三维Euler方程的隐式间断有限元算法
欧拉方程的隐式间断有限元算法研究
欧拉方程的隐式间断有限元算法研究段治健【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)016【摘要】The implicit schemes for solving Euler equation are investigated on unstructured grids, including LU-SGS, GMRES and improved LU-SGS schemes. By Roe numerical flux and Van Albada typed limiter, the traditional LU-SGS and GMRES schemes are explored, and the improved LU-SGS scheme is developed by adding the error compensation of high order term. In addition, the transonic inviscid flow around NACA0012 airfoil and RAE2822 airfoil as the examples are calculated. The numerical experiments indicate that the error compensation LU-SGS algorithm has the advantages of low storage requirements and easy programming, and the computational efficiency is close to GMRES algorithm and more than 2.5 times of LU-SGS one.%针对Euler方程，设计了适合间断Galerkin有限元方法的LU-SGS、GMRES以及修正LU-SGS隐式算法。
三维Euler方程组隐式LU分解的高性能并行计算
维普资讯
４８ ３
空 气
动 力 学
学
报
第 ２ ５卷
左端 中的 矩 阵进 行 分 裂 ， 如将 Ａ分 裂 为 Ａ＝Ａ ＋ 例 Ａ一 的形 式 ， 具体 分 裂时 可 以采用 多种 方 法 ， Ａ ＝ 如
中图 分 类 号 ： ２ １３ Ｖ ｌ． 文献 标 识 码 ：Ａ
０ 引 言
典 型的连 续 介 质 流 体力 学控 制 方 程 组 是 Ｎ ｖ ｒ ａｉ － ｅ
Ｓｏｅ 方程 组 ， ｔ ｓ ｋ 由质量 守 恒 、 量 守恒 、 能 动量 守 恒 方 程
司 以 得 到
：
‰ ＋ｔ ＋ △ 譬
三维 Ｅ ｌｒ方 程 组 隐式 Ｌ 分 解 的高 性 能 并 行 计 算 ｕｅ Ｕ
吴建平 ， 李晓梅２
（ ．国 防科 技 大 学 计 算 机学 院 并 行 与 分 布 处 理 实 验 室 ， 南 长 沙 Ｉ 湖 摘 ４０ ７ ； ． 备 指 挥 技 术 学 院 ， 京 １１ １） １０ ３ ２ 装 北 ０４ ６
要 ： 多 非 定 常 无 粘 流 体 力 学 问题 的数 值 模 拟 都 需 要 利 用 Ｅｌｒ 程 组 来 进 行 计 算 ， 由于 在 隐 格 式 下 ， 选 许 ｕｅ 方 而 所
取 的时 间步 长 可 以 比在 显 格 式 下 时 大 得 多 ， 以 隐格 式越 来 越 受 到 重 视 ， 中 隐 式 Ｌ 所 其 Ｕ分 解 是 最 常 用 的 方 法 之 一 。 对三维 Ｅｌ 方程组 ， 用隐式 Ｌ ｕｒ ｅ 采 Ｕ分 解 进 行 计 算 时 ， 网格 点 所 在 的各 个 对 角 阵 面 之 间存 在数 据 依 赖 关 系 ， 文 分 析 本 了采用区域分解且边界上用显格式代 替隐格式 进行计 算的 高效性 ， 长方体 建筑 物 内的爆炸 模拟 表 明 ， 有 ｌ 在 在 ｌ ２ 个 Ｃ Ｕ 的某 Ｍ Ｐ巨 型 机 上 ， 行 计 算 效 率 超 过 ６ ％ 。本 文 还 分 析 了 计 算 结 果 与 串行 计 算 时 的 差 异 ， 及 利 用 区 域 Ｐ Ｐ 并 ｏ 以 重 叠 减 小 这 种 差 异 的 方 法 ， 时 考 虑 了 对处 理 器 进 行 合 理 的 逻 辑 组 织 ， 计 算 网格 映 射 到 处 理 器 网 格 ， 同 将 以最 大 限 度 减 少 通 信 开 销 的 方 法 。文 中最 后 以一 个 爆 炸毁 伤 的 例子 实 际 说 明 了 所 述 方 法 的 可 行 性 与 高 效 性 。 关 键 词 ：ｕｅ 方 程 组 ； Ｅｌ ｒ 隐式 Ｌ Ｕ分 解 ； 并行 计 算 ； 域 分 解 区
