第04讲 背包问题及分枝界定法
背包问题的算法设计策略
背包问题是一种常见的优化问题，它涉及到给定一组物品，每个物品都有各自的重量和价值，背包的总容量有限。
目标是选择一些物品，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的总容量。
算法设计策略：1.问题建模：首先，需要建立一个数学模型以描述背包问题。
通常，这可以通过一个二元决策图来实现。
决策图中的每个节点代表一个物品，每个边代表一个决策，即是否选择该物品。
2.状态空间树：在背包问题中，状态空间树是一个非常有用的工具。
它可以帮助我们系统地搜索所有可能的物品组合，从而找到最优解。
状态空间树以背包的当前容量为根节点，然后每个子节点代表一个可能的物品选择。
3.剪枝函数：在回溯法中，剪枝函数是一个关键的工具，它可以用来避免对不可能产生最优解的子节点进行搜索。
例如，如果当前选择的物品已经超过背包的容量，那么我们可以立即剪去该子树，因为它不可能产生最优解。
4.动态规划：动态规划是一种可以用来解决背包问题的算法。
它的思想是将问题分解为更小的子问题，并将这些子问题的解存储起来，以便在解决更大的问题时可以重复使用。
在背包问题中，动态规划可以帮助我们避免重复计算相同的子问题。
5.启发式搜索：虽然动态规划可以保证找到最优解，但它需要大量的存储空间。
如果物品的数量很大，那么动态规划可能不实用。
在这种情况下，可以使用启发式搜索方法，如遗传算法或模拟退火算法，来找到一个好的解决方案。
总的来说，背包问题的算法设计策略涉及到多个步骤，包括建立数学模型，使用状态空间树进行系统搜索，使用剪枝函数避免无效搜索，使用动态规划避免重复计算，以及使用启发式搜索方法在大型问题中寻找近似解。
分支限界法求解背包问题
分支限界法求解背包问题/*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe#i nclude <stdio.h> #i nclude <stdlib.h>#include <time.h>#include <sys/time.h>#include <assert.h>#define MAXSIZE 20000//#define BAGWEIGHT 200 int a[MAXSIZE] = {0};int array[MAXSIZE] = {0};int weightarray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品重量*/int valuearray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品价值*/int lastweight[MAXSIZE]={0}; int lastvalue[MAXSIZE]={0}; int qq=0;/* 上面的数组，变量都是蛮力法所用到，下面的都是分支限界法所用到*/ int BAGWEIGHT; /* 背包的载重*/int n; /* 物品的数量*/int weightarrayb[MAXSIZE] = {0}; intvaluearrayb[MAXSIZE] = {0}; float costarrayb[MAXSIZE] = {0}; intfinalb[MAXSIZE] = {0};int finalweightb[MAXSIZE] = {0};/* 从文件读取数据*/void readb()int nn = 1,ii = 1;int i = 1;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","rb");while(!feof(fp)){if(fscanf(fp,"%d%d",&weightarrayb[nn],&valuearrayb[nn]) != EOF)nn++;i++;elsebreak;fclose(fp);printf(" weight ");printf("value\n");for(ii = 1;ii < nn;ii++)printf("no%d: %-5d%-5d",ii,weightarrayb[ii],valuearrayb[ii]);printf("\n");/* 把读取的数据按照性价比从大到小排序*/ void rangeb()int i,j,k;int tempvalue,tempweight,tempcost;for(i = 1;i <= n;i++)printf(" weight ");costarrayb[i] = valuearrayb[i]/weightarrayb[i];for(j = 1;j <= n;j++)for(k = j;k <= n;k++)if(costarrayb[j] < costarrayb[k+1])tempcost = costarrayb[j];costarrayb[j] = costarrayb[k+1];costarrayb[k+1] = tempcost;tempweight = weightarrayb[j];weightarrayb[j] = weightarrayb[k+1];weightarrayb[k+1] = tempweight;tempvalue = valuearrayb[j];valuearrayb[j] = valuearrayb[k+1];valuearrayb[k+1] = tempvalue;printf("value ");printf("cost\n");for(i = 1;i <= n;i++)printf("no%d: %-5d%-5d %- f",i,weightarrayb[i],valuearrayb[i],costarrayb[i]); printf("\n");/* 分支限界法运算*/void branchb()int i,k,j,u = 1;int emptyweight = BAGWEIGHT;int tempweight = 0;int tempvalue = 0;float ub;float exub;int extempweightb[MAXSIZE] = {0};int extempvalueb[MAXSIZE] = {0};int exemptyweightb[MAXSIZE] = {0};int allweight = 0;int allvalue = 0;ub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[1];exemptyweightb[0] = BAGWEIGHT;printf("include 0: weight=0 value=0 ub = %f\n",ub);printf("\n");i = 1;while(weightarrayb[i] != 0)tempweight = tempweight + weightarrayb[i];tempvalue = tempvalue + valuearrayb[i];emptyweight = BAGWEIGHT - tempweight;if(tempweight > BAGWEIGHT)printf("include %d: weight=%d can't\n",i,tempweight);tempweight = extempweightb[i-1];tempvalue = extempvalueb[i-1];emptyweight = exemptyweightb[i-1];ub = 0;elseub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[i+1];printf("include %d: weight=%d value=%d