椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ,其长轴长是短轴长的２倍,求椭圆的标准方程.例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围.例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在,则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示)．３.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31，A ,点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标．例2 已知椭圆1422=+bb 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．例３ 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(１) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;(２) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标.4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．例2 (1)写出椭圆149=+的参数方程;(２)求椭圆内接矩形的最大面积.例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围.5.相交情况下-－弦长公式的应用例１ 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．(1)当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程.例2 已知长轴为１2，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0．２5,椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．例3 已知椭圆1222=+y x ,(1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； (2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（３）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程; (４）椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例４ 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程.椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程． 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置．解：(１)当()02，A 为长轴端点时,2=a ,1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ; (2)当()02，A 为短轴端点时,2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ，92=b ,得12-=k c ．由21=e ,得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上.故必须进行讨论．例5 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆.例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈． 说明:（1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α,这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ，αsin 12=b . (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例５ 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程．分析:关键是根据题意，列出点Ｐ满足的关系式．解：如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程:171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在，则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，,由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ,21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=. ∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x . 整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在.例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ,焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）. 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积. 解:如图,设()y x P ，,由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =. ３.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标.分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值．一般地,求MF eAM 1+均可用此法． 解:由已知:4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：.过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上.故32=M x .所以()332，M ．说明:本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.例２ 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析:利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e . 由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离, ∴b e PF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义.例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(１） 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析:本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值,则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(１)如上图，62=a ，)0,2(2F ,22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P . 综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ,2=c ,∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQPF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离.右准线方程为29=x .∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4．参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (１）写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.解:(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ.(２)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明:通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例３ 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程.解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ,即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos ba b -=θ, ∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ,又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ,∴122<<e . 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥.如何证明？5.相交情况下-－弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． (1)当m 为何值时，直线与椭圆有公共点? （2)若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解:（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ，由(1)得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m ．方程为x y =．说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题,一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程． 例２ 已知长轴为1２，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x ．设1x ,2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1，n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122.在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解:由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=， 4112===ax y k M M OM ,∴42=a ，∴1422=+y x 为所求. 说明:（１)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例２ 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一:已知一点求直线,关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y .代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k .由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点,∴121=+x x ．故得21-=k . 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二:设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率:2121x x y y --．解法二:设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①-②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-.所求直线方程为0342=-+y x ．说明: （1）有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率． (3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3 已知椭圆1222=+y x ，（1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （２)求斜率为２的平行弦的中点轨迹方程;（3)过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法． 解:设弦两端点分别为()11y x M ，,()22y x N ，,线段MN 的中点()y x R ，,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx .⑤（１)将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求.(２）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）(4）由①+②得 :()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+，⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x .此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于:(１)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围.解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。