间断有限元方法
2016 年夏季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:间断有限元方法及其应用学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:学生姓名:学号学生类别考核结果阅卷人1．引言间断Galerkin(DG)方法兼有有限元与有限体积方法的特征。
如同一般有限元方法那样，DG方法利用单元多项式空间作为近似解和检验函数空间，但是与传统的有限元方法不同,有限元函数空间基函数都是完全间断的分片多项式，各个单元之间的通信也需要像有限体积方法那样通过在单元边界上构造合适的数值流通量来实现。
因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限体积方法的优点，又克服了各自的不足。
该方法可采用局部高阶插值的方法构造基函数，具有灵活处理边界条件以及可显式求解间断问题的能力，克服了一般有限元方法不适于间断问题的缺点,以及有限体积方法必须通过扩大模板进行重构来提高精度的不足。
因此间断Galerkin(DG)方法的出现拓展了传统有限元方法的应用范围,改善了人们对传统有限元方法的认识。
2．DG的基本概念间断Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年为解决中子输运方程问题而提出。
随后众多学者对间断有限元方法提出了改进和发展特别是90年代以来,以Cockbum和舒其望为代表提出了Runge-Kutta间断Galerkin(RKDG)方法，该方法结合TVD(TVD:Total Variation Diminishing) Runge-Kutta 时间离散方法和间断有限元求解一维双曲守恒律方程（组）以至于高维双曲守恒律方程（组），能够适合复杂计算区域和边界条件，可以精确的捕捉激波和接触间断。
它不但在光滑区域可以保证高精度，而且在间断区域可以保持数值无振荡，分辨率高，可以证明收敛到熵解。
这些优点使得RKDG成为计算流体力学流行的方法之一，并被广泛应用到气象学、海洋学、湍流、电磁学、石油勘探、水动力学等离子物理和图像处理等领域。
同样是在20世纪70年代,内惩罚(IP: Interior Penalty)类方法被独立地提出来求解摘圆和抛物方程。
三维Euler方程的隐式间断有限元算法
自适应间断有限元方法求解三维欧拉方程
判定 为坏单 元 ， 并且 对各 种 限制器 的效果做 了 比较 ． 本文 采 用 Ａｂ ｒ ｌｅｔ ａ软件 包生成 相 容 的 自适应 网格 ， 与 现有 的间断有 限元数 值方 法相兼容 ．
１ 间 断 有 限 元 方 法
１ １ 空 间 离 散 ．
考虑三 维欧 拉方程 组
Ｕ ＋Ｆ（ ＋Ｇ（ ＋Ｈ（ ＝ ０， Ｕ） Ｕ） Ｕ）
１０ ８ ００ ８
第 ４期
吴
迪等 ： 自适 应 间 断 有 限 元 方 法求 解 三 维 欧 拉 方 程
４３ ９
ｐ
ｐｕ
ＰＵ
ｐｖ
ＰＷ ＰＵ Ｗ
，
ｐｕ ＋ Ｐ ‘ Ｐ
ｐｕｗ
ＰＭ ｐｖ ＋ Ｐ ‘ ｐ ｗ ｖ
Ｕ ＝ ｐｖ
ｐ
日（ ） ＝
其 中
收稿 Ｅ期 ： ０９— ４— ９； 回 日期 ： ０９— ８—２ ｌ ２０ ０ ２ 修 ２０ ０ ７
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学基 金 （０ ７ ０９ 和计 算 物 理 国家 重 点 实 验 室基 金 资助 项 目 １７ １ １ ）