ub=%f\n",i,tempweight,tempvalue,ub); extempvalueb[i] = tempvalue;extempweightb[i] = tempweight;exemptyweightb[i] = emptyweight;exub = extempvalueb[i-1] + exemptyweightb[i-1] * costarrayb[i+1]; printf("exclude %d: weight=%d value=%dub=%f\n",i,extempweightb[i-1],extempvalueb[i-1],exub);printf("\n");if(ub < exub || ub == 0)finalb[i] = 2;if(ub >= exub)finalb[i] = 1;i++;printf("the final answer is: ");for(i = 1;i <= n;i++)if(finalb[i] == 1)printf("%d ",i);finalweightb[u] = i;u++;else if(finalb[i] == 2)continue;printf("\n");for(i = 1;i <= u;i++)allweight = allweight + weightarrayb[finalweightb[i]]; allvalue = allvalue + valuearrayb[finalweightb[i]];printf("the final weight is :%d\n",allweight);printf("the final value is : %d\n",allvalue);/* 自动生成文件*/void become()int i;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","w");//srand(unsigned(time(NULL)));for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp,"%d %d\n",rand()%9+1,rand()%41+10);fclose(fp);/* 删除文件*/void del()remove("in.dat");int main()printf(" 请输入背包负重(大于0 的整数):"); scanf("%d",&BAGWEIGHT);printf(" 请输入物品数量(大于0 的整数):"); scanf("%d",&n);float time_usea=0;float time_useb=0;struct timeval starta;struct timeval enda;struct timeval startb;struct timeval endb;int k = 0,i,j,u,loop;loop=0;gettimeofday(&startb,NULL);become();readb();由于分支限界太效率，时常显示 0 毫秒，为了能读出时间，让其运行 100 次后总时间再除以 100*/rangeb();branchb();gettimeofday(&endb,NULL);time_useb=(__sec)*1000+(_usec- _usec)/1000;// 毫秒printf("\n");for(i=0;i<100;i++) /*printf("It took you %f 毫秒\n", time_useb/100);/* 最后把算到的时间读出到文件*/FILE *fp = NULL;fp = fopen("OUT.DAT", "a+");if(NULL == fp)printf("wrong");return 0;//fprintf(fp, " 蛮力: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_usea); fprintf(fp, " 分支: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_useb/100); fclose(fp);del(); /* 要运算多次，生成多次文件，所以每次算完删除文件*/printf（" 如果需要再算一次，请按1\n"）; printf（" 如果需要退出，请按2\n"）; scanf("%d",&loop);switch(loop)case 1:return main();case 2:return;default:return;return 0;}。
回溯法和分支限界法解决背包题
0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。
由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。
尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
背包问题
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN） 的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得 出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如 何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关 的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令 f[i,v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程， 像这样：f[i,v]=max{f[i,v-vi]+wi,f[i-1,v]}。这跟01背包问题一样有O(N*V）个状态需要求解，但求解每个状态的 时间则不是常数了，求解状态f[v]的时间是O(v/c），总的复杂度是超过O(VN）的。
背包问题已经研究了一个多世纪，早期的作品可追溯到1897年 数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig， 1884-1956）的早期作品 ，并指的是包装你最有价值或有用的物品而不会超载你的行李的常见问题。
应用
1998年的石溪布鲁克大学算法库的研究表明，在75个算法问题中，背包问题是第18个最受欢迎，第4个最需 要解决的问题（前三为后kd树，后缀树和bin包装问题）。
基础背包
题目 基本思路
空间复杂 示例程序
递归实现 程序
测试数据 总结
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些 物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。
背包问题 动态规划
背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划问题，主要是在给定的一些物品中选择一部分物品放入背包中，使得放入背包的物品总价值最大。
背包问题是动态规划中的一个重要问题，可以用来解决多种实际问题，比如旅行商问题、资源分配等。
在背包问题中，我们有一个容量为W的背包和n个物品，每个物品都有一个重量和一个价值。
我们需要选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总重量不超过背包容量，并且总价值最大。
动态规划是一种算法解决问题的思想，其基本思路是将问题划分为重复的子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
在背包问题中，动态规划可以分为以下几步：1. 状态定义：定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
