重要但常不为人知道的几何定理
几何定理知识点总结
几何定理知识点总结在本文中，我们将从平面几何和立体几何的角度对一些重要的几何定理进行总结和介绍。
我们将讨论一些著名的几何定理，包括勾股定理、皮卡定理、欧拉定理等，同时也会介绍一些几何图形的性质和定理，如圆的性质、三角形的性质等。
希望通过本文的介绍和总结，读者能够更好地理解和掌握几何学的相关知识，提高解决几何问题的能力。
一、平面几何定理知识点总结1. 勾股定理勾股定理是几何学中最著名的定理之一。
它指出：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用公式表示为：a² + b² = c²，其中a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边。
勾股定理可以帮助我们计算直角三角形的各边长度，也可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
它也是解决几何问题和应用数学中常用的定理之一。
2. 直角三角形的性质直角三角形的性质还包括：直角三角形的两条直角边的长度之和大于斜边的长度；直角三角形中，两个锐角的和等于90度；直角三角形的高（垂直于斜边的线段）的长度等于直角边与斜边的乘积再除以斜边的长度等。
3. 相似三角形定理相似三角形定理是指两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的；另一个对应定理是如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质还包括：相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应角相等等。
4. 圆的性质圆是平面几何中的重要图形之一，它有许多重要的性质和定理。
其中包括：圆的半径、直径、周长和面积的计算公式；切线与圆的性质；圆心角和圆周角的关系等。
这些性质和定理对于理解圆的性质和解决与圆相关的几何问题都非常重要。
5. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它的性质包括：等腰三角形的底角（与底边相对的两个角）相等；等腰三角形的高、中线和角平分线重合；等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半等。
6. 直角梯形的性质直角梯形是指有两条平行边且一条边是直角的梯形。
数学几何定理
数学几何定理数学几何是数学的一个分支，主要研究点、线、面及其相互关系的形态和性质。
在数学几何的研究中，存在着一些重要的定理，这些定理为我们解决几何问题提供了有力的工具与方法。
本文将介绍一些常见的数学几何定理，并探讨其应用。
一、勾股定理勾股定理是数学几何中最为著名的定理之一，它阐述了在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边平方和的关系。
其数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2其中，c表示斜边，a和b表示直角边。
勾股定理的应用广泛，特别是在测量和设计领域。
例如，在建筑工程中，我们可以利用勾股定理计算建筑物的斜向距离。
此外，在解决几何问题时，勾股定理也常被用于求解未知边长或角度大小。
二、相似三角形定理相似三角形定理是指两个三角形具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
这个定理可以用以下表达式表示：∆ABC ∼ ∆DEF根据相似三角形定理，我们可以利用已知的三角形的边长比例求解未知边长，或者求解未知角度大小。
相似三角形定理的应用十分广泛，特别是在三角函数和比例的计算中。
三、圆的性质定理在数学几何中，圆是一个重要的几何形状。
圆的性质定理从不同角度阐述了圆的性质和关系。
1. 圆的周长和面积：根据圆的性质定理，圆的周长（C）和面积（A）可以通过半径（r）或直径（d）计算得出。
具体公式如下：C = 2πrA = πr^22. 切线定理：切线定理是指直线与圆相交于一个点，并且垂直于半径的线段。
根据该定理，圆的切线与半径在交点处垂直相切。
3. 弧长定理：弧长定理是指圆弧的长度与圆心角的关系。
根据该定理，圆弧的长度（S）可以通过圆心角（θ）和半径（r）计算得出。
具体公式如下：S = θr四、平行线性质定理平行线性质定理是指在平行线与过这些平行线的两个直线相交时，所形成的对应角或内错角之和为180度。
根据平行线性质定理，可以应用于解决各种几何问题。
例如，在测量和建筑领域，我们常常利用平行线性质定理来判断两个线是否平行，或者通过已知线段的长度求解未知线段的长度。
盘点几何中的著名定理
盘点几何中的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
关于平面几何的61条著名定理
关于平面几何的61条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形。
平面几何的26个定理精编版
平面几何的26个定理精编版在平面几何中，有很多重要的定理可以帮助我们解决各种各样的问题。
下面列举了26个常用的定理，希望能够对读者有所帮助。
1. 两点确定一条直线定理：通过两个不同的点，可以确定唯一一条直线。
2. 第3角定理：任何一条直线将平面分成两个半平面，其中一个半平面包含直线上的第一个角，另一个半平面包含直线上的第二个角。
3. 垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线上有一点，可以通过这个点引一条垂线与另一条直线相交，那么这个垂线与直线的交点将是直线上的最短距离的点。
4. 直角三角形的勾股定理：对于一个直角三角形来说，斜边的平方等于另外两条边平方的和。
5. 等腰三角形定理：一个三角形任意两边相等，则它的两个底角相等。
7. 三角形内角和定理：三角形的三个角的度数之和等于180度。
8. 同位角定理：如果一个直角与另一条直线相交，那么直角两边上的同位角互相等于180度。
9. 余角定理：如果一个角是直角的余角，那么这个角和它的补角之和等于90度。
10. 垂直角定理：两条直线相交的垂直角是互补的，即它们的度数之和为90度。
11. 平行线定理：平行的两条直线永远不会相交，它们之间的距离保持不变。
14. 内角定理：有n条直线相交，将平面分成了n(n-1)/2个角，则n个角的度数之和为180(n-2)度。
15. 切线和割线定理：圆上一点的切线和这个点到圆心的直线垂直。
18. 正弦定理：对于一个三角形，它的任何一条边的长度与它相对的角的正弦值成比例。
20. 平行线夹角定理：如果两条直线被一条横线所穿过，使对于直线之一和横线在同侧的内角和外角分别相等，那么这条直线与另一条直线是平行的。
23. 双曲线几何定理：在平面上有两个垂直的直线，任何一点到其中一个直线的距离减去到另一个直线的距离之差是常数。
24. 平面几何的欧拉定理：对于一个凸多边形，这个多边形的顶点数、边数、面数的差等于2。
25. 柿子公式：对于一个n边形，其对角线的条数为(n(n-3))/2。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
初中课本删悼的重要平面几何定理
初中课本删悼的重要平面几何定理1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．3．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=．4．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DCBD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 5．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）．（必修五教材中） 6．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．（必修五教材中）7．张角定理：ABDAC ACBAD ADBAC ∠+∠=∠sin sin sin ．（必修五教材中）8．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．9．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 10．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．11．圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理，它们揭示了与圆有关的线段的比例关系，是平面几何中研究有关圆的性质的一组很重要的定理，应用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到，因此研究圆中的比例线段，一般离不开相似三角形.相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.上述三个定理统称为圆幂定理，它们的发现距今已有两千多年的历史，它们有下面的同一形式：圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.这里切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，则这个定值为|d 2-r 2|.当定点在圆内时，d 2-r 2<0，|d 2-r 2|等于过定点的最小弦的一半的平方； 当定点在圆上时，d 2-r 2=0；当定点在圆外时，d 2-r 2>0，d 2-r 2等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把d 2-r 2称为定点对于圆的幂.