2021年中考数学压轴题专项训练反比例函数含解析202102192297

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反比例函数压轴题精选(含答案)

2021-2021年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题例1.(1)(兰州)如图，双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，那么k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，假设2BD AC =，那么24OC -6例2．(2021陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A ，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(2021山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．解：(1)∵ 反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．∴ 反比例函数的表达式为xy 10=． ∵ 点C ﹙5，n∴ 2510==n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ，∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．〔2007福建福州〕如图，直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．〔1〕求k 的值；〔2〕假设双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；〔3〕过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点〔P 点在第一象限〕，假设由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：〔1〕点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，．点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>的交点，428k ∴=⨯=．〔2〕解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，．过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形．解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x=上，当8y =时，1x =．∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．〔3〕反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形．设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△．假设04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·．解得2m =，8m =-〔舍去〕．∴(24)P ，．假设4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-〔舍去〕．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E 〔3，4〕．图2O x AyBFE C图3O AyBFQE P x图4O x AyBF E QP〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1y x b 2过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；〔3〕连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．【答案】解：〔1〕设反比例函数的解析式k y x， ∵反比例函数的图象过点E 〔3，4〕，∴k43，即k=12。

完整版中考反比例函数压轴题

完美WORD格式资料反比例函数一．填空题〔共19小题〕1．〔2021?湖州〕如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．假设点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，那么点P在线段ON上运动时， A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．2．〔2021?市中区一模〕如图，双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．假设点A的坐标为〔﹣6，4〕，那么△AOC的面积为．3．〔2021?石家庄校级一模〕如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y= 的图象经过点A，假设S△BEC=8，那么k= ．4．〔2021?同安区校级质检〕如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣〔x＜0〕交于点A，与x轴交于点B，那么OA2﹣OB2= ．专业整理分享完美WORD格式资料5．〔2021?邳州市二模〕如图，点P在双曲线y= 〔x＞0〕上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，假设OF﹣OE=6，那么k的值是．6．〔2021?遵义二模〕如图，矩形ABCD的对角线 BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．假设点A的坐标为〔﹣2，﹣2〕，那么k的值为．7．〔2021?黄石〕如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b〔a≠0〕的图象与反比例函数〔k≠0〕的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．A 〔﹣2，m〕，B〔n，﹣2〕，tan∠BOC=，那么此一次函数的解析式为．专业整理分享8．〔2021?遵〕如，直y= x与双曲y= 〔k＞0〕交于A、B两点，点 B的坐〔4，2〕，C双曲y= 〔k＞0〕上一点，且在第一象限内，假设△AOC的面6，点C的坐．9．〔2021?州〕如，点P1〔x1，y1〕，点P2〔x2，y2〕，⋯，点Pn〔xn，yn〕在函数〔x ＞0〕的象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜OA1、A1A2、A2A3，⋯，An﹣1An都在x上〔n是大于或等于2的正整数〕，点P3的坐是；点Pn的坐是〔用含n的式子表示〕．10．〔2021?宁波〕如，等腰直角三角形ABC点A在x上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函数y= 〔x＞0〕的象分与AB，BC交于点D，E．DE，当△BDE∽△BCA，点E的坐．11．〔2021?重〕如，菱形OABC的点O是坐原点，点A在x的正半上，点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D在AB上，将四形OABC沿直0D翻折，使点B和点C分落在个坐平面的点B′和C′，且∠C′DB′=60．°假设某反比例函数的象点B′，个反比例函数的解析式．专业整理分享12．〔2021?芦淞区模拟〕双曲线，的局部图象如下图，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．假设PB=2PA，那么k= ．13．〔2021?阜宁县二模〕如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为 4，那么k的值为．14．〔2021?邓州市校级一模〕如图，梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，假设△OBC的面积等于3，那么k的值是．15．〔2021?三明〕如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，那么△PAB的面积为．专业整理分享完美WORD格式资料16．〔2021?十堰〕如图，直线y=6x，y= x分别与双曲线y= 在第一象限内交于点A，B，假设S△OAB=8，那么k=．17．〔2021?漳州〕如图，点A〔3，n〕在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，那么△AMC周长的值是．18．〔2021?淄博模拟〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，与x轴交于点C，那么C点的坐标为；假设=2，那么k=．19．〔2021?桐乡市校级三模〕如图，点A〔a，b〕在双曲线上，AB⊥x轴于点B，假设点是双曲线上异于点A的另一点．专业整理分享完美WORD 格式资料〔1 〕k=；〔2〕假设a 2=169﹣b 2，那么△OAB 的内切圆半径r= ．二．解答题〔共 11小题〕20．解方程组：21．〔2021?淄博〕如图，点A 与点B 的坐标分别是〔 1，0〕，〔5，0〕，点P 是该直角坐标系内的一个动点．〔1 〕使∠APB=30°的点P 有个；〔2 〕假设点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；〔3 〕当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？假设有，求点 P 的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；假设没有，也请说明理由．22．〔2021?湖州〕如图①， O 为坐标原点，点 B 在x 轴的正半轴上，四边形 OACB 是平行四边形，sin ∠AOB= ，反比例函数 y= 〔k ＞0〕在第一象限内的图象经过点 A ，与BC 交于点F ．1〕假设OA=10，求反比例函数解析式；2〕假设点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S=12，求OA 的长和点C 的坐标；〔3〕在〔2〕中的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E 〔如图②〕，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？假设存在，请直接写出所有点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由．专业整理分享完美WORD格式资料23．〔2021?泉州〕如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P〔2，1〕．1〕求该反比例函数的关系式；2〕设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．24．〔2021?巴中〕如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线A B与x轴交于点C，点B的坐标为〔﹣6，n〕，线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1〕求反比例函数的解析式；2〕求△AOB的面积．专业整理分享完美WORD格式资料25．〔2021?龙岩〕如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点〔不与端点A、B重合〕，过点F的反比例函数y=〔k＞0，x＞0〕与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．〔1〕假设S△OCF=，求反比例函数的解析式；〔2〕在〔1〕的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；〔3〕AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？假设存在，请求出BF：FA的值；假设不存在，请说明理由．26．〔2021?广元〕如图，双曲线y=经过点D〔6，1〕，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．1〕求k的值；2〕假设△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；3〕判断AB与CD的位置关系，并说明理由．27．〔2021?北海〕如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A〔﹣2，0〕、B〔0，1〕、C〔d，2〕．〔1〕求d的值；〔2〕将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′解析式；的专业整理分享完美WORD 格式资料〔3〕在〔2〕的条件下，直线 BC 交y 轴于点G ．问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图象上的点P ，使得四边形 PGMC ′是平行四边形？如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．28．〔2021?泰州〕如图，一次函数y 1=kx+b 图象与x 轴相交于点 A ，与反比例函数的图象相交于B 〔﹣1，5〕、C 〔，0〕两点．点P 〔m ，n 〕是一次函数 y 1=kx+b 的图象上的动点．〔1 〕求k 、b 的值；〔2 〕设﹣1＜m ＜，过点P 作x 轴的平行线与函数的图象相交于点D ．试问△PAD 的面积是否存在最大值？假设存在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3 〕设m=1﹣a ，如果在两个实数m 与n 之间〔不包括m 和n 〕有且只有一个整数，求实数a的取值范围．29．〔2021?淄博〕如图，正方形 AOCB 的边长为 4，反比例函数的图象过点E 〔3，4〕．〔1 〕求反比例函数的解析式；〔2 〕反比例函数的图象与线段 BC 交于点D ，直线过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；〔3 〕连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．专业整理分享完美WORD格式资料30．〔2021?长春一模〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行．BC=2，△ABC的面积为1．〔1〕求点C的坐标．〔2〕将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A1B1C的位置，求经过点B1的反比例函数关系式．专业整理分享完美WORD格式资料2021年03月05日1161622024的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题〔共19小题〕1．〔2021?湖州〕如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．假设点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，那么点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕，如答图②所示．利用相似三角形可以证明；〔2〕其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0n0n的长度，B∽△AON，求出线段BB即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，那么△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点〔起点〕时，点B的位置为B0，动点P在N点〔终点〕时，点B的位置为B n，连接B0B nAO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO?tan30°，AB n=AN?tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°〔此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得〕，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON?tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B iAO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO?tan30°，AB i=AP?tan30°∴，AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，专业整理分享完美WORD格式资料∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕．综上所述，点B运动的路径〔或轨迹〕是线段B0B n，其长度为．故答案为：．点评：此题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．此题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是此题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，防止陷入坐标关系的复杂运算之中．2．〔2021?市中区一模〕如图，双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．假设点A的坐标为〔﹣6，4〕，那么△AOC的面积为9．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；数形结合．分析：要求△AOC的面积，OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标〔﹣6，4〕，可得点D的坐标为〔﹣3，2〕，代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣ 6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．解答：解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标〔﹣6，4〕，∴点D的坐标为〔﹣3，2〕，专业整理分享完美WORD格式资料把〔﹣3，2〕代入双曲线，可得k=﹣6，即双曲线解析式为y=﹣，AB⊥OB，且点A的坐标〔﹣6，4〕，∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，y=1，即点C坐标为〔﹣6，1〕，AC=3，又∵OB=6，S△AOC=×AC×OB=9．故答案为：9．点评：此题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，表达了数形结合的思想．3．〔2021?石家庄校级一模〕如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=的图象经过点A，假设S△BEC=8，那么k=16．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：方法1：因为S△BEC=8，根据k的几何意义求出k值即可；方法2：先证明△ABC与△OBE相似，再根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得到k=2S△BEC=16．专业整理分享完美WORD 格式资料解答：解：方法 1：设OB=x ，那么AB=，过D 作DH ⊥x 轴于H ，∵D 为AC 中点， ∴DH 为△ABC 中位线， DH=AB=，∵∠EBO=∠DBC=∠DCB ， ∴△ABC ∽△EOB ，设BH 为y ，那么EO=，BC=2y ， S △EBC =BC?OE=??2y==8，k=16．方法2：∵BD 是Rt △ABC 斜边上的中线， BD=CD=AD ， ∴∠DBC=∠ACB ，又∠DBC=∠OBE ，∠BOE=∠ABC=90°， ∴△ABC ∽△EOB ， ∴=， AB?OB=BC?OE ， S △BEC =×BC?OE=8， AB?OB=16， k=xy=AB?OB=16．故答案为：16．点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k 的几何意义．反比例函数系数k 的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值 k ，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．此题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．4．〔2021?同安区校级质检〕如图，直线 y=﹣x+b 与双曲线 y=﹣ 〔x ＜0〕交于点 A ，与x 轴交于点B ，那么OA 2﹣OB 2= 2 ．