2020年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
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21. 已知函数 f（x）= +alnx（a∈R）．
（1）求 f（x）的单调递减区间； （2）已知函数 f（x）有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
A.
B.
C.
D.
9. 将函数 f（x）=sinx+cosx 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将函
数图象向左平移 个单位后，得到的函数 g（x）的解析式为（ ）
A. g（x）= sin（2x+ ）
B. g（x）= sin（2x+ ）
C. g（x）= sin（ + ）
D. g（x）= sin（2x+ ）
乙得分的平均数 = （62+75+75+81+82）=75，
∴甲得分的平均数不等于乙得分的平均数，故 B 错误； 在 C 中，乙得分的众数是 75，平均数是 75，故 C 正确； 在 D 中，由茎叶图知甲得分的分布相对分散， ∴乙得分的方差小于甲得分的方差，故 D 错误． 故选：C．
3.答案：C
解析：解：由 z（1-i）2=3-4i，得-2iz=3-4i， 同时乘以 i 得 2z=（3-4i）i=4+3i，
5.答案：A
解析：解：由 -1=0 得 =1，得 m=n，m-n=0，即充分性成立，
当 m=n=0 时，满足 m-n=0，但 -1=0 无意义，即必要性不成立，
即“ -1=0”是“m-n=0”成立的充分不必要条件， 故选：A． 结合方程之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合方程之间的关系以及充分条件和必要条 件的定义是解决本题的关键．
1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：集合 A={x|2x-1＞0}={x|x }，
集合 B={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，
∴A∩B={x|
}，
A∪B={x|x＞-1}． 故选：A． 分别求出集合 A，集合 B，由此能求出 A∩B，A∪B． 本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题．
7. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，广泛用于建筑，棒卯是在两个构件上采用凹
凸部位相结合的一种连接方式，棒卯结构中凸出的部分叫榫（或叫榫头）．已知某
“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ）
A. 48
8. 函数 y=
B. 50
C. 54
，x∈（-π，π）图象大致为（ ）
D. 63
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则该几何体是 2 个以正视图为底面的四棱柱的组合体，且四棱柱的底面是直角梯形； 计算该几何体的体积为：
V= ×（7+4）×3×3+ ×（6+3）×3×1=63．
故选：D． 根据三视图知该几何体 2 个以正视图为底面的四棱柱的组合体，计算它的体积即可． 本题考查了由三视图求简单组合体体积的应用问题，解题的关键是得到该几何体的形 状．
A.
B.
C.
D.
5. 已知 m，n∈R，则“ -1=0”是“m-n=0”成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，抛物线上一点 P 满足|PF|=4，则△OPF 的面积为（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 2
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（α 为参数）．P 是曲线
C1 上的动点，将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90°得到线段 OQ，设点 Q 的轨迹为曲 线 C2．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若射线
本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 40 位业主进行竞拍意 向的调查统计了他们的拟报竞价，得到如下频率分布直方图：
（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于 1000 元的人数； （ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此 预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）．
即 z= =2+ i，
则|z|=
=
= =，
故选：C． 根据复数的运算法则求出复数，结合复数的模长公式进行计算即可． 本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
4.答案：B
解析：【分析】 本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.
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列举出从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成的全部两位数，数出能被 4 整除的两位 数的个数，相除即可. 【解答】 解：从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成的所有两位数为：12，21，13，31，14， 41，23，32，24，42，34，43，共 12 个基本事件， 其中能被 4 整除的有：12，24，32，共 3 个基本事件， 所以这个两位数能被 4 整除的概率为 P= . 故选 B.
2.答案：C
解析：【分析】 本题考查茎叶图、中位数、平均数、众数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 利用茎叶图、中位数、平均数、众数、方差的性质直接求解． 【解答】 解：由甲、乙两名同学 5 次月考的地理学科得分的茎叶图，得： 在 A 中，甲得分的中位数是 76，故 A 错误；
在 B 中，甲得分的平均数 = （56+64+76+78+86）=72，
18. 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，∠D=60°，点 H 为 DC 中点，现以线段 AH 为折 痕将菱形折起使得点 D 到达点 P 的位置且平面 PHA⊥平面 ABCH，点 E，F 分别为 AB，AP 的中点． （1）求证：平面 PBC∥平面 EFH； （2）求三棱锥 P-EFH 的体积．
于车位有限，物业公司决定在 2019 年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租， 租期一年，竞拍方案如下：
①截至 218 年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位， 由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不 得超过 1200 元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在 前 120 位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价则以提出申请的时间在前 的业主成交．为预测
编号 x
1
2
3
4
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
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数量 y（单位：
辆）
24
95
124
181
216
（1）若私家车的数量 y 与年份编号 x 满足线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方 程，并预测 2020 年该小区的私家车数量； （2）小区于 2018 年底完成了基础设施改造，划设了 120 个停车位．为解决小区车 辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由
8.答案：D
解析：解：函数 y=
满足 f（-x）=
=-f（x），函数为奇函数，排除 A，
由于 f（ ）= =-1，f（ ）= =0，f（ ）=
=0
故排除 B，C 故选：D． 利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可． 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题 的能力．
9.答案：B
解析：解：将函数 f（x）=sinx+cosx= sin（x+ ）的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩
小为原来的 ，可得 y= sin（2x+ ）的图象；
再将函数图象向左平移 个单位后，得到的函数 g（x）= sin（2x+ + ）= sin（2x+ ） 的图象的图象的图象， 故选：B． 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，得出结论． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
A.
