求函数自变量取值范围应注意的问题
如何确定函数自变量的取值范围
如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围历来是中考的热点问题之一，考题中多以填空、选择形式出现，现在将常见的几种类型及解法归纳如下，以供同学们参考。
一、 自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义。
1、函数关系式是一个含有自变量的整式或奇次根式时，自变量的取值范围是全体实数。
例1、函数y=15-x 21的自变量取值范围是 。
解析：由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数。
2、当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。
例2、（07哈尔滨）函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 。
解析：43--x x 是分式，由分母x-4≠0得x≠4,所以x 的取值范围是x≠4。
3、当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数。
例3、（07武汉）在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、x≥－1B 、x≠1C 、x≥1D 、x≤1解析：此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x-1≥0，所以x≥1。
故选C 。
4、当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解。
例4、（07芜湖）函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A 、 x ≥1- B 、 x ≠3 C 、 x ≥1-且x ≠3 D 、 1x <-解析：自变量x 同时含在分式、二次根式中，所以x 的取值范围是它们的公共解。
列不等式组得⎩⎨⎧≠-≥+0301x x 解得x≥－１且x≠3。
故选C 。
二、 自变量的取值必须使实际问题有意义。
当函数关系式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围既要使函数表达式有意义，也要同时使实际问题及几何问题有意义。
例5、已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： 。
自变量的取值范围
自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是研究函数时经常会遇到的问题，可能有些同学由于思考不全面等原因，往往出现顾此失彼的错误。
一、只考虑部分，而忽视了整体例1 求函数4y x =-的自变量x 的取值范围。
错解：由x+5≥0，得自变量x 的取值范围是x ≥-5。
14x -有意义的条件，即40x -≠。
正解：欲使函数y =有意义，则5040x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥-5且x ≠-4。
所以此函数自变量的取值范围是x ≥-5且x ≠-4。
二、只考虑一部分，而忽视了另一部分例2 求函数213x y x-=+-+的自变量x 的取值范围。
错解：由-3+x ≠0，解得自变量x 的取值范围为x ≠3。
错解剖析：错解中只考虑了213x x--+这一部分有意义的条件，而忽视了x 的取值。
正解：要使213x y x -=+-+有意义，则3010x x -+≠⎧⎨-≥⎩，解得x ≥1且x ≠3。
三、只考虑解析式有意义，而忽视了问题本身的意义例3 等腰三角形的周长为20cm,若设一腰为xcm ，写出底边y(cm)与腰长x （cm ）的解析式，并求出自变量x 的取值范围。
错解：y 与x 的函数解析式202y x =-，自变量x 的取值范围是全体实数。
错解剖析：错解中只考虑202x -有意义的条件，而忽视了问题本身的几何意义。
正解：y 与x 的函数解析式202y x =-。
因为0x >，0y >，又有三角形任意两边之和大于第三边，可得到不等式组02020202x x x x x >⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得510x <<。
所以函数自变量x 的取值范围是510x <<。
函数自变量取值范围
函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
(完整版)如何求实际问题中自变量取值范围
如何求实际问题中自变量取值范围一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑, 卜面举例说明.、用静止的观点求自变量的取值范围.由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题.学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求.从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则：1 .尊重事实.现实世界，“人数” “字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实.例1设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系及x的取值范围.解：y=0.14x+0.20, x 取正整数.例2矩形周长20, 一边长x,面积为y,试写出y与x关系及x取值范围.解：y=10x —x2, 一边长为x,另一边长为10—x,由于边长不能为负，则x>0, 10-x>0, -0<x<10.2,遵循定律公理等.例3等腰梯形腰长和底长均为x,下底长y,其周长为20,写出y与x之间函数关系及x的取值范围.解：y=20— 3x,根据两点间距离线段最短，有：x+x + x>y, 即叙>20-3弘，门〉可，又:边长不能为负加H>0,y>05J.20例4等腰三角形腰长x,底边长y,周长30,写出y与x的函数关系及自变量的取值范围.解：y=30— 2x,因三角形两边之和大于第三边，x+x>y,即2H>3。
