19初等数论PPT课件
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石大《初等数论》课件
考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同 的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001， 也可以用八进制表示为71、用十六 进制表示为39，它们所代表的数值 都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道 题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不 得分也不扣分。若某位同学得了78分，那 么他做对 道题，做错 道题，不做 道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇 不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程 个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程 也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也 是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内 容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论 等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在 数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地 的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外 它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中 的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一 般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思 想、方法与技巧，创造性的解决问题。
19初等数论
54-2
第19章 初等数论
19.1 素数 19.2 最大公约数与最小公倍数 19.3 同余 19.4 一次同余方程 19.5 欧拉定理和费马小定理 19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用
54-3
19.1 素数
整除、倍数和因子 带余除法 素数与合数 算术基本定理 筛法
54-4
整除、倍数和因子
证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法 ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2, rk1=qkrk, gcd(a,b)=rk.
把上式改写成 ri+2= riqi+1ri+1, i=k2,k3,…,0 从后向前逐个回代, 就可将 rk 表成 a 和 b 的线性组合.
54-22
54-20
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b). 做带余除法 a=qb+r, 0≤r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≤r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程,
54-6
素数与合数
定义19.1 素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数 合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
性质19.6如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质19.7设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
第19章 初等数论
19.1 素数 19.2 最大公约数与最小公倍数 19.3 同余 19.4 一次同余方程 19.5 欧拉定理和费马小定理 19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用
54-3
19.1 素数
整除、倍数和因子 带余除法 素数与合数 算术基本定理 筛法
54-4
整除、倍数和因子
证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法 ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2, rk1=qkrk, gcd(a,b)=rk.
把上式改写成 ri+2= riqi+1ri+1, i=k2,k3,…,0 从后向前逐个回代, 就可将 rk 表成 a 和 b 的线性组合.
54-22
54-20
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b). 做带余除法 a=qb+r, 0≤r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≤r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程,
54-6
素数与合数
定义19.1 素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数 合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
性质19.6如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质19.7设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
初等数论课程教案总结.ppt
最 大 公 约 数 : 设 a1, a2是 两 个 不 全 为 零 的 整 数 . 我 们 把 a1和 a2 的 公 约 数 中 最 大 的 称 为 a1 和 a2 的 最 大 公 约 数 , 记 作 ( a1, a2 ) , 一 般 地 , 设 a1,. . . ,ak 是 k 个 不 全 为 零 的 整 数 . 我 们 把 a1,. . . , ak 的 公 约 数 中 最 大 的 称 为 a1,. . . , ak 的 最 大 公 约 数 , 记 作 ( a1,. . . , ak ) .
P 1 8 定 理 1 2 : 设 m 0,我 们 有
[ ma1,. . . , mak ] = m[a1,. . . , ak ] .
P 2 0 定 理 2 ： 设 a,b是 两 个 给 定 的 整 数 , a 0. 再设 d是一个给定的整数. 那么,一定存在 惟 一 的 一 对 整 数 q1 与 r1, 满 足 b a q1 r1,d r1 a d. 此 外 , a b的 充 要 条 件 是 a r1.
P 4 4 定 理 8 ： 设 a1,,ak是 不 完 全 为 零 的 整 数 . 我 们 有 ( i ) ( a1,, ak ) = m i n { s a1x1 ak xk : x j Z( 1 j k ) , s 0} , 即 a1,, ak 的 最 大 公 约 数 等 于 a1,,ak的 所 有 整 系 数 线 性 组 合 组 成 的 集 合 S中 的 最 小 正 整 数 . ( i i ) 一 定 存 在 一 组 整 数 x1,0,, xk,0使 得 ( a1,, ak ) = a1x1,0 ak xk,0.
P 4 8 定 理 1 ： 设 p 是 素 数 , p a1a2 . 那 么 p a1或 p a2 至 少 有 一 个 成 立 . 一 般 地 , 若 p a1. . .ak , 则 p a1 ,. . . , p ak 至少一个成立.
P 1 8 定 理 1 2 : 设 m 0,我 们 有
[ ma1,. . . , mak ] = m[a1,. . . , ak ] .
P 2 0 定 理 2 ： 设 a,b是 两 个 给 定 的 整 数 , a 0. 再设 d是一个给定的整数. 那么,一定存在 惟 一 的 一 对 整 数 q1 与 r1, 满 足 b a q1 r1,d r1 a d. 此 外 , a b的 充 要 条 件 是 a r1.