B. e
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量 =（1，m）， =（3，1），若 ∥ ，则 m=______．
14. 设实数 x，y 满足约束条件
，且 z=2x+y 的取值范围为______．
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15. 以双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 为圆心，半径为 的圆与 C 的一
2020 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 A={x|2x-1＞0}，集合 B={x|x2-2x-3＜0}，则（ ）
A. A∩B={x|
}
B. A∩B{x|
}
C. A∪B={x|-1＜x＜3}
D. A∪B={x|x }
2. 高三第一学期甲、乙两名同学 5 次月考的地理学科得分的茎叶图 如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙 得分的个位数．则下列结论正确的是（ ）
19. 随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小 区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的 拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】 对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误； 对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.2．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B 1CD ．1【答案】C【解析】【分析】连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝2，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．如图，MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝12RQ＝22，∴MH22OM OH-22212⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭22，∴MN＝22MH=故选：C．【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．设不等式组30x yx y+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C：224x y+=的内部随机选取一点P，则P取自Ω的概率为（）A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，30x y -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.4．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r （）A ．1B ．2-C ．12 D ．12-【答案】C【解析】【分析】以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u ur111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C.5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ． 3B ． 2C ． 3或－3D ． 2和－2【答案】C【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±3．故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．6．函数||1()e sin 28x f x x 的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．152D ．62【答案】B【解析】【分析】 根据14+=n n n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.8．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大 【答案】C 【解析】【分析】 1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可． 【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+= 222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭， 是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 故选：C ．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则【答案】C【解析】【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，而()()330f x f x --+-=，所以()()33f x f x -=+，所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =，所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=，()()()5111f f f =-=-=-，()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.10．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ．【详解】∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】【分析】 模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论．【详解】234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，3;4,20212S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4. 故选：D ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．12．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u v u u u v ，且1OQ AB ⋅=u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>> D ．()223310,02x y x y +=>>【解析】【分析】设,A B 坐标，根据向量坐标运算表示出2BP PA =u u u r u u u r，从而可利用,x y 表示出,a b ；由坐标运算表示出1OQ AB ⋅=u u u r u u u r ，代入,a b 整理可得所求的轨迹方程.【详解】设(),0A a ，()0,B b ，其中0a >，0b >2BP PA =u u u r u u u r Q ()(),2,x y b a x y ∴-=--，即()22x a x y b y ⎧=-⎨-=-⎩ 30230x a b y ⎧=>⎪∴⎨⎪=>⎩ ,P Q Q 关于y 轴对称 (),Q x y ∴-()(),,1OQ AB x y a b ax by ∴⋅=-⋅-=+=u u u r u u u r ()223310,02x y x y ∴+=>> 故选：A【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省2020年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
安徽省 2020 年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知全集为 R，集合 A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则 A∩∁RB=（ ）A . {x|x≤0}B . {x|2≤x≤4}C . {x|0≤x＜2 或 x＞4}D . {x|0＜x≤2 或 x≥4}2. （2 分） (2017 高二下·西安期末) 复数 z= 于（ ）A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限3. （2 分） 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足个内角，则与的大小关系是（ ）（m∈R，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位 且在[-3，-2]上是减函数， 是锐角三角形的两A.B.C.D.与的大小关系不确定4. （2 分） (2017·息县模拟) 下列说法正确的是（ ）第 1 页 共 13 页A . 若 a∈R，则“ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B . “p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件C . 若命题 p：“∀ x∈R，sinx+cosx≤ ”，则￢p 是真命题 D . 命题“∃ x0∈R，使得 x02+2x0+3＜0”的否定是“∀ x∈R，x2+2x+3＞0” 5. （2 分） 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小 值为（ ）A. B.C.D. 6. （2 分） (2017·成都模拟) 高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1，执行图 2 所示的 程序框图，若输入的 ai（i=1，2，…，15）分别为这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A.6 B.7 C.8第 2 页 共 13 页D.97. （2 分） 在平行四边形 ABCD 中， 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为：（ ）A. B. C.,若将其沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BDCD. 8. （2 分） 已知命题 p、q，则“ 为真”是“ 为真”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 9. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 10.（2 分）将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分法有（ ）第 3 页 共 13 页A . 24 种 B . 28 种 C . 32 种 D . 36 种11. （2 分） (2019 高一上·万载月考) 设，且，则 m 等于（ ）A. B . 10 C . 20 D . 100 12. （2 分） 已知 P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），P3（x3 ， y3），P4（x4 ， y4）是抛物线 C：y2=8x 上 的点，F 是抛物线 C 上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则 x1+x2+x3+x4 等于（ ） A.8 B . 10 C . 12 D . 