- .又丁边长为正数，y>0,2丈>0, x<15. /.3.符合题目要求例5 一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度（不超过22厘米）与所挂重物质量成正比.如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米.求弹簧总长y 与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围.解：y=12+0.5x,因为最长伸长y不超过22厘米，「. 12+0.5x&22, x<20,又,. x>0, ；x的取值范围是0<x<20.二、用运动变化的观点求自变量取值范围.1.让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值.例6等腰三角形底角为x,顶角为y,写出y与x之间函数关系及x取值范围.解：y= 180° -2x,我们让x变大，x不可大到90° ,让x变小x不能小到0° , 这里0°就是x的临界值，「. x的取值范围是0° <x<90 .例7拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y （千克）与使用时间t（小时）之间函数关系及自变量的取值范围.解：y=54— 6t.当拖拉机不使用时，t=0;开始使用，t在增加，y在减小，至U 油耗干时，y= 0, 54—6t=0, t=9,这里，0和9是它的最大值和最小值.一•t 的取值范围是0<t<9.2.让动点动起来.例8如图L在边长为Q的正方形ABCD一边BC上有一点P,从B点运动到C点，设PB = x,四边形APCD面积为y,写出y与x之间的函数关系及x 的取值范围.卸解；y= --z + 2,让P从B点运动到。
(完整版)如何求实际问题中自变量取值范围
如何求实际问题中自变量取值范围一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑，下面举例说明．一、用静止的观点求自变量的取值范围．由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题．学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求．从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则：1．尊重事实．现实世界，“人数”“字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实．例1设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围．解：y＝0.14x＋0.20，x取正整数．例2矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围．解：y＝10x－x2，一边长为x，另一边长为10－x，由于边长不能为负，则x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10．2．遵循定律公理等．例3等腰梯形腰长和底长均为x，下底长y，其周长为20，写出y与x之间函数关系及x的取值范围．解：y＝20－3x，根据两点间距离线段最短，有：x＋x＋x＞y，例4等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围．解：y＝30－2x，因三角形两边之和大于第三边，∴x＋x＞y，3．符合题目要求例5一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比．如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米．求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围．解：y＝12＋0.5x，因为最长伸长y不超过22厘米，∴12＋0.5x≤22，x≤20，又∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤20．二、用运动变化的观点求自变量取值范围．1．让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值．例6等腰三角形底角为x，顶角为y，写出y与x之间函数关系及x取值范围．解：y＝180°－2x，我们让x变大，x不可大到90°，让x变小x不能小到0°，这里0°就是x的临界值，∴x的取值范围是0°＜x＜90°．例7拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围．解：y＝54－6t．当拖拉机不使用时，t＝0；开始使用，t在增加，y在减小，到油耗干时，y＝0，54－6t＝0，t＝9，这里，0和9是它的最大值和最小值．∴t 的取值范围是0≤t≤9．2．让动点动起来．B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．例9如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．从靠近C点向D点靠近时，Q沿BC延长线上迅速远离C点，x则由大变小，∴0＜x＜b．3．让某部分图形整体移动．例10如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．逐渐提起，A点仍不离ON，并向左推动，此过程x在减小，当AB竖立在ON 线上时，x＝0，∴0≤x≤a．例11如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，则x与y之间函数关系式是[ ]＝0°，不符合题意．在∠ADE向下平移过程中，x在增大，当顶点D到达C处，且∠BDE＝∠B，x＝4，故0＜x≤4，故选(C)．总而言之，求实际问题中的自变量取值范围，如果用静止观点研究，必须遵守三条原则，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．当然，对于此类问题，有时也可动静结合综合考察．。
函数自变量的取值范围问题
函数自变量的取值范围问题二、方法剖析与提炼例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？ ⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷xx y 32+=； ⑸0)3(-=x y【解答】⑴x 的取值范围为任意实数；⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为21≠x ；⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为34≥x ；⑷⎩⎨⎧≠≥+0302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3．【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ． ⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解．⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ．【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可．【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数． 例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆．y =400x +280（6-x ）=120x +1680∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680⑵∵⎩⎨⎧≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴⎩⎨⎧≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子． 例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ；自变量x 应满足⎩⎨⎧≥>-005x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5．【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实图1际问题有意义．例4．若等腰三角形的周长为20cm ，请写出底边长y 与腰长x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【解答】y =20-2x∵⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥y x x y x 00，∴⎪⎩⎪⎨⎧->>-≥x x x x 220202200，∴⎪⎩⎪⎨⎧><≥5100x x x ，∴自变量x 的取值范围是5＜x ＜10．【解析】自变量的范围同时满足两个条件：一是，x 表示等腰三角形腰长，要求x ≥0；二是，等腰三角形底边长y ＞0；三是，三角形中“两边之和大于第三边”，即2x ＞y ．最后综合自变量x 的取值范围．【解法】自变量x 的取值要满足多个条件，根据条件列出不等式得到不同情况和答案，之后取交集．【解释】别忘记解答的最后要写出各个情况的交集． 例5．如图1，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP =x ，四边形APCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；（2）说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5．【解答】（1）x y -=4，x 的取值范围是40≤≤x ．（2）令5.1=y ，得x -=45.1， ∴5.2=x∴存在点P 使四边形APCD 的面积为1.5．【解析】（1）ABP ABCD APCD S S S ∆-=正方形四边形，其中取值范围要考虑让P 从B 点运动到C 点过程中，x 由小变大．特别的，当P 在B 处，0=x ．（2）求出的x 的值要符合x 的取值范围．【解法】几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．【解释】求实际问题中的自变量取值范围时，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．三、能力训练与拓展1．函数y =15-x 21的自变量取值范围是 ．2．函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 ． 3．在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A 、x ≥－1B 、x ≠1C 、x ≥1D 、x ≤14．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1- B ．x ≠3 C ．x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <-5．已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： ．6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳．它的平均速度为80千米/时．求汽车距沈阳的路程S (千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式，写出自变量的取值范围．7.如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．8．如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．9.如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，写出y与x之间函数关系式及x的取值范围．10.用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问长和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？1．全体实数【解析】由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数． 2．x ≠4【解析】43--x x 是分式，由分母x -4≠0得x ≠4,所以x 的取值范围是x ≠4． 3．C【解析】此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x -1≥0，所以x ≥1．故选C ．4．Ｃ。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
求函数自变量的取值范围的确定方法
