灰色系统
灰色系统理论简介
通过灰色关联分析等法，研究社会问题的内在关联和影响因素，为解决社会 问题提供思路。
环境领域
气候变化预测
利用灰色系统理论对气候数据进行处理和分析，预测未来气候变化趋势，为应对气候变化提供依据。
环境污染评估
通过构建灰色预测模型，评估环境质量状况和污染发展趋势，为环境治理提供参考。
农业领域
行预测，为空气污染防治提供决策支持。
案例三：灰色系统理论在农业生产中的应用
总结词
利用灰色关联分析和灰色预测模型指导农业生产，提 高农业产量和经济效益。
详细描述
农业生产是一个复杂的系统，受到多种因素的影响， 而灰色系统理论可以为农业生产提供有效的指导。通 过灰色关联分析和灰色预测模型，可以分析农业系统 中各因素之间的关联程度和未来发展趋势，为农业生 产提供科学依据。例如，在农作物种植中，可以利用 灰色系统理论分析气候、土壤等因素对农作物生长的 影响，制定合理的种植计划，提高农业产量和经济效 益。
灰色关联分析的优势在于 它能够处理不完全信息， 对数据量要求不高，且计 算简单。
ABCD
它通过比较各因素之间的 相似度，量化它们之间的 关联程度，从而为决策提 供依据。
在实际应用中，灰色关联 分析广泛应用于经济、社 会、工程等多个领域。
灰色预测模型
01
灰色预测模型是灰色系统理论中 用于预测未来发展趋势的方法。
发展历程
灰色系统理论经过多年的研究和发展，已经广泛应用于各个领域， 包括经济、管理、社会、环境等。
未来展望
随着信息技术和大数据的不断发展，灰色系统理论将会在更广泛的 领域得到应用和发展，同时也将面临更多的挑战和机遇。
02
灰色系统理论的核心概 念
灰色关联分析
灰色系统简介
灰色系统简介灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20世纪80年代。
邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。
1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。
他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。
事实上，灰色系统的概念是由英国科学家艾什比（W·R·Ashby）所提出的“黑箱”（Black Box）概念发展演进而来，是自动控制和运筹学相结合的产物。
艾什比利用黑箱来描述那些内部结构、特性、参数全部未知而只能从对象外部和对象运动的困果关系及输出输入关系来研究的一类事物。
邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。
所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。
灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。
灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域展示了极为广泛的应用前景。
灰色系统理论
进行最小二
3.06536]
第四步：确定模型为 dx1 0.0372 x1 3.06536 dt
时间响应式为
ˆ (k ) ( x (1) b )e a ( k 1) b 85.276151e0.0372 k 82.402151 X1 0 a a
第五步：求X1的模拟值
如何建立灰色系统 GM（1，1）模型？
GM(1,1)模型
G表示grey（灰色） M表示model（模型） GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。
定义1.1
设
X 0 ( x0 (1), x0 (2),, x0 (n))
X1 ( x1 (1), x1 (2),, x1 (n))
Z1 ( z1 (2), z1 (3),, z1 (n))
灰色系统理论的应用范畴？
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析； （2）灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测….等等； （3）灰色决策； （4）灰色预测控制。
灰色系统的分析方法？ ——进行关联分析
客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。 我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪 些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要 发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显 的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事 实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问 题是系统分析的关键和起点。 因素分析的基本方法过去主要采取回归分析等 办法，但是这种方法需要大量数据作为基础，计算 量大。而灰色系统理论采用的关联分析方法可以克 服这个弊端。 灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
