双曲型方程的有限差分并行迭代算法
二阶非线性双曲型方程的近似解法
二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。
这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。
因此，我们需要求取它的数值解。
求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。
以下我们分别介绍这些方法。
1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。
常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。
2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。
它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。
通过求解方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。
3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。
例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。
神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。
这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。
总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。
具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。
我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。
双曲型偏微分方程组的数值解法研究
双曲型偏微分方程组的数值解法研究双曲型偏微分方程组是描述波动、传播、传输等现象的常见数学模型之一，在各个科学领域中都有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组通常具有复杂的特征，其解析解往往难以求得，因此需要用数值方法求解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的数值解法，并分析其优缺点，以及应用举例。
双曲型偏微分方程组的数值解法可以分为两类，即有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将区域分割成网格，通过在网格上构建差分格式来近似微分方程，进而求解数值解。
有限元方法则是利用变分原理，将微分方程转化为弱形式，再通过有限元空间的数值逼近来求解数值解。
下面我们将分别介绍这两类方法。
有限差分方法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
这类方法的基本思想是将区域划分成网格，通过差分逼近微分算子，将微分方程转化为代数方程组，进而求解数值解。
通常有限差分方法分为显式和隐式两种。
显式差分方法是根据精确度和稳定性的需求，选择合适的差分格式，将数值解的某一时刻的计算公式，仅由该时刻之前的数值解和已知的初值组成，计算简单，但存在较为严格的稳定性限制。
隐式差分方法则以更加严格的精确性和稳定性为代价，使用迭代法求解非线性代数方程组，计算复杂，但稳定性更加优良。
有限差分是求解双曲型偏微分方程最常见的数值方法之一。
虽然有限差分法计算公式简单，但是稳定性限制较高，当空间步长、时间步长不足以满足稳定性条件时，容易产生不稳定性及不合理的解，这是有限差分法的致命弱点之一。
此时有限元法常被作为替代方法。
有限元方法是求解双曲型偏微分方程另一种常用的数值方法。
有限元法基于变分原理，把求解微分方程转化为求最小值问题。
首先，将问题的定义域划分为若干子区域，然后在每个子区域内选取适当的试函数，通过构造一个弱变分解，就可以得到一个线性代数方程组。
有限元法具有更广泛的适用范围，解高维复杂结构问题时可以体现其独特性。
虽然有限元法可以处理不规则区域，但是计算量较大，常会出现稳定性的问题。
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述
双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述双曲型偏微分方程的求解及其应用文献综述一、引言双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equation，简称HPDE）在物理、工程、生物等众多领域都有广泛的应用。
这类方程的求解问题一直是数学界研究的热点和难点。
本文将对双曲型偏微分方程的求解及其应用方面的文献进行综述。
二、双曲型偏微分方程的求解方法1.分离变量法分离变量法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
该方法通过将方程中的未知函数分离成不同的变量，使方程化简为多个常微分方程，从而简化求解过程。
例如，在求解二维波动方程时，可以将未知函数分离为x和y两个方向的函数，得到一系列的一阶常微分方程，再利用初始条件和边界条件求解。
2.行波法行波法是一种基于双曲函数展开的求解方法。
该方法通过将方程的解表示为双曲函数的展开形式，利用双曲函数的性质，得到方程的通解。
例如，在求解一维波动方程时，可以将解表示为双曲正弦函数的展开形式，再利用初始条件和边界条件求解。
3.有限差分法有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法。
该方法将连续的空间离散化为有限个离散点，将偏微分方程转化为差分方程，再利用迭代或递推的方式求解。
有限差分法在求解双曲型偏微分方程时具有简单、直观、易于编程等优点。
4.变分法变分法是一种通过寻找能量泛函的极值来求解偏微分方程的方法。
该方法将偏微分方程转化为变分问题，利用变分的性质和极值条件，得到方程的近似解。
变分法在求解双曲型偏微分方程时可以获得精确的数值解。
三、双曲型偏微分方程的应用1.波动问题双曲型偏微分方程在波动问题中有着广泛的应用。
例如，在地震波传播、声波传播、电磁波传播等问题中，都可以用双曲型偏微分方程来描述。
通过求解双曲型偏微分方程，可以得到波的传播速度、传播方向、振幅等特征。
2.流体动力学问题双曲型偏微分方程在流体动力学问题中也有重要应用。
例如，在空气动力学、水动力学等问题中，可以用双曲型偏微分方程来描述流体的运动规律。
5-双曲型方程的差分方法(2)
(2) 迎 风 格 式 ：
u n +1 − u n j j