16二、 填空題： (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2017·九江模拟) 已知直线 y=k（x+ ）与曲线 y= 恰有两个不同交点，记 k 的所有可能取值构成集合 A；P（x，y）是椭圆上一动点，点 P1（x1 ， y1）与点 P 关于直线 y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合 B，若随机地从集合 A，B 中分别抽出一个元素 λ1 ，λ2 ，则 λ1＞λ2 的概率是________．14. （1 分） (2020 高一下·乌拉特前旗月考) 已知的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足，，则的外接圆的半径为________.第 4 页 共 13 页15. （2 分） (2018·浙江模拟) 若实数 ， 满足约束条件 值为________；最大值为________．则目标函数的最小16. （1 分） (2016 高三上·泰兴期中) 在△ABC 中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则 cosC 的值为________．三、 解答题： (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一下·枣庄期末) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 为边 的中点，，（1） 求角 的大小；，.（2） 求的面积.18. （ 10 分 ） (2019 高 二 上 · 安 平 月 考 ) 如 图 ， 在 几 何 体，四边形为矩形，平面平面中，，.（1） 求证：平面⊥平面；（2） 点 在线段 的取值范围．上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求19. （10 分） (2020·江西模拟) 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多 箱送 箱；②通过双方议价，买方能以优惠 成交的概率为 ，以优惠 成交的概率为 .（1） 甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2） 某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划第 5 页 共 13 页算？20. （5 分） (2018 高二上·辽宁期中) 已知椭圆，(Ⅰ)求出椭圆上的动点 到点的距离的最大值；(Ⅱ)若点 的长。
安徽省蚌埠市2020届高三第二次教学质量检查考试文科数学试题 Word版含解析
蚌埠市2020届高三年级第二次教学质量检查考试数学（文史类）一、选择题：1.若集合{}2|20M x x x =+-<，集合{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. {}2,1,0--B. {}1,0-C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1--【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算求解即可. 【详解】{}2|20(2,1)M x x x =<-=+-,{}2,1,0,1,2N =--,∴MN ={}1,0-,故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，一元二次不等式，属于容易题. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11i z i -=+，则z =（ ）A.2222+ B.2222- C.1122i + D. i【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则运算即可求解. 详解】()11i z i -=+,∴22(11)2211222i i z i i i +====+--+, 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模，属于容易题.3.已知点D 为ABC ∆边BC 延长线上一点，且3BD DC =，则（ ）A. 1344AD AB AC =+ B. 3144AD AB AC =+ C. 1322AD AB AC =-+D. 3122AD AB AC =+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及差向量的几何意义即可求解. 【详解】3BD DC =,∴3()AD AB AC AD -=-,即43AD AB AC =+,1344AD AB AC ∴=+, 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及差向量的几何意义，属于容易题.4.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm ），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（ ）A. 海水稻根系深度的中位数是45.5cmB. 普通水稻根系深度的众数是32cmC. 海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D. 普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差 【答案】D【解析】 【分析】由茎叶图可知两组数据，分别计算中位数，均值，方差即可求解. 【详解】A 中，海水稻根系深度中位数为444745.52+=，正确；B 中普通水稻根系深度的众数由茎叶图知是32cm ，正确；C 中，由茎叶图可知海水稻根系深度平均数大于普通稻根系深度的平均数，正确；D 中，分别计算两组数据的方差，海水稻根系深度的平均值为1(38393951)4510++++=， 普通水稻根系深度的平均值为1(25273245)3510++++=海水稻222211[(3845)(3945)(5145)]21.510S =-+-++-=,普通稻222221[(2835)(2735)(4535)]35.410S =-+-++-=，所以海水稻根系深度方差小，错误. 故选：D .【点睛】本题主要考查了茎叶图，均值，方差，中位数，众数，属于中档题.5.若双曲线()2221012x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则此双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程可知渐近线方程为y x a=，即可求解. 【详解】()2221012x y a a -=>,∴渐近线方程为y x a=，∴a=解得2a =，22216c a b ∴=+=，28c ∴=，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，属于容易题. 6.已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标 3000(,)P x x x -,利用导数求出过切点的切线方程，代入点()1,0，再利用导数求解关于0x 的方程的解的个数，即可求解. 【详解】设切点坐标 3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2yx x x =--，切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =， 当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =， 故其图像与x 轴交点2个， 也就是切线条数为2. 故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，属于中档题.7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中①处可以填入（ ）A. 6?SB. 10?SC. 15?SD. 21?S【答案】C 【解析】 【分析】按循环结构的知识依次执行相关步骤即可.【详解】第一次循环：1S =，不满足条件，2i =； 第二次循环：3S =，不满足条件，3i =； 第三次循环：6S =，不满足条件，4i =； 第四次循环：10S =，不满足条件，5i =； 第五次循环：15S =，满足条件，输出的值为5. 所以判断框中的条件可填写“15?S ” 故选：C.【点睛】本题主要考查循环结构中已知输出的结果求出判断框中的内容的问题，属常规考题. 8.若等差数列{}n a 满足1243a a a +=，38a =，则其前6项和6S =（ ） A. 17B. 48C. 54D. 57【解析】 【分析】根据条件列出方程，求首项和公差，代入前n 项和公式求解. 【详解】由1243a a a +=得：1143a d a d +=+，又3128a a d =+=，解得12,3a d ==，所以665623572S ⨯=⨯+⨯=， 故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，属于中档题. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，()()20f x f x -+=.当[)0,1x ∈时，()()2log 2f x x =+，则()()20192020f f +=（ ）A. 0B. 21log 3+C. 2log 3D. 1【答案】D 【解析】 【分析】由()()20f x f x -+=及函数()f x 是定义在R 上的偶函数可得周期为2，即可求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，()()20f x f x -+=， 所以()()2(2)f x f x f x =--=--， 所以(4)(2)()f x f x f x -=--=， 即函数的周期为4T=，故()()20192020(1)(0)(1)(0)f f f f f f +=-+=+， 由[)0,1x ∈时，()()2log 2f x x =+得：2(0)log 21f ==，令1x =，由()()20f x f x -+=得：(1)0f =， 所以()()201920201f f +=【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，考查了推理计算能力，属于中档题. 10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 sin cos a B b A =，()224a b c =-+，则ABC ∆的面积是（ ）A. 1B. 2+C.D. 2+【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简可得tan A ，得A ，根据余弦定理及()224a b c =-+即可求出bc ，利用面积公式求解. 【详解】sin cos a B b A =,∴ sin sin sin cos A B B A =,(sin 0)B >sin cos A A ∴=,tan 1A ∴=,0A π<<,4A π∴=,2222cos4a b c bc π∴=+-()224a b c =-+,4bc ∴=+1sin 12S bc A ∴==+,故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.11.一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，1AB =，60A ∠=︒，90B F ∠=∠=︒，BC DE =.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角F BC A --为直二面角，则三棱锥F ABC -的外接球表面积为（ ）A. 4πB. 3πC. 2πD. π【答案】A 【解析】 【分析】根据球的性质可知球心在OM 上，也在过M 与平面ABC 垂直的线上，故M 即为球心. 