灰色系统理论概述
灰色系统理论概述一、本文概述本文旨在对灰色系统理论进行全面的概述和探讨。
灰色系统理论，作为一种专门研究信息不完全、不明确、不确定系统的新兴学科，自其诞生以来，已经在众多领域，如经济管理、预测决策、生态环保等，展现出其独特的优势和强大的应用价值。
本文首先简要介绍了灰色系统理论的基本概念、发展历程和主要特点，然后详细阐述了灰色系统理论的核心内容，包括灰色预测、灰色决策、灰色关联分析等方面。
本文还将对灰色系统理论的应用领域和前景进行展望，以期能够为广大读者提供一个全面、深入的灰色系统理论概述，并激发更多学者和研究人员对该领域的兴趣和探索。
二、灰色系统理论的基本原理灰色系统理论是一种专门研究信息不完全、不明确的系统的理论。
它的基本原理主要包括灰色关联分析、灰色预测模型和灰色决策等。
这些原理的核心思想是利用已知信息，通过灰色理论的处理方法，挖掘系统的内在规律，从而实现对系统的有效描述和预测。
灰色关联分析是灰色系统理论中的一种重要方法。
它通过计算系统中各因素之间的关联度，揭示因素之间的内在联系和动态变化过程。
这种方法对于处理信息不完全、数据不规则的系统尤为有效，能够帮助我们更好地理解系统的结构和行为。
灰色预测模型是灰色系统理论的另一个核心原理。
它利用少量的、不完全的信息，通过建立灰色微分方程或灰色差分方程，实现对系统发展趋势的预测。
灰色预测模型具有预测精度高、计算简便等优点，广泛应用于经济、社会、工程等多个领域。
灰色决策是灰色系统理论在决策领域的应用。
它通过分析决策问题中的灰色信息，结合灰色关联分析和灰色预测模型等方法，为决策者提供科学、合理的决策依据。
灰色决策注重决策过程的系统性和整体性，有助于提高决策的科学性和准确性。
灰色系统理论的基本原理包括灰色关联分析、灰色预测模型和灰色决策等。
这些原理为我们提供了一种全新的视角和方法来理解和处理信息不完全、不明确的系统。
通过运用这些原理，我们可以更好地揭示系统的内在规律，实现对系统的有效描述和预测，为决策和实践提供有力支持。
灰色系统理论及其应用
灰色预测的步骤
灰色预测实例
预测对象：特种机器人研究室周总结 与计划未交人数。 周次 未交 人数 1 18 2 13 3 6 4 10 5 6
（8.1-8.15） （8.16-8.31） （9.1-9.15） （9.15-9.27） （9.28-10.11）
第一步 数据的检验与处理
x
(0)
(18,13, 6,10, 6)
六、灰色系统的应用
1、灰色系统在爬绳机器人上的应用 作为高空作业机器人,为了保证其运行可靠性,从 安全的角度要求对其气压系统工作可靠性进行预测, 确保系统安全。由于爬绳机器人工作过程状态可靠 性(主要对气源压力变化状态)具有一定的模糊灰色性, 采用传统预测方法很难对其进行较好的评价。
拟利用模糊灰色理论方 法对爬绳机器人工作可靠性 (主要对气源压力变化状态) 进行预测,即通过对系统气体 压力变化速率的分析, 通过置信度对系统可靠 性进行预测,根据气压变化对 空气压缩机进行控制,以保证 机械手与绳索之间有可靠夹 紧力。
7、关联分析： 灰色理论提出的灰关联度分析方法，是基于行 为因子序列的微观或宏观几何接近，以分析和确定 因子间的影响程度或因子对甚主行为的贡献测度而 进行的一种分析方法。灰关联是指事物之间的不确 定性关联，或系统因子与主行为因子的不确定性关 联，它根据因素之间发展态势的相似或相异程度来 衡量因素间的关联程度。由于关联度分析是按发展 趋势作分析，因而对样本量的大小没有太高的要求。 分析时也不需要典型的分布规律。而且分析的结果 一般与定性分析相吻合，具有广泛的实用价值。
五、识无穷尽公理，灰性不灭原理，自性相对原理, 解的非唯一性、信息可补充性等。 灰生成: 如层次转换,互补规律引用,内涵显露与转化、量化。 灰关联: 建立整体比较机制,克服两两比较的局限性。吸收 距离空间的量化特性,吸收点集拓扑空间的整体比较内 涵,升华成为灰关联空间。在灰关联空间中,可辨别系统 因子的权重,确定因子的序化关系,划分系统主行为。
灰色系统理论
灰色系统理论简单介绍灰色系统法理论就是某一个系统内部各个因素之间的关系不是非常的明确。
例如：在农业生产中，生产作物的生长情况与农药、土壤以及气候等条件之间的关系。
我们对于这一系统内这些因素之间的关系不是非常的了解，所以这就叫作一个灰色系统。
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。
由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
相关理论对因素间关联度的分析：对数据进行变换取消数据的纲量，使数据具有可比性，以保证建模的质量。