τ
u
n +1 j
+ an j +a
n j
u n − u n−1 j j h u
n j +1
=0 =0
an ≥ 0 j an < 0 j
−u
n j
−u h
n j
τ
u n+1Байду номын сангаас− u n j j
写成统一的形式， 写成统一的形式，有：
τ
+a
n j
(1) Lax − Friedrichs 格式： 格式：
u
n +1 j
1 n n − u j + 1 + u j −1 u n+ 1 − u n−1 j j n 2 +aj =0 τ 2h
(
)
冻 系 ” 分 稳 性 不 格 ： “ 结 数 法 析 定 （ 严 ） 先 a看 与 , j无 的 数 用 把 作 n 关 常 ， Fourier 方 得 稳 定 件 再 指 变 。 法 到 定 条 后 使 标 化
对第l个方程，构成迎风格式，有： w
n +1 lj
=w −
n lj
λ
2
λl ( w
n lj +1
−w
n lj −1
) + 2 λ (w
l
λ
n lj +1
− 2w + w
n lj
n lj −1
)
写成矩阵形式： w
n+1 j n j
= w − Λ ( w − w ) + Λ ( w − 2w + w 2 2
双曲型方程的含参分组显式并行算法
文 章 编 号 ：０４—１２ （０ ７ ０ ０ ２ ０ １０ ７９ ２０ ）４— ３ ８— ４
双 曲型 方 程 的含 参 分 组 显 式 并 行 算 法
刘轶 中 ， 何 花
（． １贵州 大学 数 学系 ， 贵州 贵 阳 ５ ０ ２ ； ． ５ ０ ５ ２ 湖南 株洲 市第 十五 中学 ， 湖南 株洲 ４ ２０ ） １０ ０
ｒｌ １ 咖 ］ ＋ 『 一（ 一
（） ７
（ ） １＋（ ０）］ １一 ［ １— ｒ螃 ＋（ ｒ（ １一 ） １—０）吐： ， ｒ ｝
它们 在 （ ， ）处 的截 断误差 分别 为 ｔ
＝
譬— ［ 二
警 ［
一。ｕ＋ｒ） ｒｌｌ。＾ ］０ （ ， ＿ ａ ＿ ２ ｚ ｕ
摘 要 ： 双 曲型 方 程 ｕ 对 ＋ｏ ＝０构 造 一 族 含 双 参 数 的有 效 分 组 显 式 并 行 算 法 （ Ｅ Ｇ Ｌ Ａ Ｅ） 当 ０≤ ｕ Ｇ Ｒ， Ｅ ， Ｇ ．
．
。 ・≥ ｌ ， ， 时 稳定性条件 一般为 。＜ｒ ≤ｍｉ ｛ ｎ ｒ ， １ ｝ 其 局部 截 断 误 差 一 般 为 。 ， ）特 别 当 取 ＋ （ ｒ＋ ，
有 单 边边 界条 件 ， 对 双 曲型方程 串行差 分格 式 的并 行 化是 一 件 很 不容 易 的 事情 ， ｖｎ 和 Ｓｈｍｉ 故 Ｅ ａｓＤ Ｊ ａｉ Ｍ Ｓ在文 献 ［ ］ １ 中给 出的分 组显式 格 式 ， 已被证 明是 不 稳 定 和不 适 用 的算 法 ， 张 宝 琳 、 同祥 等 人 在 文献 而 谷 ［］ ２ 中给 出 的交 替 分组显 式 和交 替分 组显 —— 隐方 法 ， 然针 对 文献 ［ ］ 虽 １ 的算 法 有 了很好 的改 进 ， 却使 但 用 了错误 的差 商 ， 从而 造成 了结 果 的不相 容 ， 文针对 下述 的双 曲型方程 的初边值 问题 本
2-双曲型方程的差分方法
其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2
代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n