2. 状态转移方程：dp[i][j]的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
3. 边界条件：当i=0时，dp[0][j] = 0，表示没有物品可选时的情况；当j=0时，dp[i][0] = 0，表示背包容量为0时，无论有多少物品可选，最大价值都为0。
4. 最优解求取：根据状态转移方程，我们可以通过填充dp数组来求取最优解。
在填充dp数组时，需要注意边界条件和状态转移方程的递推关系。
5. 回溯求解：通过填充dp数组，我们可以得到最大价值，但是无法得到具体的物品组合。
为了得到具体的物品组合，我们可以采用回溯的方法，从dp数组中找到最大价值的物品。
从最后一个物品开始，倒着依次回溯，如果dp[i][j] > dp[i-1][j]，表示第i个物品被选中，否则不被选中。
通过以上步骤，我们可以解决背包问题，并得到最优解。
背包问题的动态规划算法时间复杂度为O(nW)，其中n表示物品的个数，W表示背包的容量。
由于需要填充dp数组，所以需要额外的空间来存储dp数组，空间复杂度为O(nW)。
分支限界法0-1背包问题-队列式
分⽀限界法0-1背包问题-队列式⼀.分⽀限界法概述（1）分⽀限界法就是采⽤⼴度优先的策略，依次搜索活结点所有的分枝，也就额是所有的相邻结点。
在求最优解时采⽤⼀个限界函数，计算限界函数值，选择⼀个最有利的⼦节点作为扩展结点，使搜索树朝着解空间树上有最优解的分⽀推进，以便尽快找出⼀个最优解。
（2）常见的两种分⽀限界法 先进先出（FIFO）队列式:在先进先出的分⽀限界法中，⽤队列作为组织活结点表的数据结构，并按照队列先进先出的原则选择结点作为扩展结点。
优先队列（PQ）：⽤优先队列作为组织活结点表的数据结构。
⼆.0-1背包问题问题：给定n种物品和⼀背包。
物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。
问应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=99;int n,c;int w[maxn];int v[maxn];int bestv=0;int bestx[maxn];int total=1; //解空间中的节点数累计，全局变量struct nodetype //队列中的结点类型{int no; //结点编号，从1开始int i; //当前结点在搜索空间中的层次int w; //当前结点的总重量int v; //当前结点的总价值int x[maxn]; //当前结点包含的解向量double ub; //上界};void input(){cout<<"请输⼊物品的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输⼊每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>w[i]>>v[i];}cout<<"请输⼊背包的容量："<<endl;cin>>c;}void bound(nodetype &e) //计算分⽀结点e的上界{int i=e.i+1; //考虑结点e的余下物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=c)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n) //余下物品只能部分装⼊e.ub=sumv+(c-sumw)*v[i]/w[i];else e.ub=sumv;}void enqueue(nodetype e,queue<nodetype> &qu)//结点e进队qu{if(e.i==n) //到达叶⼦节点，不在扩展对应⼀个解{if(e.v>bestv) //找到更⼤价值的解{bestv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else qu.push(e); //⾮叶⼦结点进队}void bfs(){int j;nodetype e,e1,e2;queue<nodetype> qu;e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop(); //出队结点eif(e.w+w[e.i+1]<=c) //剪枝，检查左孩⼦结点{e1.no=total++; //建⽴左孩⼦结点e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;bound(e1); //求左孩⼦的上界enqueue(e1,qu); //左孩⼦结点进队}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;bound(e2);if(e2.ub>bestv) //若右孩⼦结点可⾏，则进队，否则被剪枝 enqueue(e2,qu);}}void output(){cout<<"最优值是:"<<bestv<<endl;cout<<"(";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<"";cout<<")";}int main(){input();bfs();output();return0;}。
分支界限法0-1背包问题（优先队列式分支限界法）
分⽀界限法0-1背包问题（优先队列式分⽀限界法）输⼊要求有多组数据。
每组数据包含2部分。
第⼀部分包含两个整数C （1 <= C <= 10000）和 n （1 <= n <= 10，分别表⽰背包的容量和物品的个数。
第⼆部分由n⾏数据，每⾏包括2个整数 wi（0< wi <= 100）和 vi（0 < vi <= 100），分别表⽰第i个物品的总量和价值输出要求对于每组输⼊数据，按出队次序输出每个结点的信息，包括所在层数，编号，背包中物品重量和价值。
每个结点的信息占⼀⾏，如果是叶⼦结点且其所代表的背包中物品价值⼤于当前最优值（初始为0），则输出当前最优值 bestv 和最优解bestx（另占⼀⾏）参见样例输出测试数据输⼊⽰例5 32 23 22 3输出⽰例1 1 0 02 2 2 23 5 2 24 10 4 5bestv=5, bestx=[ 1 0 1 ]4 11 2 23 4 5 42 3 0 0⼩贴⼠可采⽤如下的结构体存储结点：typedef struct{int no; // 结点在堆中的标号int sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // 优先值 sv/sw}Node;#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef struct {int no; // 结点标号int id; // 节点idint sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // sv/sw}Node;int surplusValue(int *v,int n,int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++) {sum += v[i];}return sum;}void qsort(Node *que,int l,int r) {int len = r - l + 1;int flag;for(int i = 0; i < len; i ++) {flag = 0;for(int j = l; j < l + len - i; j++) {if(que[j].prior < que[j+1].prior) {Node t = que[j];que[j] = que[j+1];que[j+1] = t;flag = 