对数据变换的方法有：1、初值化变换 f(x(k))==y(k), k=1,2,…,n ()(1)x k x 2、均值化变换 f(x(k))=1()1(),()nk x k y k x x k n x===∑3、百分比变换 ()(())()()max kx k f x k y k x k ==4、倍数变换 ()(())(),()0()min min k kx k f x k y k x k x k ==≠5、归一化变换 其中x 为大于零的某个值0()(())()x k f x k y k x ==06、极差最大之化变换 ()(())()min ()max ()k kx k f x k y k x k x k -==7、区间之化变换 ()(())()min ()max ()min ()k k k x k f x k y k x k x k x k -==-某一时刻的比较数列为x =i {}()1,2,...,((1),(2),...,()),1,2,...,i i i ix k k n x x x n i m ===参考书列为x =o {}0000()1,2,...,((1),(2),...,())x k k n x x x n ==称 （1）式 000()()()()()()()()()maxmax minmin maxmax o s s s t s tii ss tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+-为比较数列x 对参考数列x 在时刻k 的关联系数，其中为分辨系数。
灰色系统
x ( r ) (k ) x ( r 1) (i ) x ( r 1) (k ) x ( r 1) (k 1) x ( r 1) (k )
i 1
k 1
x ( r ) (k ) x ( r 1) (i ) ( x ( r 2) ( j ))
i 1 i 1 j 1
1.3 灰色系统理论在建模中的应用
灰色系统理论在建模中被广泛用来处理数 据。与插值拟合相比，利用灰色模型处理数 据不仅对数据没有很强的限制，而且精度更 高，计算更简便。
§2 灰色GM(1.1)模型
• 2.1 灰色生成 • 2.2 GM（1.1）模型建模机理 • 2.3 GM(1.1)模型的精度检验
但是无论是现代控制理论还是经典控制理论， 它们都要依赖正确而精确的数学模型，否则， 一切都很难取得满意的结果。然而，在现实生 活中，有许多情况不大可能求得精确的数学模 型，如工业系统、生物系统、经济系统、社会 系统等。若得不出精确的数学模型，现代控制 理论的方法和手段就无法施行，因而，现代控 制理论对一些研究对象也鞭长莫及。 当人们对这些问题进行潜心研究时，查德 于1965年首创模糊理论，第一次用精确的数 学方式来分析和研究模糊量，取得了新的突破， 随后，模糊集合论迅速应用于控制领域，
灰色系统建模
§1 §2 §3 §4 §5 灰色系统理论概述 灰色GM(1.1)模型 序列光滑度的理论分析 灰色GM(1.1)优化模型分析 灰色模型的应用
§1 灰色系统概述
• 1.1 灰色系统理论的产生及发展动态 • 1.2 灰色系统的研究内容 • 1.3 灰色系统理论在建模中的应用
1.1 灰色系统理论的产生及发展动态
i 1 i 1 k k 1
(2 7)
灰色系统基本方法
由于关联度的分析方法是按发展趋势作分析，因此对样本 量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小， 且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一至的现象。 关联度分析的应用情况：农业经济，水利，材料科学，宏 观经济等．对抽象系统，社会现象等进行关联度分析，首先要 找准数据序列，而用什么数据才能反映系统的行为特征，是首 先要研究的．用某种数据来间接地表征系统行为，称为找映射 量．即找系统行为的映射量。
灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它们总是有整体功能 的,总是有序的.因此,它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖 掘它,然后利用它。
由于生成数据列有了较强的规律,有可能对变化过程做较 长时间的描述,因此,有可能建立微分方程.建立微分方程模型, 还要利用到灰色理论的其他成果,如:关联空间的知识,离散函 数的收敛,根据,离散函数的光滑度,灰导数,灰微分方程,平蛇等 概念。 以例说明灰色过程如何通过生成数来寻找规律 例:记x(0)(1) ,x(0)(2) ,x(0)(3), x(0)(4)其值如下： 序号 数据 １ １ x(0)(1) ２ ２ x(0)(2) ３ １.５ x(0)(3) ４ ３ x(0)(4)
对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系 统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如 ◆粮食产量的预测 ◆商品销售量发展变化的预测 ◆年平均降水量发展变化的预测 ◆人口的预测 ◆货运量的预测 ◆外贸额发展变化的预测 这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。 预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多 大。 ②灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值 将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测 即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们 的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结 果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(15.5,16.2,17.1,21.0,23.1)