2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j
解双曲型方程的分组并行格式
警１ ＋ ［ｒ － ｛
】 ＋ ０ （
．
警 － 崭 】 。） ［ｒ １＋ （； ｈ ２
１、 １— ４
＝
＝ ＜１ ，稳定 性条件 为 ｒ ０且 ｒ ． 特别 当参数 Ｏ＝ １ 时 ＞ ≠１ Ｌ
、
＝
时 ，Ｇ Ｅ、Ｇ Ｌ格式 的 Ｅ
局部截断误差阶为０７＋ ， （ ｈ） 稳定性条件为０ ｒ － ＜ ÷．
１ 构造各种分组并行格式
设题 ） Ｍ， 分滑于，方 （可如关式 问（的 （） 光，是由程１得下系 ≥＝ １解 ｘ充 ｔ ）
０ 引言
设 数 学模 型为
ｆ 口 ＝ ＋ ０
０
￡０口 ０ ＞，＞
｛ ）厂） ０ Ｌ Ｍ ， ： ≤≤ （０ （
【ｏ）ｇ） ￡０ Ｍ ｌ：（ ｉ， ￡ ＞
（ ）
由于对此方程的计算具有极强的方向性 、不具有绝对稳定的显格式、一般不具有对角 占 优性且仅具 有单边 边 界条件 ，故对双 曲型 方 程 串行 差 分 格 式 的并 行 化 是 一 件 很 不 容 易 的 事 情． Ｄ ＪＥ ａｓ和 Ｍ． ．． ｖｎ Ｓ Ｓｈ ｉ ａｉ 在文献 ［ ］ ｍ ６ 中给出的分组显式格式 ，已被证明是不稳定和不适定 的算法 ，而张宝琳、谷同祥等人 在文献 ［ ］ ３ 给出的交替分组显式和交替分组显——隐方法 ，虽然针对文 ［ ］ ６ 的算法有了很好的改进 ，却 使用 了错误 的差 商 ，造成 了结果 的不 相容 ．又从 已有 文献 看 ，尚未发 现绝 对稳 定或 具有 二 阶精度 的 Ｇ 、 Ｅ
Ｌ ｊ
ｌ ： 。 ＋， 口一 。＋ ： ＋ 嵋
其中
（ ／－ ０ ！！ ） ！ ） １ — —ａ ｆ １） ｒ２ ａ＋３ ２ —Ｔ （ ±一 ． ｌ ｒ ＋ － ！二 而 ； ＝ ＋（ ｌ 。
线性双曲型方程及其解法
线性双曲型方程及其解法线性双曲型方程是一类常见的偏微分方程，特点在于其解对于初值和边界条件的依赖性极强。
在许多物理现象中，线性双曲型方程起到了重要的作用，例如波动方程、热传导方程等等。
在解决这些问题时，我们需要掌握一些解法，包括经典解法以及现代解法。
一、经典解法线性双曲型方程的经典解法主要包括分离变量法、叠加法、变系数法等等。
其中，分离变量法是最为常用的解法之一，它的基本思路就是将一个多变量函数分解为单变量函数的乘积，通过对每个单变量函数求解，最终得到整个多变量函数的解。
以波动方程为例，设其为二维方程，即：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$$首先，我们可以将其分解为两个一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = p(x)q(t)u$$$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = q(t)p(x)u$$为了方便求解，我们假设$p$和$q$都是单变量函数，并分别对它们进行求解。
最终，我们可以将两个单变量函数的解合并起来，得到整个多变量函数$u$的解。
除此之外，叠加法和变系数法也是线性双曲型方程的常见解法。
其中，叠加法的基本思路就是将多个单变量函数的解进行叠加，最终得到整个多变量函数的解；而变系数法则是将线性双曲型方程中的系数视作一个变量，通过对其进行变化，将原问题的求解转化为对变化后问题的求解。
二、现代解法除了经典的解法之外，现代数学中还出现了一些新的解法，例如偏微分方程有限元法、偏微分方程有限差分法、偏微分方程网格方法等。
