Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2方法
谱方法求解Allen-Cahn方程与Cahn-Hilliard方程
Key words：Spectral method
Exponential time-differencing Semi-implicit method
Allen-Cahn equation Cahn-Hilliard equation
III
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
目 录
摘 要............................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................... II 1 绪论 1.1 谱方法简介........................................................................................... (1) 1.2 国内外研究概况 .................................................................................. (2) 1.3 本文的主要研究内容 .......................................................................... (3) 2 谱方法与时间离散方法 2.1 Fourier 谱方法 ...................................................................................... (5) 2.2 Chebyshev 谱方法 ................................................................................ (9) 2.3 半隐式方法......................................................................................... (14) 2.4 指数时间差分四阶龙格-库塔（ETDRK4）方法 ........................... (16) 3 数值求解 Allen-Cahn 方程 3.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ................... (18) 3.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ............... (20) 3.3 Crank-Nicolson 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 .............................................................................................................. (22) 3.4 ETDRK4 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 ....... (24) 3.5 Allen-Cahn 方程稳定的一阶半隐式格式......................................... (25) 3.6 ETDRK4 方法解二维的 Allen-Cahn 方程 ....................................... (28) 4 数值求解 Cahn-Hilliard 方程 4.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程 ................ (31) 4.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程............ (33) 4.3 Crank-Nicolson 方法解具有齐次 Neumann 边值条件 Cahn-Hilliard 方程.................................................................................................... (35)
cahn-hilliard方程三种半隐格式的稳定性和误差分析
cahn-hilliard方程三种半隐格式的稳定性和误差分析
Cahn-Hilliard方程是一种用于模拟多相材料的微观结构变化的重要方程，它可以用来模拟材料的相变、结晶和析出等过程。
Cahn-Hilliard方程的数值求解可以采用隐式格式和半隐式格式。
其中，半隐式格式可以分为三种：第一种是普通的半隐式格式，第二种是改进的半隐式格式，第三种是改进的半隐式格式，其中改进的半隐式格式又可以分为两种：一种是改进的半隐式格式，另一种是改进的半隐式格式。
普通的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的最简单的数值求解方法，它的稳定性取决于时间步长的选择，当时间步长选择得当时，普通的半隐式格式可以得到较好的稳定性。
但是，普通的半隐式格式的误差较大，因此，它不能很好地模拟Cahn-Hilliard方程的实际物理过程。
改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种改进方法，它可以改善普通的半隐式格式的稳定性和误差。
改进的半隐式格式可以通过改变时间步长和空间步长来改善稳定性，并且可以通过改变空间步长来改善误差。
此外，改进的半隐式格式还可以通过改变空间步长来改善精度。
最后，改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种改进方法，它可以改善普通的半隐式格式的稳定性和误差，并且可以提高精度。
因此，改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种有效的数值求解方法。
《常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法》范文
《常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法》篇一一、引言Cahn-Hilliard方程是描述相分离过程的非线性偏微分方程，在材料科学、物理、化学等领域具有广泛的应用。
方程的系数可能为常数或随时间和空间变化，因此需要发展针对不同情况的数值方法。
本文将主要讨论常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
二、常系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法对于常系数粘性Cahn-Hilliard方程，我们采用隐式二阶时间离散方法和空间上的有限差分法进行数值求解。
首先，将方程在时间上进行离散，然后通过傅立叶变换或有限差分法在空间上进行离散。
在隐式离散过程中，我们利用前一个时间步的解来预测当前时间步的解，从而得到一个线性系统，该系统可以通过迭代法求解。
在空间离散过程中，通过合适的有限差分近似得到二阶精度空间导数。
通过结合这两种离散方法，我们得到常系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
三、变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法对于变系数粘性Cahn-Hilliard方程，我们采用自适应网格和时间步长的方法来处理变系数。
首先，根据变系数的变化情况，动态调整空间和时间网格的分辨率。
在每个时间步内，我们采用与常系数情况类似的隐式离散和有限差分法进行求解。
同时，为了更好地处理变系数带来的复杂性，我们引入了自适应算法来调整时间步长和空间网格的分辨率。
通过这种方法，我们可以得到变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
四、数值方法的实现和验证为了验证上述方法的正确性和有效性，我们分别对常系数和变系数的Cahn-Hilliard方程进行了数值模拟。
通过与已知的解析解或实验数据进行比较，我们发现该方法能够有效地模拟Cahn-Hilliard方程的相分离过程，并具有较高的精度和稳定性。
此外，我们还对不同参数下的Cahn-Hilliard方程进行了模拟，以验证该方法在不同情况下的适用性。
黏性Cahn-Hilliard方程的二阶BDF数值格式
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022453黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式郭 媛,王旦霞,张建文(太原理工大学数学学院,太原030024)摘要:采用有限元方法对黏性C a h n -H i l l i a r d 方程进行数值求解.首先,引入辅助变量L a g r a n g e 乘子r ,得到黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的等价形式;其次,在空间上采用混合有限元逼近,时间上采用隐式向后差分公式(B D F )进行离散,给出黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶线性有限元数值格式,并分析所给格式的无条件能量稳定性和误差估计;最后,通过一系列数值算例验证所给格式的精确性和有效性.结果表明,该数值格式是理想的,并具有同时满足线性㊁无条件能量稳定和二阶精度的特点.关键词:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程;L a g r a n g e 乘子;向后差分公式(B D F );无条件能量稳定中图分类号:O 221.6 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1063-10S e c o n dO r d e rB D FN u m e r i c a l S c h e m e f o rV i s c o u sC a h n -H i l l i a r dE qu a t i o n G U O Y u a n ,WA N G D a n x i a ,Z H A N GJ i a n w e n(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,T a i yu a n 030024,C h i n a )A b s t r a c t :W eu s e df i n i t ee l e m e n t m e t h o dt on u m e r i c a l l y s o l v et h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n .F i r s t l y ,t h ee q u i v a l e n t f o r m o f t h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n w a so b t a i n e db y i n t r o d u c i n g t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r