作者 简 介 ： 迪 （９ ２一） 男 ， 宁 ， 士 生 ， 事 间断 有 限 元 方法 的研 究 ， 京 市海 淀 区花 园 路 ６号 ， 究 生公 寓 ３６室 吴 １８ ， 辽 博 从 北 研 ２
为重要 ． 到 目前 为止 ， 括一般 的双 曲守恒 律方程 在 内的许 多方 程并 没有这样 的理论 结果 ． 但 包 工程计算 中， 可 通过 监测有 实际意 义 的物理量 变化来 构造 一些 简单 有 效 的 自适应 算法 ． ａ ａｔ ａ ｎ和 Ｐ ｕ Ｈ ｕｔｎ在 定 Ｒ ｌＨ ｒ ｎ ｆ ｍ ａｌ ｏｓ ｏ 常欧 拉方程 弱形式 中加 入人工 粘性项 ， 并求解 对 偶 问题 ， 出 了后 验误 差估 计 ¨ 但仅 是 一个 理 论 的框架 ． 给 ， Ｆａ ｅ ｙ等人 用密度 在相邻 单元之 间 的跳 跃量 作 为判 断 网格 加 密条 件 ， ｌｈｒ ｔ 计算 快 速且 简单 ¨ Ｓ ｕ与 Ｑｕ定 “ ． ｈ ｉ 义 了“ｒｕ ｌｄｃｌ ， 的是在应 用 间断有 限元计 算 时 ， ｔ ｂｅ ｅｌ 指 ｏ ” 若某 个单元 内的斜率 限制器 发生 作用 ， 这个单 元 被 则
Euler 方法
| y( x ) y( xm ) | dx
Kh / 2 L
| y( xm ( x xm )) | ( x xm ) dx
( K LM )h2 / 2
其中： 0 1, M max | y( x ) | max | f ( x, y( x )) | 。
(*)
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注意:对于Euler方法
h2 将 R M1代入()式得： 若 0 y0 y x0 0， 2
m 1
hM 1 L( b a ) e 1 2L
这里M 1 =( K LM ), 可记为 m O h ,
说明Euler方法的整体截断误差与h同阶。
欧拉方法的几何意义：
y X
y x2
yn
y0
y x1
y1
y2
x0
x1
x2
X
h步长
Euler方法的几何意义
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xn
二、误差分析
Rm 称为局部截断误差，它表示当 ym y( xm )为
精确值时， 计算时 y( xm h) 的误差。
m y( xm ) ym , 记：
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从而有：
| m 1 || m | hL | m | R,
对任一 m 0,1,
, N 1, 有：
| m | (1 hL) | m 1 | R
(1 hL)2 | m 2 | (1 hL) R R
(1 hL)m | 0 | R (1 hL) j
间断有限元方法
间断有限元方法间断有限元方法，简称IFEM（Intermittent Finite Element Method），是一种用于求解偏微分方程数值解的数值方法。
其特点是将时间和空间上的离散进行分割，通过对离散点进行插值和积分，得到方程的数值解。
IFEM方法的主要思想是将时间和空间进行离散，并且在离散的时间点和空间点上，使用有限元方法进行插值和积分。
通过对插值和积分的计算，可以得到方程在离散点上的数值解。
由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，因此可以有效地避免传统有限元方法中的大规模矩阵计算和存储问题，从而提高计算效率。
IFEM方法的基本步骤如下：1. 网格生成：首先需要对求解区域进行网格划分，将其分割为多个小区域。
网格的划分可以根据具体问题的特点进行选择，可以是均匀网格或非均匀网格。
2. 初始化：对于时间t=0时刻，需要对方程的初值进行设定。
可以根据实际问题的要求进行设置。
3. 时间步进：从初始时间开始，按照一定的时间步长进行时间的推进。
在每个时间步长内，需要在每个小区域上进行有限元插值和积分计算，得到方程在该时间点上的数值解。
