圆锥曲线分类汇编
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π
04
θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的
（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D
2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A
是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）
A ．
2
4 B ．
12
C ．
22
D ．
32
【答案】C
3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=
4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,
则L 的方程为 （ ）
A ．y=x-1或y=-x+1
B ．y=
(X-1)或y=-(x-1)
C ．y=
(x-1)或y=-(x-1)
D ．y=(x-1)或y=-(x-1)
【答案】C
4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若
||42PF =,则POF ?的面积为
（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．4
【答案】C
5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52
,则C 的渐近线
方程为 （ ）
A ．1
4
y x =±
B ．13
y x =±
C ．12
y x =±
D ．y x =±
【答案】C
6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线12
2
=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
2
1
B ．
2
2 C ．1
D ．2
【答案】B
7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于
2
1
,则C 的方程是
（ ）
A ．14
32
2=+y x B ．13
42
2=+y x C ．12422=+
y x D ．13
42
2=+y x 【答案】D
8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线2
8y x =的焦点到直线30x y -=的距离是
（ ）
A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
【答案】D
9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的
点21212,30PF F F PF F ⊥∠=?,则C 的离心率为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
10．（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221
,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为
（ ）
A ．2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 【答案】C
11．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，
,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若4
10,8,cos ABF 5
AB B F ==∠=
,则C 的离心率为
（ ）
A ．35
B ．
57
C ．
45
D ．
67
【答案】B
12．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为0
60的
直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A ．3
(
,2]3
B ．3
[
2)3 C ．23
(
,)3
+∞ D ．3
[
)3
+∞
【答案】A
13．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2
:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交
于,A B 两点,若0MA MB =,则k =
（ ）
A ．
1
2
B ．
22
C ．2
D ．2
【答案】D
14．（2013年高考北京卷（文））双曲线2
2
1y x m
-=的离心率大于2的充分必要条件是
（ ）
A ．12
m >
B ．1m ≥
C ．1m >
D ．2m >
【答案】C
15．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆
22
1441
x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=,当
点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,
M M ,则lim n n M →∞
=
（ ）
A ．0
B ．
4
1 C ．2
D ．22
【答案】D
16．（2013年高考安徽（文））直线2550x y +-+=被圆22
240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．46
【答案】C
17．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,
与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= （ ）
A ．2:
B ．1:2
C ．1:
D ．1:3
【答案】C
18．（2013年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线2
22:13
x C y -=的右焦点的
连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =
（ ）
A ．
16
3
B ．
8
3 C ．
3
3
2 D ．
3
3
4 【答案】D
19．（2013年高考浙江卷（文））如图是椭圆C1:x 2
4
+y 2
=1与双曲线C2的公共焦点
A ．
B 分别是在第二.
四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（ ）
A ．
2 B ．
3 C ．32
D ．
62
【答案】 D ．
二、填空题
20．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22
221a x y b
-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.
使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______. 【答案】13+
21．（2013年高考陕西卷（文））双曲线22
1169
x y -=的离心率为________.
【答案】
45
22．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22
:
1916
x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ?的周长为____________. 【答案】44
23．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π
4
CBA ∠=
.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.
【答案】
46
24．（2013年高考北京卷（文））若抛物线2
2y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.
【答案】2,1x =-
25．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直
线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________ 【答案】13-
（第19题图）
26．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线2
8y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点, 且
双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】2
2
13
y x -=
三、解答题 27．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为 O(0,0),焦点F(0,1)，
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于两点.若直线AO 、
BO 分别交直线l:y=x-2于两点,求|MN|的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:2
2(0)x py p =>,
且
122
p
p =?=,所以抛物线方程是: 24x y =; (Ⅱ)设22
1212(,),(,)44
x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =,
由118442M x y x x x y x ?=?∴=?-?=-?,同理由228442N
x y x x x y x ?
=?∴=?-?=-?
所以212121212
88
||11||2|
|82||44164()M N x x MN
x x x x x x x x -=+-=-=---++①
设:1AB y kx =+,由122
2
121444044y kx x x k x kx x x x y
=+?+=??∴--=∴??=-=???, 且221
21212||()441x x x x x x k -=+-=+,代入①得到:
22411
||82||82
16164|43|
k k MN k k ++==---, 设34304
t
k
t k +-=≠∴=
, ① 当0t >时
22256256
||82221224t t MN t t t
++==++≥,所以此时||MN 的最小值是22;
② 当0t <时,
2222562565316482
||8222122()2452555t t MN t t t t
++==++=++≥?=
,所以此时||MN 的最小值是
825
,此时253t =-
,4
3
k =-; 综上所述:||MN 的最小值是
825;
28．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴
长为2，离心率为
2
2
， (I)求椭圆C 的方程；(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ?的面积为
6
4
的任意两点,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值. 【答案】
将x m =代入椭圆方程22
12y x +=,得|y|=2
m -22
29．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的
距离为
2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;
(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.
