矩阵初等变换
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。
矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。
本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。
首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。
矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。
矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。
矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。
特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。
矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9B=A+2*R2+R31 2 3 4 54 7 10 13 167 11 15 19 234 5 6 7 85 6 7 8 9行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。
列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即： A：1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9B=A+2*C1-C4-C51 2 3 2 1 0 72 3 4 -2 -3 5 83 4 5 -2 -3 6 9列变换可以用于转换特定的矩阵形式，如获得对称矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵等。
行列式变换通常指的是改变矩阵的行或列，以改变矩阵的行列式的值。
例如，给定一个矩阵A，其中有相同的元素，将第1行减去第2行，第3行减去第2行，可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 41 2 3 41 2 3 4B=A-R20 0 0 00 0 0 00 0 0 0行列式变换可以用来计算行列式的值，也可以用于转换矩阵的特定形式，如转置、依赖度等。
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
第三讲矩阵的初等变换
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
E A 1
以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A，
a11 E m ( i ( k )) A kai 1 a m1
a12 kai 2 am 2
a1n kain 第 i 行 amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri k )；
对于任何矩阵 mn , 总可经过有限次初等行 A 变换把他变为行阶梯形 和行最简形 .
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
1 0 B5 0 0 1 c3 c4 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 4 1 c c c 1 0 1 3 4 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0
r1 2r3
r2 5r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
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1
1
，
i行
k
1
j行
1
I（i(k)，j） I（i, j(k)） 1
消法矩阵可逆。
2020/6/19
注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。
（1）I（i, j）1 I（i, j）
(2) I（i(k )）1
I（i(
1 k
)）
(3)I（i(k)，j）1 I（i, j(k)）1
I（i(k)，j） I（i, j(k)）
6
16
0 3 3 9
2020/6/19
1 0 10 3 24
0 1 5 1 12
0 0
0 0
0 1
7 1
28 3
1 4
5 10
1 0 0 13 54
0 1 0 6 27
0013 00 6
0
1
1
1 1
4 3
2020/6/19
1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。
1
（1）对换矩阵
I（i,
j）
0
1
，i行
1
0
j行
1
I（i, j） 1 对换矩阵可逆。
2020/6/19
（2）倍法矩阵
1
I（i (k )）
k
，
i行
1
I（i(k)） k 倍法矩阵可逆。
2020/6/19
（3）消法矩阵
I（i(k)，j） I（i, j(k)）
2 0
4 7
43 倍法104
28 28
2182
消法104
0 28
16 12
倍法
1 0
0 1
8 7
3 7
2020/6/19
（3）消法 2
x1 7
4x2 x2 3
4倍 法 14
x1 28x2 28 28x2 12
消法
2184xx21
16 倍 法 12
x1
8 7
x2
3 7
2020/6/19
Rm1
Rm1
R21R11 A R21R11I
I A1
AI
行变换 I A1
n2n
2020/6/19
例
1 1 2
设A
1
2
0
,
求A1。
1 1 3
解
1
（A I） 1
1 21
1
2 00
0 1
0 0
1
1
30
0
1
2020/6/19
1 1 2 1 0 0
0 3 2 1 1 0
2020/6/19
性质1
设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于左乘对应的m阶初等矩阵， 对A施行一次初等列变换，相当于右乘对应的 N阶初等矩阵。