1;}}//if(!flag ) return;}}void branchknap(int *w,int *v,int c,int n) {int bestv = 0;int f = 0;int r = 0;Node que[3000];memset(que,0,sizeof(que));int path[15];que[0].no = 1;que[0].id = que[0].sv = que[0].sw = que[0].prior = 0;while(f <= r) {Node node = que[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;printf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp % 2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++ ;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id + 1]) <= c && surplusValue(v,n,node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2;int id = node.id + 1;que[r].sv = node.sv + v[id];que[r].sw = node.sw + w[id];que[r].prior = que[r].sv / (que[r].sw*1.0);}if(surplusValue(v,n,node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2 + 1;que[r].sv = node.sv;que[r].sw = node.sw;que[r].prior = node.prior;}}f++;qsort(que,f,r);}}int main() {int c,n;int w[15],v[15];while(~scanf("%d %d",&c,&n)){for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap(w,v,c,n);}return 0;}#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef int bool;#define true 1#define false 0struct Node{int no; // ?áµ?±êo?int id; //jie dian idint sw; // ±3°ü?D·µá?int sv; // ±3°ü?D·µ?µdouble prior;};struct Node queuee[2000];int w[15],v[15];int bestv = 0,c,n;int path[15]; //lu jingint surplusValue(int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++)sum += v[i];return sum;}void qsort(int l,int r) {// printf("------\n");int len = r - l + 1;//printf("----%d %d %d-----\n",l,r,len);bool flag;for(int i = 0; i < len ; i++) {flag = false;for(int j = l; j <l+ len -i ;j++) {if(queuee[j].prior < queuee[j+1].prior) {struct Node temp = queuee[j];queuee[j] = queuee[j+1];queuee[j+1] = temp;flag = true;}//if(!flag) return;}}// printf("---排序嘻嘻---\n");//for(int i = l; i <= r;i++ )// printf("***%d : %.2lf\n",queuee[i].no,queuee[i].prior);// printf("\n------\n");}void branchknap() {bestv = 0;int f = 0;int r = 0;queuee[0].no = 1;queuee[0].id = 0;queuee[0].sv = 0;queuee[0].sw = 0;queuee[0].prior = 0;// printf("f: %d r: %d\n",f,r);while(f <= r) {struct Node node = queuee[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;//TODOprintf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp%2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id+1]) <= c && surplusValue(node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;//printf("%d\n",(node.sw + w[node.id+1]));queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2;int id = node.id+1;queuee[r].sv = node.sv + v[id];queuee[r].sw = node.sw + w[id];queuee[r].prior = queuee[r].sv/(queuee[r].sw*1.0);//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;//printf("%d %d %d\n",id,v[id], w[id]);}if(surplusValue(node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2 + 1;queuee[r].sv = node.sv ;queuee[r].sw = node.sw ;queuee[r].prior = node.prior;//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;}}f++;qsort(f,r);}}int main() {while(~scanf("%d %d",&c,&n)){memset(queuee,0,sizeof(queuee));for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap();}return 0;}。
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
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分组背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包.第i件物品的 费用是c[i],价值是w[i].这些物品被划分为若 干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件.求 解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和 不超过背包容量,且价值总和最大.