r o ft h ea u x i l i a r y v a r i a b l e .S e c o n d l y,t h es e c o n do r d e rl i n e a rf i n i t ee l e m e n t n u m e r i c a l s c h e m e f o r t h e v i s c o u sC a h n -H i l l i a r d e q u a t i o nw a s g i v e nb y u s i n g t h em i x e d f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i n s p a c ea n d t h e i m p l i c i tb a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a (B D F )f o rd i s c r e t i z a t i o n i n t i m e ,a n d t h e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i n e n e r g y a n d e r r o r e s t i m a t i o n o f t h e g i v e n s c h e m ew e r e a n a l yz e d i nd e t a i l .F i n a l l y ,a s e r i e s o f n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e u s e d t o v e r i f y t h e a c c u r a c y a n d e f f e c t i v e n e s s o f t h e g i v e n s c h e m e .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e p r o po s e d n u m e r i c a ls c h e m ei si d e a la n d h a st h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s i m u l t a n e o u s l y s a t i s f y i n g l i n e a r ,u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y a n ds e c o n do r d e r a c c u r a c y.K e y w o r d s :v i s c o u s C a h n -H i l l i a r de q u a t i o n ;L a g r a n g e m u l t i p l i e r ;b a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l a (B D F );u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y收稿日期:2022-11-18.第一作者简介:郭 媛(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :1536163088@q q .c o m.通信作者简介:王旦霞(1979 ),女,汉族,博士,教授,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :2621259544@q q .c o m.基金项目:国际合作基地与平台项目(批准号:202104041101019)㊁山西省回国留学人员科研项目(批准号:2021-029)和山西省自然科学基金面上项目(批准号:202203021211129).0 引 言经典C a h n -H i l l i a r d 方程用于描述非均匀体系中的相分离和粗化现象[1-3].黏性C a h n -H i l l i a r d 方Copyright ©博看网. All Rights Reserved.程[4]是对经典C a h n -H i l l i a r d 方程的推广.目前,关于黏性C a h n -H i l l i a r d 方程数值解法的研究已得到广泛关注.文献[5]基于标量辅助变量方法构造了黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的一阶和二阶数值格式;文献[6]给出了时间双层网格的有限元数值方法;文献[7]对带有非恒定梯度能量系数的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程建立了有限元数值格式;文献[8]使用凸分裂方法提出了有限差分格式,并证明了所提格式是无条件能量稳定的.求解黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的关键是如何在保持能量稳定性的条件下,对非线性项进行线性离散.本文采用文献[9]的L a g r a n g e 乘子方法,在黏性C a h n -H i l l i a r d 方程中构造线性数值格式.引入L a g r a n g e 乘子黏性C a h n -H i l l i a r d 方程如下:ut =Δw ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],w =-ε2Δu +r u +βu t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],12r t =u u t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ìîíïïïï],(1)其边界条件和初值条件分别为∂n u =∂n w =0,(x ,t )ɪ∂Ωˑ(0,T ],u (x ,㊃)=u 0(x ),x ɪΩ{,其中Ω⊂ℝ2,u t =∂u ∂t,r =u 2-1,ε是测量界面厚度的正参数,n 是单位外法向量,β>0是黏性参数,u 是混合物中某种物质的浓度,w 为化学势.模型(1)的能量函数定义[10]为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x ,满足能量耗散定律d E d t=- ∇w 2-β u t 2ɤ0,并且是质量守恒的,即(u (㊃,t ),1)=(u 0,1).本文首先给出模型(1)的半离散格式和全离散格式;其次给出能量稳定性分析及所提格式的二阶收敛估计;最后给出一些数值算例证明所提格式的精确性和有效性.1 离散格式设L 2(Ω)是平方可积的函数空间,其内积和范数分别定义为(u ,v )=ʏΩu (x )v (x )d x 和 u =(u ,u ),H 1(Ω)是通常的S o b o l e v 空间,其范数定义为 u H 1=ʏΩu 2d x +ʏΩD u2d ()x1/2.1.1 半离散格式模型(1)的混合弱形式为(u t ,v )+(∇w ,∇v )=0, ∀v ɪH 1(Ω),(2)(w ,ψ)-ε2(∇u ,∇ψ)-(r u ,ψ)-β(u t ,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),(3)12(r t ,p )-(u u t ,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω).(4)把时间区间[0,T ]做一致划分0=t 0<t 1< <t N 1=T ,其中N 1是一个正整数,时间节点满足t i =i τ,τʒ=t i +1-t i ,i =0,1, ,N 1,τ是时间步长.考虑模型(1)的半离散格式,即给定u n -1,un ,求u n +1满足(D τu n +1,v )+(∇w n +1,∇v )=0,∀v ɪH 1(Ω),(w n +1,ψ)-ε2(∇u n +1,∇ψ)-( u n +1r n +1,ψ)-β(D τu n +1,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),12(D τr n +1,p )-( u n +1D τu n +1,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω),4601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中D τu n +1ʒ=3u n +1-4u n +u n -12τ,n ȡ1,u 1-u 0τ,n =0ìîíïïïï, D τr n +1ʒ=3r n +1-4r n +r n -12τ,n ȡ1,r 1-r 0τ,n =0ìîíïïïï, un +1ʒ=2u n -u n -1,n ȡ1,u 0,n =0{.1.2 全离散格式设T h =K 是区域Ω上的拟一致剖分,h i 表示网格大小,h =m a x 0ɤi ɤN 2h i ,N 2是一个正整数,S h 是分片连续的有限元空间,定义为S h ={v h ɪC (Ω)v hKɪP k (x ,y ),K ɪT }⊂H 1(Ω),这里P k (x ,y )是x ,y 的次数不超过k ɪℤ+的多项式集合.定义L 20ʒ={u ɪL 2(Ω)(u ,1)=0},̇S h ʒ=S h ɘL 20(Ω).构造模型(1)的全离散格式,即给定u n -1h和u n h ,求u n +1h满足(D τu n +1h ,v h )+(∇w n +1h ,∇v h )=0, ∀v h ɪS h ,(5)(w n +1h ,ψh )-ε2(∇u n +1h ,∇ψh )-( u n +1h r n +1h ,ψh )-β(D τu n +1h ,ψh )=0, ∀ψh ɪS h ,(6)12(D τr n +1h ,p h )-( u n +1h D τu n +1h ,p h )=0, ∀p h ɪS h .(7)2 稳定性分析定理1 令(u n +1h ,w n +1h ,r n +1h)是方程组(5)-(7)的解,定义Ξ(u n +1h ,u n h )=ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2),则对任意的τ,h ,ε>0,当n ȡ1时,Ξ(u n +1h ,u n h )ɤΞ(u n h ,u n -1h)成立.证明:在方程组(5)-(7)中,分别令v h =2τw n +1h ,ψh =-2τD τu n +1h ,p h =2τr n +1h ,得(D τu n +1h ,2τw n +1h )+(∇w n +1h ,2τ∇w n +1h )=0,(8)-(w n +1h ,2τD τu n +1h )+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+( u n +1h r n +1h ,2τD τu n +1h )+β(D τu n +1h ,2τD τu n +1h )=0,(9)12(D τr n +1h ,2τr n +1h )-( u n +1h D τu n +1h ,2τr n +1h )=0.(10)对方程组(8)-(10)求和得2τ ∇w n +1h 2+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+β2τ 3u n +1h -4u n h +u n -1h 2+12(D τr n +1h ,2τr n +1h)=0.