【答案】(1)
依题意2
d =
=
,解得1c =(负根舍去) ，∴抛物线C 的方程为2
4x y =; (2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由2
4x y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=
-, 即21112
1
2x y x x y -+=. ∵2
114
1x y =
, ∴112y x x y -= .
∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=
. ① 同理, 20202
y x x
y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x x
y -=002
. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x x
y -=
002
,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++
联立2004220
x y x x y y ?=?--=?,消去x 得()222
00020y y x y y +-+=,
22
12001202,y y x y y y y ∴+=-= ，
0020x y --=
()2
2
220
00
0021=221AF BF y y x y y y ∴?=-++-+++ 2
20
0019=22+5=2+22y y y ?
?++ ??
?
∴当012
y =-时,AF BF ?取得最小值为9
2
30．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小
题满分9分.
如图,已知双曲线1C :2
212
x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.
(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2
2
1
2
x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【答案】
31．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2
:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛
物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2
AF
AM AN =?,求圆C 的半径.
【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-,
由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2) ，所以点C 到准线l 的距离2d =,又||5CO =. 所以22||2||2542MN CO d =-=-=.
(Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为24222
0000
()()416y y x y y y -+-=+, 即22200202y x x y y y -+-=. 由1x =-,得22
002102
y y y y -++=
设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则:
2
220002
01244(1)240212y y y y y y ??=-+=->????=+??
由2
||||||AF AM AN =?,得12||4y y = ，所以2
142
y +=,解得06y =±,此时0?>
所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2- ，从而233||4CO =,33||2CO =,即圆C 的半径为33
2
32．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2
214
x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点
(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形. 【答案】解:(I)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.
所以可设1
(,)2
A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即3t =±. 所以|AC|=23.
(II)假设四边形OABC 为菱形.
因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥OB,所以0k ≠.
由2244x y y kx m
?+=?=+?,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则
1224214x x km k +=-+,12122
2214y y x x m
k m k ++=?+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,2
14m
k +).
因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为1
4k
-.
因为1
()14k k
?-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.
33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆2
2
:(1)1M x y ++=,圆2
2
:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切
并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB . 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.
【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =. 设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.
(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以 1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=. 有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其
方程为22
1(2)
43
x y x +=≠-. (II)
对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆
心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为2
2
(2)4x y -+=; 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.
若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则
1QP R
QM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k
=+,
解得k=±
2
. 当k=2时,将y=2
x+2代入
22143
x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218
.=1+k 77
x AB x x -±=
-=所以. 当k=218=47
AB -
时，有图形的对称性可知. 综上,=23AB 或18
7
AB =
. 34．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则
134)1(2|4|222
2
=+?+-=-y x y x x . 所以,动点M 的轨迹为 椭圆,方程为13
42
2=+y x
(Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m 斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得:
2
2
1221224324
,432402424)43k x x k k x x kx x k +=?+-=
+?=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212
221212211221±=?=?+-?=??-+?+=+k k k x x x x x x x x x x 所以,直线m 的斜率2
3
±
=k 35．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，离
心率为3，直线2y C =与 (I)求,;a b ;
(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF - 证明:22AF AB BF 、、成等比数列。
【答案】(Ⅰ)由题设知3c a
=,即222
9a b a +=,故22
8b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.
将y=2代入上式,求得,x =
由题设知,=解得,21a =. 所以1,a b == (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2
2
88x y -=. ①
由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||k <,代入①并化简得, 2222
(8)6980k x k x k --++=.
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则
11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,212298
8
k x x k +?=-.
于是 11||(31)AF x ===-+,
12||31BF x ===+
由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223
x x +=-
. 故22
6283k k =--,解得245k =,从而1219
9
x x ?=-.
由于21||13AF x ===-,
22||31BF x ===-,
故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=, 221212||||3()9-116AF BF x x x x ?=+-=.
因而2
22|||||AB|AF BF ?=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.
36．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F, , 过点F 且与x 轴
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
【答案】
37．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2
C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )
012x =-,切线.MA 的斜率为12
-.
(I)求p 的值;
(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.()
,,.A B O O 重合于时中点为 【答案】
O x
y
B
A 第39题图
C
D
M
N 38．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2
,在y 轴上
截得线段长为2.
(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;
(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.
【答案】(Ⅰ)设P(x ，y)，圆P 的半径为r ，由题设y 2+2=r 2，x 2+3=r 2，从而y 2+2=x 2
+3，
故P 点的轨迹方程为y 2-x 2
=1.