专业整理分享完美WORD 格式资料考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由直线y=﹣x+b 与双曲线y=﹣〔x ＜0〕交于点A 可知：x+y=b ，xy=﹣1，又OA 2=x 2+y 2，222﹣OB2的值． OB=b ，由此即可求出OA 解答：y=﹣x+b 与双曲线y=﹣ 〔x ＜0〕交于点A ，解：∵直线设A 的坐标〔x ，y 〕，∴x+y=b ，xy=﹣1，而直线y=﹣x+b 与x 轴交于B 点，∴OB=b2 2 2 2 2，∴又OA=x+y ，OB=b ∴ OA 2﹣OB 2=x 2+y 2﹣b 2=〔x+y 〕2﹣2xy ﹣b 2=b 2+2﹣b 2=2．故答案为：2．点评：此题难度较大，主要考查一次函数与反比例函数的图形和性质，也考查了图象交点坐标和解析式的关系．∴ 5．〔2021?邳州市二模〕如图，点 P 在双曲线 y=〔x ＞0〕上，以 P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，点 E 为y 轴负半轴上的一点，过点 P 作PF ⊥PE 交x 轴于点F ，假设OF ﹣OE=6，那么k 的值是9．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：过P 点作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ，根据⊙P 与两坐标轴都相切可知，PA=PB ，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE ≌△APF ，得BE=AF ，利用OF﹣OE=6，求圆的半径，根据k=OA ×PA 求解．解答：解：如图，过 P 点作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ，∵⊙P 与两坐标轴都相切，PA=PB ，四边形OAPB 为正方形，∵∠APB=∠EPF=90°，专业整理分享完美WORD 格式资料∴∠BPE=∠APF ， Rt △BPE ≌Rt △APF ， BE=AF ， OF ﹣OE=6，∴〔OA+AF 〕﹣〔BE ﹣OB 〕=6，即2OA=6，解得OA=3，k=OA ×PA=3×3=9．故答案为：9．点评：此题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线，构造全等三角形，正方形，将有关线段进行转化．6．〔2021?遵义二模〕如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数的图象上．假设点 A 的坐标为〔﹣ 2，﹣2〕，那么k 的值为 1或﹣3 ．∴考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出 S 四边形CEOF =S 四边形HAGO ，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k 2+4k+1=4，再解出k 的值即可．解答：解：如图：∵四边形ABCD 、HBEO 、OECF 、GOFD 为矩形，又∵BO 为四边形 HBEO 的对角线，OD 为四边形OGDF 的对角线，S △BEO =S △BHO ，S △OFD =S △OGD ，S △CBD =S △ADB ，S△CBD ﹣S △BEO ﹣S △OFD =S △ADB ﹣S △BHO ﹣S △OGD ，∴ S 四边形HAGO =S 四边形CEOF =2×2=4，xy=k 2+2k+1=4，解得k=1或k=﹣3．专业整理分享完美WORD格式资料故答案为1或﹣3．点评：此题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．7．〔2021?黄石〕如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b〔a≠0〕的图象与反比例函数〔k≠0〕的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．A〔﹣2，m〕，B 〔n，﹣2〕，tan∠BOC=，那么此一次函数的解析式为y=﹣x+3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：过点B作BD⊥x轴，在直角三角形BOD中，根据的三角函数值求出OD的长，得到点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数的解析式中，求出反比例函数的解析式，然后把点A的横坐标代入反比例函数的解析式中求出点A的坐标，最后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式，求出a和b的值即可得到一次函数解析式．解答：解：过点B作BD⊥x轴，在Rt△BOD中，∵tan∠BOC===，∴OD=5，那么点B的坐标为〔5，﹣2〕，把点B的坐标为〔5，﹣2〕代入反比例函数〔k≠0〕中，那么﹣2=，即k=﹣10，∴反比例函数的解析式为y=﹣，把A〔﹣2，m〕代入y=﹣中，m=5，专业整理分享完美WORD格式资料∴A的坐标为〔﹣2，5〕，把A〔﹣2，5〕和B〔5，﹣2〕代入一次函数y=ax+b〔a≠0〕中，得：，解得，那么一次函数的解析式为y=﹣x+3．故答案为：y=﹣x+3．点评：此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角函数值，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．8．〔2021?遵义〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔k＞0〕交于A、B两点，点B的坐标为〔﹣4，﹣2〕，C为双曲线y=〔k＞0〕上一点，且在第一象限内，假设△AOC的面积为6，那么点C的坐标为〔2，4〕．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为〔a，〕，然后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．解答：解：∵点B〔﹣4，﹣2〕在双曲线y=上，=﹣2，k=8，根据中心对称性，点A、B关于原点对称，专业整理分享完美WORD 格式资料所以，A 〔4，2〕，如图，过点 A 作AE ⊥x 轴于E ，过点 C 作CF ⊥x 轴于F ，设点 C 的坐标为〔a ，〕，假设S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE ，×8+×〔2+〕〔4﹣a 〕﹣×8，=4+ ﹣4， = ，∵△AOC 的面积为 6，∴ =6，整理得，a 2+6a ﹣16=0，解得a 1=2，a 2=﹣8〔舍去〕， ==4，∴点C 的坐标为〔2，4〕．假设S =S +S 梯形ACFE ﹣S△COF=，△AOC △AOE∴=6，解得：a=8或a=﹣2〔舍去〕∴点C 的坐标为〔8，1〕〔与图不符，舍去〕．故答案为：〔 2，4〕．专业整理分享完美WORD 格式资料点：本考了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数系数的几何意，作助并表示出△ABC 的面是解的关．9．〔2021?州〕如，点P 1〔x 1，y 1〕，点P 2〔x 2，y 2〕，⋯，点P n 〔x n ，y n 〕在函数〔x＞0〕的象上， △P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，⋯，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜OA 1 12 2 3 ，⋯，A n ﹣1n 都在x 上〔n 是大于或等于 2的正整数〕，点 3、AA 、A A A P 的坐是〔 + ，〕；点P n 的坐是〔+ ，〕〔用含n的式子表示〕．考点：反比例函数合．：合；．分析：12 23 3点P1于点E ，点PG ⊥x 于点G ，作PE ⊥x作PF ⊥x 于点F ，点P 作P 根据△P 1 121232 A 3都是等腰直角三角形，可求出 1 23的坐，OA，△PAA ，△PAP ，P ，P从而出一般律得出点P n 的坐．解答：解：点P 1作P 1E ⊥x 于点E ，点P 2作P 2F ⊥x 于点F ，点P 3作P 3G ⊥x 于点G ，∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，P 1E=OE=A 1E=OA 1，点P 1的坐〔 a ，a 〕，〔a ＞0〕，将点P 1〔a ，a 〕代入y= ，可得a=1，故点P 1的坐〔 1，1〕，OA 1=2a ，点P 2的坐〔b+2，b 〕，将点 2，b 〕代入y= ，可得b=1，P 〔b+2故点P 2 的坐〔 +1，1〕，A 1F=A 2F= 1，OA 2=OA 1+A 1A 2=2，点P 3的坐〔c+2，c 〕，将点P 3〔c+2，c 〕代入y=，可得c=，故点P 3的坐〔+，〕，上可得：P 1的坐〔1，1〕，P 2的坐〔 +1，1〕，P 3的坐〔+，〕，律可得： P n 坐：〔 +，〕．专业整理分享完美WORD格式资料故答案为：〔+，﹣〕、〔+，﹣〕．点评：此题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答此题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P123的坐标，从而总结出一般规律，难，P，P度较大．10．〔2021?宁波〕如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为〔，〕．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E〔a，〕，D〔b，〕，由等腰直角三角形的性质可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．解答：解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别与AB，BC交于点D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E〔a，〕，D〔b，〕，∴C〔a，0〕，B〔a，2〕，A〔a﹣2，0〕，∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．∵△BDE∽△BCA，∴△BDE也是等腰直角三角形，∴DF=EF，专业整理分享完美WORD 格式资料a ﹣b=﹣，即ab=3．又∵点 D 在直线 AB 上，∴ =b+2 ﹣a ，即2a 2﹣2 a ﹣3=0，解得，a= ，∴点E 的坐标是〔，〕．故答案是：〔，〕．点评：此题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．11．〔2021?重庆〕如图，菱形OABC 的顶点O 是坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 、C 均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D 在边AB 上，将四边形OABC 沿直线0D 翻折，使点B 和点C 分别落在这个坐标平面的点 B ′和C ′处，且∠C ′DB ′=60．°假设某反比例函数的图象经过点B ′，那么这个反比例函数的解析式为y=﹣ ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：连接AC ，求出△BAC 是等边三角形，推出 AC=AB ，求出△DC ′B ′是等边三角形，推出C ′D=B ′D，得出CB=BD=B ′C ′，推出A 和D 重合，连接BB ′交x 轴于E ，求出AB ′=AB=2，∠B ′AE=60°，求出B ′的坐标是〔3，﹣ 〕，设经过点 B ′反比例函数的解析式是 y= ，代入求出即可．专业整理分享完美WORD格式资料解答：解：连接AC，∵四边形OABC是菱形，CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，∴△BAC是等边三角形，AC=AB，∵将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，∵∠B′DC′=60，°∴∠DC′B′=60，°∴△DC′B′是等边三角形，C′D=B′D，CB=BD=B′C′，即A和D重合，连接BB′交x轴于E，那么AB′=AB=2，∠B′AE=180°﹣〔180°﹣60°〕=60°，在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，∴AE=1，B′E=，OE=2+1=3，即B′的坐标是〔3，﹣〕，设经过点B′反比例函数的解析式是y=，代入得：k=﹣3，即y=﹣，故答案为：y=﹣．点评：此题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比拟好，有一定的难度．12．〔2021?芦淞区模拟〕双曲线，的局部图象如下图，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．假设PB=2PA，那么k=﹣4．专业整理分享完美WORD格式资料考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：因为AB∥x轴，PB=2PA，所以可知A和B点的纵坐标相同，B点的横坐标的长度是A横坐标的2倍，从而可求出k的值，因为过第二象限，所以k＜0．解答：解：∵AB∥x轴，PB=2PA，∴=∴k=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查反比例函数图象的性质，以及从反比例函数获得信息，关键是看到纵坐标相同时，横坐标的不同，从而求出解．13．〔2021?阜宁县二模〕如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数 y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形 DCAE的面积为4，那么k的值为﹣2．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：由的图象经过点C，可求C〔0，2〕，代入一次函数y=﹣x+m求m的值，得出A点坐标，计算△AOC的面积，由四边形DCAE的面积为4，可知矩形OCDE的面积，从而得出k的值．解答：的图象经过点C，∴C〔0，2〕，解：∵∴将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，y=﹣x+2，令y=0得x=2，∴A〔2，0〕，S△AOC=×OA×OC=2，专业整理分享完美WORD格式资料∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4﹣2=2，∴k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标求法，矩形面积与反比例系数的关系．关键是通过求三角形的面积确定矩形的面积．14．〔2021?邓州市校级一模〕如图，梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，假设△OBC的面积等于3，那么k的值是．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：设C〔x，y〕，BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．解答：解：设C〔x，y〕，BC=a．那么AB=y，OA=x+a．过D点作DE⊥OA于E点．∵OD：DB=1：2，DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，DE=AB=y，OE=OA=〔x+a〕．∵D点在反比例函数的图象上，且D〔〔x+a〕，y〕，y?〔x+a〕=k，即xy+ya=9k，∵C点在反比例函数的图象上，那么xy=k，ya=8k．∵△OBC的面积等于3，ya=3，即ya=6．8k=6，k=．故答案为：．专业整理分享完美WORD格式资料点评：此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．15．〔2021?三明〕如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，点 P是y轴上的任意一点，那么△PAB的面积为1．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；探究型．分析：设A〔x，〕，那么B〔x，〕，再根据三角形的面积公式求解．解答：解：设A〔x，〕，AB∥y轴，∴B〔x，〕，S△ABP=AB?x=〔﹣〕×x=1．故答案为：1．点评：此题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据题意设出A点坐标，再由AB∥y轴得出B点坐标是解答此题的关键．16．〔2021?十堰〕如图，直线y=6x，y= x分别与双曲线y=在第一象限内交于点A，B，假设S△OAB=8，那么k= 6．专业整理分享完美WORD格式资料考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据双曲线设出点并用直线与双曲线解析式联立求出点A、B的横坐标，再根据﹣S△OBD，然后列式整理即可得到关于k的方程，求解即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设点A〔x1，〕，B〔x2，〕，A、B的坐标，梯形ACDB联立，解得x1=，联立，解得x2=，S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD，= x1? +〔+〕×〔x2﹣x1〕﹣x2?，= k+〔k﹣k+k﹣k〕﹣k，= ?k，∵=×k，×k，k，S△OAB=8，∴k=8，专业整理分享S△OAB=S△OAC+S完美WORD格式资料解得k=6．故答案为：6．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作出辅助线表示出△AOB的面积并整理成只含有k的形式是解题的关键．17．〔2021?漳州〕如图，点A〔3，n〕在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，那么△AMC周长的值是4．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AM=OM，由此推出△AMC的周长=OC+AC．解答：解：∵点A〔3，n〕在双曲线y=上，∴n==1，∴A〔3，1〕，∴OC=3，AC=1．∵OA的垂直平分线交OC于M，∴AM=OM，∴△AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=3+1=4．故答案为：4．点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△AMC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．专业整理分享完美WORD格式资料18．〔2021?淄博模拟〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，与x轴交于点C，那么C点的坐标为〔，0〕；假设=2，那么k= 12．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意得到直线BC的解析式，令y=0，得到点C的坐标；根据直线AO和直线BC的解析式与双曲线y=联立求得A，B的坐标，再由条件=2，从而求出k值．解答：x向下平移个6单位后得到直线BC，解：∵将直线y=∴直线BC解析式为：y=x﹣6，令y=0，得x﹣6=0，∴C点坐标为〔，0〕；∵直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，∴A〔，〕，又∵直线y= x﹣6与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，且=2，∴B〔+，〕，将B的坐标代入y=中，得〔+〕=k，解得k=12．故答案为：〔，0〕，12．专业整理分享完美WORD 格式资料点评：此题考查一次函数与反比例函数的性质，联立方程求出点的坐标，同时还考查学生的计算能力．19．〔2021?桐乡市校级三模〕如图，点 A 〔a ，b 〕在双曲线上，AB ⊥x 轴于点B ，假设点是双曲线上异于点 A 的另一点．1〕k=60；〔2〕假设a 2=169﹣b 2，那么△OAB 的内切圆半径 r=2 ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：〔1〕把P 点坐标代入反比例函数，即可求 k ；〔2〕先把A 点坐标代入反比例函数可得 ab=60，再结合 a 2=169﹣b 2组成方程组，解可得a 、b 的值，进而利用勾股定理可求 OA ，再结合直角三角形内切圆半径公式，易求 r ．解答：解：〔1〕把〔5 ，4 〕代入反比例函数，可得k=5 ×4 =60；〔2〕把〔a ，b 〕代入反比例函数，得ab=60与a 2=169﹣b 2联合组成方程组为：，解得或，即知OB=12，AB=5或OB=5，AB=12，在Rt △AOB 中，OA=13，故△AOB 内切圆的半径 r= = =2．点评：此题考查了反比例函数的知识、勾股定理，解题的关键是能根据所给的点，求出 k ，并能解二元二次方程组．二．解答题〔共 11小题〕专业整理分享。