根据2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2,得ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2)-ε22( ∇u n h 2+ 2∇u n h -∇u n -1h 2)+14( r n h 2+ 2r n h -r n -1h 2éëêùûú)=-2τ ∇w n +1h 2-β2τ3u n +1h -4u n h +u n -1h 2-ε22 ∇u n +1h -2∇u n h +∇u n -1h 2-14r n +1h -2r n h +r n -1h 2.(11)再结合Ξ(u n +1h ,u nh )定义得Ξ(u n +1h ,u n h )-Ξ(u n h ,u n -1h )ɤ0.证毕.定理2 令(u 1h ,w 1h ,r 1h )是方程组(5)-(7)的解,定义5601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.Ξ(u 1h )=ε22 ∇u 1h 2+14 r 1h 2, Ξ(u 0h )=ε22 ∇u 0h 2+14r 0h2,则对任意的τ,h ,ε>0,当n =0时,Ξ(u 1h )ɤΞ(u 0h )成立.证明:当n =0时,在方程组(5)-(7)中,分别令v h =τw 1h ,ψh =-(u 1h -u 0h ),p h =τr 1h 并求和,再根据2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2,得τ ∇w 1h2+ε22( ∇u 1h 2- ∇u 0h 2+ ∇u 1h -∇u 0h 2)+βτu 1h -u 0h 2+14( r 1h 2- r 0h 2+ r 1h -r 0h 2)=0.结合Ξ(u 1h )和Ξ(u 0h )的定义,得Ξ(u 1h )-Ξ(u 0h )ɤ0.证毕.推论1 设Ξ(u 1h ,u 0h )ɤC 0,则存在常数C >0,使得对任意的τ,h >0,有以下估计:ðni =1τ ∇w i +1h 2ɤC , ∇u n +1h 2ɤC , ∇ u n +1h 2= 2∇u n +1h -∇u n h 2ɤC , ∇u 0h 2ɤC ìîíïïïï.(12) 证明:将式(11)从1~n 求和即可得式(12).3 误差分析为简单,引入下列符号:ξn +1u ʒ=u n +1-R h u n +1,^ξn +1u ʒ=R h u n +1-u n +1h , ξn +1r ʒ=r n +1-R h r n +1,^ξn +1r ʒ=R h r n +1-r n +1h ,σ(u n +1)ʒ=u n +1t -D τu n +1,σ(r n +1)ʒ=r n +1t-D τr n +1,e wʒ=wn +1-wn +1h,Rn +1ʒ=u n +1-2u n +u n -1,n ȡ1,u 1-u 0,n =0{.对于(u ,r ),做如下正则性假设:u ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)), r ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)).定义1[11]R i t z 算子R h :H 1(Ω)ңS h 满足(∇(u -R h u ),∇u )=0, ∀v ɪS h , (R h u -u ,1)=0,并且R i t z 投影算子满足以下估计:u -R h u +h u -R h u H 1(Ω)ɤC h q+1 u H q +1(Ω).引理1[12]假设u 是方程(1)的解,则有如下估计: σ(u n +1) 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï; R n +1 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï;D τ ξn +1u 2ɤC h 2q +22τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q +1d t ,n ȡ1,C h 2q +2τʏt10∂t u 2H q +1d t ,n =0ìîíïïïï. 定理3 设初始问题(2)-(4)和全离散格式(5)-(7)的解分别是u 和u n +1h,则存在常数C ,τ,h ,使得6601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.^ξn +1u2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22 ^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q )成立,其中C T ,ε表示常数C 与T 和ε有关.证明:当t =n +1时,方程组(2)-(4)减去方程组(5)-(7),得(σ(u n +1),v h )+(D τ ξn +1u ,v h )+(D τ^ξn +1u ,v h )+(∇e w ,∇v h )=0,(13)(e w ,ψh )-ε2(∇^ξn +1u ,∇ψh )-(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,ψh )- β(σ(u n +1),ψh )-β(D τ^ξn +1u ,ψh )-β(D τ ξn +1u ,ψh )=0,(14)12(σ(r n +1),p h )+12(D τ ξn +1r ,p h )+12(D τ^ξn +1r ,p h )-(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,p h )=0.(15)在方程组(13)-(15)中,令v h =^ξn +1u ,ψh =Δ^ξn +1u ,p h =τ2^ξn +1r ,并将三式相加.当n ȡ1时,由2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2得,14τ( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+ε2 Δ^ξn +1u 2+β4τ[ ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2]+τ8( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)=ð8i =1M i ;(16)当n =0时,由2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2得,12τ( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+β2τ( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+ε2Δ^ξ1u 2+τ4( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)=ð8i =1M i .其中M 1=-(σ(u n +1),^ξn +1u ),M 2=-(D τ ξn +1u ,^ξn +1u ),M 3=(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,Δ^ξn +1u ),M 4=β(σ(u n +1),Δ^ξn +1u ),M 5=β(D τ ξn +1u ,Δ^ξn +1u ),M 6=-12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r ),M 7=-12(D τ ξn +1r ,τ2^ξn +1r ),M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r ). 下面依次估计M i .根据Y o u n g 不等式[13]㊁C a u c h y -S c h w a r z 不等式和引理1,得M 1ɤ(σ(u n +1),^ξn +1u )ɤ σ(u n +1) ^ξn +1u ɤ64τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+18τ ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(17)M 2ɤ(D τ췍ξn +1u ,^ξn +1u )ɤ D τ ξn +1u ^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t u 2H q +1d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t u 2H q +1d t +14 ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï.(18)对于M 3,把r n +1h =(u n +1h)2-1代入M 3得M 3=(((u n +1)2-1)u n +1- u n +1h ((u n +1h )2-1),Δ^ξn +1u )ɤ((un +1)3- un +1h(un +1h)2,Δ^ξn +1u )+(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u )=ð3i =1J i ,7601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中J 1=((u n +1)2(u n +1- u n +1h ),Δ^ξn +1u ), J 2=( u n +1h ((u n +1)2-(u n +1h )2),Δ^ξn +1u ),J 3=(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u ).当n ȡ1时,根据H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L 6L 2㊁推论1及 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h) 和 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) 有界,得J 1+J 3ɤ u n +1 2L ɕ u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u + u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u ɤC u n +1- u n +1h 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q+C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+ε24Δ^ξn +1u 2,(19)J 2ɤ u n +1h L 3 (u n +1)2-(u n +1h )2 L 6 Δ^ξn +1u ɤC 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h )∇(u n +1-u n +1h )+(u n +1-u n +1h )∇(u n +1+u n +1h ) Δ^ξn +1u ɤC 2 ∇(u n +1-u n +1h ) Δ^ξn +1u +C 3 u n +1-u n +1h Δ^ξn +1u ɤC h 2q+C 2α ∇^ξn +1u 2+C 3α ^ξn +1u 2+α2Δ^ξn +1u 2;(20)当n =0时,有M 3ɤ u 1 2L ɕ u 1-u 0h Δ^ξ1u + u 1h L 3 (u 1)2-(u 1h )2 L 6 Δ^ξ1u + u 1-u 0h Δ^ξ1u ɤC Δ(u 1-u 0) ^ξ1u +C u 0-u 0h Δ^ξ1u +C 1 ∇ u 1h (u 1+u 1h )∇(u 1-u 1h )+(u 1-u 1h )∇(u 1+u 1h ) Δ^ξ1u ɤC τ3+18τ ^ξ1u +C h 2q +C ^ξ0u 2+ε24Δ^ξ1u 2+C 2α ∇^ξ1u 2+C 3α ^ξ1u 2+α2Δ^ξ1u 2,(21)其中C 2=C 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h ) ,C 3=C 1 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) .