高三上学期期末联考数学
四川省绵阳市江油中学2024学年数学高三第一学期期末联考模拟试题含解析
四川省绵阳市江油中学2024学年数学高三第一学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x D ．{|56}-<x x2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．45．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-6．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，()1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．43B ．3C ．6D ．237．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．628．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．39．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82B ．8C ．2D ．412．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年河南省高三上学期联考(二)数学试题及答案
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（ ）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（ ）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（ ）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（ ）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（ ）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（ ）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
高三数学上学期期末联考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校晋冀鲁豫名校2021届高三数学上学期期末联考试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其并集即可.【详解】．此题选择D选项.【点睛】此题主要考察集合的表示方法，并集的定义与运算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.为虚数单位，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，应选B.【点睛】本小题主要考察复数的除法运算，考察运算求解才能，属于根底题.平分圆，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.或者【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线经过圆心，据此得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值.【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，所以，解得．此题选择A选项.【点睛】此题主要考察直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.021年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进展统计得到样本数据的茎叶图如下列图，那么该样本的中位数是〔〕A.45B.47C.48D.63【答案】A【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：122031323445454547474850506163，最中间的数为：45，所以，中位数为45．此题选择A选项.【点睛】此题主要考察茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.5.双曲线的离心率为；关于的方程〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知pq【详解】双曲线中，，所以，，离心率为q:，所以方程〔〕有两个不相等的实数根，A.B.C.D.此题选择C选项.，且是第三象限角，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式首先求得，然后结合同角三角函数根本关系求得，最后由诱导公式求解的值即可.【详解】是第三象限角，所以，．【点睛】此题主要考察诱导公式的应用，同角三角函数根本关系的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.假设执行如下列图的程序框图，那么输出S的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，，.此题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8.我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？那么据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是〔〕A.斤B.斤C.斤D.斤【答案】C【解析】【分析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.【详解】设首项为，公差为，那么根据题意可得，解得．那么两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察等差数列及其应用，属于根底题.9.假设某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】首先由三视图复原所给的几何体为三棱锥，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】据三视图分析知，该几何体是如下列图的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥，且是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积．【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)假设所给几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用等积法、分割法、补形法等方法进展求解．，假设，那么以下关系式中正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得，然后结合函数区间上单调递增比较p,q,r的大小即可.【详解】因为，所以，，又，，又因为函数在区间上单调递增，所以，即．【点睛】此题主要考察函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，假设四边形的面积是，那么抛物线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有．那么四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程.【详解】据题意，得直线的方程为．由，得．设，那么．所以，所以，解得，所以抛物线的方程为．【点睛】此题主要考察直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.有且只有3个零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，由题意可知函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，据此确定实数t的取值范围即可.【详解】令，得，作出函数的图象，据题设分析可知，函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，那么实数的取值范围是．