有依赖的背包问题
这种背包问题的物品间存在某种"依赖"的关 系.也就是说,i依赖于j,表示若选物品i, 则必须选物品j.为了简化起见,我们先设 没有某个物品既依赖于别的物品,又被别的 物品所依赖;另外,没有某件物品同时依赖 多件物品.
这样我们就得到一个更好的上界.U1 是由Dantiz给出, U2 是由Martello和grange给出的.
广探法
用根结总表示原背包问题,求出它的上界; 在根节点通过取 x1 = 1, x1 = 0 , 进行分枝,得到两个子 问题,分别计算这两个子节点对应背包问题的上界. 选取具有最大上界的节点进行分枝.对选取的节点, 设物品j为尚未确定是否放入包内的物品,且它在这类 物品中具有最大价值密度,则通过取 x j = 1,x j = 0 ,进 行分枝产生两个子节点. 在分枝过程中,若某个子节点的上界小于当前原问题 的某一个可行解值,则该子节点删去不再进行分枝.
深探法
如果在某节点处的分枝 x j = 1 对应的子问题不可行, 则删去分枝,回到分枝 x j = 0 对应的子问题继续进行. 若某一个分支进行到最后一个物品,则可产生一个可 行解,将它与已有的其它的可行解进行比较,保留最 好的一个,然后回到最迟发生的某个 x j = 0 分枝继续 进行. 在上述过程中若某子节点上界小于当前已有的可行解 值,则该子节点删去.
s 1
定理
设 U =
0
∑
s 1 i =1
p s +1 1 pi + c ,U = w s +1
∑
s 1 i =1
p s 1 pi + p s ( wi c ) w s 1
背包问题的一个上界为U 2 = max(U 0 , U 1 ) ; 对于背包问题的任意一个实例都有 U 2 ≤ U1 .
作业
P102 1,3,5
�
Knapsack Problem 背包问题
背包问题
定义: 个不同物品和一个背包, 定义: 有N个不同物品和一个背包,其 中: 物品具有重量, w2 … wn ) 和价 ( w1 值 ( p1 , p 2 … p n ) 背包的最大重量承受限制为C 背包的最大重量承受限制为C 如何放置物品可得最高价值? 如何放置物品可得最高价值?
x j = 1, j = 1, 2 ...., s 1, x j = 0 , j = s + 1, ...., n , x s =
c , ws
ps ws
其中
c = C ∑ wi
i=1
s 1
,其最优解值为
z =
∑
s 1 i =1
pi + c
.
根据此定理,我们得到背包问题的第一个上界
ps U1 = ∑ pi + c i =1 ws
其它类型背包问题
完全背包问题(0/1) 多重背包问题 分组背包问题 有依赖的背包问题
完全背包问题
有N种物品和一个容量为C的背包,每种物品 都有无限件可用.第i种物品的体积是wi, 价值是pi.求解将哪些物品装入背包可使这 些物品的费用总和不超过背包容量,且价值 总和最大.
多重背包问题
有N种物品和一个容量为C的背包.第i种物 品最多有ni件可用,每件体积是wi,价值是 pi.求解将哪些物品装入背包可使这些物品 的费用总和不超过背包容量,且价值总和最 大.
分枝定界法求极大化问题的步骤
3. 在B的最优解中任选一个取值不符合整数条件的变 量 x j ,其值为 β j ,构造两个约束条件 xj ≤ β j , xj ≥ β j +1
将这两个约束条件分别加入B中,得到两个后继子规划 B 1和 B2 . i 4. 对每一个后继问题 Bi ,设解为 x ,若为整数,则停止 分枝,若此时对应目标值目标值 z i > z , 则其 zi z , i 作为新的下界;若 x 非整,且 zi ≤ z 则也停止分枝; i 若 x 非整,且 z i > z 则按照3中的方式进行分枝.
min z = 4 x1 9 x2 s.t.9 x1 + 7 x2 ≤ 56 7 x1 + 20 x2 ≤ 70 x1 , x2 ≥ 0
4.81 得最优解 x = 1.82
0
z 0 = 35.6
得一下解,记为
z
.