根据C a u c h y -S c h w a r z 不等式㊁引理1及Y o u n g 不等式,得M 4ɤβ(∇σ(u n +1),∇^ξn +1u )ɤβ ∇σ(u n +1) ∇^ξn +1u ɤ64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t t u 2d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+β4τ ∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(22)M 5ɤβ(∇D τ췍ξn +1u ,∇^ξn +1u )ɤβ ∇D τ ξn +1u ∇^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂t u 2H q +1d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∇∂tu2H q+1d t +β4∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(23)M 6ɤ12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r )ɤ σ(r n +1) τ2^ξn +1r ɤ96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t r 2d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C τ3+τ38 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï;(24)M 7ɤ12(D τ췍ξn +1r ,τ2^ξn +1r )ɤ D τ ξn +1r τ2^ξn +1r ɤ8601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t r 2H q +1d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t r 2H q +1d t +τ44 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï.(25) 对于M 8,当n ȡ1时,利用H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L6L 2和推论1,得M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r )=(u n +1σ(u n +1)+D τu n +1(u n +1- u n +1h )+ u n +1h (D τu n +1-D τu n +1h ),τ2^ξn +1r )ɤ u n +1 L ɕ σ(u n +1) τ2^ξn +1r +123u n +1-4u n +u n -1 L ɕ u n +1- u n +1h τ^ξn +1r + u n +1h L 3 D τu n +1-D τu n +1h L 6 τ2^ξn +1r ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +τ412 ^ξn +1r 2+C (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+τ28 ^ξn +1r 2+2C 1 ∇ u n +1h 2∇3u n +1-4u n +u n -1-(3u n +1h -4u n h +u n -1h )22+τ28^ξn +1r 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q +C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+C 4 ∇^ξn +1u 2+C ∇^ξn u 2+C ∇^ξn -1u 2+τ412 ^ξn +1r 2+τ24^ξn +1r 2,(26)当n =0时,对M 8估计如下:M 8=(u 1σ(u 1)+D τu 1(u 1-u 0h )+u 0h (D τu 1-D τu 1h ),τ2^ξ1r )ɤ u 1 L ɕ σ(u 1) τ2^ξ1r + u 1-u 0 L ɕ u 1-u 0h τ^ξ1r + u 0h L 3D τu 1-D τu 1h L 6 τ2^ξ1r ɤC τ3+τ38 ^ξ1r 2+C τ u 1-u 0+u 0-u 0h 2+τ8 ^ξ1r 2+C 1 ∇u 0h 2 ∇(u 1-u 0-(u 1h -u 0h )) 2+τ28 ^ξ1r 2ɤC τ3+C h 2q+C τ ^ξ0u 2+C 4 ∇^ξ1u 2+C ∇^ξ0u 2+τ3+τ2+τ8^ξ1r 2,(27)其中C 4=92C 1 ∇ u n +1h.把式(17)~(27)代入式(16),并将两边同乘4τ:当n ȡ1时,有( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+4τε2 Δ^ξn +1u 2+β( ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2)+τ22( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)ɤτ+4τC 3æèçöø÷α ^ξn +1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξn +1u 2+4τC 2α+τβ+4τC æèçöø÷4 ∇^ξn +1u 2+C τ ∇^ξn u 2+(τ3+τ5) ^ξn +1r 2+C τ ^ξn u 2+C τ ^ξn -1u 2+C τ ∇^ξn -1u 2+4τR ,(28)其中R =C h 2q+C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q+1d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t tu 2d t +64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂tu 2Hq+1d t +96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tr 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tr2Hq+1d t;当n =0时,有2( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+2β( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+9601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4τε2 Δ^ξ1u 2+τ2( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)ɤC τ4+C h 2q +τ+1+4τC 3æèçöø÷α ^ξ1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξ1u 2+C τ ^ξ0u 2+C τ2 ^ξ0u 2+4τC 2α+τβ+β+4τC æèçöø÷4 ∇^ξ1u 2+τ2+τ32+τ4+τæèçöø÷5 ^ξ1r 2+C τ2 ∇^ξ0u 2+C h2q+2ʏt 10∇∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tr 2H q +1d t .(29)将式(28)从1~n 求和,并考虑式(29),选择合适的α(α<2ε2),则当0<τ<m i n αβ4C 2,α4C 3,β4C {}4时,根据离散的G r o n w a l l 不等式,得^ξn +1u 2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22∇^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q ).证毕.4 数值分析下面通过数值算例[14-15]对理论误差估计和能量稳定性进行验证,其中u ,w ,r 取P 2元[16]有限元空间.4.1 空间收敛阶表1列出了当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为u 0=0.5+0.17c o s (πx )c o s (2πy )+0.2c o s (3πx )c o s (πy ).(30)参数选择如下:τ=0.02,T =0.1,ε=0.1,变化的网格步长h =18,116,132,β=0.1,0.5,1.由表1可见,虽然β有变化,但 ^ξu H 1的空间收敛阶始终接近2.表1 当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶T a b l e 1 S p a t i a l c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n ε=0.1h β=0.1 ^ξu H 1收敛阶β=0.5 ^ξu H 1收敛阶β=1^ξu H 1收敛阶1/80.0382980.0546650.0577731/160.0099951.93790.0142221.94250.0150071.94471/320.0025151.99020.0035771.99120.0037741.99154.2 时间收敛阶表2列出了当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为式(30).选择的参数β=0.04,T =0.1,h =132,变化的时间步长τ=116,132,164.由表2可见,虽然ε有变化,但相对误差 ^ξu H 1的时间收敛阶始终接近2.表2 当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶T a b l e 2 T i m e c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n β=0.04τε=0.101^ξu H 1收敛阶ε=0.103^ξu H 1收敛阶ε=0.107^ξu H 1收敛阶1/160.6464180.6598850.6851131/320.1509932.09790.1513342.12440.1509752.18201/640.0380471.98860.0371732.02530.0352132.10014.3 能量耗散选择初始条件为式(30),固定的参数T =1,ε=0.3,τ=0.02,能量表达式为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x .