这些解法通过离散化和数值方法，将原问题的求解转化为对离散变量的求解，进而得到原问题的完整解。
以偏微分方程有限差分法为例，它的基本思路是通过将偏微分方程中的导数用有限差分的方式来近似，将原问题转化为一个差分方程组的求解。
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表３当ｆ＝ｕ∞。＾＝Ｆ，１帅时的绝对误差（ｆ＝１）
１铀ｋ ３ Ａｂ臼０ｌＩ吐ｅ ｅ肿ｒｗｈ啊ｆ＝１，２０．＾＝Ｆ，１００（，＝１
表２当ｆ＝ｌ肿，＾＝州舳时的绝对误差（ｆ＝１）
Ｔａｂｋ ２ Ａｈ龇ｅ珊ｒｗｂ即ｆ＝ｌ脚，＾＝Ｆ，舯（ｆ＝１）
参考文献：
岫ｂ。ｑ“ｎｏｍ【Ｊ．．Ｉｎｈ ［１］ＥＶ“ｓＤ Ｊ，ＡＢＤｕｕＡＨ Ａ Ｒ Ｂ ｃ删ｐ ｅｘｐｌｉｃｉｔ眦山Ｄｄｆｏｒ Ｊ ｃ“掣目Ｍ讪，１９８３，１４： ７３—１０５．
ｕ：＝妒．（ｍ＾），ｍ＝１，２，…，Ｊ—ｌ，
只譬：妒：（ｍ＾） 在第一时间层Ｉ：，用二阶精度的中心差分公式 （７）
逼近式（２）的第二式．并在差分方程（６）中令ｎ＝
Ｏ，得
２ｎｔⅡ：＋ｎ２（Ⅱ＿＋ｌ＋Ｈ：１）＝Ⅱ３“：＋ｎ４（“：＋ｌ＋
ｕ：一１）一Ⅱ５ Ｍ：１＋ｎ６（¨：：１＋ｕ：１１）．
（８）
由（７）式解出“：１并代人式（８），即得第一时间层 上的汁算公式（差分方程组）
Ｇ．）一１｜＿２｜｜（Ｐ．，一Ｇ２）（Ｐ。Ｊ＋Ｇ２）一１｛Ｉ：．
（１４）
容易求得矩阵Ｇ，的特征值为＾．＝ｏ，，Ａ，＝。。一
０２（，＝２，４，’’。，，一２），＾Ｊ＝ｏｌ＋８２（，＝３，５，’。‘， ，一１．从前面ｎ。和ｎ：的定义易知，矩阵Ｇ。的特
征值全大于零，故Ｇ，是正定矩阵．同理可知Ｇ：
也是正定矩阵．因此，由引理１知，不等式（１４）中
的最后两个范数均小于１，故ｐ（丁）＜】．证毕， 与上类似，还可以构造求解差分方程组（９）的
迭代公式
ｒｙ‘‘“＝（ｐ：，＋西１）一１［（Ｐ２Ｊ一西２）ｕ‘”＋巾］，
｛ｃ，‘‘…＝（ｐ２，＋舀１）一‘［（Ｐ：，一否。）ｙ‘‘“＋中］，
【
后：ｏ，ｌ，２，…，
（１５）
其中ｐ２＞０是常数，而
ｕ＝（ｎ；，ｕ：，…，“ｊ一，）７，
口＝（声ｌ，≠：，…，庐，１）７，
芦ｌ＝（。６一ｎ２）Ⅱ；＋Ⅱ３ Ｍ？＋ａ４（Ⅱ；＋Ｍ：）＋
２ｄ５婶２（＾）一２０６ｒ［妒２（ｏ）＋驴２（２＾）］，
≠。＝啦以＋口４（以一１＋“：＋１）＋２口５婶２（柚）～
故此时迭代法式（１３）的收敛速度达到最快． 定理３的证明与文献［７］相同，故略去． 由于迭代法式（１３）、（１５）的整个计算过程都
是显式的（向量化），而且各分量的计算量又基本 相同，所以上述差分方程组迭代算法非常适合于 在并行机（或向量机）上进行汁算
３数值算例
设初边值问题式（１）～（３）中的Ａ＝ｌ，曰＝３，
Ｄ＝１，己＝丌，妒】（ｘ）＝ｓｉｎｚ，甲２（ｚ）＝一２ｓｉｎ ｘ，
≯．（￡）＝妒：（ｆ）＝Ｏ，则此问题有解析解ｕ（ｚ，ｔ）＝
２差分方程组的并行迭代算法
差分格式（６）是三层隐格式，在每一个时间层
上都要求解差分方程组
ＧＵ＝Ｆ．
（１０）
其中
２０Ｉ
０２
ｎ２
Ｇ＝
２ｎ】
口２
０２ ２０１
０２
ｏ２
２０ｌ
ｕ＝（ｕ：．。，ｕ：¨，…，ｕ：！
Ｆ＝（＾，五，…，＾一．）１
＾＝一Ⅱ２Ⅱ：＋１＋Ⅱ３“：＋口４（“；＋“；）一。５“：叫＋
８６（Ｍ：“＋以。１），
（ｘ。，ｆ。）＝（衲，ｗ）处的数值解记为Ⅱ：，则可用
如下三层九点隐式差分方程逼近微分方程（１）：
