北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
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4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
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3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
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提示
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例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
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提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
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答案
即若 a，l 确定平面 α，过 l 上一点 B 作 b∥a，则 b α. 同理，过 l 上一点 C 作 c∥a，则 c 也在 a，l 确定的平面内．∴a，b，c， l 共面． 证法二：∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α，又∵A∈a，B∈b，∴AB α， 即 l α. ∵c∥b，∴c，b 确定一个平面 β，而 B∈b，C∈c，∴BC β，即 l β. ∴b，l α，b，l β，而 b∩l＝B，∴α 与 β 重合，∴a，b，c，l 共面.
解析
(2)棱 DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直线与直线 BC′ 是异面直线．
[答案] (1)相交 (2)见解析
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解析
答案
类题通法 1判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充 分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断. 2对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确 定平面的条件.“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能 平行，也可能相交.
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[变式训练2] 已知 a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线 a，b，c 和 l 共面．
证明 证法一：如图，∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α，又∵l∩a＝A， l∩b＝B，∴l 上有两点 A，B 在 α 内，即直线 l α，∴a，b，l 共面．
∵D′E 平面 AA′D′D，P∈D′E， ∴P∈平面 AA′D′D.
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答案
又∵CF 平面 ABCD，P∈FC， ∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA′D′D 的公共点． 又∵平面 ABCD∩平面 AA′D′D＝AD， ∴P∈AD， 即 CF，D′E，DA 三线共点于 P.
∴平面 ABC1D1∩平面 A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面 ABC1D1＝Q，且 A1C 在平面 A1D1CB 内， ∴Q∈平面 A1D1CB，Q∈平面 ABC1D1， ∴Q 在两平面的交线 BD1 上，∴B，Q，D1 三点共线.
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答案
例 4 已知：平面 α，β，γ 两两相交于三条直线 l1，l2，l3，且 l1，l2，l3
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)照相机支架只有三个脚支撑，为什么？
提示：不在同一直线上的三点确定一个平面．
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提示
(2)教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？ 提示：这些公共点在同一直线上．
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答案
类题通法 证明三线共点的方法
证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然 后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于 是得到交线也过此点，从而得到三线共点．
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(2)如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，哪几条棱所在的直线与 直线 BC′是异面直线？
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[解析] (1)如图，l 上有两点 A，B 在 α 内，根据公理 2，l α，又 l β， 则 α∩β＝l.
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5．空间平面与平面的位置关系
(1)平行平面：如果平面 α 与平面 β 没有 □11 公共点 ，我们称平面 α 与
平面 β 是平行平面，记作 α∥β.
(2)相交平面：如果平面 α 和平面 β 不重合，但有 □12 公共点 ，我们称
平面 α 与平面 β 相交于直线 l，记作 α∩β＝l.
6．公理 1
答案
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例 3 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分别交平面 α 于 P， Q，R(如图)．求证：P、Q、R 三点共线．
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[证明] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α.
又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上． 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)
[学习目标] 1.理解空间中点、线、面的位置关系． 2.理解空间中平行 直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念． 3.掌握三个公 理及推论，并能运用它们去解决有关问题． 4.会用集合语言来描述点、直 线和平面之间的关系以及图形的性质.
不平行．求证：l1，l2，l3 相交于一点． [证明] 如图，α∩β＝l1，
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答案
β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
∵l1 β，l2 β，且 l1，l2 不平行， ∴l1 与 l2 必相交．设 l1∩l2＝P，
则 P∈l1 α，P∈l2 γ， ∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3 相交于一点 P.
解 直线 a 与直线 c 的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．
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答案
例 2 如图所示，已知一直线 a 分别与两平行直线 b，c 相交，求证：a， b，c 三线共面．
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[证明] ∵b∥c，∴直线 b 与 c 确定一个平面 α. 如图，令 a∩b＝A，a∩c＝B，
(2)直线与平面相交：如果直线 a 与平面 α 有且只有 □09 一个 公共点 P，
我们称直线 a 与平面 α 相交于点 P，记作 a∩α＝P.