P 4 4 定 理 8 ： 设 a1,,ak是 不 完 全 为 零 的 整 数 . 我 们 有 ( i ) ( a1,, ak ) = m i n { s a1x1 ak xk : x j Z( 1 j k ) , s 0} , 即 a1,, ak 的 最 大 公 约 数 等 于 a1,,ak的 所 有 整 系 数 线 性 组 合 组 成 的 集 合 S中 的 最 小 正 整 数 . ( i i ) 一 定 存 在 一 组 整 数 x1,0,, xk,0使 得 ( a1,, ak ) = a1x1,0 ak xk,0.
P 4 8 定 理 1 ： 设 p 是 素 数 , p a1a2 . 那 么 p a1或 p a2 至 少 有 一 个 成 立 . 一 般 地 , 若 p a1. . .ak , 则 p a1 ,. . . , p ak 至少一个成立.
初等数论(课堂PPT)
自然数集：0，1，2，3，… ，n，…也叫非负整 数集，记作N。
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
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1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
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本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
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例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
初等数论-程耀ppt课件
}
筛法求素数
考虑：如果一个数是合数，那么它的素因子 都比它小？？？
这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数〔当然是2倍以上啦〕都不会是素数 ，可以这样看吧？ 于是，我们可以一种新的素数判定方法。
筛法求素数
• 方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍 数。
• 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 • 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 • 29 30 • ①筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19
if( ! prime[ i ]){ for ( int j = i * i ; j <maxn;j+=i) prime[ j ]=1;
} }
miller_rabin素性判定
• miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定 型的。但是，只要运行次数足够多，一般出 错的概率是非常小的，一般10次就好了！
}
witness函数
• witness函数用来搜集n是合数的证据。
• bool witness(LL a,LL n){
•
LL m=n-1;
• int t=0; LL y;
•
while(!(m&1)){ m>>=1;t++;}//这个地方是通过一个推论来优化的
，x^2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！
证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d ...................① b*x1+(a%b)*y1=d..............②
那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。 把①②两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来 替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;
筛法求素数
考虑：如果一个数是合数，那么它的素因子 都比它小？？？
这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数〔当然是2倍以上啦〕都不会是素数 ，可以这样看吧？ 于是，我们可以一种新的素数判定方法。
筛法求素数
• 方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍 数。
• 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 • 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 • 29 30 • ①筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19
if( ! prime[ i ]){ for ( int j = i * i ; j <maxn;j+=i) prime[ j ]=1;
} }
miller_rabin素性判定
• miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定 型的。但是，只要运行次数足够多，一般出 错的概率是非常小的，一般10次就好了！
}
witness函数
• witness函数用来搜集n是合数的证据。
• bool witness(LL a,LL n){
•
LL m=n-1;
• int t=0; LL y;
•
while(!(m&1)){ m>>=1;t++;}//这个地方是通过一个推论来优化的
，x^2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！
证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d ...................① b*x1+(a%b)*y1=d..............②
那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。 把①②两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来 替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;
初等数论第二章不定方程PPT课件
s
c, (a, b)
y0
t
c (a, b)
就为方程组（1）的一组整数解。
2、定理2 设二元一次不定方程(1)有一整数解 xx0,yy0， (a,b） =d,aa1d,bb1d,
