08-09(1)概率试题(B卷)答案

广州大学 2008---2009 学年第 一 学期考试卷
概率论与数理统计参考解答与评分标准
一. 填空题（每小题3分，共计15分）
1．设A ，B ，C 表示三个随机事件， 则三个事件至少有一个发生表示为A B C 2．设A 与B 互不相容，()04.P A = , ()05.P B =, 则()P A B = 09. 3．设X 为连续型随机变量, a 为某个常数， 则()P X a ==0 4．设X 服从二项分布(10,02).B ，则2()E X = 56.
5．设X 与Y 相互独立，且()3D X =，()2D Y =，则(2)D X Y += 14 二．单项选择题（每小题3分，共计15分）
1．设Y X ,为随机变量，则事件{1,1}X Y <≤的逆事件为【 A 】 （A ）}1{}1{>≥Y X （B ）{1,1}X Y ≥> （C ）{1,1}X Y ≥≤ （D ）{1,1}X Y <>
2．设A 、B 是随机事件，且B A ⊂，()0P B >，则下列式子正确的是【 B 】. （A ）()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤
（C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥
3．设随机变量X 的分布律为()2
k c
P X k ==
,（0,1,2,3,4k =），则c =【 D 】 (A ) 12 (B ) 1615 (C ) 1 (D ) 1631
4．设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为06.和05.,
则目标被击中的概率是【 C 】
(A ) 01. (B ) 03. (C ) 08. (D ) 06. 5. 设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是【 B 】 （A ）X 与Y 相互独立 （B ）()D X Y DX DY -=+ （C ）()D X Y DX DY -=- （D ）()D XY DX DY =⋅ 三．解答下列各题（每小题8分，共计24分）
1．设一口袋装有5只红球及2只白球，从袋中任取一只球，看过颜色后放回袋中，
再从袋中任取一只球，求下列事件的概率：
（1）第一次、第二次都取到红球 （2）取出两只球中一只是红球, 一只是白球 解：（1）设A 表示第一次、第二次都取到红球，
5525
()7749
P A ⨯=
=⨯ ……………………………………………… 4分
（2）设B 表示取出两只球中一只是红球, 一只是白球
522520
()7749
P B ⨯+⨯==⨯ ………………………………………… 8分
2．某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第1车间产品的合格率为085.，
第2车间的产品合格率为088.，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库中， 假设第1、2车间生产的成品比例为23：，今从成品仓库中随机取一件产品， 求该产品是合格品的概率
解：设1A 、2A 分别表示第1、2车间的产品，
B 表示取到的产品为合格品
则12B A B A B = 由全概率公式
2
1()()(|)k k k P B P A P B A ==∑………………………………………… 3分
23
08508855
..=⨯+⨯
0868.=…………………………………………………………8分
3．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，且(1)(2)P X P X ===，
求（1）λ的值 （2）(1)P X ≥ 解：（1）X 的分布律为()(0,1,2,)!
k
P X k e k k λ
λ-==
= ……………2分
2
(1)(2)
1!
2!
e P X P X e λ
λ
λ
λ--=====
得2λ= ……………………………………………………………4分 （2）(1)1(1)P X P X ≥=-<1(0)P X =-=……………………………6分
02
22110!
e e --=-=- ………………………………………8分
四．解答下列各题（每小题8分，共计16分） 1．已知X 的分布律为
(1) 求2Y X =的分布律 (2) 求X 的数学期望与方差 解：
X
………………………………4分
（2）()21/6(1)2/601/612/61/3E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯=-………………6分
2
2
2
2
2
()(2)1/6(1)2/601/612/64/3E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯=
2
2
()()(())4/31/911/9D X E X E X =-=-=…………………………8分
2．设随机变量X 的密度函数为cos 02
() 0 k x x f x π<<⎧=⎨⎩其 它,
（1）求常数k （2）求X 的分布函数()F x 解：（1）/2
1()cos f x dx k xdx k π+∞-∞
===⎰
⎰
得1k =……………………………4分
（2）0 0 0
()()cos 0/2 1 /2
()x
x x F x P X x x dx x x f x dx ππ-∞
<⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩=⎰⎰…………………6分
s i n 0/2 1 /2x x x x ππ<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
…………………………………………………8分
五．（本题8分）设随机变量X 的密度函数为2100
100()0 x f x x ⎧>⎪
=⎨⎪⎩其 他
Y 表示对X 进行三次独立重复观测中事件{150}X >出现的次数
求（1）(150)P X > （2）(2)P Y < 解：（1）2150
1502
(150)3
100()P X dx f x dx x +∞+∞
>===⎰
⎰
………………………4分
（2）Y 服从二项分布(3,2/3)B
(2)(0)(1P Y P Y P Y <==+=……………………………………………6分
31
231
217()()3
3327
C =+⨯
⨯=…………………………………………8分
六．（本题12分）已知(,)X Y 的联合密度函数为8 01,0(,)0 x y x y x
f x y <<<<⎧=⎨⎩其 他
（1）求X 的边缘密度函数（2）求Y 的边缘密度函数（3）X 与Y 是否相互独立
解：（1）308 014 01
() 0 0 (,)x
X x y dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧<<<<⎪==⎨⎨
⎩
⎪⎩=⎰⎰其 他其 他 ………4分
（2）128 014(1) 01
() 0 0 (,)y Y x y dx y y y y f y f x y dx +∞
-∞
⎧<<⎧-<<⎪
=
=⎨⎨⎩
⎪⎩=⎰⎰其 他其 他 ……8分
（3）由于12121
(1/2)(3/4)21632
X Y f f ⋅=⨯= (1/2,3/4)f =
得(1/2,3/4)(1/2)(3/4)X Y f f f ≠⋅
所以X 与Y 不相互独立 ……………………………………………………12分
七．（本题10分）公共汽车的车门高度是按男子与车门碰头的机会在1%以下来设计的，设男子身高服从2(170,6)N 的正态分布（单位：cm ）, 问车门的高度应是多少?
附：标准正态分布数值表
2/2()
z u z du -Φ=⎰
解：设男子身高为X 厘米，车门高度为h 厘米，由题意2~(170,6)X N
()1%0.01P X h ><= ……………………………………………3分 ()1()1001099..P X h P X h ≤=->>-= 170
(
)0996
.h -Φ> …………………………………………………6分 查表得(2.32)0.9898Φ=，(233)099..Φ=01
所以
170
2336
.h -≥ 得623317018398..h ≥⨯+=（厘米） 车门的高度应高于18398.厘米 ……………………………………10分。