2021年九年级中考数学专题训练反比例几何专题(含答案)

反比例几何综合基础知识梳理反比例函数的定义形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值．反比例函数的图象和性质在y＝k2＋1x的图象上有三个点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－5，y3)，则y1，y2，y3的大小为________．(用小于号表示)答案y3<y2<y1反比例函数中比例系数k的几何意义1．k的几何意义：在反比例函数y＝kx(k≠0)上任取一点P(x，y)，过这一点分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝|xy|＝□01|k|.2．计算与双曲线上的点有关的图形面积如图，点A 是反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ，若△ABC 的面积为5，则反比例函数的解析式为________．重难点破译一反比例函数的图象、性质及解析式的确定已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)，若该函数图象过(2,5)． (1)反比例函数的解析式为y ＝________；(2)反比例函数图象位于第________象限，在每个象限内，y 随x 的增大而________；(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在反比例函数图象上，且x 1>x 2>0，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)；(4)若点(－5，a )，(2，b )，(3，c )在该反比例函数的图象上，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“>”连接)．答案 (1)10x (2)一、三减小 (3)< (4)b >c >a 二反比例函数与几何图形1．如图，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB ，BC 交于点D ，E ，若四边形ODBE 的面积为24，则k 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析由题意得E ，M ，D 三点位于反比例函数的图象上，则S △OCE ＝12|k |，S △OAD ＝12|k |，如图，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 四边形ONMG ＝|k |，又M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S四边形ONMG＝4|k |，由于函数图象在第一象限，则k >0，则k 2＋k2＋24＝4k ，解得k ＝8，故选D.2．(2019·西南大学附属中学第七次月考)如图，四边形ABCD 是平行四边形，A ，B 两点的坐标分别是(－1,0)，(0,2)，C ，D 两点在反比例函数y ＝kx (k <0)的图象上，DA 的延长线交y 轴负半轴于点E ，CB ∶DE ＝2∶3，则k 的值为( )A ．－12B ．－8C ．－6D ．－4 答案 A解析如图，作DK⊥y轴于点K，过C点作平行于y轴的直线交DK于H.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.又CB∶DE＝2∶3，∴AE∶DE＝1∶3，△AOE∽△DKE.∴DK＝3OA＝3.∴D的横坐标为－3.根据题意可得△CHD≌△BOA，∴DH＝1，CH＝2.设D(－3，a)，则C(－2，a＋2)．∵D，C均在y＝kx的图象上，∴－3a＝－2(a＋2)，解得a＝4.∴D(－3,4)．∴k＝－12.故选A.方法技巧突破— 反比例函数中的典型面积问题类型一图形面积的大小和k有直接关系模型1一点一垂线型模型特征反比例函数图象上一点及过这点向坐标轴作垂线的垂足与另一坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于12|k|(同底等高面积转化)．1．如图，点A在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO＝OB，△ABC的面积为2，则此反比例函数的解析式为________．答案y＝2 x解析连接OA，∵OC＝OB，∴S△AOB ＝S△AOC＝1.∴k＝2×1＝2，∴y＝2x.模型2一点两垂线模型特征过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.2.如图，点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B，C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为________．答案6解析过点A作AH⊥OB于H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥OB，∴S▱ABCD＝S矩形AHOD.∵点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，∴S矩形AHOD＝|－6|＝6，∴S▱ABCD＝6.模型3两点一垂线(两点两垂线)模型特征反比例函数和正比例函数的图象相交，由交点向坐标轴作垂线所围成的图形的面积．3．如图，反比例函数y＝5x的图象与直线y＝kx(k>0)相交于A，B两点，AC∥BH∥y轴，BC∥x轴，BC交y轴于点M，AC交x轴于点N，BH交x轴于点H，则S△ABC＝________，S四边形AHBN＝________，S△ABH＝________，S梯形ABMN＝________.答案1010515 2模型4两曲一平行模型特征两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点或坐标轴上的点构成图形的面积，一般是过两点向另一坐标轴作垂线，结合k的几何意义求解．4．(2019·宁波模拟)如图，平行于x轴的直线与y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上一个动点，△ABC的面积为4，则k1－k2的值为________．解析如图，连接OA ，OB .∵AB ∥x 轴，∴S △AOB ＝S △ACB ＝4，S △AOB ＝S △AOD －S △BOD ，∴4＝k 12－k 22，∴k 1－k 2＝8.类型二图形面积的大小和k 没有直接关系模型5 两点一轴点模型特征反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上一点所构成的三角形的面积为坐标轴所分的两个三角形面积之和．5．如图，一次函数y ＝x －1的图象与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，与反比例函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，C 在x 轴上，C 点坐标为(－3,0)，则S △ABC 的面积为________．答案 6解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x.令x －1＝2x ，解得x 1＝2，x 2＝－1.把x ＝2代入y ＝x －1得y ＝1.把x ＝－1代入y ＝x －1得y ＝－2.即A (2,1)，B (－1，－2)．在y ＝x －1中，令y ＝0得x ＝1，即E (1,0)，∴S △ABC ＝S △CEA ＋S △CEB ＝12CE ·|y A －y B |＝12×4×3＝6.模型6 两点一原点模型特征反比例函数与一次函数图象的交点及原点所围成的三角形面积，若两交点在同一支上，用减法．解法一：S △AOB ＝S △COD －S △AOC －S △BOD .解法二：作AE ⊥x 轴于E ，交OB 于M ，作BF ⊥x 轴于F ，则S △OAB ＝S 直角梯形AEFB.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∵S △OAE＝S △OBF ＝|k |2，∴S △OAM ＝S 直角梯形MEFB .∴S △OAB ＝S △AMB ＋S 直角梯形MEFB .∴S△OAB＝S 直角梯形AEFB .6．如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin∠AOB ＝45，反比例函数y ＝12x 在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于( )A ．10B ．9C ．8D ．6 答案 A解析如图所示，过点A 作AE ⊥OB 于点E ，过点F 作GH ⊥AC 于点G ，交x 轴于点H ，设AE ＝m (m >0)，因为sin ∠AOB ＝45，所以OA ＝54m ，在Rt △AEO 中，∠AEO ＝90°，由勾股定理可得OE ＝OA 2－AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54m 2－m 2＝34m ，因此点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ，m ，又因为点A 在反比例函数的图象上，所以将点⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ，m 代入反比例函数解析式得m ＝1234m ，解得m ＝±4.因为m >0，所以m ＝4，则点A 的坐标为(3,4)，所以OA ＝5.又因为四边形OACB 是菱形，所以OA ＝OB ＝BC ＝AC ＝5，所以S △AOF ＝S菱形OACB －S △OBF －S △AFC ＝AE ·OB －12FH ·OB －12FG ·AC ＝4×5－12×4×5＝10，故选A.课后作业1．(2019·重庆八中九(下)第二次周考)若函数y ＝m ＋2x 的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m <－2B ．m <0C ．m >－2D ．m >0答案 A解析 ∵在每一象限内，y 随x 的增大而增大， ∴m ＋2<0，∴m <－2，∴选A.2．(2019·南开中考)若点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (1，y 3)都在反比例函数y ＝－12x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 2<y 1<y 3B ．y 3<y 1<y 2C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1 答案 B解析代入计算y 1，y 2，y 3的值即可．3．(2019·衡阳中考)如图，一次函数y 1＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2＝mx (m 为常数且m ≠0)的图象都经过点A (－1,2)，B (2，－1)，结合图象，则不等式kx ＋b >mx 的解集是( )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．x <－1或0<x <2D ．－1<x <0或x >2答案 C解析观察一次函数与反比例函数的图象及两个交点A ，B 可知，A 点左侧部分和B 点左侧与y 轴之间的部分均符合kx ＋b >mx ，故选C.4．(2018·南阳一模)如图，点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上，AM ⊥y 轴于点M ，P 是x 轴上一动点，当△APM 的面积是4时，k 的值是( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4答案 B解析设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，k x ，由题意，得12×|x |×kx ＝4，解得|k |＝8.又∵反比例函数y ＝kx 的图象在第四象限，∴k ＝－8.5．(2019·黑龙江龙东中考)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x 上，顶点B 在反比例函数y ＝5x 上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是( )A.32 B.52 C ．