【详解】FDE ∆是等腰直角三角形，FDE ∴∆外接圆的圆心为DE 的中点O ,取AC 中点M ，连接OM ，OM ∴∥AB ,OM BC ∴⊥,二面角F BC A --为直二面角,且BC 为交线,∴OM ⊥平面FBC ，OM ∴过球心，①又ABC ∆为Rt ∆，且AC 为斜边∴M 为ABC ∆的外接圆圆心，故球心在过M 的直线上，② 由①②知，球心为M ，1AB =，60A ∠=︒，90B ∠=︒,2AC ∴= 112R MA AC ∴===， 244S R ππ∴==,故选：A【点睛】本题主要考查了外接球的半径，面积，直角三角的外接圆心，球的几何性质，属于中档题.12.已知函数()|sin |cos f x x x =+.有下列四个结论：①函数的值域为⎡⎣； ②函数的最小正周期为2π；③函数在[],2ππ上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为x π=. 其中正确的结论是（ ） A. ②③ B. ②④C. ①④D. ①②【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦余弦函数的图像和性质，逐项判断即可.【详解】对于①，因为|sin |0x ≥，cos y x =的最小值为1-，所以()1f x ≥-，故错误；对于②，因为(2)()f x f x π+=，所以2π是周期，且没有比2π小的，所以正确；对于③，当[],2x ππ∈时，59()sin cos [,]44f x x x ππ=-+=∈，4x π+59[,]44ππ∈时，函数不单调，故错误；对于④，因为()cos 1f ππ==-，即取得最小值，所以函数的图像的一条对称轴为x π=正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质，属于中档题. 二、填空题：.13.“五行”是中国古代哲学的一种系统观，广泛用于中医、堪舆、命理、相术和占卜等方面.古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分成木、火、土、金、水五大类，并称它们为“五行”.中国古代哲学家用五行理论来说明世界万物的形成及其相互关系，创造了五行相生相克理论.相生，是指两类五行属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系，具体是：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.相克，是指两类五行属性不同的事物之间是相互克制的关系，具体是：木克土，土克水，水克火、火克金、金克木.现从分别标有木，火，土，金，水的5根竹签中随机抽取2根，则所抽取的2根竹签上的五行属性相克的概率为___________.【答案】12【解析】 【分析】计算从5种不同属性的物质中随机抽取2中，抽到相生的概率，再根据对立事件即可求解.【详解】标有木，火，土，金，水的5根竹签中随机抽取2根,共有2510C =种,而相生的有5种,则抽到的两种物质相克的概率511102P =-=, 故答案为:12【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算,考查了对立事件的概率性质,属于容易题. 14.已知函数()2ln ,022,0x x f x x x x >⎧=⎨+-≤⎩，则不等式()1f x >的解集为___________. 【答案】()(),3e,-∞-+∞ 【解析】 【分析】分0x >，0x ≤两种情况求解即可.【详解】当0x >时，由()1f x >得：ln 1x >， 解得x e >，当0x ≤时，由()1f x >得：2221x x +-> 解得3x <-或1x >， 所以3x <-， 综上x e >或3x <-， 故答案为：()(),3e,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了分段函数，不等式的解法，属于中档题.15.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，其中点A 位于第一象限.若5AF FB =，则直线AB 的斜率为___________.【解析】 【分析】设()()112211,,,(0,0)A x y B x y x y >>，根据5AF FB =可得125y y =-，设直线方程联立抛物线，由根与系数关系得出2y ，即而求出B 点，根据斜率公式求解即可. 【详解】设()()112211,,,(0,0)A x y B x y x y >>，5AF FB =125y y ∴=-，22012y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，2220p y y p k --=， 212y y p ∴⋅=-，2210Py x ∴==5102AB p k P p -∴==- 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，斜率公式，属于中档题.16.现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为3，高为4.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为___________. 【答案】163π【解析】 【分析】设内接圆柱的底面半径为x ，高为h ，根据比例得到二者关系，写出圆柱体积，利用导数求最值即可.【详解】设内接圆柱的底面半径为x ，高为h ， 则434x h -=，即443h x =-， 所以22341(4)4()33V x x x x ππ=-=-， 24(2)V x x π'∴=-，令0V '=，解得2x =或0x =（舍去）， 当02x <<时，0V '>,当2x >时，0V '<，∴2314()3V x x π=-在(0,2]上递增，在[2,)+∞上递减，故当2x =时，max 163V π=，故答案为：163π【点睛】本题主要考查了圆柱的体积，利用导数求函数的最值，属于中档题. 三、解答题：17.某知名电商在2019双十一购物狂欢节中成交额再创新高，11月11日单日成交额达2684亿元.某店主在此次购物狂欢节期间开展了促销活动，为了解买家对此次促销活动的满意情况，随机抽取了参与活动的50位买家，调查了他们的年龄层次和购物满意情况，得到年龄层次的频率分布直方图和“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表.年龄层次的频率分布直方图：“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表： 年龄（岁） [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70频数69965（1）估计参与此次活动的买家的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）； （2）若年龄在40岁以下的称为“青年买家”，年龄在40岁以上（含40岁）的称为“中年买家”，完成下面的列联表，并判断能否有95%的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异？附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）42岁（2）列联表见解析，没有 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，每个年龄段取中值，求均值即可（2）列表，根据2K 的计算公式计算，根据结果即可判断.【详解】（1）各年龄段区间[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70对应的频率分别为0.2，0.3，0.22，0.16，0.12， 所以估计参与此次活动的买家的平均年龄为250.2350.3450.22550.16650.1242⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁.（2）列联表如下：由表中数据计算得：()2250201015550 2.381 3.8412525251521K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，相关性检验，22⨯列联表，属于容易题. 18.已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-．()1设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； ()2设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）见证明；（2）212222n n n nS +=---【解析】 【分析】 （1）证明1n nb b +为常数即可． （2）利用条件（1）可求得2nn a n =-，利用分组求和方法即可求解．【详解】解：()1数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-． 由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++，1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++∴===++； 即公比2q，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；()2由()1可得2n n b =，2n n a n ∴+=那么数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =-数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋯⋯+-()()21212221232222nn n n n +=++⋯⋯-+++⋯⋯+=---．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式和前n 项和公式，还考查了等差数列的前n 项和公式，还考查了分组求和法方法，属于中档题19.如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，点E 是1BB 的中点，点F 是BC 的中点，所有的棱长都为2.（1）求证：11AB C E ⊥； （2）求点1A 到平面1AFB 的距离. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】 【分析】（1）由条件可证明AF ⊥平面1BC ，得1AF C E ⊥，由此可证明1C E ⊥平面1AB F ，即可证明11AB C E ⊥（2）利用三棱锥等体积法，即1111A AFB F AA B V F --=，分别计算两个棱锥的体积，即可求出点1A 到平面1AFB 的距离.【详解】（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，而点F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥.又侧棱1BB ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，则1BB AF ⊥. 而1BCBB B =，所以AF ⊥平面11BB C C ，且1C E ⊂平面11BB C C ，从而1AF C E ⊥.正三棱柱所有棱长均相等，点E 是1BB 的中点，所以1BF B E =，111B B B C =，11190FBB EB C ∠=∠=︒，从而111FBB EB C ∆≅∆. 由111111190BB F B EC B C E B EC ∠+∠=∠+∠=︒，得11B F C E ⊥. 又1AFB F F =点，所以1C E ⊥平面1AB F ，从而11AB C E ⊥.（2）记点1A 到平面1AFB 的距离为d ， 则三棱锥11A AFB -的体积为11113A AFB AFB V S d -∆=⋅. 由（1）证明过程可知，AF ⊥平面11BB C C ，且1B F ⊂平面11BB C C ，从而1AF B F ⊥.由条件计算得，AF =1B F =1Rt AFB ∆的面积为12=，从而116A AFB V d -=. 