ｊ｝《（“：１＋ｕ＃１）＝ｉ叁霹（ｕ：＋一＋ｌｏ“：＋
“：一。）＋是（“：＋。＋‰：＋ｕ：．）＋等（“＝１＋
２Ⅱ：＋Ⅱ＝１）＋岩醴Ⅱ：，
（４）
万方数据
第３期
金承日，等：双曲型方程的有限差分并行迭代算法
其中盈和醴分别表示关于变量￡的一阶和二阶 中心差分，醴表示关于变量ｘ的二阶中心差分 差分方程（４）中的最后一项是误差校正项，其作用 是提高差分方程的逼近精确度．
由式（１）易知
雾＝一袅＋曰嘉＋Ｄ雾，㈥
将差分方程（４）两端的各函数值均在结点（ｚ。，￡。）
处进行泰勒展开，并利用式（５）进行整理，立刻得
知差分方程（４）的局部截断误差阶为Ｏ（ｒ２＋
ｒ２＾２＋＾４）
为了方便起见，将差分式（４）简化成如下 形式：
２ｄ１ Ｍ＝１＋０２（Ｍ■】＋Ｍ：１】）＝。３“：＋
ｎ４（“：＋Ｉ＋Ｍ：１）一Ⅱ５Ⅱ＊１＋
Ｇ＝Ｇ１＋Ｇ２，
（１１）
其中Ｇ．＝ｄｉａｇ（口，，Ｑ２，Ｑ４，…，Ｑｐ ２）和Ｇ：＝ｄｉａｇ
（口。，Ｑ ３’一，ＱＪ一，，ａ。）均为Ｊ—ｌ阶分块对角矩
阵，其对角块２：【吼啦】，，：ｌ，２，…，，一２．将
分解式（１１）代入式（１０），得
ＧｌＵ＋Ｇ２Ｕ＝Ｆ，
由此进一步得等价方程组
｛‘Ｐ，Ｊ＋Ｇ，）￡，２（Ｐ－，一Ｇ２）ｕ＋Ｆ， （１２）
万方数据
第３期
金承日，等：双曲型方程的有限差分并行迭代算法
来的各次迭代值的绝对误差，其中的参数ｐ．和 Ｐ：是由定理３的原则选取的．从表１～３中容易看
出，本文算法不仅精度高，而且收敛速度也很快． 特别是表３中，在古典显格式不稳定的条件下本 算法仍然稳定而且精度还很高，可见本算法具有 良好的实用性．
１训ｅ表１ ｌ当Ａｂｆｓ＝ｏ１ｈ脚地，ｅ珊＾＝ｆＦ椭，ｆ３＝０１时脚的．绝＾；对Ｅ误，差３０（（ｆｆ＝；１）１
｛ｕ¨“’＝（Ｐｌ，＋Ｇ１）。１［（Ｐ１，＋Ｇｔ）ｙ“川＋Ｆ］， 【后：ｏ，ｌ，２，…，
（１３） 其中＾是迭代次数，
（Ｐ·Ｊ＋Ｇ·）‘。＝ｄｉａｇ（五｛ｉ，Ｄｚ，Ｄ·，…，ＤＪ一：Ｊ，
（Ｐ－Ｊ＋Ｇｚ）～＝ｄｉａｇ（Ｄｌ，Ｂ，…，研一ｄｉ），
万方数据
研＝赤■：’，ｚ，］，哈尔滨工业大学学报
第３４卷
２‰ｒ［妒２（础一＾）＋弛（柚＋ｈ）］，
黝４卷第３期
２ Ｏ ０ ２年６月
ｈ触０ｆ Ｊ０删０ｆ皿州ｎ 哈尔滨工业大学学报 ｎ曲ｎｏｋ盯
Ⅵ．３４№．３
Ｊ皿，２００ ２
双曲型方程的有限差分并行迭代算法
金承日，丁效华，张少太
（哈尔滨工业大学威海分校，山东威海蚴）
摘要：为研究二阶双曲型偏徽分方程适合于并行机上运行的高效率的计算方法，先构造出高精度无条件稳
ｅ“ｓｉｎ ｚ
下面分别用本文算法和古典显格式（也为二
阶精确堡度）止攀！亟：Ａ坚二罂
ｎ
ｒ
计算ｚ＝１时刻的数值解，并将其绝对误差 ｕ（ｚ。，＃。一ｕ：）Ｉ列于表Ｉ一３．表中的第一列表示
网格点的空间坐标，第二列表示由解析解算出的 函数值，第三列表示古典显格式（１６）的数值解的 绝对误差，最后是用本文迭代法式（１５）、（１３）算出
【Ｐ１ Ｊ＋Ｇ２）￡，＝（Ｐｌ，一Ｇ【）ｕ＋Ｆ， 其中Ｐ．＞ｏ是常数，其作用是保证逆矩阵（Ｐ－，＋ Ｇ。）“和（ｐ】Ｊ＋Ｇ：）１都存在，并使Ｆ面的迭代法 具有较快的收敛速度．于是，从式（１２）出发，可以 构造出求解差分方程组（１０）的迭代公式
『ｙ【“ｊ）＝（Ｐｌｆ＋Ｇ１）一１［（Ｐ．ｆ＋６２）￡，…＋，］，
厶＝Ⅱ３ ｕ：＋Ⅱ４（Ｍ：一１＋Ｍ：＋１）一口５“：“＋ Ⅱ６（ｕ材ｉ＋Ⅱ爿１），ｍ＝２，３，…，，一２，
五一１＝。）ｕ；一ｌ＋出（Ｍ；一２＋Ｍ；）一ｎ５ ｕｊ：ｊ一