4 D ．6答案 C解析设A (a ，b )，B (c ，b )，∵A ，B 两点分别在y ＝1x ，y ＝5x 上，∴a ＝1b ，c ＝5b ，∴AB ＝x B －x A ＝5b －1b ＝4b ，∴S ▱OABC ＝4b ·b ＝4，故选C.6．(2019·台州中考)已知某函数的图象C 与函数y ＝3x 的图象关于直线y ＝2对称．下列命题：①图象C 与函数y ＝3x 的图象交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2；②点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2在图象C 上；③图象C 上的点的纵坐标都小于4；④A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是图象C 上任意两点，若x 1>x 2，则y 1<y 2.其中真命题是( )A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①②③④答案 A解析函数y ＝3x 的图象在第一、第三象限，图象C 与其关于直线y ＝2对称，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2是图象C 与函数y ＝3x 图象的交点，∴①正确；点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2关于y ＝2对称的点为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6. ∵⎝⎛⎭⎪⎫12，6在函数y ＝3x 的图象上， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2在图象C 上，∴②正确； ∵y ＝3x 中，y ≠0，x ≠0，即y ＝3x 上任意一点为(x ，y )，则点(x ，y )关于y ＝2对称的点的纵坐标为4－3x ，当x <0时，4－3x >4，∴③错误；A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于y ＝2对称的点(x 1,4－y 1)，B (x 2，4－y 2)在函数y ＝3x 的图象上．∴4－y 1＝3x 1，4－y 2＝3x 2，∵x 1>x 2>0或0>x 1>x 2时，有4－y 1<4－y 2，即y 1>y 2， ∴④错误．故选A.7．(2019·北京中考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )(a >0，b >0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x 上，则k 1＋k 2的值为________．答案 0解析因点A (a ，b )在y ＝k 1x 上，则k 1＝ab .点A (a ，b )关于x 轴的对称点B (a ，－b )在y ＝k 2x 上，则k 2＝－ab ，∴k 1＋k 2＝0.8．(2019·重庆北碚区教学联盟模拟试卷)如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点D 的坐标为(－2,0)，点A 的横坐标是2，tan ∠CDO ＝12.(1)求点A 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式； (3)求△AOB 的面积．解 (1)作AH ⊥x 轴于点H ，∵D 的坐标为(－2,0)，A 的横坐标为2，∴DH ＝4.又∵tan ∠CDO ＝12，∴在Rt △ADH 中，tan ∠CDO ＝AHDH . 即AH 4＝12，∴AH ＝2. ∴A 点坐标为(2,2)．(2)把A (2,2)代入y ＝k x 中，即2＝k2，k ＝4， ∴反比例函数的解析式为y ＝4x ，把A (2,2)，D (－2,0)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝2，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝1.∴一次函数的解析式为y ＝12x ＋1. (3)令12x ＋1＝4x ，解得x 1＝－4，x 2＝2， ∴B (－4，－1)．在y ＝12x ＋1中，令x ＝0，得y ＝1，即OC ＝1， ∴S △AOB ＝S △OCA ＋S △OCB ＝12×1×2＋12×1×4＝1＋2＝3. 9．(2019·长寿区模拟)如图，在平面直角坐标系中有三点(1,2)，(3,1)，(－2，－1)，其中有两点同时在反比例函数y ＝kx 的图象上，将这两点分别记为A ，B ，另一点记为C .(1)求出k 的值；(2)求直线AB 对应的一次函数的表达式；(3)设点C 关于直线AB 的对称点为D ，又在x 轴上有一个动点P ，请直接写出PC ＋PD 的最小值(不必说明理由但要在图中标出)．解 (1)∵1×2＝(－2)×(－1)≠3×1，∴(1,2)，(－2，－1)两点同时在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝2.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b ，把(1,2)，(－2，－1)代入y ＝k 1x ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＋b ＝2，－2k 1＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1.(3)设点C 关于直线AB 的对称点为点D ，则CD ⊥AB ，则k CD ＝－1，设直线CD 的解析式为y ＝－x ＋b ′，把(3,1)代入y ＝－x ＋b ′，得b ′＝4， ∴l CD ：y ＝－x ＋4，设直线CD 与直线AB 交于点H ，令－x ＋4＝x ＋1，解得x ＝32，把x ＝32代入y ＝x ＋1得y ＝52，∴H ⎝⎛⎭⎪⎫32，52，设D (r ，t )，则r ＋32＝32，t ＋12＝52，得 r ＝0，t ＝4，∴D (0,4)，又C 的坐标为(3,1)，∴点C 关于x 轴的对称点为C ′(3，－1)， ∴PC ＋PD 的最小值为 DC ′＝(0－3)2＋(4＋1)2＝34.高分直通车1．(2019·扬州中考)若反比例函数y ＝－2x 的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y ＝－x ＋m 的图象上，则m 的取值范围是( )A ．m >22B ．m <－22C ．m >22或m <－22D ．－22<m <22 答案 C解析反比例函数y ＝－2x 的图象上两个不同的点关于y 轴对称的点在一次函数y ＝－x ＋m 的图象上，∴反比例函数y ＝2x 的图象与一次函数y ＝－x ＋m 的图象有两个不同的交点．联立两个函数解析式⎩⎨⎧y ＝2x，y ＝－x ＋m ，即2x ＝－x ＋m ，即x 2－mx ＋2＝0有两个不相等的实根，Δ＝m 2－8>0，结合二次函数图象得出不等式的解集为m >22或m <－22，∴选C.2．(2019·济宁中考)如图，点A 的坐标是(－2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′BC ′.若反比例函数y ＝kx 的图象恰好经过A ′B 的中点D ，则k 的值是( )A ．9B ．12C ．15D ．18答案 C解析如图，作A ′H ⊥y 轴，垂足为H ，易证△A ′HB ≌△BOA ，∴A ′H ＝OB ＝6，BH ＝AO ＝2，∴A ′的坐标为(6,4)，又D 是A ′B 的中点，∴D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋62，6＋42，即D (3，5)，又y ＝kx 的图象经过A ′B 的中点D ，∴k ＝15，∴选C.3．(2019·重庆南开九(下)期考试)如图，矩形OABC 的顶点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上，且点A 的坐标为(1，－3)，点B 的坐标为(7，－1)，则k 的值为( )A ．3B ．7C ．12D ．21答案 C解析如图，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的平行线交于点H .易证△ABH ≌△COD ，∵点A 的坐标为(1，－3)，点B 的坐标为(7，－1)，∴AH ＝7－1＝6，BH ＝3－1＝2，∴CD ＝6，OD ＝2，∴点C 的坐标为(6,2)，∵y ＝kx 的图象过点C (6,2)，∴2＝k6，∴k ＝12.故选C.4．(2019·育才南开一诊)如图，正方形OABC 的边长为6，A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ，函数y ＝kx 的图象经过点Q ，若S △BPQ ＝14S △OQC ，则k 的值为( )A ．－12B ．12C ．16D ．18答案 C解析 ∵S △BPQ ＝14S △OQC ，∴BQ OQ ＝12.∵正方形OABC 的边长为6，∴OB ＝62，∴OQ ＝4 2.过Q 作QH ⊥y 轴于点H ，在等腰直角三角形OHQ 中，QH ＝OH ＝4，∴点Q 的坐标为(4,4)．∵y ＝kx 的图象过点Q (4,4)，∴4＝k4，∴k ＝16.5．如图，四边形OABC 放置在平面直角坐标系中，AB ∥CO ，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象经过AB 的中点D ，并且与CB 交于点E .已知CE CB ＝13，OC ＝72，则AB 的长等于( )A ．2.5B ．2C ．1.5D ．1答案 B解析如图所示，作EF ⊥OA 于点F ，BN ⊥CO 于点N ，且交EF 于点V .DM ⊥CO 于点M ，且交EF 于点H .∵反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象经过AB 的中点D . ∴设AD ＝a ，AO ＝3b ，则AB ＝2a . ∵EF ∥CO ，∴△BEV ∽△BCN . ∵CE CB ＝13，∴NV NB ＝EC CB ＝13.∴NV ＝b . 由题意可得CN ＝72－2a ，EV CN ＝BE BC ＝23. 则EV72－2a＝23.解得EV ＝73－43a ，故EF ＝73－43a ＋2a ＝73＋23a .∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，73＋23a ，D (3b ，a )，故b ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋23a ＝3ab . 解得a ＝1，则AB ＝2a ＝2.故选B.6．(2019·厦门中考)如图，菱形ABCD 的顶点A 在函数y ＝3x (x >0)的图象上，函数y ＝kx (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且过B ，D 两点．若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则k ＝________.答案 6＋23解析如图，连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，延长DA 与x 轴交于点F ，过点D 作DG ⊥x 轴于点G .∵函数y ＝kx (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，∴O ，A ，C 三点在同一条直线上，且∠COE ＝45°，∴OE ＝AE ，设OE ＝AE ＝a ，则A (a ，a )．∵点A 在反比例函数y ＝3x (x >0)的图象上， ∴a 2＝3，∴a ＝3，∴AE ＝OE ＝3， ∵∠BAD ＝30°，∴∠OAF ＝∠CAD ＝12∠BAD ＝15°， ∵∠OAE ＝∠AOE ＝45°，∴∠EAF ＝30°， ∴AF ＝AEcos30°＝2，EF ＝AE tan30°＝1. ∵AD ＝AB ＝2＝AF ，AE ∥DG ， ∴EG ＝EF ＝1，DG ＝2AE ＝2 3.∴OG ＝OE ＋EG ＝3＋1.∴D (3＋1,23)．故k ＝(3＋1)×23＝6＋2 3.。