图1为能量随时间的演化曲线.由图1可见,通过改变参数值β,能量随时间的推移逐渐减少,直至达到一个稳态,满足能量耗散定律,从而验证了本文给出的数值格式是无701 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图1 能量随时间的演化曲线F i g .1 E v o l u t i o n c u r v e s o f e n e r g y wi t h t i m e 条件能量稳定的.4.4 相分离选择初始条件u 0=2r a n d ()-1,其中r a n d ()ɪ[0,1],计算区域为(-1,1)ˑ(-1,1).图2和图3分别为当β=0.03和β=0.1时模拟的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的相分离过程,其他参数为τ=0.01,ε=0.03,h =150.由图2和图3可见,随着时间的延长,可观察到一个显著的粗化过程.由图2可见,当T =0.001~0.5s 时变化明显,当T >0.5s 时达到相对稳定的状态.由图3可见,当T =0.001~1.5s 时变化明显,当T >1.5s 时达到相对稳定的状态.(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图2 当β=0.03时的相分离过程F i g .2 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.03(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图3 当β=0.1时的相分离过程F i g .3 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.11701 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2701吉林大学学报(理学版)第61卷参考文献[1] C A HNJW,H I L L I A R DJE.F r e eE n e r g y o f aN o n u n i f o r mS y s t e m.Ⅰ.I n t e r f a c i a l F r e eE n e r g y[J].T h e J o u r n a lo fC h e m i c a l P h y s i c s,1958,28(2):258-267.[2] C A HNJ W.F r e eE n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅱ.T h e r m o d y n a m i cB a s i s[J].T h eJ o u r n a lo fC h e m i c a lP h y s i c s,1959,30(5):1121-1124.[3] C A HNJ W,H I L L I A R D J E.F r e e E n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅲ.N u c l e a t i o ni n a T w o-C o m p o n e n tI n c o m p r e s s i b l eF l u i d[J].T h e J o u r n a l o fC h e m i c a l P h y s i c s,1959,31(3):688-699.[4] N O V I C K-C OH E N A.T h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n:M a t h e m a t i c a l a n d M o d e l i n g P e r s p e c t i v e s[J].A d v a n c e s i nM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s a n dA p p l i c a t i o n s,1998,8(2):965-985.[5] C H E N H T.E r r o rE s t i m a t e sf o rt h eS c a l a rA u x i l i a r y V a r i a b l e(S A V)S c h e m e st ot h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o nw i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n[J].J o u r n a lo f M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,2021,499(1):125002-1-125002-21.[6] WA N GDX,L IY Q,WA N G XX,e t a l.F a s tA l g o r i t h mf o rV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].F r o n t i e r so fM a t h e m a t i c s i nC h i n a,2022,17(4):689-713.[7] C HO OS M,K I M Y H.F i n i t eE l e m e n tS c h e m ef o rt h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t ha N o n c o n s t a n tG r a d i e n tE n e r g y C o e f f i c i e n t[J].J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2005,19(1/2):385-395.[8] S H I NJ,C HO IY,K I MJ.A nU n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eN u m r i c a lM e t h o d f o r t h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].D i s c r e t e&C o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s(S e r i e sB),2014,19(6):1737-1747.[9] B A D I A S,G U I L LÉN-G O N ZÁL E Z F,G U T IÉR R E Z-S A N T A C R E U J V.F i n i t e E l e m e n t A p p r o x i m a t i o n o fN e m a t i cL i q u i d C r y s t a lF l o w s U s i n g aS a d d l e-P o i n tS t r u c t u r e[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,2011, 230(4):1686-1706.[10] Y A N G X F,Z HA O J,H E X M.L i n e a r,S e c o n d O r d e ra n d U n c o n d i t i o n a l l y E n e r g y S t a b l eS c h e m e sf o rt h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n w i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n U s i n g t h eI n v a r i a n tE n e r g y Q u a d r a t i z a t i o n M e t h o d [J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2018,343:80-97.[11] WA N GDX,WA N G X X,J I A H E.A S e c o n d O r d e rL i n e a rE n e r g y S t a b l eN u m e r i c a lM e t h o df o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2022,403(15):113788-1-113788-24.[12] Y A N Y,C H E N W B,WA N G C,e t a l.A S e c o n d-O r d e rE n e r g y S t a b l eB D F N u m e r i c a lS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].C o mm u n i c a t i o n s i nC o m p u t a t i o n a l P h y s i c s,2018,23(2):572-602.[13]张爱华,胡卫敏.非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性[J].东北师大学报(自然科学版),2015,47(4):36-41.(Z HA N G A H,HU W M.E x i s t e n c ea n d U n i q u e n e s so fS o l u t i o n sf o rB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m o f N o n l i n e a rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n[J].J o u r n a lo f N o r t h e a s t N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2015,47(4):36-41.)[14] C H E R F I L SL,P E T C U M,P I E R R E M.A N u m e r i c a lA n a l y s i so ft h eC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t h D y n a m i cB o u n d a r yC o n d i t i o n s[J].D i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s,2010,27(4):1511-1533.[15] WA N GDX,WA N G X X,Z HA N G R,e t a l.A n U n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eS e c o n d-O r d e rL i n e a rS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].A p p l i e dN u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,2022,171:58-75.[16] F O N T R,P E R I A F.T h eF i n i t eE l e m e n t M e t h o d w i t hF r e e F e m++f o rB e g i n n e r s[J].E l e c t r o n i cJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c s&T e c h n o l o g y,2013,7(4):289-307.(责任编辑:赵立芹)Copyright©博看网. 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时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解