Ⅱ２“：＋１＋口６（“ｊ：：＋ｕ：一１）．
为ｊ．用并行机或向量机求解差），将方程组（１０）的
系数矩阵分解成
ｄⅢｂｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｐｍＦ）（】ｓｅｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉ“ｇ
ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｈｙｐｅｒｂｏｂｃ ｐａｎｉａｌ ｄｉⅡｊｒｅｎ“ａｌ ｅｑｕｍｉｏｎｓ．Ｉｎ ｏｌ－ｄｅｒ ｔ０ ｒｅｄｕｃｅ洲ｎｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｅｆｆｂＩｔｓ，肌ｅ舔ｃｉｅｎｔ ｐ＆ｒａＵｅｌ
ｉｔｅｒａｌｉｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｔｌｌｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｌｌｉｓ ｄｉ如ｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ髑ｔａｂｂｓｈｅｄ，跚ｄ蛐ｅｘ舢ｐＩｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｉⅡｕｓ叫ｅ
为当务之急．自从１９８３年Ｄ．Ｊ．Ｅｖａｌｌｓ和Ａ．Ｂ．Ｂ．
ＡｂｄＩｌｌｌａｈ首次建立求解抛物型方程的交替分组显
式方法…以来，偏微分方程有限差分并行算法的
研究越来越受到重视．对于一阶双曲型方程，适合
于并行计算的差分法已有文献可查”４１，但对于
二阶双曲型方程，尚未见到这方面的文献．
本文以电磁学中的传输线方程”’
１差分格式的建立
考虑二阶双曲型方程初边值问题
雾＝＾雾＋曰象＋ｍ，ｏｃ ｘ ｃ¨，ｏ，（１）
ｕ（ｘ，Ｏ）＝妒ｌ（ｘ），Ⅱ。（ｘ，Ｏ）＝妒２（＊），０＜ｚ＜Ｌ，（２）
ｕ（０，￡）＝“（１），Ⅱ（Ｌ，‘）＝也（Ｉ），垃：Ｏ，
（３）
其中Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｌ均为正实数．
取时间步长ｒ，空间步长＾＝Ｌ，』（』为正整
数），式（１）～（３）的解ｕ（ｚ，ｆ）在网格结点
定理２的证明完全类似于定理ｌ的证明． 关于迭代法中的参数ｐ。（Ｐ２类似）的选取准 则，有如下结论． 定理３设正定矩阵Ｇ。和Ｇ：的特征值都属
于区间［ｎ，ｐ］，则取参数Ｐｌ＝ｖ／邙时，迭代矩阵ｒ 的谱半径有最佳估计式
舻，蔓（糕）２＇
则矩阵ｒ与哥相似，所以
Ｐ（ｒ）＝Ｐ（ｆ）≤Ｉ亍｜Ｉ：≤ｌ（Ｐ１Ｊ＋Ｇ．）（Ｐ，Ｊ＋
２：Ｌｃ２＋（舵＋ＧＬ）譬＋眺
ｄｘ—
ｄｌ
ｏＥ
为物理背景，构造出求解二阶双曲型方程的高精
度无条件稳定的隐式差分格式，并以此隐格式为
基础，设计出适合于并行计算的完全显式迭代算
收稿日期：２０００—０５一∞
基盒项目：哈尔演工业大学校科学研究基金资助项目（砌一∞７）
作者筒介：金承日（１９６ｌ一），男。教授
法．数值算例表明了本方法的实用性．
其中 ｒ＝（ＰＩＪ＋Ｇ２）一（Ｐ１ Ｊ—Ｇ１）（Ｐ１，＋ Ｇ１）‘１（ｐ。，一Ｇ２），
≯＝（ｐ。，＋Ｇ２）一１［（Ｐ Ｊ＋Ｇ１）（Ｐｌｊ＋ Ｇ，）叫＋Ｊ］Ｆ．
为了证明迭代法式（１３）的收敛性，只需证明迭代 矩阵ｒ的谱半径ｐ（ｒ）＜１即可．为此，定义