第二产业产值为 (1), (2), (3), (4), (5))
(49.5,53.9,62.4,73.9,87.0)
第三产业产值为 (1), (2), (3), (4), (5))
(44.6,50.2,56.3,65.0,73.0)
资料来源：2006中国统计年鉴。
5.下面哪种预测是异常值预测：（）
A.区间预测 B.波形预测 C.灰色灾变预测 D.系统预测
6.当原始数据频频波动且摆动幅度较大时，往往难以找到适当的模拟模型，这时候可以考虑采用（）。
A.区间预测 B.波形预测 C.灰色灾变预测 D.系统预测
三、计算题
1.某地区棉布销售量数据序列为 =（ (1), (2), (3), (4), (5), (6)）=(4.9445,5.5828,5.3441,5.2669,4.5640,3.6524),其中， (k)(k=1,2,3 ，6)的单位为亿米，试作比例带预测。
以国内生产总值为系统特征序列，计算灰色关联度。
例3.3.1设序列 (1), (2), (3), (4), (5), (7))=(10,9,15,14,14,16)，
(1), (3), (7))=(46,70,98),试求其绝对关联度 。
例3.3.2 计算例3.3.1中 与 相对关联度。
复习思考题
一、选择题：
第1章 灰色系统的概念与基本原理
复习思考题
一、选择题：
1.灰色系统理论着重研究的对象是（）。
A．外延明确，内涵明确 B.外延不明确，内涵明确
C．外延明确，内涵不明确 D. 外延不明确，内涵不明确
2.下面哪个不是常用的不确定性系统的研究方法（）。
A.概率统计 B.模糊数学 C.灰色系统D.运筹学
第3章 灰色关联分析
例3.2.1 我国2001-2005年国内生产总值以及第一产业、第二产业、第三产业数据（单位：千亿元）分别如下：
国内生产总值为 (1), (2), (3), (4), (5))
(109.7,120.3,135.8,159.9,183.1)
第一产业产值为 (1), (2), (3), (4), (5))
1.灰色关联分析的基本思想是（）。
A.根据序列曲线几何形状的相似程度来判断联系是否紧密
B.通过回归分析来研究变量之间的关系
C.其基本思想与主成分分析一样
D.以上答案皆错
2.以下说法正确的是（）
A.对一个抽象的系统分析，首先要选准反映系统行为特征的数据序列
B.对一个抽象的系统分析，首先要选准系统行为特征的映射量
A.平均相对误差 和模拟误差都要求越小越好
B.关联度 要求越大越好
C.均方差比值C越大越好
D.小误差概率 越大越好
3.对于原始数据非常离乱，用什么模型模拟都难以通过精度检验的序列，无法给出其确切的预测值。这时考虑采用（）。
A.数列预测 B.区间预测 C.波形预测 D.系统预测
4.比例带为（）。
A.直线喇叭带 B.指数带 C.指数喇叭带 D.以上都不是
=（308.58,310,295,346,367）, =（195.4,189.9,189.2,205,222.7）
=（24.6,21,12.2,15.1,14.57）, =（20,25.6,23.3,29.2,30）
=（18.98,19,22.3,23.5,27.655）为相关因素行为序列，诗作优势分析。
A.初值化算子 B.均值化算子
C.区间值化算子 D.逆化算子
四、计算题
1.给定两数据序列 =（3.5，4.7，6.3，8.2，10）， =（3.2，5.1，7.0，8.6，10.4）
分别取 =0.3，0.5，0.7，用3.2节关联度模型计算 的关联度。
2.设序列 =（30.5，34.7，35.9，38.2，41）， =（22.1，25.4，27.1，28.3，31.5）
第4章 灰色聚类评估
例4.3.1 采煤方法的灰色聚类分析
采煤方法的选择，主要取决于煤矿地质构造和开采技术条件。不同煤矿（或同一煤矿不同地段）的地质开采条件等不同，使得所选择的采煤方法的技术水平和产生的经济效益也相差很大。为了提高煤矿企业的经济效益，必须选择技术适用、经济效益最好的采煤方法。如何对不同的采煤方法的优劣作出客观、定量的综合评价，定权灰色聚类分析方法提供了一种途径。
2001
2002
2003
2004
研制费用
496
779
1187
1025
488
255
157
110
87
79
第6章 灰色系统预测
复习思考题
一、选择题：
1.灰色预测是一种（）。
A.定性预测 B.定量预测 C.定性与定量相结合的预测 D.都不是
2.在通过对残差的考察来判断模型的精度过程中，以下说法中（）是错误的。
（这道题不确定有没有）例5.4.1 设有原始数据序列 =（60.7,73.8,86.2,100.4,123.3）试用全数据进行模拟，当补充新信息 (6)=149.5后，试建立新信息GM（1,1）模型和新陈代谢模型。
例5.6.1
设系统特征数据序列为 =(2.874,3.278,3.307,3.39,3.679)=
复习思考题
一、选择题：
1.下面的4个图像图同上题，若A,B,C,D中的白化权函数的4个转折点的坐标值依次均为1，2，4，5且分别代表全部4个指标隶属于给定的某一类的白化权函数，则A指标隶属于这一类的权重是（）。