时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解赖晓霞;姚若侠【摘要】借助Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数和分数阶复变换,利用一个二阶非线性常微分方程的解,基于(G'/G)-展开法,对时空分数阶Cahn-Hilliard方程进行研究,由此构造了该方程的若干双曲函数、三角函数和有理函数等不同形式的精确解,丰富了其精确解解系.此外,当其中的参数被赋予某些特殊值时,这些已获得的精确解则成为孤立波解、周期波解和行波解.结果表明,(G'/G)-展开法直接、简洁、高效,且具有一定的普适性,为数学物理领域其他非线性偏微分方程的求解提供了一种强有力的工具.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)012【总页数】11页(P10-20)【关键词】Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数;(G'/C)-展开法;分数阶复变换;时空分数阶Cahn-Hilliard方程;精确解【作者】赖晓霞;姚若侠【作者单位】陕西师范大学计算机科学学院,西安710119;陕西师范大学计算机科学学院,西安710119【正文语种】中文【中图分类】O175.29分数阶微分方程被视为非线性微分方程的替代模型，作为有效的数学建模工具之一，在对物理学、生物学、信号处理、控制理论、系统识别等科学领域的非线性现象进行数学建模的过程中发挥了重要作用。
[1-3]此外，分数阶微分方程还被用于社会科学领域，如气候、金融和经济学[4]，是研究的热点内容之一。
越来越多的研究者致力于寻找分数阶微分方程的解析解或精确解，并提出了一些有效的求解方法，如分数阶Adomian分解法[5]、变分迭代法[6]、有限差分法[7]、首次积分法[8]、分数阶子方程法[9-11]、指数函数法[12-13]、(G′/G)-展开法[14-15]等。
Li和He[16-17]提出了一个分数阶复变换，可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程，使求解过程变得简单。
Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式
Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式
栗雪娟;王丹
【期刊名称】《山东理工大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2024(38)1
【摘要】研究四阶Cahn-Hilliard方程的数值求解方法。
给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计。
通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性。
【总页数】6页(P73-78)
【作者】栗雪娟;王丹
【作者单位】西安建筑科技大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB532.1;TB553
【相关文献】
1.浅水方程组合型超紧致差分格式
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具变迁移率Cahn-Hilliard方程的谱方法
具变迁移率Cahn-Hilliard方程的谱方法Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程.近年来,由于其具有化学、生物、化工和材料科学等多方面的实际背景,所以吸引了很多数学工作者的关注,同时也有较为丰富的理论结果出现.本文使用谱方法研究具变迁移率的Cahn-Hilliard方程.在第一章中,我们研究具确定变迁移率Cahn-Hilliard 方程初边值问题的谱方法.首先,得到初边值问题弱解的存在唯一性及周期解的存在性.其次,我们讨论初边值问题的谱半离散格式及全离散格式,得到半离散格式及全离散格式近似解的存在唯一性、有界性和收敛性.特别地,可以证明全离散格式的近似解和真解之间的误差关于时间变量是2阶精度.最后,我们通过一维情形下的数值实验验证相应的全离散格式的收敛阶估计.此外,我们还给出二维和三维情形下的数值算例.在第二章中,我们研究具浓度相关迁移率
Cahn-Hilliard方程的谱方法.首先,对空间变量用谱方法进行离散化,构造半离散格式,并且证明半离散方程近似解的存在唯一性、有界性和收敛性.其次,对时间变量进行差分,构造隐式的全离散格式,重点讨论该隐式全离散方程近似解的有界性和收敛性.最后,我们给出一维情形下的数值算例,并且验证理论分析中的误差估计.此外,我们还给出二维和三维情形下的数值算例.。
Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2方法
Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2方法饶婷;王晚生【摘要】Cahn-Hilliard方程作为一类重要的四阶扩散方程已成为偏微分方程研究领域一个倍受关注的问题. 本文考虑带有Neumann边界的Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2半离散格式和全离散格式, 并证明了该格式是质量守恒的.%The Cahn-Hilliard equation, as an important class of fourth-order diffusion equations, has become a major concern in the field of partial differential equations. In this paper, the Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary is considered to be discretized by implicit-explicit BDF2 method. It is proved that the scheme preserves the property of mass conservation.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(031)002【总页数】4页(P9-11,70)【关键词】Cahn-Hilliard方程;质量守恒;隐显BDF2格式;全离散【作者】饶婷;王晚生【作者单位】长沙理工大学数学与统计学院, 长沙 410114;长沙理工大学数学与统计学院, 长沙 410114【正文语种】中文【中图分类】O241.8Cahn-Hilliard方程是一个描述两种金属物质混合时随温度变化发生亚稳相分离现象的四阶非线性抛物方程. 最初是由 Cahn 和Hilliard[1]于1958年在研究热力学中两种物质(如合金、聚合物等等)之间相互扩散现象时提出的. 后来用于描述生物种群竞争与排斥现象, 固体表面上微滴的扩散等许多扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型. 近些年来, 越来越多的学者关注Chan-Hilliard方程, 对Chan-Hilliard方程的解的性质做了大量的研究工作, 获得了比较丰硕的成果. 例如, 在1996年Chen[12]等人得到了Chan-Hilliard方程解的摄动性质; Carlen和Bricmont[8,9]分别研究了Chan-Hilliard方程解的稳定性质; Chen和Zheng[10,11]等人在研究Chan-Hilliard方程解的渐进性质方面做了大量的工作, 等等.关于Chan-Hilliard方程的数值解法方面的研究也越来越受到重视. 例如, Elliott和Larsson[4]在1992年考虑Cahn-Hilliard方程的有限元方法, 并给出了有限元逼近的误差估计. 1998年, Chen和Shen[5]提出Cahn-Hilliard方程的谱方法格式, 并证明了该格式独有的高精度与数值稳定性. 2008年, He和Liu[13]考虑Cahn-Hilliard方程的Galerkin谱方法格式, 并证明了该格式的稳定性和收敛性. Feng 和Karakashian[15,16]等人在 2007年提出采用局部间断 Galerkin方法(LDG)和全离散动态网格的间断 Galerkin方法研究Cahn-Hilliard方程. 2016年, Wang、Chen 和 Zhou[1721]，采用混合有限元方法的后处理技术求解Cahn-Hilliard方程, 且数值解继承了原有的质量守恒性质和能量递减性质, 最后还获得了相应的误差估计以及负范数的误差估计等等.本文在上述研究的基础上, 采用隐显BDF2方法研究Cahn-Hilliard方程, 并讨论该格式是否保留了方程原有的质量守恒性质.1问题和记号首先考虑Cahn-Hilliard模型方程:其中∂Ω是有界域Ω ∈ℝd(d ≤3)的光滑边界,是边界∂Ω上的位势导数, u(t,x)表示两种物质之一的浓度, ε(＞0)为模型常数, u(x,0)表示给定的初值. 非线性项f(u) = F ′(u)表示内在化学能, F (u)是双井位势函数, 定义为:且初边值问题(1)满足质量守恒性质和能量衰减性质.注1 对双井位势函数 F (u)的导数 f (u)作一般的假设:(ⅰ) 存在两个常数c0>0和c1, 使得其中, 当d ≤ 2 时, 2 ≤ p ＜∞; 当 d = 3 时, p = 2.(ⅱ) 对每个η＞0, 存在一个常数c2=c2(η), 使得(ⅲ) 定义F是f在v= 0处消失的原函数, 并且存在两个常数c3和c＞0, 使得注2 为了研究Cahn-Hilliard方程, 引入一些函数空间:(ⅰ) 令Hs =H s (Ω), s ≥0, 其诱导范数是||·||s, ||·||和(·,·)分别为空间H = L2 =L2(Ω)上的范数与内积, 定义空间其中β∈ℝ,表示Ω上的平均函数, 且记= φ - m (φ).(ⅱ) 令P是L2到 H0的正交投影, 所以Pf = = f - m (f). 分别定义线性算子A 与定义域 D (A):(ⅲ) 由于A是自伴半正定的, 因此定义空间其诱导范数是|v | s = ‖ As/2v‖, 当整数s≥ 0 时,是的子集, 且范数在空间上是等价的.(ⅳ)定义G为的逆, 且Gf = GPf,f ∈ L2. 也就是说, v=Gf当且仅当 Av=Pf. 易证G在空间 H0和L2上分别是自伴正定和半正定的. 因此,|v|-1是空间 L2上的连续范数. 类似地,是空间 L2上的连续内积, 于是存在常数γ1＞0只依赖于Ω, 使得2 Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2半离散格式由于Cahn-Hilliard方程非常复杂, 难以得到其理论解的解析表达式, 因此对Cahn-Hilliard方程数值解法的研究就显得十分必要. 