2021年九年级中考数学专题训练反比例函数及其应用(含答案)

2021中考数学专题训练反比例函数及其应用一、选择题（本大题共10道小题） 1. （2019·上海）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝3xD ．y ＝－3x2. （2020·海南）下列各点中，在反比例函数y ＝8x图象上的点是( )A ．(－1，8)B ．(－2，4)C ．(1，7)D ．(2，4) 3. （2020·湖北孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图像如图所示，则这个反比例函数的解析式为( )A.I =24RB.I =36RC.I =48RD.I =64R4. 若点A (-4，y 1)，B (-2，y 2)，C (2，y 3)都在反比例函数y=-的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( ) A .y 1>y 2>y 3 B .y 3>y 2>y 1 C .y 2>y 1>y 3 D .y 1>y 3>y 25. （2020·黔东南州）如图，点A 是反比例函数y （x ＞0）上的一点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，AC 交反比例函数y 的图象于点B ，点P 是x 轴上的动点，则△P AB 的面积为（）A ．2B ．4C ．6D ．86. （2020·黔西南州）如图，在菱形ABOC 中，AB ＝2，∠A ＝60°，菱形的一个顶点C 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝3x-D ．y7. （2020·内江）如图，点A 是反比例函数ky x=图象上的一点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（）A.43B.83C. 3D. 48. 若一次函数y ＝mx ＋6的图象与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，则有( )A. mn ≥－9B. －9≤mn ＜0C. mn ≥－4D. －4≤mn ≤09. 如图，☉O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=和y=-，则阴影部分的面积为 ( )A .4πB .3πC .2πD .π10. (2019·湖北咸宁)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y =﹣1x (x <0)，y =4x(x >0)的图象上，则sin ∠ABO 的值为A ．13BCD二、填空题（本大题共8道小题）11. 已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是________(写一个即可)．12. 如图，直线y1＝kx(k≠0)与双曲线y2＝2x(x>0)交于点A(1，a)，则y1>y2的解集为________．13. 已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝mx(m<0)图象上的两点，则y1________y2(填“>”或“＝”或“<”)．14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为________．15. 如图，点A为函数y＝9x(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．16. （2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4），反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为__________．17. 如图所示，反比例函数y＝kx(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC 的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．18. (2019·浙江宁波)如图，过原点的直线与反比例函数ykx(k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为__________．三、解答题（本大题共6道小题）19. 如图，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6，n)两点.(1)求k和n的值;(2)若点C(x，y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2= (m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标;(3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围.21. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m，4)，B(2，n)两点，与坐标轴分别交于M，N两点.(1)求一次函数的解析式;(2)根据图象直接写出kx+b->0中x的取值范围;(3)求△AOB的面积.22. 如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴交于点B(0，9)，与x轴的负半轴交于点A，且tan∠BAO＝1.反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx＋b的图象交于C、D两点，且BD2＋BC2＝90.(1)求一次函数的解析式；(2)求反比例函数的解析式；(3)某二次函数的图象经过线段CD的中点，且以B点为顶点，求此二次函数的解析式．23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝3 5.(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积．24. （2019•甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．2021中考数学专题训练反比例函数及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A【解析】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．2. 【答案】D【解析】∵反比例函数的系数8，∴该反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为8，故选D.3. 【答案】C【解析】设反比例函数解析式为I=kR,把图中点（8，6）代入得：k=8×6=48.故选C.4. 【答案】C[解析]由图象可知y2>y1>y3，故选C.5. 【答案】A【解析】利用反比例函数中比例系数k 的几何意义求解.如图，连接OA 、OB 、PC ．∵AC ⊥y 轴，∴S △APC ＝S △AOC |6|＝3，S △BPC ＝S △BOC|2|＝1，∴S △PAB ＝S △APC ﹣S △BPC ＝2．6. 【答案】B【解析】本题考查了待定系数法、菱形的性质、点的坐标的意义．因为在菱形ABOC 中，∠A ＝60°，菱形边长为2，所以OC ＝2，∠COB ＝60°．如答图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ，则OD ＝OC·cos ∠COB ＝2×cos 60°＝2×12＝1，CD ＝OC·sin ∠COB ＝2×sin 60°＝C 在第二象限，所以点C 的坐标为（－1．因为顶点C 在反比例函数y ═kx1k -，得k＝所以反比例函数的解析式为y＝B ．7. 【答案】D【解析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．先设出点A 的坐标，进而表示出点D 的坐标，利用△ADO 的面积建立方程求出2mn =，即可得出结论．∵点A 的坐标为（m ，2n ），∴2mn k =，∵D 为AC 的中点，∴D （m ，n ），∵AC ⊥x 轴，△ADO 的面积为1，∴()ADO 11121222S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==，∴2mn =，∴24k mn ==，因此本题选D ．8. 【答案】A 【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x 的方程nx ＝mx ＋6有实数根，方程化简为：mx 2＋6x －n ＝0，显然m ≠0，Δ＝36＋4mn ≥0，所以mn ≥－9，由于一次函数与反比例函数y ＝nx 在第一象限的图象有公共点，所以n ＞0，显然当一次函数y 随x 的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn ≥－9符合题意．9. 【答案】C[解析]根据反比例函数y=，y=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积.∴S 阴影=π×22=2π.故选C .10. 【答案】D【解析】如图，过点A ，B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D ，E ，∵点A 在反比例函数y =﹣1x (x <0)上，点B 在y =4x(x >0)上， ∴S △AOD =1，S △BOE =4，又∵∠AOB =90°∴∠AOD =∠OBE，∴△AOD ∽△OBE ，∴(AO OB)2=14AOD OBES S =，∴12AO OB =．设OA =m ，则OB =2m ，AB=，在Rt △AOB 中，sin ∠ABO=OA AB ==，故选D ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】－2(答案不唯一) 【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k ＜0，如k ＝－2(答案不唯一)．12. 【答案】x ＞1 【解析】当x ＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y 1＞y 2.因此，y 1＞y 2的解集为x ＞1.13. 【答案】＞【解析】∵m ＜0，∴反比例函数y ＝mx的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，又∵m －1＞m －3，∴y 1＞y 2.14. 【答案】－6 【解析】如解图，连接AC 交y 轴于点D ，因为四边形ABCO 是菱形，且面积为12，则△OCD 的面积为3，利用反比例函数k 的几何意义可得k ＝－6.15. 【答案】6【解析】设A 点的坐标为(a ，9a )，直线OA 的解析式为y ＝kx ，于是有9a ＝ka ，∴k ＝9a 2，直线为y ＝9a 2x ，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝9a 2x y ＝1x ，解得B 点的坐标为(a 3，3a )，∵AO ＝AC ，A(a ，9a )，∴C(2a ，0)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △BOC ＝12×2a×9a －12×2a×3a ＝9－3＝6.16. 【答案】16 【解析】过点C 、D 作CE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，垂足为E 、F ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，易证△ADF ≌△BCE ，∵点A （–4，0），D （–1，4），∴DF =CE =4，OF =1，AF =OA –OF =3，在Rt △ADF 中，AD 5，∴OE =EF –OF =5–1=4，∴C （4，4），∴k =4×4=16，故答案为：16．17. 【答案】2 【解析】由题意可知，D 点在反比例函数图象上，如解图所示，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则k ＝x D ·y D ＝DF·DE ＝S 矩形OEDF ，又D 为对角线AC 中点，所以S 矩形OEDF ＝14S 矩形OABC ＝2，∴k ＝2.18. 【答案】6【解析】如图，连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y k x=(k >0)的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE =OA ，∴∠OAE =∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE =S △AOC ，∵AC =3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE =S △AOC =12，设点A (m ，k m)， ∵AC =3DC ，DH ∥AF ，∴3DH =AF ，∴D (3m ，3k m)， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC 14=S △ADG ， ∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC 1122k =+⨯(DH +AF )×FH +S △HDC 114223k k m =+⨯⨯2m 112142243236k k k m k m +⨯⨯⨯=++=12， ∴2k =12，∴k =6；故答案为6．三、解答题（本大题共6道小题）19. 【答案】解:(1)把B (6，n )代入一次函数y=-x +4中，可得n=-×6+4=1，所以B 点的坐标为(6，1).又B 在反比例函数y=(x>0)的图象上，所以k=xy=1×6=6，所以k 的值为6，n 的值为1.(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=.当x=2时，y==3;当x=6时，y==1，由函数图象可知，当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.20. 【答案】解:(1)将A(3，5)的坐标代入y2=得，5=，∴m=15.∴反比例函数的解析式为y2=.当y2=-3时，-3=，∴x=-5，∴点B的坐标为(-5，-3).将A(3，5)，B(-5，-3)的坐标代入y1=kx+b得，解得∴一次函数的解析式为y1=x+2.(2)令y1=0，则x+2=0，解得x=-2.∴点C的坐标为(-2，0).设一次函数图象与y轴交于点D.令x=0，则y1=2.∴点D的坐标为(0，2).连接PB，PC，当B，C和P不共线时，由三角形三边关系知，PB-PC<BC; 当B，C和P共线时，PB-PC=BC，∴PB-PC≤BC.由勾股定理可知，BC==3.∴当P与D重合，即P点坐标为(0，2)时，PB-PC取最大值，最大值为3.(3)当y1>y2时，x的取值范围为x>3或-5<x<0.21. 【答案】解:(1)∵点A在反比例函数y=图象上，∴=4，解得m=1，∴点A 的坐标为(1，4).又∵点B 也在反比例函数y=图象上，∴=n ，解得n=2，∴点B 的坐标为(2，2).∵点A ，B 在y=kx +b 的图象上，∴，解得∴一次函数的解析式为y=-2x +6.(2)根据图象得:kx +b ->0时，x 的取值范围为x<0或1<x<2.(3)∵直线y=-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为(3，0)，∴S △AOB =S △AON -S △BON =×3×4-×3×2=3.22. 【答案】(1)∵tan ∠BAO ＝1，∴OA ＝OB ，∵点B (0，9)，∴点A (－9，0)，∴⎩⎨⎧b ＝9－9k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝9， ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋9；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋9y ＝m x 得x 2＋9x －m ＝0，设点C 、D 的横坐标分别为x 1、x 2，∵BD 2＋BC 2＝90，∴(2x 2)2＋(2x 1)2＝90即2(x 21＋x 22)＝90，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－9)2－2(－m )＝45，即81＋2m ＝45，解得m ＝－18，∴反比例函数解析式为y ＝－18x ；(3)设所求的二次函数的解析式为y ＝ax 2＋9(a ≠0)，由(1)和(2)得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋9y ＝－18x ，解得⎩⎨⎧x 1＝－3y 1＝6或⎩⎨⎧x 2＝－6y 2＝3，则线段CD 的中点为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)即(－92，92)，代入y ＝ax 2＋9得92＝(－92)2a ＋9，解得a ＝－29，故所求的二次函数的解析式为y ＝－29x 2＋9.23. 【答案】(1)【思路分析】如解图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，由三角函数求出点A 坐标，再用待定系数法求出反比例函数的解析式便可．解：如解图过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵OA ＝5，sin ∠AOC ＝35，∴AE ＝OA·sin ∠AOC ＝5×35＝3，OE ＝OA 2－AE 2＝4，∴A(－4，3)，(3分)设反比例函数的解析式为y ＝k x (k≠0)，把A(－4，3)代入解析式，得k ＝－12，∴反比例函数的解析式为y ＝－12x.(5分) (2)【思路分析】先把B 点坐标代入所求出的反比例函数解析式，求出m 的值，进而求出直线AB 的解析式，再求出点D 的坐标，便可求△AOD 与△BOD 的面积之和，即△AOB 的面积．解：把B(m ，－4)代入y ＝－12x 中，得m ＝3，∴B(3，－4)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－4，3)和B(3，－4)代入得，⎩⎨⎧－4k ＋b ＝33k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝－1，(7分) ∴直线AB 的解析式为y ＝－x －1，(8分)则AB 与y 轴的交点D(0，－1)，∴S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12×1×4＋12×1×3＝3.5.(10分)24. 【答案】（1）一次函数的解析式为y =–x +1，反比例函数的解析式为y =–2x ．（2）S △ABD =3．（3）y 1<y 2．【解析】（1）∵反比例函数y =m x 经过点B （2，–1），∴m =–2， ∵点A （–1，n ）在y =2x-上，∴n =2，∴A （–1，2），把A ，B 坐标代入y =kx +b ，则有221k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得11k b =-=⎧⎨⎩， ∴一次函数的解析式为y =–x +1，反比例函数的解析式为y =–2x．（2）∵直线y =–x +1交y 轴于C ，∴C （0，1），∵D ，C 关于x 轴对称，∴D （0，–1），∵B （2，–1），∴BD ∥x 轴，∴S △ABD =12×2×3=3．（3）∵M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =–2x上的两点，且x 1<x 2<0，s ∴y 1<y 2．。