A. B. C. D.
四、计算题
1、设有3个经济区，3个聚类指标分别为第一产业收入、第二产业、第三产业收入。第i个经济区关于第i个指标的样本值 （
该地区历年干热风发生的日期如下表6-2所示。若干热风发生在5月29日以前成灾，试根据表6-2进行预测。
年
1
2
3
4
5
6
7
月
6
5
6
6
5
5
6
日
3
25
7
1
29
26
25
年
8
9
10
11
12
13
14
月
5
6
5
5
5
5
5
日
27
4
24
31
28
25
25
2.某地区农民家庭平均每人每年棉布消费量数据序列为
=（ (1), (2), (3), (4), (5), (6)）=（5.43,3.90,3.93,4.43,3.97,2.77）,其中， (k)(k=1,2,3 ，6)的单位为m，试作包络带预测。
3.某市自行车销售量数据序列为： =（ (1), (2), (3), (4), (5), (6)）=(5.0810,4.6110,5.1177,9.3775,11.0574,11.3524),其中， (k)的单位为万辆，试作发展带预测。
A=（ ）= =
试构造相应的白化权函数并按高收入类、中等收入类、低收入类进行灰色变权综合聚类。
第5章 灰色系统模型
例5.2.1 设有原始数据序列 =（ (1), (2), (3), (4), (5)）=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679),试用GM(1,1)模型对 进行模拟。
相关因素数据序列为 =(7.04,7.645,8.075,8.53,8.774)=
试分别建立GM(1,2)和GM(0,2)模型。
例5.7.1 设某型鱼雷研制费用如下表所示，试用Verhulst模型进行模拟和预测。
表1 某型鱼雷研制费用表（单位：万元）
年份
1995
1996
1997
1998
1999
2000
某煤矿采用4种不同的采煤方法，即综采、高档普采、普采以及炮采。以这4种方法为聚类对象，取工作面单产（单位：万吨/（月ｘ面）），回采工效（单位：吨/工），设备投资（单位：万元）以及回采成本（单位：元/吨）作为聚类指标；按好、较好、差3类进行分类，每个聚类对象关于各聚类指标的观测值 如矩阵A所示。
A=（ ）=
试求其绝对关联度 。
3.设序列 =（30.5，34.7，35.9，38.2，41）， =（22.1，25.4，27.1，28.3，31.5）
试求其相对关联度 。
4.设 =（170.174，197，216.4，235.8）， =（57.55，70.74，76.8，80.7，89.85）
=（68.56，70，85.38，99.83，103.4）为系统特征行为序列，
C.系统分析，要明确系统行为特征的映射量和影响系统主行为的有效因素
D.以上答案皆正确
3.若 为经济要素，k为时间， (k)为因素 在时刻k的观测数据，则 (1)， (2) (n)）是（）
A.经济行为时间序列 B.经济行为指标序列
C.经济行为部门序列 D.经济行为横向序列
4.设 (1)， (2) (n)）为因素 的行为序列， 为序列算子且 (1) ， (2) (n) ），其中 (k) = (k)/ (1), (1) 0，k=1，2， ，n，则称 为（）