39．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴
长分别
为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D.记m
n
λ=
,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;
(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=并说明理由. 【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为
1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.m
n
λ=>
(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则
111||||||22S BD OM a BD =?=,211
||||||22S AB ON a AB =?=,所以12||||S BD S AB =
. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-, 于是||||1
||||1
B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若
12S S λ=,则11
λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则
||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;
111||||||22S BD OM a BD =?=,211
||||||22S AB ON a AB =?=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===
--. 若
12S S λ=,则11
λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.
(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,
点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则 因为12
2
11d k
k =
++22
2
11d k k
=
++,所以12d d =.
又111||2S BD d =,221
||2
S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=.
由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是
||1
||1
AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得
222A x a k m =
+222B x a k n =+ 根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是
222222221||2||
||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++- 从而由①和②式可得
2222221
(1)
a k n a k m λλλ++=+-. ③
令1(1)
t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得2222
22(1)(1)n t k a t λ-=-.
因为0k ≠,所以2
0k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当2222
2
(1)0(1)
n t a t λ->-, O x y B A
第39题解答图1 C D M N O x y B
A
第39题解答图2 C D M N
等价于222
1
(1)()0t t λ
--<. 由1λ>,可解得
1
1t λ
<<,
即11
1(1)
λλ
λλ+<
<-,由1λ>,解得12λ>+,所以
当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=; 当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,
点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则 因为12
2
11d k
k =
=
++,22
2
11d k k
=
=
++,所以12d d =.
又111||2S BD d =,221
||2S AB d =,所以12
||||S BD S AB λ==.
因为221||||
||1||B D A B A B
A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=
-. 由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得
222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222
()
0A B A B x x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以2
2
A
B x x >. 所以由上式解得2222
2222()
()
A B B A m x x k a x x λ-=-.
因为2
0k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得
1A
B
x x λ<<. 从而1
11
λλλ+<
<-,解得12λ>+,所以 当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得12S S λ=; 当12λ>+,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.
40．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2
2
e =
,过左焦点 1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；
(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '?的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.
【答案】
41．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15
:22
=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线
02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆C 的方程;
(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程. 【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为
关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线
02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-??y x C C 的方程为圆.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条
弦,符合题意.
圆C:4)2()2(2
2=-+-y x 到直线l 的距离2
2
m
1|2m |m
1|2-22m |=
d +=
++.
2
2
222
m 14)m 144(4+=
+-=?m b ：在圆中，由勾股定理得. 整理得：
联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211y x F y x E 5
20
4544)(0145(22212122+=
++-=++=+?=-++m m m m
y y m x x my y m ） 由椭圆的焦半径公式得:5
1
525)
(210)(5
252222121++?=+-=
+-
=m m x x x x a
5
1
58m 14515222222++?=+?++?=∴m m m m ab .
.),3[]3,0[)(0,5
1
)(上单调递减上单调递增，在在令+∞=?≥++=
x f y x x x x f .23.3)3.()(2+±==?≤y x ab m f x f 这时直线方程为取最大值时，当令
所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为
42．（2013年高考安徽（文））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,2)A ,连接
AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直
线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点并说明理由 【答案】解: (1)因为椭圆过点23)P ，
∴
2223
1a b
+= 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22
184
x y += (2) 由题意,各点的坐标如上图所示, 则QG 的直线方程:00
00
8
08x x y y x x -
-=-
，化简得
20000(8)80x y x x y y ---= ，
又2
2
0028x y +=, 所以00280x x y y +-=带入22184
x y
+= ，求得最后0?=，
所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 43．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)
的离心率
,a+b=3，
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.