在这一节中, 我们讨论方程(1)的隐显 BDF2格式, 主要是对时间变量拟用BDF2格式, 对空间变量拟用隐显格式. 首先给出方程(1)的弱形式, 找到使得令时间步长且通过在时间网格JN上拟用BDF2格式能得到半离散混合格式, 即能找到使得对每个0 ≤ n ≤ N , 都有其中实际上, 将(2)中的v替换成1, 可以得到于是有即由此可知, 当n充分大时,因此上式可以写成于是离散格式意义下的Cahn-Hilliard方程依然保留有质量守恒性质, 即3 Cahn-Hilliard方程的隐显BDF2全离散格式本节在上节所介绍的Cahn-Hilliard方程的半离散的基础上, 采用有限元方法对空间变量离散.设为空间区间的一个有限剖分, 令设时间区间且记为剖分上的分段多次项式构成的有限元空间, 且于是得到方程(1)的变分形式:其中类似地, 将(3)中的 vh替换成 1, 可以得到该全离散格式意义下的质量守恒性质, 即参考文献【相关文献】[1] J.W. Cahn, J.E. Hilliard. Free energy of a non-uniform system I: Interfacial free energy [J]. J. Chem. Phys. 1958: 258～267[2] J.W.Cahn, J. E.Hilliard. Free energy of a nonuniform system II: Thermodynamic basis[J]. J.Che. Phys., 1959, 30:1121～1124[3] J.W.Cahn,J.E.Hilliard. Free energy of a nonuniform system III: Nucleation in a twocomponent incompressible fluid [J]. J. Che. Phys., 1959, 31(3):688～699[4] Elliott C M, Larsson S. Error Estimates with Smooth and Nonsmooth Data for a Finite Element Method for the Cahn-Hilliard Equation[J]. Mathematics of Computation, 1992,58(198): 603～630[5] Chen.L.Q, Shen. J, Applications of semi-implicit Fourier-spectral method to phase fieldequations[J]. Computer Physics Communications, 1998, 108(2-3):147～158[6] 余德浩. 微分方程数值解法[M]. 北京: 科学出版社, 2003[7] 孙志忠. 偏微分方程数值解法[M]. 第2版. 北京: 科学出版社, 2012[8] Carlen E A, Carvalho M C, Orlandi E. A Simple Proof of Stability of Fronts for the Cahn–Hilliard Equation[J]. Communications in Mathematical Physics,2001, 224(1): 323～340 [9] Bricmont J, Kupiainen A, Taskinen J. Stability of Cahn-Hilliard fronts[J]. Communications on Pure & Applied Mathematics, 1999, 52(7): 839～871[10] Chen X. Global asymptotic limit of solutions of the Cahn-Hilliard equation[J]. Journal of Differential Geometry, 1996, 44(1996): 262～311[11] Songmu Z. Asymptotic behavior of solution to the Cahn-Hillard equation[J]. Applicable Analysis, 1986, 23(3):165～184[12] XinfuChen, MichalKowalczyk. Exixtance of equilibria for the chn-hilliard equation via local minimizers of the perimeter[J]. Communications in Partial Differential Equations, 1996, 21(7-8):1207～1233[13] He .Y, Liu Y. Stability and convergence of the spectral Galerkin method for the Cahn-Hilliard equation[J]. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2008,24(6):1485～1500[14] J.Q Guo, W.S Wang. On the numerical solution of nonlinear option pricing equation in illiquid markets[J]. Computers and Mathematics with Applications,2014: 117～133 [15] Yinhua.Xia,Yan.Xu,Chi-Wang. Shu. Local discontinuous Galerkin method for the Cahn-Hilliard type equations [J]. Journal of Computational Physics 2007, 227, 472-491[16] X.B. Feng, O.A. Karakashian. Fully discrete dynamic mesh discontinuous Galerkin methods for the Cahn–Hilliard equation of phase transition [J]. p. 2007,76, 1093～1117[17] Zhou. J, Chen. L,Wang.Y.H.W. An Efficient Two-Grid Scheme for the Cahn-Hilliard equation [J]. Commun. Comput. Phys, 2015, 17(1): 127～145[18] Furihata D, Kovács M, Larsson S, Strong convergence of a fully discrete finite element approximation of the stochastic Cahn-Hilliard equation[J]. 2017[20] Wang X. Approximation of stationary statistical properties of dissipative dynamical systems: Time discretization[J]. Mathematics of Computation, 2010,79(269): 259～280 [21] W.S.Wang, L.Chen, J.Zhou, Postprocessing Mixed Finite Element Methods For Solving Cahn-Hilliard Equation: Methods and Error Analysis[M].Plenum Press. 2016, 67(2): 724～746[22] Wang, Wansheng. Long-time behavior of the two-grid finite element method for fully discrete semilinear evolution equations with positive memory[J].Journal of Computational & Applied Mathematics, 2013, 250(10): 161～174。
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Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2方法饶 婷, 王晚生(长沙理工大学 数学与统计学院, 长沙 410114)摘 要: Cahn-Hilliard 方程作为一类重要的四阶扩散方程已成为偏微分方程研究领域一个倍受关注的问题. 本文考虑带有Neumann 边界的Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2半离散格式和全离散格式, 并证明了该格式是质量守恒的.关键词: Cahn-Hilliard 方程; 质量守恒; 隐显BDF2格式; 全离散中图分类号: O241.8 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2018)02-0009-03IMEX-BDF2 Method for Cahn-Hilliard EquationRAO Ting, WANG Wansheng(School of Mathematics and Computational Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China) Abstract : The Cahn-Hilliard equation, as an important class of fourth-order diffusion equations, has become a major concern in the field of partial differential equations. In this paper, the Cahn-Hilliard equation with Neumann boundary is considered to be discretized by implicit-explicit BDF2 method. It is proved that the scheme preserves the property of mass conservation.Key words : Cahn-Hilliard equation; mass conservation; implicit-Explicit BDF2; full-discrete schemesCahn-Hilliard 方程是一个描述两种金属物质混合时随温度变化发生亚稳相分离现象的四阶非线性抛物方程. 最初是由 Cahn 和Hilliard[1]于1958年在研究热力学中两种物质(如合金、聚合物等等)之间相互扩散现象时提出的. 后来用于描述生物种群竞争与排斥现象, 固体表面上微滴的扩散等许多扩散现象的研究中也提出了同样的数学模型. 近些年来, 越来越多的学者关注Chan-Hilliard 方程, 对Chan-Hilliard 方程的解的性质做了大量的研究工作, 获得了比较丰硕的成果. 例如, 在1996年Chen [12]等人得到了Chan-Hilliard 方程解的摄动性质; Carlen 和Bricmont[8,9]分别研究了Chan-Hilliard 方程解的稳定性质; Chen 和Zheng [10,11]等人在研究Chan-Hilliard 方程解的渐进性质方面做了大量的工作, 等等.