求一次函数自变量取值的方法1 函数自变量取值范围的确定在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．在解答与函数有关的问题时，常常要求出函数的自变量x 的取值范围，下面我们来介绍这一类问题的解法．经典例题在函数32--=x x y 中，求自变量x 的取值范围． 解题策略2x -分子中的二次根式被开方数必须为非负数，而且分母不为0．即自变量x 为下面不等式组的解：20,30.x x -≥⎧⎨-≠⎩ 解这个不等式组便可求得自变量x 的取值范围是x ≥2，且x ≠3．画龙点睛求函数自变量的取值范围，要注意以下几点：1． 若函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数；2． 若函数的解析式是分式，自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数；3． 若函数的解析式是二次根式，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数；4． 若函数的解析式含有以上几类式子时，则应分别求出各自的取值范围，再求出它们的公共部分．举一反三1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）．（A ）2-=x y（B ）12-=x y （C ）21-=x y （D ）121-=x y2．求函数2||1--=x x y 中自变量x 的取值范围． 3．求函数1||y x =-x 的取值范围． 融会贯通4．若函数25(2)34kx y k x k+=++-自变量x 的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围．参考答案1．C ．在四个选择分支A 、B 、C 、D 中，它们的自变量x 的取值范围依次是x ≥2，x ≥12，x >2，x >12．故选C ．2．由不等式组10,||20,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得x ≤1， 且x ≠-2．3．由不等式1-|x |>0，得|x |<1，于是-1<x <1．4．要使函数自变量x 的取值范围是一切实数，就必须使分母不等于0．(1)当k =0时，分母等于3；(2)当k >0时，k (x +2)2≥0，要使分母不等于0，就应有3-4k >0，k <34，于是有0<k <34；(3)当k <0时，k (x +2)2≤0，要使分母不等于0，就应有3-4k <0，于是有k >34，这与k <0矛盾．综上所述，k 的取值范围是0≤k <34．。
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明，函数的取值范围是指使此式有意义的实数 X 的集合。 1、对于整式，一切实数都使式子有意义 例 1 试解定函数 y x 2 2x 3 自变量 X 的取值范围。 解： 由于此式不论 X 取什么实数都有意义， 所以 X 的取值 范围为（ ， ） ； 2、对于分式，应取使分母不为 0 的实数 例 2 试解定函数 y
∴函数自变量的取值范围为 (1/ 2.0) (0,1/ 2) 8、不能随意化简函数，否则将改变其函数关系 例 8 求下列函数的自变量取值范围 ⑴ y x. sin x
x
⑵y
( x 2) 0 1 1 1 1 x
解：⑴根据分式函数要求，有 x 0 ∴函数自变量的取值范围为 (,0) (0,) 注：此小题中，不断随意约去
1 自变量 x 1
X 的取值范围
解：由于分式的分母不能为 0，所以函数自变量 X 的取值
1
范围为，即 x
x 1 0 ，即x x 1
3、对于偶次根式，应取使被开方数为非负实数；对于奇 次根式，被开方数应为任意实数 例 3 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
4 x2
⑵ y 3 4 x2 解：⑴要使函数有意义，必须 4 x 2 0 ， 即 2 x 2 ，函数自变量取值范围为 x
x / 6 k / 2, k z ，即 x / 3 k
∴函数自变量的取值范围为 x | x / 3 k , k z 7、若上述几种情况同时出现，要判断好函数的类型，分 别找出它们的自变量取值范围， 取公共部分为所求的自变量取 值范围。 例 7 求下列函数的自变量取值范围 ⑴y
＜x＜ 2 或 x＞ 2 可得 1
函数自变量取值范围为( 1， 2 2， 5、对于指数式，注意 0 0 没有意义 例 5 求函数 y x 2 10 的自变量取值范围
2
解：要使函数有意义，必须 x 2 1 0 ，即 x 1 ，所以函数 自变量取值范围为 x | x 1 6、对于三角函数、反三角函数，要根据各个函数的自变 量取值范围确定，正弦函数、余弦函数、反正切函数和反余切 函数的自变量取值范围为实数集， 反正弦函数和反余弦函数的 为 x 1， 1 ，正切函数的为 x | x k / 2，k
x | x k , k z
z ，余切函数的为
例 6 求下列函数自变量取值范围 ⑴ y 3 arccos(2 3x) ⑵ y tan(x / 6) 2 解：⑴要使函数有意义，必须
1 2 3x 1, 即 1 / 3 x 1
∴函数自变量的取值范围为[1/3，1] ⑵要使函数有意义必须
(1,3 / 4) (3 / 4, 2 / 2) ( 2 / 2,1)
2 /2或 2 /2 ＜x＜1
⑵要使函数有意义，必须
32 4 x ＞ ＞ 2x 1 2x 1 1 1 2 x 1
即
x＜ 5 / 2 x＞ 1 / 2 x0 1 / 2 x 1 / 2
y xinx( x (,)) 是不相同的函数关系。
x,
y
x. sin x x
与
⑵要使函数有意义，必须
4
x20 x0 1 1/ x 0 1 1 0 1 1 x
解得 x 2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0 ∴函数的自变量取值范围
x | x 2 且 x 1 且 x 1 / 2 且 x 0
注：如果把分子视为 1，分母视为，则原函数变为，可得， 显然，此函数与原函数是两个相同的函数关系到。 二、
5
2 x 2
⑵不论 X 取什么实数， 函数都有意义， 所以函数自变量取 值范围为（ ， ） ； 4、对于对数式，应取使真数＞0，底数＞0 且底数≠1 的 实数 例 4 求下列函数为自变量取值范围 ⑴ y 1oga ( x 2 2x) ⑵ y 1og x12 分析：⑴由 x 2 2 x＞0 ，可得 x＜ 0 或 x＞ 2，函数自变量取值范 围为 ， 0 2， ⑵由 x 1＞ 0 且 x 1 1
求函数自变量取值范围应注意的问题
函数是中学数学中一个十分重要的内容， 从初等代数函数 （如正比例函数、反比例函数、一次函数与二次函数）到初等 超越函数（旭幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三 角函数） ，内容丰富，其地位举足轻重。因此求函数自变量取 值范围（即为函数定义域）问题显得尤为重要。求函数自变量 取值范围就是求使函数成立的自变量 X 取值的集合， 一般用集 合表示法，区间表示法、不等式表示法表示，求函数自变量取 值范围通常转化为解不等式或不等式组， 本文将从以下几个方 面探讨求函数自变量取值范围应注意的问题。 一、关于纯数学问题 如果所研究的函数 y
1og0.5 (1og2 x 2 1) ( x 1) 0 4x 3
3
⑵ y 1og2 x1 (32 4 x ) arcsin2x 解：⑴要使函数有意义，必须
1og 0.5 (1og2 x 2 1) 0 4x 3 0 x 1 0
解得 1 x＜ 3 / 4 或 3 / 4＜x＜ ∴函数自变量的取值范围为