在正三棱柱111ABC A B C -中，过点F 作AB 的垂线交AB 于H 点， 又侧棱1BB ⊥底面ABC ，HF ⊂平面ABC ，则1BB HF ⊥. 而1ABBB B ，所以HF ⊥平面11BB A A ，即FH 是三棱锥11F AA B -的高，且FH =，111111233F AA B AA B V S FH -∆=⋅=⨯=.而1111A AFB F AA B V F --=，所以63d =，5d =，即点1A 到平面1AFB .【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的判定与性质，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】 【分析】（1）由点差法及椭圆的几何性质即可求出椭圆的标准方程（2）设直线CD 的方程为1x my =-，求出三角形面积得2112S S y y -=-，联立方程组，由根与系数的关系可得关于m 的函数式，换元后由均值不等式求最值即可. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知， 直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-≤21S S -.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，均值不等式求最值，属于中档题. 21.已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1e-（2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）求函数导数，根据零点及定义域列表求最值即可（2）原不等式可转化为2e 1x x ax >-++，构造函数()2e 1xF x x ax =+--，利用导数判断函数的单调性,由单调性求a 的取值范围.【详解】（1）()()e e 1e xxxf x x x =+=+'，令()0f x '=，解得1x =-，列表如下：结合表格可知函数()f x 的最小值为()11f e-=-. （2）()0,x ∀∈+∞，32e x x x ax x >-++，即2e 1x x ax >-++， 令()2e 1xF x x ax =+--，0x >，则()00F =，()e 2x F x x a '=+-，易知()F x '在(0,)+∞上单调递增.当1a ≤时，()()010F x F a ''>=-≥，从而()F x (0,)+∞上单调递增，此时()()00F x F >=，即2e 1x x ax >-++成立.当1a >时，()010F a '=-<，2e 02aa F ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，存在00,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00F x '=，当()00,x x ∈时，()0F x '<，从而()F x 在()00,x 上单调递减， 此时()()00F x F <=，即2e 1x x ax <-<+，不满足条件. 综上可知，实数a 的取值范围是(,1]-∞.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，单调性，不等式恒成立，属于中档题. 22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，过点()1,1P -的直线1:1x tl y kt =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若MN ≥k 的取值范围.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，直线l 的普通方程为10kx y k -++=（2）3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据极坐标公式转化直角坐标方程，消去参数t 得普通直线方程（2）根据圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求解即可.【详解】（1）根据题意4cos P θ=，即24cos P P θ=⋅，从而曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=，又11x ty kt=-+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得直线l 的普通方程为10kx y k -++=.（2）根据题意，得圆心()2,0到直线的距离1d ≤=，1≤，解得304k -≤≤，所以实数k 的取值范围为3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程，直线与圆的位置关系，圆的平面几何性质，属于中档题.23.已知函数()121f x x x =++-. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[]1,0∃∈-，使得不等式()1f x a x ≥-成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）(][),11,-∞-+∞（2）2a ≤【解析】 【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数即可求解（2）分离参数后转化为存在性问题，求函数21x y x-=-最大值即可. 【详解】（1）()13,211212,123,1x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩当12x ≥时，33x ≥，解得1x ≥； 当112x -<<时，23x -+>，不成立； 当1x ≤-时，33x -≥，解得1x ≤-.综上可知，不等式()3f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞.（2）[]1,0x ∃∈-，使得不等式1211x x a x ++-≥-成立，即()1121x x a x ++-≥-， 所以21x a x-≤-在[]1,0x ∈-时有解， 21111x y x x-==+--， 当[]1,0x ∈-时，11,112x ⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，23,212x x -⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦， 所以2a ≤.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，含参不等式有解问题，属于中档题.。
安徽省蚌埠市2020届高三数学第二次教学质量检查考试试题理
安徽省蚌埠市 2020 届高三数学第二次教课质量检查考试一试题 理一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的 A,B,C,D 的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应地点．1．已知会合 A {x x 22 x3 0}， B { x2 x p 2} ，则AIBA ． [ 2, 1]B ． [ 1，2) C． [ 1,1]D ． [1，2)2．(1sin x)dx2xA ． ln21B． ln 2+1C ．+1 D ． 12 23．“ a < 1”是“函数 f ( x)x 2x a 有零点”的A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．既不充分也不用要条件4．已知 a 21.2,b( 1) 0.8, c 2log 5 2 ，则 a,b, c 的大小关系为 2A ． c a bB ． c b aC ． b a cD ． b c a 5. 若 cos3,sin 24 ，则 tan2 55A ． 7 B．7C．24 2424247 D ．76. 若非零向量 a ,b 知足 a2 2 b ，且 (a - b) (3a + 2b) ，则 a 与 b 夹角为3A ．B ．2C．D ．447．整体由编号为 01,02, ,19,20 的 20 个个体构成，利用下边的随机数表选用 5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第 5列和第 6 列数字开始由左到右挨次选用两个数字，则选出来的第 5 个个体编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234 4935 82003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 018．履行以下图的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是A．s 1B ．s7 3D．s4 2 10C．s559．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A．8B ．5C ．4D ． 13 3 310. 已知函数 f ( ) 2cos(2 x) 在[ a , a]( a R) 上的最大值为y ，最小值为y ，则x 1 23 4y1y2的取值范围是A．[2 2, 2] B ．[2,2 2] C ． [ 2, 2] D．[22,2 2]11. 已知 A（ 4,3 ）， F 为椭圆x2 y2 1的右焦点，过点 A 的直线与椭圆在x 轴上方相切于点B，则直4 3线 BF 的斜率为A．1B ．2C ． 1 D4 2 3．312. 已知不等式e x (a 2) x b 2 恒建立，则b5 的最大值为a 2A．ln 3 B ．ln 2 C ． 1 ln3 D ． 1 ln2二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请将答案填在答题卷相应横线上．3x y 1 013. 若变量 x， y 知足3x y 11 0则 z= 2x + y 的最大值为.y 214．设复数z 1 i(i 为虚数单位），则C20180 C20181 z C20182 z2 C20182018 z2018 .1 i15．已知点 P(3,0) ，在⊙ O：x2 y2 1上随机取一点Q，则 I PQ I< 13 的概率为.16. 已知ABC，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若4a2 b2 c2 8 ，则 ABC 面积的最大值为.三、解答题：共70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、 23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60 分17.(12 分）设数列a n的前n项乘积为T n ，对随意正整数n 都有T n 1 a n(I ）求证：数列1是等差数列；1 a n(II ）求证： T12 T22 + K T n2 p2318.(12分）某念书协会共有1200 人，现采集了该协会20 名成员每周的课外阅读时间（分钟），此中某一周的数据记录以下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这 20 个数据按组距30 进行分组，并统计整理，绘制了以下尚不完好的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x 分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A 30≤ x<60 2 1 1B 60≤ x<90 10 4 6C 90≤ x<120 m a 1D 120≤ x<150 2 1 1E 150≤ x<180 n 2 b(I ）写出m , n的值，请预计该念书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该念书小组中一周阅读时长许多于90 分钟的人数；(II）该念书协会拟发展新成员 5 人，记新成员中每周阅读时长在[60,90 ）之间的人数为，以上述统计数据为参照，求的散布列和数学希望；( Ⅲ）达成下边的 2 x2 列联表，并回答可否有90％的掌握以为“每周起码阅读120 分钟与性别相关” ?每周阅读时间许多于120 分钟每周阅读时间少于120 分钟共计男女共计19.(12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为菱形，∠BCD = 120 0,AP =BP(I）求证：PC⊥AB;(II ）若 AB=2，PD=2 2 ,cos∠ PCB=，求二面角B-PC-D 的余弦值．420. (12分）uuur uuur(1,0)，曲线C为在平面直角坐标系xOy 中， F(1,0) ，动点 P 知足PF OP i 1，此中 i动点 P 的轨迹．(I）求曲线 C 的方程；(II）过（2,0)的直线l与C有两个不一样的交点A,B， Q为直线x 2上一动点，QA,QB与y轴分别交于两点M,N，M,N的中点为 R，问：直线 QR能否恒过必定点，假如是，求出该定点坐标。