关于Chan-Hilliard 方程的数值解法方面的研究也越来越受到重视. 例如, Elliott 和Larsson[4]在1992年考虑Cahn-Hilliard 方程的有限元方法, 并给出了有限元逼近的误差估计. 1998年, Chen 和Shen [5]提出Cahn-Hilliard 方程的谱方法格式, 并证明了该格式独有的高精度与数值稳定性. 2008年, He 和Liu[13]考虑Cahn-Hilliard 方程的Galerkin 谱方法格式, 并证明了该格式的稳定性和收敛性. Feng 和Karakashian [15,16]等人在2007年提出采用局部间断Galerkin 方法(LDG)和全离散动态网格的间断Galerkin 方法研究Cahn-Hilliard 方程. 2016年, Wang 、Chen 和 Zhou [1721]，采用混合有限元方法的后处理技术求解Cahn-Hilliard 方程, 且数值解继承了原有的质量守恒性质和能量递减性质, 最后还获得了相应的误差估计以及负范数的误差估计等等.本文在上述研究的基础上, 采用隐显BDF2方法研究Cahn-Hilliard 方程, 并讨论该格式是否保留了方程原有的质量守恒性质.1问题和记号首先考虑Cahn-Hilliard 模型方程:收稿日期: 2018-03-24基金项目: 国家自然科学基金项目(11771060, 11371074)作者简介: 饶 婷(1994− ), 女, 湖南常德人, 硕士研究生. 主要研究方向: 微分方程数值解 通讯作者: 王晚生(1977− ), 男, 湖南株洲人, 教授. 主要研究方向: 微分方程数值解第31卷 第2期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.31No.22018年6月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Jun. 201810 湖南理工学院学报(自然科学版) 第31卷20, > 0,(,0) = (), (),0, , > (), ,0.t u x u x u u f u x t x w u u f u x wv t vεε∂+∆=∆∈Ω∂∈Ω⎧⎪⎪⎪⎨-∆+⎪⎪∂==∈∂Ω=∂⎩∂∂⎪ (1) 其中∂Ω是有界域(3)d d Ω∈≤ 的光滑边界, v∂∂是边界∂Ω上的位势导数, (,)u t x 表示两种物质之一的浓度, (0)ε>为模型常数, (,)u x 0表示给定的初值. 非线性项()()f u u F '=表示内在化学能, ()F u 是双井位势函数, 定义为:02,()()()(1)d .uf f u u u F u s s ==-⎰且初边值问题(1)满足质量(,)d u x t x Ω⎰守恒性质和能量2()(()||)d 2u F u u x εεΩ=+∇⎰衰减性质.注1 对双井位势函数()F u 的导数()f u 作一般的假设:() ⅰ存在两个常数0>0c 和1c , 使得201(),.p f v v pc v c v -∀∈≥其中, 当2d ≤时, 2p <∞≤; 当3d =时, =2p .() ⅱ对每个0η>, 存在一个常数22()c c η=, 使得202|()|(),.p f v c v c v ηη+∀∈≤() ⅲ定义F 是f 在= 0v 处消失的原函数, 并且存在两个常数3c 和0c >, 使得22030313() ,,22 p p c v c F v c v c v -+∀∈≤≤(),.F v c v ''-∀∈≥注2 为了研究Cahn-Hilliard 方程, 引入一些函数空间:()ⅰ 令(), 0s s H H s =Ω≥, 其诱导范数是||||s ⋅, ||||⋅和(,)⋅⋅分别为空间22()H L L ==Ω上的范数与内积, 定义空间*0(),{,,10}, {,()}.s s s s ss s H H H v H v H H m βϕϕβ---==∈〈〉==∈=其中β∈ ,211()(), ()(())||m x dx L L ϕϕϕΩ=∈ΩΩΩ⎰或, 表示Ω上的平均函数, 且记()m ϕϕϕ=-.()ⅱ 令P 是2L 到0H 的正交投影, 所以()Pf f f m f ==-. 分别定义线性算子A 与定义域()A : A =-∆,20(){: 0,}.v A v H H ν∂=∈⋂=∂Ω∂ ()ⅲ 由于A 是自伴半正定的, 因此定义空间/2()s s H A = , 其诱导范数是/2||s sv A v =‖‖, 当整数0s ≥时, s H 是0s H H ⋂的子集, 且范数||s ⋅和||||s⋅在空间s H 上是等价的. ()ⅳ 定义G 为20H H → 的逆, 且2=, G GPf f f L ∈. 也就是说, =v Gf 当且仅当=Av Pf . 易证G 在空间0H 和2L 上分别是自伴正定和半正定的. 因此,11211|(,)|||sup,||Hv v G v v χχ-∈==‖‖ 1||v -是空间2L 上的连续范数. 类似地, 1211212(,) = (,) = (,)v v Gv v v Gv -是空间2L 上的连续内积, 于是存在常数10γ>只依赖于Ω, 使得第2期 饶 婷, 等: Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2方法 11111|||()|,v v m v v v H γ-=-∇∀∈≤‖‖.2 Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2半离散格式由于Cahn-Hilliard 方程非常复杂, 难以得到其理论解的解析表达式, 因此对Cahn-Hilliard 方程数值解法的研究就显得十分必要. 在这一节中, 我们讨论方程(1)的隐显BDF2格式, 主要是对时间变量拟用BDF2格式, 对空间变量拟用隐显格式. 首先给出方程(1)的弱形式, 找到11,u Hw H ∈∈ 使得 1(,)(,)0, ,u v w v v Ht∂+∇∇=∀∈∂ 1(,)((),)0, ,u f u w Hεχχχ∇∇+-=∀∈ 0(,0)(),.u x u x x =∀∈Ω令01:0n t t t J =<<<< , 1:[,]n n n I t t +=, 时间步长1:n n n k t t +=-, 且0sup n n k k =≥. 通过在时间网格N J 上拟用BDF2格式能得到半离散混合格式, 即能找到1111,n n u Hw H ++∈∈ , 使得对每个0n N ≤≤, 都有 111(,)(,) 0,,n n t u v w v v H++∂+∇∇=∀∈ (2) 1111(,)((2),) (,),,n n n n u f u u w Hεχχχχ+-+∇∇+-=∀∈ 其中01110(34) 2,/n n n n t n u u u u u u k ++-+=∂=-. 实际上, 将(2)中的v 替换成1, 可以得到111,1)034(,)(2n n n n t nuu u u v k +-+-+==∂.于是有11, 13((), 1)n n n n u u u u +-=--, 即1112210111(d (d (d (d 333))))n n n n n n nu u x u u x u u x u u x +---ΩΩΩΩ-===--=-⎰⎰⎰⎰.由此可知, 当n 充分大时, 103n →. 因此上式可以写成110d d d d n n n u x u x u x u x +-ΩΩΩΩ====⎰⎰⎰⎰ .于是离散格式意义下的Cahn-Hilliard 方程依然保留有质量守恒性质, 即110d 0,d ()d ,0.n n t u x u x u x x n ++ΩΩΩ∂==∀⎰⎰⎰≥3 Cahn-Hilliard 方程的隐显BDF2全离散格式本节在上节所介绍的Cahn-Hilliard 方程的半离散的基础上, 采用有限元方法对空间变量离散. 设01:0h M I x x x =<<<=π 为空间区间[0,]I =π的一个有限剖分, 令10, =sup j j j j j h x x h h +=-≥. 设01:01n t t J t =<<<= , 时间区间11:[,], :n n n n n n I t t k t t ++==-, 且0sup n n k k =≥. 记h S 为剖分h I 上的分段多次项式构成的有限元空间, 且2200{|0,}h u S H u u H ν∂⊂=∈=∂Ω∂且.于是得到方程(1)的变分形式:111111(,)(,)0,,(,)((2),)(,),(0).,h h h h h h n n t h h h h n n n n h h h h h n h u v w v v S u f u u w S u S εχχχχ+++-++∂+∇∇=∀∈∇∇+-=∀∈∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (3) (下转第70页)70 湖南理工学院学报(自然科学版) 第31卷确保轴套形变量满足设计要求, 从而实现主轴与机械密封轴套可靠传递扭矩, 提高设备使用寿命.通过计算、模拟分析, 准确判断机械密封传动锁紧机构故障, 并采取针对性维护、预防措施, 有效地避免对机械密封进行解体维护而导致的长周期非计划停车事故. 由此可见, 理论计算以及计算机模拟等数据支持在设备维护方面的作用尤为重要, 同时也是设备精细化管理的必要条件之一.参考文献[1] 龚曙光. 有限元分析与ANSYSAPDL 编程及高级应用[M]. 北京: 机械工业出版社, 2009 [2] 龚曙光. ANSYS 工程应用实例解析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003 [3] 郝木明. 机械密封技术及应用[M]. 北京: 中国石化出版社, 2014[4] 苗恩铭, 费业泰. 两种膨胀系数热变形计算误差分析[J]. 工具技术, 2003, 37(9): 43~45(上接第11页)其中111342h h hh n n n n t n u u u u k +-+-+∂=. 类似地, 将(3)中的h v 替换成1, 可以得到该全离散格式意义下的质量守恒性质, 即110d 0,d ()d ,0.h h n n t u x u x u x x n ++ΩΩΩ∂==∀⎰⎰⎰≥参考文献[1] J.W. Cahn, J.E. Hilliard. Free energy of a non-uniform system I : Interfacial free energy [J]. J. Chem. Phys. 1958: 258~267 [2] J.W.Cahn, J. E.Hilliard. Free energy of a nonuniform system II : Thermodynamic basis [J]. J.Che. Phys., 1959, 30:1121~1124[3] J.W.Cahn,J.E.Hilliard. Free energy of a nonuniform system III : Nucleation in a twocomponent incompressible fluid [J]. J. Che. Phys., 1959, 31(3):688~699[4] Elliott C M, Larsson S. Error Estimates with Smooth and Nonsmooth Data for a Finite Element Method for the Cahn -Hilliard Equation [J]. Mathematicsof Computation, 1992, 58(198): 603~630[5] Chen.L.Q, Shen. 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