双曲型方程的差分方法(精)

双曲守恒律方程及其差分方法

双曲守恒律方程及其差分方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊双曲守恒律方程及其差分方法。

你说这双曲守恒律方程啊，就像是个调皮的小精灵，总是在数学的世界里蹦来蹦去，让人又爱又恨。

它描述的那些物理现象，就好像是一场奇妙的冒险，充满了未知和惊喜。

想象一下，各种物质的流动、变化，都能被这双曲守恒律方程给捕捉到。

它就像一个超级敏锐的观察者，不放过任何一个细微的动态。

而这差分方法呢，就像是给这个小精灵套上了缰绳，让我们能够更好地驾驭它，去探索那些神秘的领域。

你看啊，差分方法就像是一把神奇的钥匙，能打开双曲守恒律方程背后隐藏的秘密。

它通过巧妙的计算和分割，把复杂的问题变得简单易懂。

这就好比我们走路，一步一步稳稳当当，把长长的路给走完。

比如说，在研究流体流动的时候，双曲守恒律方程就发挥着重要作用。

差分方法能让我们更准确地预测流体的行为，就像是能提前知道水流会往哪里拐，风会往哪里吹。

这多厉害呀！要是没有这差分方法，那我们对这些自然现象的理解可就要大打折扣了。

而且啊，这双曲守恒律方程和差分方法可不是孤立存在的。

它们就像一对好搭档，相互配合，共同攻克一个又一个难题。

就好像篮球场上的队友，互相传球，一起为了胜利而努力。

咱再想想，要是没有对双曲守恒律方程及其差分方法的深入研究，那很多现代科技还能发展得这么快吗？那些酷炫的特效、精确的模拟，不都得靠它们嘛！这可不是随便说说的，这是实实在在的贡献啊！双曲守恒律方程及其差分方法，它们不仅仅是数学中的概念，更是打开科学大门的重要工具。

它们让我们能够更深入地理解这个世界，让我们的生活变得更加丰富多彩。

所以说啊，别小看了这双曲守恒律方程及其差分方法。

它们就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去发掘，去探索。

它们的价值和意义，远远超出了我们的想象。

总之，双曲守恒律方程及其差分方法，那可是相当重要啊！我们可得好好研究，好好利用，让它们为我们的生活带来更多的惊喜和进步！这就是我对它们的看法，你们觉得呢？。

双曲型方程的一类高精度带参数差分格式

第２卷第２期３２１００年６月
湖南理丁学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｕａｓｔｔｏｉｃｄＴｃｎｌｇＮｔｒｌｃｎｅ）ｏｒａｏＨｎｎＩｔｕｅｆｃｅｅｎｈｏｏｙ（ａａＳｉｃｓｎｉＳｎａｅｕｅ
１差分格式的构造
设局部节点集为
｛ｌｆ，Ｘ－ｉＩ－ｔ－（ｆ，，，ｔ，ｊｌｎＩ（ｊｌ，＋ｆ）．（，）ｊ＇－，－ｎ），川）），（＋ｔ）Ｘ＋ｆｊ）－（ｌｎ），＋，（）ｘ，＋，，），
了格式的稳定性．并用数值例子验证了理论分析的结果．
关键词：一维双曲型方程；组合差商解法；隐式差分格式；高精度
中图分类号：２１Ｏ４．８
文献标识码：Ａ
文章编号：６２５９（０００．０４０１７－２８２１）２０１．３
Ｈｉｈ－ｅｉｅＳｈｍｅｔｒｍｅｅｒｇ－ＰｒｃｓｃｅｓｗｉｈＰａａｔｒｆｏ
ＶＯ．３Ｎｏ２Ｉ．２Ｊｎ２１ｕ．００
双曲型方程的一类高精度带参数差分格式
方春华，董应珍２
（．湖南理工学院数学学院，１湖南岳阳４４０；．阳县黄沙中学，湖南岳阳４４０）１０６２岳１１０
摘
要：用组合差商解法对一阶一维双曲型方程构造出一类截断误差为Ｄ＾的带参数的三层隐式差分格式，（＋）分析
ｌｅｒｈｐｒｏｉｑａｉｎｗｉｏｉａｉｎｄｆｅｅｃｅｏｕｉｎａｄｉｏａｒｎａｉｎｅｒｒｉｆｏｄｒｔ４．ｈｕｈｒｉａｙｅｂｌｅｕｔｔｃｍｂｎｔｉｒｎｅｒｓｌｔ，ｎｔｌｃｌｕｃｔｒｓｏｒｅｒ＋ｈ）Ｔｅａｔｏｎｃｏｈｏｏｓｔｏｏｏ