(3)直线与平面平行：如果直线 a 与平面 α 没有 □10 公共点 ，我们称直
线 a 与平面 α 平行，记作 a∥α.
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【主干自填】
1．空间点与直线的位置关系
(1)如果点 P 在直线 a □01 上 (2)如果点 P 在直线 a □02 外
，记作 P∈a. ，记作 P∉a.
2．空间点与平面的位置关系
(1)如果点 P 在平面 α □03 内 (2)如果点 P 在平面 α □04 外
∴A∈α，B∈α，∴AB α. 即 a α，∴a，b，c 三线共面．
答案
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类题通法 证明点线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定 平面 β，最后证精练
[变式训练3] 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，设线段 A1C 与平 面 ABC1D1 交于 Q，求证：B，Q，D1 三点共线．
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证明 ∵D1∈平面 ABC1D1，D1∈平面 A1D1CB，B∈平面 ABC1D1，B∈ 平面 A1D1CB，
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[变式训练1] (1)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BB1 和 BC 的中 点分别是 E，F，各棱所在的直线中与直线 EF 异面的条数是( )
2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §4 4.1 4.2 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)课件PPT
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形的公理课件(北师大版)
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
北师大版高中数学必修二第一章4空间图形的基本关系与公理第1课时
§4 空间图形的基本关系与公理第1课时空间图形的基本关系与公理1～公理3 问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面( )．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．3．下列说法正确的是( )．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A 的交点．求证：O1，M，A三点共线．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l ∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流 3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC在平面α内．活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D 2．D 3．D 4．B5．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C 1平面A1C1CA，B1D 1平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A1C∩平面AB1D1＝M，A1C平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A三点共线．信达。
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理一课件北师大版必修2
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
•学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重 点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、 平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理 及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难 点)．
• 知识点一 点、线、面之间的位置关系 • 一些文字语言与数学符号的对应关系：
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
异面直线 不同在 任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线
• 【预习评价】
• (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？
• 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α.
• (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪 些位置关系？
• 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或 不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面 外．
•∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平 面β内．
•∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
• 方向2 点共线问题
• 【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 • 中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
• DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q， • 求证：D、A、Q三点共线．
•解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1， BB1，DD1. •答案 C
考查 方向
题型三 平面性质的应用
• 方向1 共面问题
• 【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
•
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
• l2、l3在同一平面内．
• 证明 方法一 (纳入平面法)
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
11/14/2024
19
单击此处编辑母版标题样式
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
11/14/2024
29
单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11/14/2024
• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、 线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2：空间图形的公理 思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的 基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3课件北师大版必修2
考点三 点共线问题 [典例] 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分 别交平面 α 于 P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R 三点共线．
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.∴由公理 3 可知， 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上．同理可证 Q，R 也在 平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P，Q，R 三点共线．
第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3
一、预习教材·问题导入 预习课本P22～25，思考并完成以下问题
(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？ (2)空间图形的公理 1，公理 2，公理 3 的内容是什么？各有
什么作用？
二、归纳总结·核心必记
1．空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 ①点B在直线l上： B∈l ； ②点B在直线l外： B∉l . (2)点与平面的位置关系 ①点A在平面α内：A∈α ； ②点B在平面α外： B∉α . [点睛] 通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直 线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于 将图形视为点集．
2．空间图形的公理
公理
内容
过不___在__一__条__直__线___上_
公理1 的三点，有且只有 一个平面
如果一条直线上的
公理2
_两__点___在一个平面 内，那么这条直线
在此平面内
图形
符号
作用
A，B，C三点 用来确 不共线⇒存在
定一个 唯一的α使 平面 A，B，C∈α
A__∈__l，B∈l， 且A∈α，B∈α
[点睛] 公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．
三、基本技能·素养培优