2020-2021中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案

2020-2021中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案一、反比例函数1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．3．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.5．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.6．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【答案】（1）①当x=4时，∴点B的坐标是（4，1）当y=2时，由得得x=2∴点A的坐标是（2，2）设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，由①得点B（4，1），点D（4，5）∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为（4，3）当y=3时，由得，由得，∴PA= ，PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形（2）四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），当x=4时，∴点B的坐标是（4，）则点A的坐标是（4-t，）∴，化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为（4，）所以，整理得m+n=32【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．7．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.8．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），∵F为AB的中点，∴F（6，2），又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，∴该函数的解析式为y= （x＞0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），∴，==== ，∴当k=12时，S有最大值．S最大=3【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y= x+2（2）解：当y= x+2=0时，x=﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，解得：x1=﹣6，x2=﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）∴y=-x2-6x-5．（2）解：如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴ =∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）解：如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x=2．∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2-x1＜x2-2，∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．。

2021年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《反比例函数》及答案

2021年四川省各市中考数学真题汇编压轴题：《反比例函数》1．（2021•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．（1）求a，b的值．（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．2．（2021•眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．3．（2021•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．4．（2021•绵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k ＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．5．（2021•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABOC的面积．6．（2021•攀枝花）如图，过直线y＝kx+上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y ＝（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．（1）求k、m的值；（2）求直线y＝kx+与函数y＝（x＞0）图象的交点坐标；（3）直接写出不等式＞kx+（x＞0）的解集．7．（2021•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．8．（2021•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．9．（2021•乐山）如图，已知点A（﹣2，﹣2）在双曲线y＝上，过点A的直线与双曲线的另一支交于点B（1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，连结AC，过点C作CD⊥AB于点D．求线段CD的长．10．（2021•甘孜州）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A （2，m）和B两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．11．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A （3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．12．（2021•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．（2）求△DEC的面积．13．（2021•南充）如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．（1）求反比例函数的解析式．（2）求四边形OCDB的面积．参考答案1．解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，2），B（4，1），则有，解得．（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，由题意得，△＝0，∴4n2﹣32＝0，∴n＝﹣2或2（舍弃），解得，∴P（﹣2，﹣）．2．解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），∴m ＝﹣6，∵点B （1，n ）在反比例函数图象上，∴n ＝﹣6．∴B （1，﹣6），把A ，B 的坐标代入y ＝kx +b ，则有，解得， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣2x ﹣4，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（2）如图设直线AB 交y 轴于C ，则C （0，﹣4），∴S △AOB ＝S △OCA +S △OCB ＝×4×3+×4×1＝8．（3）由题意OA ＝＝，当AO ＝AP 时，可得P 1（﹣6，0），当OA ＝OP 时，可得P 2（﹣，0），P 4（，0），当PA ＝PO 时，过点A 作AJ ⊥x 轴于J ．设OP 3＝P 3A ＝x ，在Rt △AJP 3中，则有x 2＝22+（3﹣x ）2，解得x ＝， ∴P 3（﹣，0），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．3．解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．4．解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣图象上，∴2n＝﹣3，∴n＝﹣，设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+3；（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，则四边形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN，∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m，∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG，∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴m＝﹣n，∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB，∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴＝＝＝＝，∴ME＝BN＝，在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，∴m＝，∴k＝﹣3m＝﹣，∴反比例函数的解析式为y＝﹣．5．解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，∴反比例函数的关系式为y＝；把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1∴点A（﹣3，﹣1）；把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，，解得：，∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；答：一次函数的关系式为y ＝﹣x ﹣4，反比例函数的关系式为y ＝；（2）如图，过点B 作BM ⊥OP ，垂足为M ，由题意可知，OM ＝1，BM ＝3，AC ＝1，MC ＝OC ﹣OM ＝3﹣1＝2，∴S 四边形ABOC ＝S △BOM +S 梯形ACMB ，＝+×（1+3）×2，＝．6．解：（1）∵C ′的坐标为（1，3），代入y ＝（x ＞0）中，得：m ＝1×3＝3， ∵C 和C ′关于直线y ＝x 对称，∴点C 的坐标为（3，1），∵点C 为PD 中点，∴点P （3，2），将点P 代入y ＝kx +，∴解得：k ＝；∴k 和m 的值分别为：3，；（2）联立：，得：x 2+x ﹣6＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣3（舍），∴直线y ＝kx +与函数y ＝（x ＞0）图象的交点坐标为（2，）；（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图象可知：当0＜x ＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面， ∴不等式（x ＞0）的解集为：0＜x ＜2．7．解：（1）如图，∵点A （a ，6）在反比例函数y ＝的图象上，∴6a ＝12，∴a ＝2，∴A （2，6），把A （2，6）代入一次函数y ＝x +b 中得：＝6，∴b ＝3，∴该一次函数的解析式为：y ＝x +3；（2）由得：，，∴B （﹣4，﹣3），当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∴△AOB 的面积＝S △ACO +S △BCO ＝＝9．8．解：（1）将直线l 的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x 2﹣5x +k ＝0，由题意得：△＝25﹣4k ≥0，解得：k ≤，故k 的取值范围0＜k ≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．9．解：（1）将点A（﹣2，﹣2）代入，得k＝4，即，将B（1，a）代入，得a＝4，即B（1，4），设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（﹣2，﹣2）、B（1，4）代入y＝mx+n，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+2；（2）∵A（﹣2，﹣2）、B（1，4），∴，∵，∴．10．解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象过点A（2，m），∴m＝×2+1＝2，∴点A（2，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）联立方程组可得：，解得：或，∴点B（﹣4，﹣1）．11．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴m＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵直线y＝kx+b过点A，∴3k+b＝4，∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，∴B（﹣，0），C（0，b），∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，∴×4×|﹣|＝2×|﹣|×|b|，∴b＝±2，当b＝2时，k＝，当b＝﹣2时，k＝2，∴直线的函数表达式为：y＝x+2或y＝2x﹣2．12．解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中，∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵双曲线y═（k≠0）经过D点，∴k＝2×3＝6，∴双曲线为y＝，设直线DE的解析式为y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；（2）连接AC，交BD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解得或，∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE＝＝3，DB＝＝，∴CN＝BD＝，＝DE•CN＝×＝．∴S△DEC13．解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，∴a＝4，A（4，8），∵AB⊥y轴于点B，AB＝4BD，∴BD＝1，即D（1，8），∵点D在y＝上，∴k＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）由，解得或（舍弃），∴C（2，4），∴S四边形OBDC ＝S△AOB﹣S△ADC＝×4×8﹣×4×3＝10．。

