))
x(k) x0
y(k ),
x0
0
6.极差最大值化变换：
x(k) min x(k)
f (x(k))
k
y(k)
max x(k)
k
7.区间值化变换：
x(k) min x(k)
为邻值生成数。
生成系数/权：a 0,1
5 灰色模型
5.1 GM(1,1) 模型
原始数列： x(0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n)) 1 AGO 生成序列： x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
k
其中： x(1) (k) x(0) (i), k 1,, n ia
f (x(k))
k
y(k)
max x(k) min x(k)
k
k
2 关联分析
2.2关联分析
1.关联系数：
i
(k)
min s
min t
x0 (t)
xs
(t)
max max
s
t
x0 (t)
xs
x0 (k)
xs
(k)
max max
s
t
x0
(t)
xs
(t)
(t)
参考序列： x0 (x0 (1), x0 (2),, x0 (n))
,k
2,3,, n
a
a
(0)
(1)
(1)
x (k 1) x (k 1) x (k), k 2,3,, n
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
3. 模型预测精度检验：
（1）残差合格模型：
(0)
残差： (k) x(0) (k) x (k)
(k )
0.2 0.1
(0)
相对误差： k
N
灰微分方程模型：
x(0) 1
(k
)
az1(1)
(k
)
bi
x
(1)
i
(k
)
i2
矩阵方程： Y Bu
白化型微分方程：
dx1(1) dt
ax1(1) (t)
N i2
bi
x
(1)
i
(t
)
一阶N变量微分方程
6 灰色预测
6.1 灰色预测的方法
GM (1,1)
具有较强指数规律的序列， 只能描述单调的变化过程
Verhulst
GM (2,1)
DGM
适用于非单调的摆动发展序 列或具有饱和状态的S形序列
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤 GM(1,1)
1.数据的检验与处理：
参考数列： x(0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
数列的级比：
(k)
x(0) (k 1) x(0) (k)
为序列x到y的数据变换
2 关联分析
2.1数据变换技术
1.初值化变换： f (x(k)) x(k) y(k), x(1) 0 x(1)
2.均值化变换： f (x(k)) x(k) y(k), x 1 n x(k)
x
n k 1
3.百分比变换： f (x(k)) x(k) y(k)
max x(k)
(0) (k)
x(0) (k)
x(0) (k) x x(0) (k)
(k) , k 1,2,, n
平均相对误差：
1 n
n k 1
k
给定 a, a, k a ，则为残差合格模型
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（2）级比偏差值检验：
级比偏差： (k) 1 1 0.5a (k)
1 0.5a
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
（4）均方差比较合格模型：
原始序列： x(0)
(0)
预测序列： x
残差序列： (0)
均方差比值：C S2 S1
给定 C0 0, C C0 称模型
均方差合格模型
x
1 n
n k 1
(0)
xk
S12
1 n
n
(0)
( xk
k 1
x)2
1 n
n
k
k 1
S
2 2
k
x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
（2）r次累加生成 r AGO： k x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia x(r) (x(r) (1), x(r) (2),, x(r) (n))
x
(0)
(3)
az
(1)
(3)
b
x(0) (n) az(1) (n) b
u (a,b)T
GM(1,1) 的矩阵方程为：Y Bu
z(0) (2)1
B
z
(0)
(3)1
z
(
0)
(n)1
最小二乘法求得：u (a, b)T (BT B)1 BTY
J (u) (Y B u)T (Y B u) 达到最小值时
y(0) (k) x(0) (k) c, k 1,2,, n
2 2
y (k) (e n1 , e n2 )
6 灰色预测
6.2 灰色预测的步骤
2.建立模型： GM (1,1) 的微分方程为： dx(1) ax(1) b dt
解得预测值：
(1)
x (k
1)
(x(0) (1)
b )eak
b
1. Verhulst 的微分方程：
dx(1) ax(1) b(x(1) )2 dt 2. GM (2,1) 的微分方程：
d 2 x(1) dt 2
a1
dx(1) dt
a2 x(1)
b
3. DGM 的微分方程：
d 2 x(1) a dx(1) b