高等数学大学课件8习题课.pptx
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大学高等数学经典课件8-226页PPT文档
汉
科 技 学 院
lim 2x(x)26x8
x 0
x
数
理
系
高 等
( 2 ) x z ( 1 ,2 ) f x ( x ,2 ) x 1 ( x 2 6 x 4 ) x 1 ( 2 x 6 ) x 1 8 .
数
学
同理可得到
电 子
f y (1,2 ) (1 3 y y 2 ) | y 2 3 2 y | y 2 7 .
理
系
高
等 数
求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法.
学 电 (1)求极限. fx(x,y0)|xx0
子
教 (2)借助一元函数求导运算
案
例1 求z=x2 3xyy2 在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.
武 (1)fx(1,2) lx i0m f(1 x, 2x )f(1,2) lx i0m (1 x)23(1 xx )222164
系
高
等
数 (2)利用一般的求导公式计算.
学
电
子 教 案
fx(0,0)
lim x0
y0
x
x y2rcr so itsntlimrcotslimcots
x2 y4
r0 r
r0
故极限不.存
0 x 2 2 y 3 y 4 2 y y 2 3 2 y fy ( 0 ,0 ) l x y 0 0 ix m 2 2 y 3 y 4 l x y 0 0 i2 y m 0
电 2.偏导数的计算 子
教 案
由定义知,z=f(x,y)对某一自变量的偏导数,是把另一自变
量看作常量时的导数.因此,求偏导数在方法上和一元函数求
导完全相同.求f x
《高等数学》PPT课件-第8课 曲面,级数,微分方程及真题
收敛, 则级数 发散, 则级数
也收敛; 也发散.
定理3 (比较审敛法的极限形式) 正项级数, 满足
则有
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两个级数同时收敛或发散; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =+∞
定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当 说明:当
法向量
——平面的一般方程
三、两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（取锐角）
两平面夹角余弦公式：
二 空间直线及其方程 一、空间直线的各种方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线的方程形式 1. 空间直线的一般形式
定义 空间直线可看成两平面的交线.
L
(1)
空间直线的一般式方程. (形式不唯一)
2.对称式——点向式方程
定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 称此向量为该直线的 方向向量.
设一直线过 其方向向量为的
， 此直线方程为
二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(取锐角) 设直线 L1, L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
特别有:
曲面及其方程
若未知函数和未知函数的导数都是一次有理式， 则称其为一阶线性微分方程.
2.一阶线性微分方程的分类
当
时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程.
当
时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程.
一阶齐次线性微分方程的解法
分离变量 两边积分，得 由于y=0也是方程的解. 所以通解为
线性非齐次方程 一阶线性非齐次微分方程的通解为:
《高数下第八章》课件
球面坐标系
球面坐标系将点的位置与球坐 标和两个角度联系起来。
球面坐标系下的三重积 分计算
可以通过变量替换将三重积分 转化为球面坐标下的计算。
相关应用
用于计算球面坐标图形的体积、 质心坐标等。
总结
本章重点内容概述
回顾并总结本章重点知识和概念。
解答问题技巧与方法
分享解答高数问题的技巧和方法。
重要的公式和定理
介绍与二重积分和三重积分相关的重要公式 和定理。
课程思考题解析
解析本章课程思考题，并提供答案和解析。
《高数下第八章》PPT课 件
本PPT课件将详细介绍《高数下》第八章的内容，涵盖二重积分、三重积分， 以及不同坐标系下的应用。欢迎同学们认真学习和实践。
第一节：二重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。ห้องสมุดไป่ตู้
3
定义
二重积分是对二元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
应用举例
用于计算平面图形的面积、质心坐标 等。
相关应用
用于计算极坐标图形的面积、 质心坐标等。
第四节：三重积分在柱面坐标下的应 用
1 柱面坐标系
柱面坐标系将点的位置与柱坐标和极角两个数值联系起来。
2 柱面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为柱面坐标下的计算。
3 相关应用
用于计算柱面坐标图形的体积、质心坐标等。
第五节：三重积分在球面坐标下的应用
第二节：三重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。
3
定义
三重积分是对三元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
大学《高等数学》课件-第八章
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)
同济版高等数学第八章习题PPT
z
在三个坐标面上的投影.
解:
z x2 y2
得
x2 y2 4
x0
y
z 4
故旋转曲面在xoy面上的投影为:
x2
y2
4
z x2 y2
z 0
x 0
得 z y2
故旋转曲面在yoz面上的投影为:由 z y2和z 4围成
z x2 y2
y 0
得 z x2
故旋转曲面在xoz面上的投影为:由 z x2和z 4围成
cos z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
四、 两向量的数量积 （内积）
设
a
( ax ,ay ,az ),
b (bx ,by ,bz ),
a b axbx a yby azbz
五、两向量的向量积 (叉积、外积)
1.向量 c 方向: c a , c b 且符合右手规则
的方向向量
ijk
S 0 1 1 (0,1,1)
过点
10 (1,1,1)
0 作以
S
(0,1,1)为法向量的平面
yz0
求解直线与平面的垂足
y
x
z 0
1
0
y z 0
得垂足为:
0,
1 2
,
1 2
所求平面垂直于平面 z 0,
从而设方程为: Ax By D 0
平面过点
(1,1,1)
M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
高等数学习题课.ppt
n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
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x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.