蚌埠2020届高三数学(理)二模
而 ＭＮ 平面 ＭＡＣ，ＢＰ 平面 ＭＡＣ
∴ＢＰ∥ 平面 ＭＡＣ …………………………………………………………… ４分
（２）∵ 矩形 ＡＢＣＤ，∴ＤＡ⊥ ＡＢ， 又 ＡＰ２ ＋ＤＡ２ ＝２２ ＋１２ ＝５＝ＤＰ２，∴ＤＡ⊥ ＡＰ，
ＡＰ∩ ＡＢ ＝Ａ，∴ＤＡ⊥ 平面 ＡＢＰ， ……………… ５分
三、解答题：
１７（１２分）
解：（１）Ｓ１ ＝２ａ１ －１＝ａ１，∴ａ１ ＝１ ………………………………………………… １分 当时 ｎ≥ ２时，Ｓｎ－１ ＝２ａｎ－１ ＋１， ……………………………………………… ３分 ∴ａｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＝２ａｎ －１－（２ａｎ－１ －１），即 ａｎ ＝２ａｎ－１， ………………… ５分 ∴｛ａｎ｝是首项为 １，公比为 ２的等比数列，其通项为 ａｎ ＝２ｎ－１（ｎ∈ Ｎ ） ……
＝４５°，ＢＣ ＝ＤＥ现将两块三角板拼接在
一起，取 ＢＣ中点 Ｏ与 ＡＣ中点 Ｍ，则下列直
线与平面 ＯＦＭ所成的角不为定值的是
獉獉
ＡＡＣ
ＢＡＦ
ＣＢＦ
ＤＣＦ
Ｄ［－ １２，１］ 第 １０题图
蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）
１１已知函数 ｆ（ｘ） ＝｜ｓｉｎｘ｜＋ｃｏｓｘ有下列四个结论：
２１（１２分）
已知函数
ｆ（ｘ）
＝ｅｘ
＋ａ（ｘ＋
１ ｘ
＋２）在区间（－１，０）内存在零点
（１）求 ａ的范围；
（２）设 ａ＞ ｅ２２，ｘ１，ｘ２（ｘ２ ＜ｘ１）是 ｆ（ｘ）的两个零点，求证：ｘ１ －ｘ２ ＜２．
（二）选考题：共 １０分。请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 ２２．［选修 ４－４：坐标系与参数方程］（１０分） 在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 Ｃ：ρ＝
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
安徽省蚌埠市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ， 解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．3．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先将ME MF ⋅u u u r u u u r转化为21MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 21MT =-u u u r ,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -， 所以22[1(2)](11)13MA =--+--=，223221(1)TB ==+-， 故ME MF ⋅u u u r u u u r 271[,12]2MT =-∈u u u r .故选：D. 【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．5．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题. 6．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C 【解析】 【分析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,则()()120f f <,即可求解. 【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a ,故选:C 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.7．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.8．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.9．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．10．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．108【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132，312-，小正方形的面积23131222S⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.13450067112⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⎪⎪⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.11．8xx⎛-⎝的二项展开式中，2x的系数是（）A．70 B．-70 C．28 D．-28【答案】A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882188((1)rr r r r rrT C x C xx--+==-，令38242r r-=⇒=，所以2x的系数是448(1)70C-=，故选A．考点：二项式定理的应用．12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省蚌埠市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
安徽省蚌埠市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B．32C ．1D ．0【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：由2z x y =+得，1122y x z =-+ 由图形知，1122y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大10y x x y =⎧⎨+-=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，max 1232222z =+⨯=故选：B 【点睛】考查线性规划，是基础题.2．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．⎛ ⎝⎦B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以c a >故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 3．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 4．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故11c c b a--> ，错误 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ）A B ． C 1 D ．1【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 计算313cossin 3322πππ=+=+i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故313cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.7．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ）A ．5 B ．2C ．5D ．15 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.8．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B9．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 2212||(1)25z i z ∴=-+⇒=-+=.故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 10．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ）A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④【答案】A 【解析】 【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A 【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数. 11．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．1310【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解. 【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=，当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=，14m n +最小值为1310. 故选:D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.12．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到ab的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,3k k ∆=-==，a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b +=的焦距2=，22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=.故选:B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题
21.已知函数 ，
（1）讨论函数 在区间 内的零点个数；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 直角坐标方程；
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
18.如图，已知四边形 和 均为直角梯形， ， ，且 ， . .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
19.市教育局计划举办某知识竞赛，先在 ， ， ， 四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为 .