反比例函数中考真题(含答案解析)

反比例函数中考真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．（2021·西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB 的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线y ＝kx相交于点C ，且BC △OC ＝1△2，则k 的值为（）A ．﹣3B ．﹣94C ．3D ．922．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，矩形OABC 的面积为36，它的对角线OB 与双曲线y kx=相交于点D ，且OD ：OB ＝2：3，则k 的值为（）A ．12B ．﹣12C ．16D ．﹣163．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点，若菱形ABCD 面积为8，则k 值为（）A ．-B ．-C ．8-D ．-4．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x=和2k y x=的图象上，若60BCD ∠=︒，则12k k 的值为（）AB ．23C．D ．13-5．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与双曲线()2ky k x=>相交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．设(),2M m 为双曲线()2ky k x=>上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于C ，D 两点，则OC OD -的值为（） A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（4，2），反比例函数2(0)y x x=>的图象与BC 交于点D ，与对角线OB 交于点E ，与AB 交于点F ，连接OD ，DE ，EF ，DF ．下列结论：△sin cos DOC BOC ∠=∠；△OE BE =；△DOE BEF S S =△△；△:2:3OD DF =．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题7．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，ABC 的顶点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，//AB x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若32BE CO CE AD ==，13ABCS =，则k =_____．8．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OABC 的顶点A ，B 在第一象限内，顶点C 在y 轴上，经过点A 的反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交BC 于点D ．若CD ＝2BD ，△OABC 的面积为15，则k 的值为______．9．（2021·四川巴中·中考真题）如图，平行于y 轴的直线与函数y 1kx=（x ＞0）和y 22x =（x ＞0）的图象分别交于A 、B 两点，OA 交双曲线y 22x=于点C ，连接CD ，若OCD 的面积为2，则k ＝_______．10．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0,0ky k x x=>>的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，且AB BC =，连接OA ．已知OAC 的面积为12，则k 的值为_____________．11．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点a y x =与by x=（a ＞b ＞0）在第一象限的图象分别为曲线C 1，C 2，点P 为曲线C 1上的任意一点，过点P 作y 轴的垂线交C 2于点A ，作x 轴的垂线交C 2于点B ，则阴影部分的面积S △AOB ＝_______．（结果用a ，b 表示）12．（2021·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在(0,0)ky k x x=≠<的双曲线上．点O E 、的对应点分别是点C A 、．若点A 为OE 的中点，且1AEF S =△，则k 的值为____．13．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数2y x =与反比例数()0ky k x=>的图像交于A ，B 两点，点M 在以()2,0C 为圆心，半径为1的C 上，N 是AM 的中点，已知ON 长的最大值为32，则k 的值是_______．14．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数y x =与反比例函数1y x=（0x >）的图象交于点A ，过点A 作AB OA ⊥，交x 轴于点B ；作1//BA OA ，交反比例函数图象于点1A ；过点1A 作111A B A B ⊥交x 轴于点B ；再作121//B A BA ，交反比例函数图象于点2A ，依次进行下去，……，则点2021A 的横坐标为_______．三、解答题15．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角ABC 的顶点A ，B 在函数()0,0ky k x x=>>图象上，//AC x 轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，1CE =．（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE△的面积．参考答案：1．A 【解析】【分析】过C 作CD △x 轴于D ，可得△DOC △△AOB ，根据相似三角形的性质求出S △DOC ，由反比例函数系数k 的几何意义即可求得k ．【详解】解：过C 作CD △x 轴于D ，△BC OC＝12， △OC OB＝23， △BA △x 轴， △CD △AB ， △△DOC △△AOB ， △DOC AOB S S ∆∆＝（OC OB ）2＝（23）2＝49， △S △AOB ＝278， △S △DOC ＝49S △AOB ＝49×278＝32，△双曲线y ＝kx 在第二象限，△k ＝﹣2×32＝﹣3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S △DOC 是解决问题的关键．2．D 【解析】【分析】过D 点作DE △OA ，DF △OC ，垂足为E 、F ，由双曲线的解析式可知S 矩形OEDF =|k |，由于D 点在矩形的对角线OB 上，可知矩形OEDF △矩形OABC ，并且相似比为OD :OB ＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S 矩形OEDF =16，再根据在反比例函数y k x=图象在第二象限，即可算出k 的值．【详解】解：过D 点作DE △OA ，DF △OC ，垂足为E 、F ，△D 点在双曲线y kx=上， △S 矩形OEDF =|xy |=|k |，△D 点在矩形的对角线OB 上， △矩形OEDF △矩形OABC ， △29()4OEDF OABC OD OB S S ==， △S 矩形OABC =36， △S 矩形OEDF =16， △|k |=16， △双曲线y kx=在第二象限， △k =-16，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D 点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k |． 3．A【解析】【分析】过点A 作AE BC ⊥，设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据菱形的面积得到AB 的长度，在Rt ABE△中应用勾股定理即可求解．【详解】解：过点A 作AE BC ⊥，△A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数ky x=经过A ，B 两点， △设,44k A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△2AE =，244k k k BE =-+=-， △菱形ABCD 面积为8， △8BC AE ⋅=，解得4BC =， △4AB BC ==，在Rt ABE △中，222AB AE BE =+，即22242BE =+，解得BE = △k =- 故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等内容，根据提示做出辅助线是解题的关键． 4．D 【解析】【分析】连接AC 、BD ，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出△BOC =90°，△BCO =12△BCD =30°，解直角三角形求得tan 30OB OC ︒==，作 BM △x 轴于M ，CN △x 轴于N ，证得△OMB △△CNO ，得到2()BOMCONS OB S OC∆∆=，根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得结果．【详解】解：连接AC 、BD ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x=和2ky x =的图象上，A ∴与C 、B 与D 关于原点对称，AC ∴、BD 经过点O ，90BOC ∴∠=︒，1302BCO BCD ∠=∠=︒，tan30OB OC ∴︒=作BM x ⊥轴于M ，CN x ⊥轴于N ，90BOM NOC NOC NCO ∠+∠=︒=∠+∠， BOM NCO ∴∠=∠， 90OMB CNO ∠=∠=︒， OMB CNO ∴∆∆∽，∴2()BOM CON S OB S OC∆∆=， ∴12112132k k =-， ∴1213k k =-，故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k 的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．5．B【解析】【分析】根据直线2y x =与双曲线()2k y k x=>相交于A ，B 两点，其中点A在第一象限求得A ⎝，B ⎛ ⎝，再根据(),2M m 为双曲线()2k y k x =>上一点求得,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；根据点A 与点M 的坐标求得直线AM解析式为y而求得OC =B 与点M 的坐标求得直线BM解析式为2k y -=OD =OC OD -即可．【详解】解：△直线2y x =与双曲线()2k y k x =>相交于A ，B 两点， △联立可得：2,,y x k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得：11x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ △点A 在第一象限，△A ⎝，B ⎛ ⎝． △(),2M m 为双曲线()2k y k x=>上一点， △2k m =．解得：2k m =． △,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设直线AM 的解析式为11y k x b =+，将点A ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：1111,2?,2k b k k b ⎨⎪=+⎪⎩解得：11k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线AM的解析式为y x ． △直线AM 与y 轴交于C 点，△0C x =．△2202C k yk -=+=． △C ⎛⎝．△2k >，△OC == 设直线BM 的解析式为22y k x b =+，将点B ⎛ ⎝与点,22k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可得：2222?,2?,2k b k k b ⎧⎛+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩解得：22k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线BM的解析式为y ． △直线BM 与y 轴交于D 点，△0D x =．△2202D k yk -=+ △D ⎛⎝．△2k >，△OD =．△OC OD -k k22842k k k k-=- ()22422k k k k -=-=4．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．6．A【解析】【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，sin CD DOC OD ∠=，cos =OC BOC OB∠，只需证明CD OC OD OB=即可证明结论△；先求出直线OB 的解析式，然后求直线OB 与反比例函数2(0)y x x =>的交点坐标，即可证明结论△；分别求出DOE S △和BEF S ，进行比较即可证明结论△；只需证明OCD DBF ∽，即可求证结论△．【详解】解：△OABC 为矩形，点B 的坐标为（4，2），△A 点坐标为(4，0)，C 点坐标为(0，2)，根据反比例函数2(0)y x x=>，当2y =时，1x =，即D 点坐标为(1，2)，当4x =时，12y =，即F 点坐标为(4，12)， △21OC CD ==，，△OD△24OC CB ==，，△OB△sinCD DOC OD ∠=，cos =OC BOC OB ∠， △sin cos DOC BOC ∠=∠，故结论△正确；设直线OB 的函数解析式为：y kx =，点B 代入则有：2=4k ，解得：12k =，故直线OB 的函数解析式为：12y x =，当122x x =时，1222x x ==-；(舍)即2x =时，1y =，△点E 的坐标为(2，1)，△点E 为OB 的中点，△OE BE =，故结论△正确； △112CD AF ==，， △332BD BF ==，，由△得：13122DOE DBE SS BD ==⨯⨯=， 13222BEF S BF =⨯⨯=， △DOE BEF S S =△△，故结论△正确；在Rt OCD △和Rt DBF 中，32232OC DB CD BF ===，， △OCD DBF ∽，△::2:3OD DF OC DB ==，故结论△正确，综上：△△△△均正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．