4. 边界条件处理：在每个时间步长内，需要对边界条件进行处理。
边界条件可以是Dirichlet边界条件或者Neumann边界条件，根据具体问题的要求进行设定。
5. 收敛判断：在每个时间步长内，需要对计算结果进行收敛判断。
可以根据设定的收敛准则，判断数值解是否满足要求。
如果满足要求，则停止计算；如果不满足要求，则继续进行时间步进。
IFEM方法的优点是可以处理非线性、非稳态的偏微分方程问题，适用于各种不同的物理问题。
由于采用离散的方式进行计算，可以提高计算效率。
同时，IFEM方法还可以结合其他数值方法进行改进和优化，如有限差分法、边界元法等。
然而，IFEM方法也存在一些局限性。
首先，对于复杂的几何形状和边界条件，网格的生成和边界条件处理可能会比较困难。
其次，由于IFEM方法采用离散的方式进行计算，可能会引入一定的误差。
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
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优先出版
段治健，等：三维 Euler 方程的隐式间断有限元算法
第 36 卷第 6 期
技术模拟无黏流动取得了巨大的成功。但是当处理大雷诺数等 刚性问题时，计算效率迅速下降。因此，采用仅依赖于物理流 动机理的隐式时间离散格式成为更好的选择，其中以 LU-SGS 格式[18]和 GMRES 格式[19]最具代表性。 本文改进了 LU-SGS 隐式时间离散格式，构造了适合于三 维双曲守恒律方程的隐式 DG 方法。通过大攻角尖前缘三角翼 和 DLR-F4 翼身组合体的亚声速绕流问题对算法进行了验证， 计算结果与实验结果吻合良好。通过 ONERA M6 机翼跨声速 绕流问题对 GMRES、LU-SGS 格式和 Runge-Kutta 多步格式及 改进算法进行了分析比较，改进算法的效率得到了明显提升， 且节约了计算成本。
元解)代替 Fi (Qh ) ni 项，联立式(3)~(5)可得如下方程组：
M
dQ Res(Q). dt
(6)
为了提高计算效率和节约存储空间，本文采用标准正交基 函数简化矩阵结构。 式(6)为关于时间 t 的常微分半离散方程组， 相对于显式推进格式，隐式推进格式往往是无条件稳定的，因 此本文采用隐式推进格式。
第 36 卷第 6 期 优先出版
计算机应用研究 Application Research of Computers
Vol. 36 No. 6 Online Publication
三维 Euler 方程的隐式间断有限元算法
段治健，张 童，秦梦梅，马欣荣
*
(咸阳师范学院 数学与信息科学学院, 陕西 咸阳 712000) 摘 要：为了求解三维欧拉方程，对隐式时间离散格式间断有限元方法进行了研究。根据间断 Galerkin 有限元方法思
[16,17]
0
引言
间 断 有 限 元 方 法 (discontinuous Galerkin finite element
method， 简称为 DG 方法)是由 Reed 和 Hill[1]在解决中子输运问 题时而提出的。由于 DG 方法具有在网格单元内部可以构造任 意高阶的精度 , 易于处理边界和实施并行计算等诸多优点，所 以被认为是 CFD 领域最具前景的算法之一[2,3]。 近年来在航空、 海洋、气象、石油勘探等诸多领域得到了广泛应用。1989 年以 来，Cockburn 等人[4~7]发表了一系列研究成果，构建了求解双 曲守恒律方程的框架。Bassi 等人[8,9]利用混合有限元方法，推 广到了层流 N-S 方程的求解问题。贺立新等人[10,11]成功地利用
三维 Euler 方程的隐式间断有限元算法 ———————————————————————————————————————————————— 引用格式 段治健, 张童, 秦梦梅, 马欣荣. 三维 Euler 方程的隐式间断有限元算法 [J/OL]. 2019, 36(6). [2018-03-16]. /article/02-2019-06-010.html.