（2）由直线 ( 为参数， )上的点向曲线引切线，求切线长的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
23.设函数 ，
（1）若 时，解不等式： ；
（2）若关于 不等式 存在实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学答案
安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题参考答案1．A 【详解】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i 故选：A.2．D 【详解】由已知{}2280{|2B x x x x x =-->=<-或4}x >，∴{|24}RB x x =-≤≤，(){|04}R A B x x =<<．故选：D ．3．A 【详解】由α是三角形的一个内角，3tan 4α=，则02πα<< 所以sin 3tan cos 4ααα==，即3sin cos 4αα= ,由22sin +cos 1αα=，即222925cos +cos cos 11616ααα==，所以4cos 5α=，则3sin 5α=33343cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭故选：A 4．C 【详解】因为11()lnln ()cos()cos -===-f x f x x x，所以函数1lncos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭是偶函数，故排除B ，D ；当4x π=时，1lnln 0cos4π==>y ，故排除A.故选：C.5．C 【详解】设()()1111,,,A x y B x y ，由8AB =,可知1228x x ,故1232x x +=,故选C6．C 【详解】由题意22110(40302020)7.82260506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，6.6357.82210.828<<，因此有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”．故选：C ．7．B 【详解】因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =，51a =，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++===+故选：B8．D 【详解】()cos '=-xf x e a x ，由题意cos 0xe a x -=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即cos xea x=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，记()cos xe g x x =，2(cos sin )()cos xe x x g x x+'=，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，(0)1g =，3323cos 3e g e ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以312e e π<<．故选：D ． 9．B 【详解】常数项是()()()32246332221166465222111581C x C x C C x C x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1x =求各项系数和，()612164+-=，则除常数项外，其余各项系数的和为64581517-=-.故选：B10．D 【详解】由图可知1A =,311412T π=,364ππ=,T π∴=,故2ω=,又sin 2166f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2πϕ<,∴6π=ϕ,即()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移3π个单位长度后得到的函数解析式为:sin 2sin 2cos 23362y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选:D. 11．D【详解】553log 6log 2a d =<==，333log 5log 2b d =<==，223log 3log 2c d =>==，456129653125=<=，5465∴<，则54555log 6log 54a =<=，4556253243=>=，5453∴>，则54335log 5log 34b =>=，因此，a b d c <<<.故选：D.12．A 【详解】由直四棱柱1111ABCD A B C D -内接于球，则,,,A B C D 四点在球面上，所以四边形ABCD 为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补.又四边形ABCD 是平行四边形，所以ABCD 为矩形.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．又1AC BD ⊥，111AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，所以BD AC ⊥所以四边形ABCD 为正方形，所以直四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱.由外接球体积为34363R ππ=，则球的半径为3R =,由1AC 为该外接球的直径，则16AC = 设1,ABAD a CC b ===，则2221236AC a b =+=，则22362b a =-在11AB D 中,()222221136236AB AD a b a a a ==+=+-=-，112B D a =由余弦定理可得22221111112111cos 22362AD B D AB AD B AD B D a a+-∠==⋅⨯-⨯＝2362a -⨯,所以()222111122723sin 1cos 1722236a a AD B AD B a a -∠=-∠=-=-⨯- 设11AB D 的外接圆的半径为r ，由正弦定理可得(22122112236362sin 723723722a AB a r AD B a a a --===∠---所以22222224666242424r a a a a ⎛⎫==⨯=-+ ⎪---⎝⎭≥212226⨯= 当且仅当222424a a-=-,即23a =时取得等号，即r 的最小值为22 其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为：28S r ππ== 故选：A13．6【详解】222044x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数5z x y =-可化为5y x z =-，故求z 的最大值，即为5y x =在上下平移时，纵截距的最小值，如图示，过B (2,4)时，纵截距最小，z 最大.此时5246z =⨯-=14．23π【详解】因为单位向量1e →，2e →，1122e e e →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭，所以2112112+=1+2c 2o 02==s e e e e e e θ→→→→→→⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，即1cos 2θ=-，[]0,θπ∈，所以2=3πθ.153M 是圆与渐近线b y x a =在第一象限的交点，由222b y x ax y b⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2ab x c by c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则切线PM 的方程为2()b a ab y x c b c -=--，令0x =得y c =，即(0,)P c ，∵AP 3，∴3ca=3 163cos 230a C C b c +--=,且2a =,∴cos 3sin 0a C a C b c +--=,∴sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=,∴()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C =+=++,3sin sin cos sin sin A C A C C =+,sin 0C ≠, 3cos 1A A -=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又()50,,,,666663A A A A πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭，， 由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==，()243b c bc ∴+-=，又22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()2234044b c b c b c +∴+-≤∴<+≤，，又2b c a +>=，24b c ∴<+≤， 设ABC 内切圆半径为R ,则11()sin 22ABC S a b c R bc A =++=△，(2)b c R ++=，即()()2214232R b c b c c b =+-⎡⎤+≤-⎣=+⎦+. max R ∴=17．