又 x = 显然是目标值的一个可行解,对应目标值为0是A的一个上界, 0 记 z = 0 ,因此有 35.6 ≤ z * ≤ 0 .
max
n
z = ∑ pjxj
j =1
n
s.t
∑w x
j =1 j
j
≤C
0 ≤ xj ≤1
记此问题为C(KP)
考虑一个基本算法:将物品按价值密度从大到小进行排 列一个个放入包内,设物品s是第一个放不下的物品, 称它为关键项,即
s = min{ j | ∑ wi > C}
i =1 n
定理
背包问题对应的松弛问题C(KP)的最优解为
深探法
用根结总表示原背包问题,求出它的上界; 对于根节点通过生成两个子节点 x1 = 1,x1 = 0,分别计算 得到问题的上界,从 x1 = 1 对应的子节点出发继续分 枝过程. 设当前对某个子节点进行分枝,设物品j是尚未确定是 否放入包内的物品,且它在这类物品中具有最大价值 密度,则通过取生成两个子节点 x j = 1, x j = 0 ,计算上 界.继续从对 x j = 1 应子节点出发进行搜索.
即 z = 3 4 ,且 B3 不用再进行分枝了.再求解 B4 得解 了.
1.42 ,目标值 z = 32.7 > z 3
,所以不能再进行分枝
2 x2 进行分枝. 同样在 B2 中取
最终得最优解 x* = 4 , z* = 34 . 2
背包问题的分枝定界法
先对背包问题进行松弛
分枝定界法求极大化问题的步骤
* 5.当所有子问题均不能再分枝时,z 即为最优目标值 z , * 对应的解即为最优解 x .
举例
min z = 4 x1 9 x2 s.t.9 x1 + 7 x2 ≤ 56 7 x1 + 20 x2 ≤ 70 x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2为整数
先考虑松弛问题
5 x2 = , z1 = 34.1, 1.57
非A的可行解,顾 z 不变.
在 B1 中取 x1 进行分枝,分别在 B1 中添加约束条 2 件 x 2 ≤ 2, x 2 ≥ 3 ,得到新的子问题 B 3 , B 4 ,求解 B3
4 解 2
,得
,为整解,目标值为 34 < z ,做为新的上界, ,
0
在B的最优解中任选取一个取值非整的变量,比如我们 选 x1 ,对B分别增加约束条件 x 1 ≤ 4 , x 1 ≥ 5 得到两个子问题 B1 和 B2
B B1 : x1 ≤ 4
B B2 : x1 ≥ 5
B2
再分别求解 和
B1
和
,得到
4 x1 = , z1 = 34.9, 2.1
假定
1 .w
2 .w
n
j
> 0, p
j
j
> 0
≤ C
3.∑ w j ≥ C
j =1
4.
p p p1 p ≥ 2 ≥ 3…≥ n w1 w2 w3 wn
背包问题转化为极小化问题
令x
j
= 1 y j,Q =
∑
n
j =1
wj C
min
n
z = ∑ pj yj
j =1
n
s.t
∑w y
j =1 j
j
≥Q
0-1背包问题
此问题可以表示为: 此问题可以表示为:
注意:这种问题是 种不同的物品 每种物品只有两种状态: 种不同的物品, 注意:这种问题是n种不同的物品,每种物品只有两种状态: 出现或者不出现在背包里, 的取值为0或者 或者1, 出现或者不出现在背包里,所以 x j 的取值为 或者 ,所 以这种背包问题又称为0-1背包问题. 背包问题. 以这种背包问题又称为 背包问题
分枝定界法求极大化问题的步骤
0. 设有整数线性规划问题A,与之相对应的松弛问题为B. 1. 求解问题B,可能产生下列情况之一: B没有可行解,这是A也没有可行解,停止. B有整数最优解,则B的最优解即为A的最优解,停 止; B有最优解,但不符合问题A的整数约束,记他的目 _ 标函数值为 z ,作为问题A的上界.
xj = 0或 1
分枝定界法
主要思想是:设有极大化的整数线性规划问题A,用B表示 A去掉整约束而得到的松弛问题,从求解B开始,若其 最优解是整解,则已得A的最优解,否则B的最优目标 _ * 值必是A的最优目标值的 z 的上界,记为 z ;而A的任 意可行解的目标函数值必是最优解的一个下界 z ,分 枝定界法就是将可行域分成子区域,逐步增大下界,最 终求出最优解的方法.