【答案】解:22222223314
c c a b b a a a a -===-=(1）因为故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1, 2
214
x C y ∴+=椭圆的方程为：
1
)2
≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①
将①代入22
14x y +=,解得222824(,)4141
k k P k k --++ 又直线AD 的方程为1
12
y x =
+ ② ①与②联立解得424(,)2121
k k
M k k +--
由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可角得42
(,0)21
k N k --
所以MN 的分斜率为m=
214k +,则211
222
k m k k +-=-=(定值)
圆锥曲线全部公式及概念
圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=? 离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2 F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线 的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-， 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x （0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122. 8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =. 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB = 1212||||AB x x y y ==-=-
圆锥曲线题型归类大全 17
高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围；
2013高考试题分类汇编(理科)：圆锥曲线
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =±
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
圆锥曲线大题归类
圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，
解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2180＜α≤0(tan x x y y --==） α 2、直线方程： ⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点) ,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121 y y x x ≠≠： 121 121 y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B A k -=，y 轴截距为B C -） (6)k 不存在?a x b a x o =??=）的直线方程为过（轴垂直,90α 3、直线之间的关系： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ⑴ 平行：{ ? ?≠=2121212 1//b b k k k k l l 且都不存在 ， 2 1 2121C C B B A A ≠= ⑵ 垂直：{ ?? ⊥-=?-==2 121211 1.0 21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A ⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为： 0=++n Ay Bx ⑸定点(交点)系方程：过两条直线 :,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为： 0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ 反之直线0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二
. 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
椭圆各类题型分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ,其长轴长是短轴长的２倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范 围． 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在,则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)． ３.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ,过点() 31，A ,点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标．
例2 已知椭圆1422=+b b 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 例３ 已知椭圆15 92 2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (１) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (２) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
高考数学圆锥曲线分类大全理
2011-2018 新课标(理科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011 新课标】7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B
两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ B ）
（A） 2
（B） 3
（C）2
（D）3
【2011 新课标】14. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，
离心率为
2 。过 l 的直线 2
交于 A, B 两点，且 △ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为
x2 y2 1
。
16 8
【2012 新课标】4. 设 F1F2 是椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点，P 为直线 x
3a 2
上
一点， F2PF1 是底角为 30o 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ C ）
【解析】
F2PF1 是底角为 30o 的等腰三角形 PF2
F2F1
2(3 a c) 2c e c 3
2
a4
【2012 新课标】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 16 x 的准线
交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（ C ）
【解析】设 C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16 x 的准线 l : x 4 于 A(4, 2 3) B(4, 2 3) 得： a2 (4)2 (2 3)2 4 a 2 2a 4
【2013 新课标 1】4. 已知双曲线 C:xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程 为( C )
A、y=± x
（B）y=± x
（C）y=± x
（D）y=±x
【解析】由题知， c a
5 2
，即
5 4
=
c2 a2
=
a2 b2 a2
，∴ b2 a2
=1 4
，∴
b a
=
1 2
，∴ C
的渐近线方程
为 y 1 x ，故选 C . 2
【2013 新课标 1】10、已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于
A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 (
D
)
x2 y2 A、45＋36＝1
x2 y2 B、36＋27＝1
x2 y2 C、27＋18＝1
x2 y2 D、18＋ 9 ＝1
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 =2， y1 y2 =－2，
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 2002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
椭圆经典例题分类汇总
椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<
圆锥曲线分类汇编
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π 04 θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D 2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ） A ． 2 4 B ． 12 C ． 22 D ． 32 【答案】C 3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2= 4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|, 则L 的方程为 （ ） A ．y=x-1或y=-x+1 B ．y= (X-1)或y=-(x-1) C ．y= (x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1) 【答案】C 4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若 ||42PF =,则POF ?的面积为 （ ） A ．2 B ．22 C ．23 D ．4 【答案】C 5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52 ,则C 的渐近线 方程为 （ ） A ．1 4 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 【答案】C 6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线12 2 =-y x 的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ． 2 1 B ． 2 2 C ．1 D ．2 【答案】B
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题：
4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线
D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】
高考数学全国卷分类汇总及分析
圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.
圆锥曲线的相关公式
圆锥曲线的相关公式 注：平面内到定点F(1,1)和到定直线l：x+2y=3距离相等的点的轨迹是？过定点F垂直直线l的一条直线 当A为短轴端点时，角最大，面积也最大，为bc,椭圆中焦点三角形的周长为2（a+c） 计算a，b，c相关值时，要对应标准方程，所以记得化为标准方程的形式 附录：定理1(椭圆中点弦的斜率公式)： y x M F1F2 O A B
设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：2 2AB OM b k k a ?=- 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：22 21222 212y y b x x a -=--，即2 121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012 0012 22OM y x y y k x y x x +=== +，所以22AB OM b k k a ?=- 定理2(双曲线中点弦的斜率公式)： 设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有2 2AB OM b k k a ?= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012 0012 22OM y x y y k x y x x +=== +，所以22AB OM b k k a ?= 定理3（抛物线中点弦斜率公式） 在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0.（斜率存在并有两个交点） 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==) 2(.2) 1(,222212 1 m x y m x y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= .
高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择doc
2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1、（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，所以它到焦点的距离为6。. 2、（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为 (0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过 B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得， ，由，得， ∴ 即k= ，故选B. 3、（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，则p 的值为 [C] （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线方程为2 p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，所以2,42 3==+ p p 法二：作图可知，抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切与点（-1,0） 所以2,12 =-=- p p 4、（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
圆锥曲线知识点总结(供参考)
圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。