5-双曲型方程的差分方法(2)

(2) 迎风格式：
u n +1 − u n j j
τ
u
n +1 j
+ an j +a
n j
u n − u n−1 j j h u
n j +1
=0 =0
an ≥ 0 j an < 0 j
−u
n j
−u h
n j
τ
u n+1Байду номын сангаас− u n j j
写成统一的形式，写成统一的形式，有：
τ
+a
n j
(1) Lax − Friedrichs 格式：格式：
u
n +1 j
1 n n − u j + 1 + u j −1 u n+ 1 − u n−1 j j n 2 +aj =0 τ 2h
(
)
冻系 ” 分稳性不格： “ 结数法析定（严）先 a看与 , j无的数用把作 n 关常， Fourier 方得稳定件再指变。法到定条后使标化
对第l个方程，构成迎风格式，有： w
n +1 lj
=w −
n lj
λ
2
λl ( w
n lj +1
−w
n lj −1
) + 2 λ (w
l
λ
n lj +1
− 2w + w
n lj
n lj −1
)
写成矩阵形式： w
n+1 j n j
= w − Λ ( w − w ) + Λ ( w − 2w + w 2 2

2-双曲型方程的差分方法

其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2

代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j

a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n

2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j

求解双曲型守恒律的半离散中心差分格式_陈建忠

图 1 中心差分
和左边的中间值。 C (v 曼扇连接 v
1 j+
2
1 j+
2
,v
+ 1 j+
2
) 是相空间中通过黎
[ 4]
= 1 (Δ++Δ - ), 则 2 bj =θ vj , j Δ +Δ - – cj =[ θ vj - (1 - θ jΔ 0– j )(v ′ 1 )j ] , d j =(– vj - bj /2 4) 选取 (v′ MM { α (v – – 1 )j = j+ 1 - v j ), α (– vj - v – j- 1 )}
∫
(10)
1 1 1 式中 Δxj +1 = xj +1 t, Δx j =x j+1 x - Δt( a j- 1 +a j+1 )。 , r - xj + , l = 2aj + Δ , l - xj- , r =Δ 2 2 2 2 2 2 2 2
n
n
n
n
n
n
n
运用辛甫生公式近似式 (9)、式 (10)右端的通量积分 ,
n+ 1 1 j+
n+ 1 1 j+ 2
n+ 1 j
λ a j+1 (λ aj +1 ) 1- λ a j+1 dj +dj +1 1 2 2 2 =[ + ] (bj +bj +1 ) + (cj - cj+1 ) + 16 8 12 4 2 1 Δx j+1 2 [ f(v(x ∫
tn
1 tn +

【计算流体力学】第3讲-差分方法1

a2u j
a3u j1+a4u j+2
扰动波传播方向
… j-2 j-1 j j+1 …
更多地使用上游信息
一般双曲守恒律方程
u f (u) 0 t x
f (u) f (u) f (u)
u f + f 0 t x x
df (u) 0 du
df (u) 0 du
例：
f 1 f u
u x j
时间积分，计算出下一时刻的值
u lim u(x x) u(x) u j1 u j
x j x0
x
x
沿各自方向一维离散
➢多维方程的差分法：维数分裂
u f1(u) f2 (u) 0 t x y
u
1. 构建差分格式
x j
已知均匀网格点上物理量的分布为uj ，
f1
x
f1
x
f2
y
f2
y
RAE2822翼型周围的网格
问题：原先需要计算2次导数，变换后需要计算4次，计算量增加 ✓利用坐标变换的性质，可以合并
14
坐标变换Jocabian系数的计算
已知 x x( ,)
y
y(
,)
需计算： x ,y ,x ,y
Step 1: 利用差分（或其他方法）计算出
网格间距变化要缓慢，否则会带来较大误差
12
方法2）在非等距网格上直接构造差分格式（不易推广到高维）
原理：直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数
u x
j
a1u j2
a2u j1 a3u j
a4u j1 O(3 )
… j-2 j-1 j

41-波动方程的差分逼近知识讲解

41-波动方程的差分逼近第五章双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1）其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3）解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-）（6）针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7）再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10）按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14）其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15）即1r ≤，此为必要条件。