2013-2014学年第一学期笔试题及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷答案） 2013 — 2014学年 第一学期
课程名称：线性代数
（共2页）
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分）已知3阶矩阵A 满足0|52|=+E A ，且1)2(=-E A R ，其中E 为为3阶单位矩阵，求矩阵A 的行列式||A . 解 由0|52|=+E A 知，A 的1个特征值为：251-=λ， 2分 由1)2(=-E A R 知A 的2个特征值为：232==λλ， 4分
所以，A 的行列式||A 10321-==λλλ. 5分
分) 问b a ,为何值时，向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a β和⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3022β与向量组
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1131α,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=b 122α等价，并将21,αα用21,ββ线性表示。

解 由于 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1311102321),,,(2121ααββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24102131202321
~b a a a
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+----a ab a b b 621111002410261101~ 1分
所以，25,111-==b a 时，21,αα与21,ββ等价. 3分 且有 211411ββα-=，21229
11ββα-=. 5分
分) 设3阶矩阵A 第一行元素与对应的代数余子式分别为111=a ， 312=a ，3,1,3,213121113===-=A A A a ，求齐次线性方程组0=Ax 的通解.
解 由已知有：0||131312121111=++=A a A a A a A , 1分 又由于011≠A ，所以2)(=A R 2分
于是，0=Ax 的解空间是1维的. 3分 又由于O E A AA ==||*,所以，T )3,1,3(是0=Ax 的解， 4分
因此，0=Ax 的通解为R c c x ∈⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=,313. 5分
2－1
(5分)设二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f可经过正交变换Qy
x=化成标准形
2
3
2
2
2
1
3
2
1
)
,
,
(y
y
y
x
x
x
f-
+
=，且Q的第三列元素为
2
1
,
2
1
,0，求正交矩阵Q和二次
型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f.
解由已知有：A的3个特征值为：1
,1
3
2
1
-
=
=
=λ
λ
λ，1分
且属于特征值1
3
-
=
λ的特征向量为T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ.
于是，属于特征值1
2
1
=
=λ
λ的特征向量与T)0,
2
1
,
2
1
(
3
=
ξ正交，故可取为：
T
)1,0,0(
1
=
ξ，T)0,
2
1
,
2
1
(
2
-
=
ξ2分
所求正交矩阵为)
,
,
(
3
2
1
ξ
ξ
ξ
=
Q 3分
二次型)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
f的矩阵为：
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
Λ
=
1
1
1
T
Q
Q
A. 4分
因此，
2
1
2
3
3
2
1
2
)
,
,
(x
x
x
x
x
x
f-
= 5分
分)设
3
2
1
,
,α
α
α和
3
2
1
,
,β
β
β是向量空间3R的两组基，且满足：
1
1
β
α=，
2
1
2
β
β
α+
=，
3
2
1
3
β
β
β
α+
+
=，若向量α在基
3
2
1
,
,β
β
β下的坐标为T)3,2,1(，求向量
α在基
3
2
1
,
,α
α
α下的坐标.
解由于
)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
2
1
1
3
2
1
β
β
β
β
β
β
α
α
α+
+
+
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
1
1
1
1
)
,
,
(
3
2
1
β
β
β1分
所以，由基
3
2
1
,
,β
β
β到基
3
2
1
,
,α
α
α的过渡矩阵为
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
1
1
1
1
C. 3分
因此，向量α在基
3
2
1
,
,α
α
α下的坐标为
=
=-x
C
y1
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
3
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
11
5分
(5分)现有电工、木工、油漆工各一人，按等价交换原则达成如下工作协议，电工
到木工家工作2天，到油漆工家工作4天；木工到电工家工作3天，到油漆工家工作2天；油
漆工到电工家工作4天，到木工家工作3天，他们各自的总收入和总支出恰好相等，求他们的
日工资各是多少？（假设他们的日工资都是介于70~90之间的整数，单位：元）.
解设电工、木工、油漆工的日工资分别为z
y
x,
,元，则有
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
y
x
z
z
x
y
z
y
x
2
4
7
3
2
5
4
3
6
，即
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
+
-
=
-
-
7
2
4
3
5
2
4
3
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
2分
由于
~
7
2
4
3
5
2
4
3
6
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
-
~
13
12
3
5
2
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
12
13
1
24
29
1
3分
所以，方程组的通解为：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
k
z
k
y
k
x
24
26
29
R
k∈. 4分
由于z
y
x,
,都是介于70~90之间的整数，所以有72
,
78
,
87=
=
=z
y
x元. 5分
2-2。