则（ 1）的一切整数解可以表成：
xx0b1t,yy0a1t, tZ
(3)
证 ： 首 先 ， a(x0b 1t)b(y0a 1t)0 ， 即 （ 3 ） 是 （ 1 ） 的 解 ；
解，及其求出其解的直接算法——整数分离法
例 3 、 求 1 0 7 x 3 7 y 2 5 的 一 切 整 数 解
解 ：3 7y2 5 1 0 7x
y25107x2x2533x
37
37
令y2533x， 则 33x+37y25
(6)
37
同 理x2537yy254y
33
33
（ 6）
令 x 25 4 y， 33
证 ： （ 必 要 条 件 ） 若 方 程 (1 )有 解 x 1 ,x 2 , ,x n 则 a 1 x 1 a 2x 2 a nx n N ， 因 为 d （ a 1 ,a 2 ,,a n ） ， 所 以 d a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n N
充 分 条 件 ： 若 dN,用 数 学 归 纳 法 证 （ 1） 有 解 。 当 n2时 ， 已 证 成 立 ； 假 定 以 上 条 件 对 n1元 一 次 不 定 方 程 是 充 分 的 。
（ 充 分 条 件 ） 若 (a,b)c,设 cc1(a,b),c1Z, 而 对 a,bZ,且 a0， b0， 则 存 在 s,tZ,使 得
asbt(a,b)
(2)
在 （ 2） 式 两 端 同 乘 以 c1得
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个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立.令a-qb=r,则 a=bq+r,而0≤r<b
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
定理5(欧几里得辗转相除法)
若a,b都不为0，且a=bq+r,0≤r<b，则
(a,b)=(b,r)
设d=(a,b),c=(b,r)
由a=bq+r,d|a,d|b,可得d|r,这说明d是b和r的 公因数,故d≤c
同理由a=bq+r,c|b,c|r,可得c|a,故c≤d
d≤c且c≤d可推出c=d
证明：唯一性
假设有q,r和q1,r1,使 a=bq+r=bq1+r1
其中0≤r<b,0 ≤ r1<b. 两式相减，有
0=b(q-q1)+(r-r1). 由于b整除此式左端以及右端的第一项，它也整除 右端另一项：b|(r-r1).但因0≤r<b,0 ≤ r1<b,有
-b<r-r1<b. 因而r-r1=0，即r=r1,同时q=q1.因此q和r是唯一的.
定理4
若a,b是不全为0的整数,则 (i) a,b与|a|,|b|的公因数相同 (ii)(a,b)=(|a|,|b|) 证明：(i)成立的话，(ii)是显然成立的 证明(i)只需说明两点： 1、任意d|a,d|b,有d | |a|,d | |b| 2、任意d | |a| , d | |b| , 有d|a , d|b
则对任何整数c1,c2,…,cn,有 d|(c1a1+c2a2+…+cnan) 应用：若d整除一个等式一端的所有项，则 它也整除另一端
定理3(带余数除法)
若a,b是两个整数，其中b>0,则存在着两个 整数q及r，使得 a=bq+r，0≤r<b
成立，而且q和r是唯一的
证明：存在性
感性认识： 作整数数列…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,… 则a必在上述序列的某两项之间，即存在一
倒推过程
d=(a,b)=rt=rt-2-rt-1qt rt-3=rt-2qt-1+rt-1 d=rt-2-(rt-3-rt-2qt-1)qt 然后我们可用rt-4=rt-3qt-2+rt-2 消去rt-2,得 d=(整数)*rt-3+(整数)*rt-2 最后将求得x和y,使d=ax+by
扩展gcd(递归实现)
function gcd(a , b : longint;var x , y : longint) : longint;
Var
_x , _y : longint;
定理6
设a,b是任意两个不全为0的整数,若m是任一 正整数,则
(am,bm)=(a,b)m
证明:当a,b有一为0时,定理显然成立
设a,b都不为0,(am,bm)=c,(a,b)=d 由d|a,d|b,可得dm|am,dm|bm,故dm≤c
由c|am,c|bm,可得c=km,k|a且k|b,故c≤dm
最大公约数
我们称d是a和b的最大公约数(记为d=(a,b)),当且仅 当:
(i) d|a,d|b; (ii) 若c|a,c|b,则c≤d 条件(i)说明,d是a和b的公因子 条件(ii)说明,它是这种公因子中最大的一个 注意,若a和b不同时为零,那么a和b的公因子集合是
以a,b,-a和-b中最大者为其上界的整数集.根据最小 整数原理,该集合有最大元,故a和b的最大公因子存 在,而且唯一.注意:一般约定(0,0)没有定义 如果(a,b)有意义,则它是正数
a=bq
(1)
成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作 b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b 的倍数。
如果(1)里的整数q不存在，我们就说b不能 整除a或a不被b整除
定理1（传递性）
若a|b,b|c,则a|c b=q1a c=q2b c=q1q2a
定理2
1、若d|a,d|b，则d|(a+b) 2、若d|a,则对任何整数c,d|ca 3、以上两条可总结为：若d|a1,d|a2,…,d|an,
有用的推论:若(a,b)=d,则(a/d,b/d)=1
定理7(扩展gcd)
若(a,b)=d,则有x和y使ax+by=d 基本思路:用gcd算法,倒推得到这样的x和y,相
当于构造一组解
gcd过程
a=bq+r b=rq1+r1 r=r1q2+r2 … rk-1=rkqk+1+rk+1 … rt-1=rtqt+1
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
定理5(欧几里得辗转相除法)
若a,b都不为0，且a=bq+r,0≤r<b，则
(a,b)=(b,r)
设d=(a,b),c=(b,r)
由a=bq+r,d|a,d|b,可得d|r,这说明d是b和r的 公因数,故d≤c
同理由a=bq+r,c|b,c|r,可得c|a,故c≤d
d≤c且c≤d可推出c=d
证明：唯一性
假设有q,r和q1,r1,使 a=bq+r=bq1+r1
其中0≤r<b,0 ≤ r1<b. 两式相减，有
0=b(q-q1)+(r-r1). 由于b整除此式左端以及右端的第一项，它也整除 右端另一项：b|(r-r1).但因0≤r<b,0 ≤ r1<b,有
-b<r-r1<b. 因而r-r1=0，即r=r1,同时q=q1.因此q和r是唯一的.
