第4章控制网平差
测绘数据处理-自由网平差
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在 值。
6
和
求定未知参数的最佳估
2014年4月3日星期四
由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的 限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因 此得到了不同的解向量。 由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
2014年4月3日星期四
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘 的条件 （3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
下求定未知参数的最佳估值。 和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。 （4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即 (s>d) (1-7-7)
31
（1-7-46） 式中， ，。 因为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程做适当变动。 将（1-7-46）中的第二个方程左乘 后再加到第一个方程上去， 既得变形后的法方程为 （ 1-7-47） 式中，，。 解法方程，得 （1-7-48） （1-7-49） 可以证明,当 满足条件时，联系数向量K必等于零。故式可简化为 （1-7-50） 代入式（1-7-45），可求得V，即可求得各未知参数的平差值 。
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据 知参数的平差值 要满足BG=0的条件，还要满足条件 (1-7-17) 也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，是的满足式(1-717)所述条件。
平差软件计算说明
由观测数据到平差成果用平差易做控制网平差的过程第一步：控制网数据录入第二步：坐标推算第三步：坐标概算第四步：选择计算方案第五步：闭合差计算与检核第六步：平差计算第七步：平差报告的生成和输出作业流程图：向导式平差向导即是按照应用程序的文字提示一步一步操作下去，最终达到应用目的。
PA2005提供了向导式平差，根据向导的中文提示点击相应的信息即可完成全部的操作。
它对PA2005的初学者有着极大的帮助，建议PA2005的初学者先应用向导来熟悉PA2005数据处理的全部操作过程。
本平差向导只适用于对已经编辑好的平差数据文件进行平差。
向导式平差的应用向导式平差需要事先编辑好数据文件，这里我们就以demo中的“边角网4.txt”文件为例来说明。
第一步：进入平差向导首先启动“南方平差易2005”，然后用鼠标点击下拉菜单“文件\平差向导”。
如下图“平差向导”所示：平差向导请注意平差向导的中文提示和应用说明，并依据提示进行。
第二步：选择平差数据文件点击“下一步”进入平差数据文件的选择页面。
如下图“选择平差数据”所示：选择平差数据点击“浏览”来选择要平差的数据文件。
所选择的对象必须是已经编辑好的平差数据文件，如PA2005的Demo中“边角网4”。
对于数据文件的建立，PA2005 提供了两种方式，一是启动系统后，在指定表格中手工输入数据，然后点击“文件\保存”生成数据文件；二是依照附录A中文件格式，在Windows的“记事本”里手工编辑生成。
打开数据文件点击“打开”即可调入该数据文件。
如下图“调入平差数据文件”所示：调入平差数据文件第三步：控制网属性设置调入平差数据后点击“下一步”即可进入控制网属性设置界面，如下图：该功能将自动调入平差数据文件中控制网的设置参数，如果数据文件中没有设置参数则此对话框为空，同时也可对控制网属性进行添加和修改，向导处理完后该属性将自动保存在平差数据文件中。
点击“下一步”进入计算方案的设置界面。
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
高程控制网平差
i
i
i
h h V 改厕厕短的改正数， 代入上式，得：
i
i
i
V1 V2 V3 V4 W 0
W H A h1 h2 h3 h4 H B
1.附合水准路线的条件数和条件方程式组成
观测值5个，待定水准点2 个，所以条件有3个，可 以列出3个条件方程：
h1
H B h1 h2 H A 0
V 1 V 3 V 2 W a 0 V 2 V 4 V 6 W b 0 V 4 V 5 V 3 W c 0
(二)观测值权的确定：
1.各水准路线都进行了往返观测，每公里水准路线的观测中误差为 ，
则m：i
R mi2
1 4n
n i
2 i
i
式中，为测往返测高程不符值，以mm为单位；R为测段长度，以km为单位；n
H A h2 h3 h5 H D 0
H B h1 h3 h4 H C 0
一般以1个已知点为起点，其它已知点为终点，所构成的附合 水准路线为已知点数减1，这样可以列出的条件方程式为已知 水准点个数减1.