7．18【解析】【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，通过设参数表示出△ABC 的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC 与矩形ODBF 的关系求出矩形面积，即可求得 k 的值．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ．//AB x 轴，DBE COE ∴∽，DB BE DE CO CE EO∴==， 32BE CO CE AD ==， 32DB DE BE CO CO EO CE AD ∴====，设3CO a =，3DE b =，则2AD a =，2OE b =，332DB a ∴=，5OD b =， 92a BD ∴=， 132a AB AD DB ∴=+=， 1113513222ABC a S AB OD b =⋅⋅=⨯⨯=， 45ab ∴=， 94551822ODBF a ab S BD OD b ⋅=⋅===矩形，又反比例函数图象在第一象限，18k ∴=，故答案为18．【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．8．18【解析】【分析】过点D 作DN △y 轴于N ，过点B 作BM △y 轴于M ，可得2CN MN =，设OC ＝a ，CN ＝2b ，则MN ＝b ，根据△OABC 的面积为15表示出BM 的长度，根据CD ＝2BD 求出ND 的长，进而表示出A ，D 两点的坐标，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出．【详解】解：过点D 作DN △y 轴于N ，过点B 作BM △y 轴于M ，△//DN BM ， △CN CD MN BD= ， △CD ＝2BD ， △2CN CD MN BD==，即2CN MN = ，设OC ＝a ，CN ＝2b ，则MN ＝b ，△△OABC 的面积为15，△BM ＝15a， △//DN BM ，△CDN CBM ， △DN CD BM CB= ， △CD ＝2BD ， △23CD CB = ，△ND ＝23BM ＝10a， △A ，D 点坐标分别为（15a ，3b ），（10a ，a ＋2b ）， △15a •3b ＝10a（a ＋2b ）， △b ＝25a ， △k ＝15a •3b ＝15a •3×25a ＝18，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．9．8【解析】【分析】设A （m ，k m ），则B （m ，2m），D （m ，0），C （n ，k n ），由112=222OCD C m S OD y m n n ===△得出12n m =，再根据()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△求解即可得到答案. 【详解】解：设A （m ，k m ），则B （m ，2m ），D （m ，0），C （n ，k n ）， △112=222OCD C m S OD y m n n ===△， △12n m =，又△()1122OCD OAD ACD k S S S k m n m=-=--△△△ 112m n k m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12n k m =14k = △124k =解得8k故答案为：8.【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10．8.【解析】【分析】过点A作AE△x交x轴于E，过点B作BF△x交x轴于F，根据AB=BC，可以得到EF=FC，再根据三角形面积公式即可求解.【详解】解：如图所示，过点A作AE△x轴交x轴于E，过点B作BF△x轴交x轴于F△AE△x轴，BF△x轴，AB=BC△EF=FC，AE=2BF（中位线定理）设A点坐标为（a，ka），则B点坐标为（2a，2ka）△OC=OE+EF+FC△OC=OE+EF+FC=3a△11=31222OACkS OC AE aa==△解得8k故答案为：8.【点睛】本题主要考查了中位线定理，反比例函数的性质和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练运用相关知识进行求解.11．12a 22b a- 【解析】【分析】设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ），阴影部分的面积S △AOB ＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．【详解】解：设B （m ，b m ），A （b n，n ），则P （m ，n ）， △点P 为曲线C 1上的任意一点，△mn ＝a ，△阴影部分的面积S △AOB ＝mn 12-b 12-b 12-（m b n -）（n b m-）＝mn ﹣b 12-（mn ﹣b ﹣b 2b mn+）＝mn ﹣b 12-mn +b 22b mn- 12=a 22b a-．故答案为：12a 22b a-．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn ＝a 可解决问题．12．24-【解析】【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG 和EO 之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG 和OD 之间的关系，设EG =x ，FG =y ，用它们表示出D 点坐标，接着得到B 点坐标，利用1AEF S =△，得到1xy =，再利用反比例函数的定义，计算出B 点横纵坐标的积，即为所求k 的值．【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE =GA ，CG =OG ，BC =OD ，△点A 为OE 的中点，△AE =OA ， △1244EG EG EG OE AE EG ===, △MN △y 轴， △14FG EG OD EO ==， △=4OD FG ，△1AEF S =△， △112AE FG ⋅=, △1212EG FG ⨯⋅=， △1EG FG ⋅=，设EG =x ，FG =y ，则OG =3x ，OD =4y ，△()0,4D y ，因为D 点和B 点关于MN 对称，△()6,4B x y -△1EG FG ⋅=，△1xy =△6424x y -⋅=-,△点B 恰好落在(0,0)k y k x x=≠<的双曲线上， △24k =-，故答案为：24-．【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．13．32 25【解析】【分析】根据题意得出ON是ABM的中位线，所以ON取到最大值时，BM也取到最大值，就转化为研究BM也取到最大值时k的值，根据,,B C M三点共线时，BM取得最大值，解出B的坐标代入反比例函数即可求解．【详解】解：连接BM，如下图：在ABM 中，,O N 分别是,AB AM 的中点，ON ∴是ABM 的中位线，12ON BM ∴=，已知ON 长的最大值为32，此时的3BM =，显然当,,B C M 三点共线时，取到最大值：3BM =，13BM BC CM BC =+=+=，2BC ∴=，设(,2)B t t ，由两点间的距离公式：2BC ==，22(2)44t t ∴-+=，解得：124,05t t ==（取舍）， 48(,)55B ∴，将48(,)55B 代入()0k y k x=>，解得：3225k =，故答案是：3225．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM 取最大值时k 的值．14【解析】【分析】由点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点，即可求出点A 的坐标，且可知45AOB ∠=︒，又AB AO ⊥可知AOB ∆是等腰直角三角形，再结合1BA OA //可知11BA B ∆是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求2021A 的坐标，即n A 的坐标（n=1,2,3……），故想到过点2021A 作20212021A C x ⊥轴，即过n A 作n n A C x ⊥轴．设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为2m +，再利用点1A 在双曲线上即可求解1A 坐标，同理可得2021A 的坐标．【详解】解：过n A 作n n A C x ⊥轴于点n C点A 是直线y x =与双曲线1y x=的交点1y x y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩ ()1,1A ∴1,45OC AC AOC ∴==∠=︒AB AO ⊥∴AOB ∆是等腰直角三角形∴22OB AC ==1BA OA //∴11BA B ∆是等腰直角三角形∴111AC BC =设1A 的纵坐标为()10m m >，则1A 的横坐标为12m +点1A 在双曲线上∴()1121m m +=解得11m设2A 的纵坐标为()20m m >，则2A的横坐标为12222m m m ++=∴()221m m =解得2m同理可得3m由以上规律知：n m2021m ∴2021A∴2021A =【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．15．（1）()1,2，()2,2，23k =；（2）512 【解析】【分析】（1）由点A 的纵坐标为2，点B 的横坐标为1，可以用k 表示出A ，B 两点坐标，又//AC x 轴，ABC 为直角三角形，所以可以得到点C 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1，由此得到C 点坐标，又由于1CE =，可以得到E 点坐标，因为EM 垂直平分AB ，所以AE BE =，根据此等式列出关于k 的方程，即可求解；（2）由（1）中的k 值，可以求出A ，B 的坐标，利用勾股定理，求出线段AB 的长度，从而得到BD 的长度，先证明BDM BCA △∽△，利用相似三角形对应边成比例，求出BM 的长度，即可求出MBE △的面积．【详解】解：（1）如图，连接BE ，由题意得点A 的坐标为(2k ，2)，点B 的坐标为(1,)k ，又//AC x 轴，且ACB △为直角三角形，∴点C 的坐标为(1,2)，又△1CE =，∴点E 的坐标为(2,2)，点E 在线段AB 的垂直平分线上，EA EB ∴=，在Rt BCE 中，222EB BC CE =+，221(2)(2)2k k ∴+-=-， 2k ∴=或23，当2k =时，点A ，B ，C 三点重合，不能构成三角形，故舍去，23k ∴=， (1,2)C ∴，(2,2)E ，23k =；（2）由（1）可得，23AC =，43BC =，1CE =，设AB 的中点为D ，AB =12BD AB ==， ABC MBD ∠=∠，90BDM BCA ∠=∠=︒，BDM BCA ∴△∽△， ∴BM BD BA BC=，53463BM ∴=， 1155122612MBE S BM CE ∆∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键．。

2021年中考数学专题复习：函数压轴反比例函数综合练习题(含答案)

2021年中考数学专题复习：函数压轴反比例函数综合练习题1．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．（1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求△DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2，∠COA＝45°．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．4．已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的解，tan∠BAO＝．（1）求点A的坐标；（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE ＝16．若反比例函数y＝的图象经过点C，求k的值；（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

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2021年中考数学压轴题专项训练《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC 围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D 在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C作y 轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x 轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M 的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k ≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S．矩形OABC（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m， n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d， d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB＝；（2）设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝，∴a＝5，∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2），∴AD＝4或．。