2020/6/19
性质2
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…PL,使得：
A=P1P2…PL
2020/6/19
定理1 (ⅰ)A行等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P
3
若AX B，求X。
2 1
，
1
2020/6/19
解
法1 先求A的逆，再求 X A1B
法2 初等变换法
Rm1 R21R11I A1 Rm1 R21 R11B A1B
A B 初等行变换 I A1B
2 2
X 3 1
1
1
2020/6/19
例 解线性方程组
x1 2 x2 x4 0
1 2 1 2
例
设A
2 4 1
1 1 1
4 2 1
5 1 1
, 求A1。
2020/6/19
解
21
2
4
1 21
1
0
0
0
1 2 1 2 1 0 0 0
（A
I）
2 14
1 1 1
4 2 1
5 0 1 0 0 0
10 10
0 0
1 0
10
0 0
36
96
3
12
9 2 1 0 0
2. A 初等变换 B A ~ B.
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
2020/6/19
五、小结与思考
4.初等变换求逆法（重要）
2020/6/19
思考题： P78 2T
2020/6/19
0 0 17 0
1 0 0 0 1 0
0 0 0
2020/6/19
（2）A
0 1
2 1
21
1 0
1 2 1 1 2 2 1 0 2 1
1 1 1
1 1 1
0
0
2
1
1 0
1 2
0 0
1 2
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 011
0 0 1
使：PA=B;
(ⅱ)A列等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵Q,
使：AQ=B;
(ⅲ)A等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,
n阶可逆矩阵Q, 使：PAQ=B;
2020/6/19
定理1 说明了矩阵可经初等变换直接判定是
否可逆。
（1）若A D I，则A可逆；
（2）若A D I，则A不可逆。
一般地，对矩阵进行初等变换，由不同
类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如
方阵
三角阵,对角阵
标准形（不可逆）
单位阵（可逆）
非方阵 阶梯形 标准形
2020/6/19
三、初等变换求逆法
性质2 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积.
定理1推论 A可逆，则A 可由初等行变换化
为单位阵。
2020/6/19
求逆方法
0
0
2
1Hale Waihona Puke 12011
0
0
1 3 0
03 03 1 1
0 1 0
2
1
2
1
1 3
0
0
1 03 1 01
1
0 1 1
0
1 3 0
2
23 1
1
0
0
0 1 0
02 01 1 1
13 1
3 0
4 3 2
3 1
A1
2
1
1
13 1
3 0
4 3
2
3
1
2020/6/19
1
1 2 3
且AXB C，求X。
2020/6/19
解 若A1、B1存在，则X A1CB1 用初等行变换求得：
2 A1 1
3 2
2 1 1
3
1 3
2
，B1
2 5
31，
X
61 24 31
36 14 18
2020/6/19
例
设A
0 1
1 1
21，B
2 3
0
1
0
0 0
0
1 0 0
0 0 1
0 3
1
4
0 1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0 3
0
1
1 4
所以
2
X
A1B
3
1 4
2020/6/19
五、小结与思考
1.初等行(列)变换
1ri 2ri
k
rj
ci
ci
k ;
c
j
;
3ri krj ci kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
9 4 3 1
0 0
1 0
10
1 2 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 3
0 9
6
9 4 0 1
0
0 1 2 3 1 0 0 1
2020/6/19
全为零， A不可逆。
四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组
例
设
A
1 0
1
0 3 2
2 2 0
B
3 5
12
3
C 0
注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。
定义 若矩阵A经有限次初等变换化 为矩阵B，则称A与B等价。记为
A B（或A ~ B）
注 任何矩阵A与其标准形D等价。
2020/6/19
矩阵等价关系的性质 （1）反身性： A A （2）对称性： A B B A （3）传递性： A B，B C A C
x1 3x2 5x3 12 x2 5x3 6x4 16
x1 2 x2 3 x3 4 x4 9
2020/6/19
解 设方程的矩阵形式为 AX B
1 2 0
则
11 315
AB
0
1
5
1 2 3
1
0
1
0 6 4
12
16
9
0 10 0
20
1
0
1 52 15
1 12
2020/6/19
定理
Amn 左乘初等阵，作行变换。I（*） A Amn 右乘初等阵，作列变换。A I（*）
2020/6/19
二、矩阵的标准形
定义 mn阶矩阵的标准形
1
1
Dmn
1 0
0
0
Ir 0mrr
0 0
0rnr 0mrnr
2020/6/19
定理 任何矩阵A均可经有限次初等 变换化为标准形D。