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组成
从一个水准点出发，经过若干水准测段，又回到该 水准点，这样的水准路线称为闭合水准路线。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
基于MATLAB的控制网平差程序设计--第四章源代码
chkdat函数（72页）function [n1,k]=chkdat(sd,pn,n1)n=length(n1);k=0;for i=1:ni1=0;for j=1:sdif(n1(i)==pn(j))i1=1;n1(i)=j;break;endendif(i1==0)% fprintf(fit2,'%5d %5d\n',i,n1(i)k=1;endendreturnreadlevelnetdata函数（73页）function [ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s]=readlevelnetdata global filename filepath;global ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s k11 k12;k1=[];k2=[];h=[];s=[];[filename,filepath]=uigetfile('*.txt','选择高程数据文件');fid1=fopen(strcat(filepath,filename),'rt');if(fid1==-1)msgbox('Input File or Path is not correct','Warning','warn');return;ended=fscanf(fid1,'%f',1);dd=fscanf(fid1,'%f',1);sd=ed+dd;gd=fscanf(fid1,'%f',1);pn=fscanf(fid1,'%f',sd);h0=fscanf(fid1,'%f',ed);h0(dd+1:ed+dd)=h0(1:ed);heightdiff=fscanf(fid1,'%f',[4,gd]);heightdiff=heightdiff';k1=heightdiff(:,1);%起点k2=heightdiff(:,2);%终点k11=heightdiff(:,1);%起点k12=heightdiff(:,2);%终点h1=heightdiff(:,3);%高差s=heightdiff(:,4);%距离fclose('all');%点号转换[k1,k01]=chkdat(sd,pn,k1);[k2,k02]=chkdat(sd,pn,k2);h0(1:dd)=20000;ie=0;while(1)%计算近似高程for k=1:gdi=k1(k);j=k2(k);if(h0(i)<1e4&h0(j)>1e4)h0(j)=h0(i)+h1(k);ie=ie+1;endif(h0(i)>1e4&h0(j)<1e4)h0(i)=h0(j)-h1(k);ie=ie+1;endendif(ie==dd)break;endendh0=reshape(h0,length(h0),1); returnbm1函数（75页）function id=bm1(gd,dd,k1,k2)%计算一维压缩存放的数组idid=[];for i=1:ddk=i;for j=1:gdi1=k1(j);i2=k2(j);if(i1==i&i2<k)k=i2;endif(i2==i&i1<k)k=i1;endendid(i)=k;endfor i=2:ddid(i)=id(i-1)+i-id(i)+1;endreturn一维压缩存储法方程平差（76页）global pathname filenameglobal ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s dh;p=1./s;id=bm1(gd,dd,k1,k2);mm=id(dd);a(1:mm)=0;b(1:dd)=0;for k=1:gd %形成法方程i=k1(k);j=k2(k);h1=h1(k)+h0(i)-h0(j);if(i<=dd)ii=id(i)-i;a(ii+i)=a(ii+i)+p(k);b(i)=b(i)-h1*p(k);endif(j<=dd)jj=id(j)-j;a(jj+j)=a(jj+j)+p(k);b(j)=b(j)+h1*p(k);if(i<=dd)if(i>=j)a(ii+j)=a(ii+j)-p(k);elsea(jj+i)=a(jj+i)-p(k);endendendenda=gs5(dd,a,id);%变带宽下三角紧缩存储高斯消元法dh=cy6(a,b,id,dd,1);%常数项约化与回代子程序dh(dd+1:ed+dd)=0;hm(dd+1:ed+dd)=0;for i=1:sdh(i)=h0(i)+dh(i);endvv=0;for i=1:gdL(i)=h(k2(i))-h(k1(i));v(i)=h(k2(i))-h(k1(i))-h1(i);vv=vv+v(i)*v(i)/s(i);endu=sqrt(vv/(gd-dd));for i=1:ddb(1:dd)=0;b(i)=1.0;b=cy6(a,b,id,dd,i);hm(i)=sqrt(b(i))*u;endwritelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,v',L',h0,dh',h',hm',u);gs5函数（77页）function a=gs5(dd,a,id)%变带宽高斯消去法for i=1:ddii=id(i)-i;if(i-1==0)li=1-ii;elseli=id(ii-1)-ii+1;endfor j=li:ijj=id(j)-j;if(j-1)==0lj=1-jj;elselj=id(j-1)-jj+1;endlk=li;if(li<lj)lk=lj;endfor k=lk:j-1kk=id(k);a(ii+j)=a(ii+j)-a(ii+k)/a(kk)*a(jj+k);endendendreturncy6函数（78页）function b=cy6(a,b,id,dd,k1)%常数项约化与回代子程序for i=k1:ddii=id(i)-i;if(i==1)nd=id(i);elsend=id(i)-id(i-1);ende=0;for k=1:i-1if((i-k)<nd)e=e+a(ii+k)*b(k);endendb(i)=(b(i)-e)/(a(ii+i);endfor i=dd-1:-1:k1ii=id(i);for k=i+1:ddkk=id(k)-k;nk=id(k)-id(k-1);if(k-i<nk)b(i)=b(i)-a(kk+i)/a(ii)*b(k);endendendreturn上三角存储法方程平差程序（79页）mm=(dd+1)*dd/2;a(1:mm)=0;b(1:dd)=0;for k=1:gdi=k1(k);j=k2(k);h1=h1(k)+h0(i)-h0(j);if(i<=dd)ii=(i-1)*(dd-i/2);a(ii+i)=a(ii+i)+1/s(k);b(i)=b(i)+1./s(k)*h1;endif(j<=dd)jj=(j-1)*(dd-j/2);a(jj+j)=a(jj+j)+1/s(k);b(j)=b(j)-1./s(k)*h1;if(i<=dd)if(i<j)a(ii+j)=a(ii+j)-1/s(k);elsea(jj+i)=a(jj+i)-1/s(k);endendendenda=invsqr(a,dd);for i=1:dddh(i)=0;di=(i-1)*(dd-i/2);for j=1:dddj=(j-1)*(dd-j/2);if(j<i)dh(i)=dh(i)-a(dj+i)*b(j);elsedh(i)=dh(i)-a(di+j)*b(i);endendenddh(dd+1:ed+dd)=0;hm(dd+1:ed+dd)=0;for i=1:sdh(i)=h0(i)+dh(i);endvv=0;for i=1:gdL(i)=h(k2(i))-h(k1(i));v(i)=h(k2(i))-h(k1(i))-h1(i);vv=vv+v(i)*v(i)/s(i);enduw0=sqrt(vv/(gd-dd));for