Implicit discontinuous finite element algorithm for solving three-dimensional Euler equations
Duan Zhijian, Zhang Tong, Qin Mengmei, Ma Xinrong
(School of Mathematics & Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang Shaanxi 712000, China) Abstract: In order to solve three-dimensional Euler equations, this work investigated the implicit time discretization discontinuous finite element algorithm. According to discontinuous Galerkin finite element method ideology, this paper established SOR-LU-SGS time discretization discontinuous Galerkin finite element method for three-dimensional inviscid flow fluid coupled with implicit time discretization scheme, local time step technique and multi-grid method. Then, it calculated the classical three-dimensional examples, including subsonic flow around the ONERA M6 wing, delta wing with tip, and DLR-F4 wing-body geometry. The results show that the SOR-LU-SGS implicit algorithm has more advantages than GMRES with less memory, and the convergence rate is more than triple times of the traditional LU-SGS algorithm. For the three-dimensional examples, SOR-LU-SGS scheme not only has good stability and high convergence rate, but also can give accurate flow field information. Compared with the original method, the present scheme improves the efficiency both in iteration steps and in the CPU time, which is very suitable for solving three-dimensional complex flow field. Key words: Euler equations; implicit time discretization algorithms; LU-SGS scheme; GMRES scheme DG 方法和 FVM 混合算法求解了三维 N-S 方程， 得到了 DG 方 法在处理高超声速流动时具有优势。奉凡等 人 [12] 针对三维 RANS 方程研究了叶轮机机械内流问题，发展了一种高效高精 度的 DG 方法。近年来，CFD 工作者的不懈努力丰富和发展了 DG 方法，并且广泛应用于各类工程问题[13~15]。 由于工程问题的复杂性， 提高计算效率是 CFD 工作者追求 a.采用隐式时 的目标。 提高计算效率行之有效的方式主要包括： 间推进格式或结合加速技术的显式时间推进格式； b.并行计算。 并行计算是发展的必然趋势，本文主要针对第一点进行研究。 常用的显式时间推进格式为显式 Runge-Kutta 多步格式
想，构造内迭代 SOR-LU-SGS 隐式时间离散格式，结合当地时间步长技术、多重网格方法，实现了三维流场的计算。 数值计算了 ONERA M6 机翼、大攻角尖前缘三角翼以及 DLR-F4 翼身组合体的亚声速绕流问题。结果表明，加入 SOR 内迭代步的 LU-SGS 隐式算法具有较大的优势，相较于 GMRES 算法所占用的内存少且收敛速度相当，是 LU-SGS 算 法的 3 倍以上。 针对三维算例， 具有较好的稳定性和较高的收敛速度， 能够给出准确的流场信息。 与原方法相比，SORLU-SGS 方法无论是在迭代步数上还是在 CPU 时间上，效率均有明显提高，适合于三维复杂流场计算。 关键词：Euler 方程；隐式时间离散算法；LU-SGS 格式；GMRES 格式 中图分类号：TP399 doi: 10.3969/j.issn.1001-3695.2017.12.0801
1
三维 Euler 方程
不考虑体积力和外部热源，可压缩 Euler 方程为
Q ( x, t ) F (Q ( x , t )) 0, t
3
(1)
隐式时间推进格式
相对于显式推进格式而言，隐式推进格式计算量小、稳定
性好，是目前 CFD 常用的计算方法。相对于多次迭代，传统的 LU-SGS 格式仅实施了一次对称 Gauss-Seidel 迭代，在一个时 间步中计算效率明显下降，整体计算效率较低。为此，本文耦 合内迭代 SOR 方法， 联合多次对称技术， 得到了 SOR-LU-SGS 隐式时间离散格式。 将式 (6)运用差分离散及线化处理后，得到 N 维线性方程 组 M Q n Res n ， N 为总网格数，此时 M 严格对角占优。分 解方程组 M Q n Res n 可得
( x) d jp ( x)Qh d Fi (Qh ) j d e dt e xi .
p
(5)
e
Fi (Qh ) ni jp ( x)d 0,1 j N
L R L R 用黎曼通量函数 H Qh , Qh , n ( Qh 、Qh 为单元界面两侧单
—————————— 收稿日期：2017-12-09；修回日期：2018-02-10
，辅之以多重网格方法、当地时间步长、残值光顺等加速
基金项目：国家自然科学基金资助项目（61401383） ；陕西省教育厅科研项目（17J练项目（201410722021） ；咸阳师范学院科研项目（15XSYK032） 作者简介：段治健（1980-） ，男，副教授，博士，主要研究方向为并行算法､流体力学､传热学（zhijian_duan@） ；马欣荣，女，博士，主要研究方 向为最优化算法与理论､微分方程数值解､计算流体力学．