一般地我们有如下结论：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．12．托勒密定理定理1 (Ptolemy 定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)分析 如图，即证AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ． 可设法把 AC ·BD 拆成两部分，如把AC 写成AE +EC ，这样，AC ·BD 就拆成了两部分：AE ·BD 及EC ·BD ，于是只要证明AE ·BD =AD ·BC 及EC ·BD =AB ·CD 即可．证明 在AC 上取点E ，使∠ADE =∠BDC ，由∠DAE =∠DBC ，得⊿AED ∽⊿BCD ．∴ AE ∶BC =AD ∶BD ，即AE ·BD =AD ·BC ． ⑴又∠ADB =∠EDC ，∠ABD =∠ECD ，得⊿ABD ∽⊿ECD ．∴ AB ∶ED =BD ∶CD ，即EC ·BD =AB ·CD ． ⑵ ⑴+⑵，得 AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ．说明 本定理的证明给证明ab =cd +ef 的问题提供了一个典范．用类似的证法，可以得到Ptolemy 定理的推广(广义Ptolemy 定理)：对于一般的四边形ABCD ，有AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．当且仅当ABCD 是圆内接四边形时等号成立．三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． 5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅A B C OABC D EFGAB CDEFI aIK HE F D ABCM A BC DE。
几何中的著名定理
几何中的著名定理 51、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD，则有$ABxxCD+ADxxBC> =ACxxBD$20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
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阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。
从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
角平分线定理定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
该命题逆定理成立：在角的部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
该命题逆定理成立：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。
S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
推论：共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E，则有BE ：DE=S △ABC ：S△ADC。
此定理是面积法最重要的定理.典型例题：如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．答案：4解析:过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积，由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．解：过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3即FM=CF因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米答：阴影部分的面积是4平方厘米，故答案为：4．共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
分角定理：在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
角定理:在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。
逆定理：如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。
角定理定理的推论：在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
定理容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为高线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=BC2/2+2AI2重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。
（三角形的重心是各中线的交点，）共边定理设直线AB与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM（有一条公共边的三角形叫做共边三角形）共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证证法2：S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB+1)×S△PMB=(AM/BM+1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM+1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=△QAB，则PB∥AQ射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
是数学图形计算的重要定理。
概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·DCAB²=AC·ADBC²=CD·AC由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
射影定理的推广证明欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。
(即COSθ=S射影/S原）。
”设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）若已知二面角其中一个半平面某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值。
折叠角公式（又名：三余弦定理）：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是锐角）通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面直线成的最小角．蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆弦是不必要的，可以移到圆外。
1）在椭圆中如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（b>r>0）。
（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2>0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4>0）。
求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+证明过程图片x4)为①式，两边同取倒数，得为1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’将①’两边同乘以k1·k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与②’完全一样。
这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。
思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
2）在圆锥曲线中通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。
又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。
3）在平行四边形中在平行四边形中，，M为对角线AB与CD点。
4）坎迪定理去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为「坎迪定理」，这对2，3均成立。
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理的所有情况图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，易证图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此。
所以PA=PC，所以综上可知，是普遍成立的。
塞瓦定理指在△ABC任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
即是BD*CE*AF=DC*EA*FB梅涅劳斯定理：当直线交三边所在直线于点时，推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。