i=1:ddii=(i-1)*(dd-i/2);hm(i)=sqrt(a(ii+i))*uw0;endreturn输出数据函数（79页）function writelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,v,L,h0,dh,h,hm,uw0)disp('待定点高程平差值及中误差:')disp('---点号----近似高程(m)-高程改正(m)-高程平差值(m)-中误差')[pn,h0,dh,h,hm]disp('高差观测值平差值:')disp('---点号------点号----观测高差(m)---高差改正(m)-平差高差(m)')[pn(k1),pn(k2),h1,v,L][filename1,pathname1]=uigetfile('*.txt','请选择输出文件');fid2=fopen(strcat(pathname1,filename1),'wt');if(fid2==-1)msgbox('Error by Opening Output File','Warning','warn');return;endfprintf(fid2,'待定点高程平差值及中误差：\n 点号--近似高程(m)--高程改正(m)-高程平差值(m)-中误差\n');fprintf(fid2,'%5d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n',[pn,h0,dh,h,hm]');fprintf(fid2,'高差观测值平差值:\n -点号---点号--观测高差(m)--高差改正(m)-平差高差(m)\n'); fprintf(fid2,'%5d %5d %10.4f %10.4f %10.4f\n',[pn(k1),pn(k2),h1,v,L]');fprintf(fid2,'单位权中误差：%10.4fm\n',uw0);% open(strcat(pathname1,filename1));fclose(fid2);return利用Matlab矩阵运算的平差程序（81页）function level3ticdisp('平差已经开始---->>>>')global ed dd sd pn gd h0 k1 k2 h1 s dh;[ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s]=readlevelnetdata;[dh,h,V,L,uw0,uwh,uwl]=calculatelevelnet(ed,dd,sd,gd,pn,h0,k1,k2,h1,s);writelevelnetdata(pn,k1,k2,h1,V,L,h0,dh,h,uwh,uw0); %输出水准网解算结果yunxing=toc;disp(['平差过程的运行时间为',num2str(yunxing),'秒。
测绘数据处理-自由网平差
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
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17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
2019/2/15
2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
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det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
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点号
P1 P2 P3 P4
/m
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（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
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计算器中的测量软件----道路之星操作手册 (1)
柃路园柃路园9860计算器与道路之星销售靠的是诚信与服务来经营店铺，店铺诚信服务、服务第一。
在本店铺购买后包教会道路之星安装与使用，并解决购买者任何测量问题，同时赠送各种常用软件及测量文件案例，并对新手及老手测量人员提供测量服务。
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软件分为两个部分：a.电脑端数据处理负责设计输入输出、设计成果的复核、现场采集数据的分析计算以及与计算器进行文件传输；b.计算器端施工现场计算基于Casio fx9750、fx9860、fxCG20计算器设计，负责现场的施工指导和相关数据的采集。
（一）、道路全线测设系统：将道路全线或一个标段所有数据一次性输入，主线、匝道可以存入一个文件，用路线名进行标识，一个项目文件可以包含任意多条路线。
[整理]10控制网平差计算
![[整理]10控制网平差计算](https://img.taocdn.com/s3/m/e0263d420066f5335b812169.png)
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ211⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯b a r w w W 1⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯n v v V 211⎪⎪⎪⎫⎛=⨯οοb a A o r 11⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L⎪⎪⎪⎫⎛=⨯n n p p P 000021则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
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V T P =K T A
转置后左乘 P –1 得：
V =P –1 ATK
(1)
该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。
第4章控制网平差
二、法方程式
将（1）式代入条件方程 AV +W=0 中得：
AP –1 AT K+W=0
（2）
这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值
的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 则
b i b i v bi
c i c i v ci
代入条件方程得到改正数表达的条件方程
• n个图形条件：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
第4章控制网平差
• 1个基线条件：
Σδai vai – Σ δbi vbi+wB= 0
wB
(1B2 B1
sin b)"
(1) 设C为常数阵，X为列阵，则
d(CX ) C dX
(2)设Y、Z 均为列阵，则：
d(YTZ)YT dZZT dY
dX
dX dX
第4章控制网平差
一、改正数方程
函数 Ф = VTPV － 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：
dVTP(P) V T2K TA dV
令其等于零，注意到 (PV )T = V T P，从而有：
第4章控制网平差
用改正数表达：
va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 – 180º va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 –180º va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 –180º
第4章控制网平差
一、典型三角网
1.三角锁 共有n+2个点，其中2个为起算点，n个未知点.