【详解】（1）由题意知，()1122n n n n S S S S n +--=-+≥， 从而()122n n a a n +=+≥，即()122n n a a n +-=≥， 又21312a a -=-=，∴数列{}n a 是以1为首项，公差为2的等差数列， 故()*21N n a n n =-∈；（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 18．【详解】（1）证明：在平面BCEG 中，过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连DM ， 由题意知，MG MN =，////MN BC DA 且12MN AD BC ==， ∵//MG AD ，MG AD =，故四边形ADMG 为平行四边形，∴//AG DM ， 又DM ⊂平面BDE ，AG ⊂/平面BDE ， 故//AG 平面BDE .（2）由题意知BC ⊥平面ECD ，在平面ECD 内过C 点作CF CD ⊥交DE 于F ， 以C 为原点，CD ，CB ，CF 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨设1AD =，则22BC CD CE BG ====. 且()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,2,0B ，()1,0,3E -， 设平面EBD 的法向量(),,n x y z =， 则由0,0,DE n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330,220,x z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取1y =，得()1,1,3n =，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1m =315cos ,51m n m n m n⋅==⋅=⋅，所以二面角E BD C --的余弦值为155.19．【详解】（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为X ，则X 可取值为0，20，30， 且()108P X ==，()3208P X ==，()1302P X == 记预赛得分为Y ，()()()()100120110100P Y P Y P Y P Y ≥==+=+=43223244113135922828128C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为59128. （2）该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ，则ξ可取值为0，20， 且()()201P p ξ==-，()()220102P P p p ξξ==-==-∴()()202E p p ξ=-，设预赛得分为1Y ，则16Y ξ=，()()()()1661202E Y E E p p ξξ===-. 该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ，则ζ可取值为0，20，30，且()()30)1P p ζ==-， ()()22031P p p ζ==-，()()233031P p p p ζ==-+，∴()()()()2236013031302E p p p p p p p ζ⎡⎤=-+-+=-⎣⎦.设预赛得分为2Y ，则24Y ζ=()()()()2441202E Y E E p p ζζ===-，因为()()12E Y E Y =，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等. 20．【详解】（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E ，∴NE NF EF +=>， 所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k -=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=. 化简得：()()22121210kx xkm x x m ++++=，即()22222366101313m kmk km m k k--+⋅+⋅+=++， 从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =， 在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ， 则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===，所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为xn =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝由OP OQ ⊥得n =，即t = 综上，t.21．【详解】（1）函数()f x 定义域()1,+∞，()1ln f x x a '=+-， 当1a ≤时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞内单调递增， 所以()()10f x f >=，()f x 在()1,+∞内无零点；当1a >时，()0f x '=的解为101a x e -=>，又因为()f x '在()1,+∞内单调递增，所以当01x x <<，()0f x '<，()f x 在()01,x 内单调递减，()()10f x f <=，所以()f x 在()01,x 内无零点；当0x x >，()0f x '>，()f x 在()0,x +∞内单调递增；()()010f x f <=，()()10a a a f e ae a e a =--=>，以()f x 在()0,x +∞有且仅有一个零点；综上所述：当1a ≤，函数()f x 在()1,+∞无零点； 当1a >，函数()f x 在()1,+∞有1个零点.（2）由题意知2ln 42x a x x x x≥-+-在区间()0,∞+上恒成立， 设()2ln 42x g x x x x x=-+-，则()max a g x ≥， ()224ln 3x x x g x x ---+'=， 设()24ln 3h x x x x =---+，()21420h x x x x'=---<，所以()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()10h = 列表如下所以当时1x =，()()max 11g x g ==，所以1a ≥. 22．【详解】（1）由[)2cos 4sin ,0,2ρθθθπ=+∈， 可得[)22cos 4sin ,0,2ρρθρθθπ=+∈∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为()()22125x y -+-=.（2）∵直线l的参数方程为：65xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数，t R∈)，∴直线l上的点P⎫+⎪⎪⎝⎭向圆C引切线长是5 ==∴当5t=-时，切线长的最小值为5.23．【详解】（1）1a=时，所解不等即为：2121x x->+，两边平方解得14x<-，∴原不等式解集为14x x⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭.（2）21121x a x--->+存在实数解，即12121a x x-<--+存在实数解，令()2121g x x x=--+，即()max1a g x-<，()()212121223g x x x x x=--+≤--+=，∴当1x≤-时等号成立.∴13a-<，解得()2,4a∈-.。
安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题及答案
利用赋值法令 求各项系数的和，再利用生成法求常数项，再求其余各项系数的和.
解：
常数项是 ，
令 求各项系数和， ，
则除常数项外，其余各项系数的和为 .
故选：B
10．D
由函数图象可得 ,由 ,可得 ,由周期公式可得 ,由 在函数图象上,又 ,可解得 ,从而可得 ,根据左加右减平移变换规律,即可得解.
解：
由图可知 ,
, ,
,故 ,
又 , ,
,即
的图象向右平移 个单位长度后得到的函数解析式为: ,
故选:D.
点评：
本题主要考查了根据三角函数图象求解析式和平移变换,解题关键是掌握正弦函数的基础知识和平移变换的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11．D
利用对数函数的单调性比较 、 、 与 的大小关系，利用中间值法判断出 、 的大小关系，综合可得出 、 、 、 的大小关系.
13．6
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
解：
表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数 可化为 ，故求z的最大值，即为 在上下平移时，纵截距的最小值，
如图示，过B(2,4)时，纵截距最小，z最大.
此时
故答案为：6.
点评：
简单线性规划问题的解题步骤：
(1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；
，
所以二面角 的余弦值为 .
点评：
本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．