定理4
若a,b是不全为0的整数,则 (i) a,b与|a|,|b|的公因数相同 (ii)(a,b)=(|a|,|b|) 证明：(i)成立的话，(ii)是显然成立的 证明(i)只需说明两点： 1、任意d|a,d|b,有d | |a|,d | |b| 2、任意d | |a| , d | |b| , 有d|a , d|b
则对任何整数c1,c2,…,cn,有 d|(c1a1+c2a2+…+cnan) 应用：若d整除一个等式一端的所有项，则 它也整除另一端
定理3(带余数除法)
若a,b是两个整数，其中b>0,则存在着两个 整数q及r，使得 a=bq+r，0≤r<b
成立，而且q和r是唯一的
证明：存在性
感性认识： 作整数数列…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,… 则a必在上述序列的某两项之间，即存在一
倒推过程
d=(a,b)=rt=rt-2-rt-1qt rt-3=rt-2qt-1+rt-1 d=rt-2-(rt-3-rt-2qt-1)qt 然后我们可用rt-4=rt-3qt-2+rt-2 消去rt-2,得 d=(整数)*rt-3+(整数)*rt-2 最后将求得x和y,使d=ax+by
扩展gcd(递归实现)
function gcd(a , b : longint;var x , y : longint) : longint;
Var
_x , _y : longint;
定理6
设a,b是任意两个不全为0的整数,若m是任一 正整数,则
(am,bm)=(a,b)m
证明:当a,b有一为0时,定理显然成立
设a,b都不为0,(am,bm)=c,(a,b)=d 由d|a,d|b,可得dm|am,dm|bm,故dm≤c
由c|am,c|bm,可得c=km,k|a且k|b,故c≤dm
最大公约数
我们称d是a和b的最大公约数(记为d=(a,b)),当且仅 当:
(i) d|a,d|b; (ii) 若c|a,c|b,则c≤d 条件(i)说明,d是a和b的公因子 条件(ii)说明,它是这种公因子中最大的一个 注意,若a和b不同时为零,那么a和b的公因子集合是
以a,b,-a和-b中最大者为其上界的整数集.根据最小 整数原理,该集合有最大元,故a和b的最大公因子存 在,而且唯一.注意:一般约定(0,0)没有定义 如果(a,b)有意义,则它是正数
a=bq
(1)
成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作 b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b 的倍数。
如果(1)里的整数q不存在，我们就说b不能 整除a或a不被b整除
定理1（传递性）
若a|b,b|c,则a|c b=q1a c=q2b c=q1q2a
定理2
1、若d|a,d|b，则d|(a+b) 2、若d|a,则对任何整数c,d|ca 3、以上两条可总结为：若d|a1,d|a2,…,d|an,
有用的推论:若(a,b)=d,则(a/d,b/d)=1
定理7(扩展gcd)
若(a,b)=d,则有x和y使ax+by=d 基本思路:用gcd算法,倒推得到这样的x和y,相
当于构造一组解
gcd过程
a=bq+r b=rq1+r1 r=r1q2+r2 … rk-1=rkqk+1+rk+1 … rt-1=rtqt+1