起算数据：(x1,y1), (x2,y2). 观测值：ai, bi, ci，B2
B1 c 1
ci
①
②
an
bn
ⓝ
a1
b1
ai
bi
第4章控制网平差
B2
cn
2.大地四边形
共有4个点，其 中2个为起算点， 2个未知点。
第4章 控制网平差
• 对于一个实际平差问题，可建立不同形 式的函数模型，相应地就有不同的平差 方法。测量中常见的控制网平差方法有 条件平差和间接平差两种。
• 本章介绍独立三角网条件平差和水准网 间接平差的原理和方法
第4章控制网平差
第一节 独立三角网条件平差
根据三角网中起算数据的多少，三角网有独 立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独 立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。 三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方 法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差 时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的 详细步骤和方法。
sina
其中：δai =ctgai ;
δbi =ctgbi ;
ρ” = 206265”
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• 2、大地四边形，
a3
b3
可以列出7个图形条件， b2
a4
但是只有 3 个是相互独
立的，其余几个可以由
这 3 个方程推导出来：
a2
b4
b1
a1
a1 b1 a2 b2 180 0 a2 b2 a3 b3 180 0 a3 b3 a4 b4 180 0
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条件方程 AV +W=0 中， 有 r 个方程，n 个未知数,且 r <n，这样 的方程组有无穷多组解。然而，根据最 小二乘准则，观测量的最或然值应该满 足VTPV=min。
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在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最 小值，这在数学中是求函数Ф=VTPV 的条件极值问题。条件平差，实际上 就是确定条件方程满足VTPV=min 的 唯一解。
a2
c2
②
ci
b2 ⓘ
ai
bi
C
D
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二、典型三角网的条件方程
1.三角锁
ai bi ci 18 00 ——图形条件
B2B1ssiinnab11ssiinnab22 ssiinnbann ——基线条件
B1
c1
①②
a1
b1
ai
ci
bi
第4章控制网平差
an
bn
ⓝ
B2
cn
将
a i a i v ai
p1
P
. . .
. . .
p2 . .
. .
... .
. pn
第4章控制网平差
显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：
1 . . .
p1
P 1
.
.
.
1 .
p2
.
. .
... .
在中点多边形中，平差时除了要满足三角
形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满
足下列条件：
ci 360 0
a1 b1 c1
ci
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ai bi
用改正数表达：
• 图形条件n个：
vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci –180º
(i = 1,2,…,n)
•圆周角条件1个： Σ vci+wo= 0 ； wo= Σ ci -360º
C
a3
b2
D
b3
a4
起算数据：
(xA ,yA), (xB , yB)
a2
观测值： a1~ a4 , b1~ b4
b1
B
S
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b4 a1
A
3.中点多边形
共有n+1个点，其中 2个为起算点，n-1个
A
a1
①ⓝE
未知点.
B b1
c1 O
起算数据： (xA , yA), (xO , yO) 观测值：ai , bi , ci
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根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘 数法则组成新函数：
Ф = VTPV－ 2KT（AV+W)
其中： K =（k1, k2，…，kr )T 是拉格朗日 乘数，测量平差中称之为联系数向量。
显然，只要令Ф对V的一阶导数等于零就 可以求出 VTPV 的极值。
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矩阵求导的两个公式：
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极条件1个:
sina1sina2sinan sinb1sinb2sinbn
10
用改正数表达：
Σ δai vai – Σδbi vbi +ws = 0 ；
其中： δai = ctg ai , δbi = ctg bi
ws
(1 sinbi ) sina 第4章控制网平差 i
"
3、中– Σ δbi vbi+ws= 0
ws (1
sinbi )"
sina 第4章控制i网平差
第二节 条件平差原理
条件方程可以写成矩阵形式：
AV +W=0
其中， • A －为r n 阶矩阵，称为系数矩阵；
• V －为n 1列阵，称为改正数向量； • W－为r 1列阵，称为闭合差向量。