【点睛】此题主要考察分段函数的零点问题，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中的横线上．13.，那么向量与夹角的正弦值为______________．【答案】【解析】【分析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数根本关系求解其正弦值即可.【详解】，．【点睛】此题主要考察平面向量的夹角，同角三角函数根本关系及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.满足不等式组，那么的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，由几何意义可知当获得最小值时，直线系方程的截距最大，即目的函数在点C处获得最小值，求得点C的坐标，代入目的函数求解其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下列图，目的函数即，由几何意义可知当获得最小值时，直线系方程的截距最大，那么目的函数在点C处获得最小值，联立直线方程：，可得点C的坐标为：，据此可知目的函数的最小值为：.故答案为：-43．【点睛】求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.的展开式中的常数项为______________．【答案】【解析】【分析】由题意首先写出展开式的通项公式，然后结合所给的式子求解其常数项即可.【详解】三项式展开式的通项公式为，所以的展开式中的常数项为：．【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或者利用分类加法计数原理讨论求解．的前项和为，假设对成立，那么实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.【详解】据题意，得：．又，．当时，；当时：，．又当时，恒成立，对，且成立，．又成立．综上，所务实数的取值范围是．【点睛】给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．中，角的对边分别为．〔1〕求证：；〔2〕假设，求的周长．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由题意，切化弦整理可得，然后利用正弦定理边化角，逆用两角和差正余弦公式即可证得题中的结论.〔2〕据〔1〕可知，结合余弦定理有，据此求得a,b的边长，然后确定△ABC的周长即可.【详解】〔1〕由题得，所以．又因为，所以，所以，所以，所以，又因为为的角，所以．〔2〕据〔1〕可知，，所以，又因为，所以，所以．所以的周长．【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．〔1〕求证：平面平面；〔2〕求二面角的正切值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由几何关系可知四边形是平行四边形，那么．由线面平行的断定定理可得平面．由中位线的性质可知，那么面利用面面平行的断定定理即可证得平面平面．〔2〕以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数根本关系求解二面角的正切值即可.【详解】〔1〕因为是的中点，，所以．又因为，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．因为分别是的中点，所以．又因为平面平面，所以面又因为平面平面，所以平面平面．〔2〕以为坐标原点建立如下列图空间直角坐标系，那么，所以．设平面的一个法向量为，那么，令，得，所以．易知平面的一个法向量为．所以．又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．【点睛】此题主要考察面面平行的断定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.19.“一共享单车〞的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待进步，伤痕累累等不文明行为也普及大江南北．某建立了一共享单车效劳系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，制止借车．一共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：i．一共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分；ii．闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分；iii．损坏一共享单车、私自上锁、私藏，扣5分．甲、乙两人HY出行，各租用一共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用一共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车．〔1〕求甲、乙两人所扣积分一样的概率；〔2〕假设甲、乙两人在初次租用一共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕记“甲扣1分、2分、3分〞，“乙扣1分、2分、3分〞为事件，由题意可知各个事件互相HY，且易知每个事件的概率，据此计算甲、乙两人所扣积分一样的概率即可.〔2〕设甲、乙两人在各租用一共享单车一次之后所扣积分之和为，易知的可能取值为2，3，4，6，7，10．求得相应的概率值得到分布列，然后计算数学期望即可.【详解】〔1〕记“甲扣1分〞为事件，“甲扣2分〞为事件，“甲扣5分〞为事件，．记“乙扣1分〞为事件，“乙扣2分〞为事件，“乙扣5分〞为事件，．据题设知，彼此互相HY．记“甲、乙两人所扣积分一样〞为事件，那么．〔2〕设甲、乙两人在各租用一共享单车一次之后所扣积分之和为，那么的可能取值为2，3，4，6，7，10．所以的分布列为：2 3 4 6 7 10P故．【点睛】此题主要考察HY事件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.的离心率为，短轴长为．〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕假设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，那么在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？假设存在，求出定点的坐标；假设不存在，也请说明理由．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕据题意，得，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；〔2〕据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．与椭圆方程联立，结合韦达定理有．假设存在点M满足题意，那么，结合韦达定理求解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.【详解】〔1〕据题意，得解得，所以椭圆的HY方程为．〔2〕据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由，得．设，那么．设，那么直线的斜率分别满足．又因为直线的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以．假设对任意恒成立，那么，当直线的斜率不存在时，假设，那么点满足直线的斜率互为相反数．综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.定义：假设函数的导函数是奇函数〔〕，那么称函数是“双奇函数〞．函数．〔1〕假设函数是“双奇函数〞，务实数的值；〔2〕假设．〔i〕在〔1〕的条件下，讨论函数的单调性；〔ii〕假设，讨论函数的极值点．【答案】〔1〕0；〔2〕〔i〕见解析；〔ii〕见解析【解析】【分析】〔1〕由题意结合“双奇函数〞的定义可知对任意且成立，据此计算实数a的值即可；〔2〕〔i〕由题意结合(1)的结论可知，．由导函数的符号讨论函数的单调性即可；〔ii〕由函数的解析式可知当时，．令，那么据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可.当时，，据此分段讨论函数的极值的情况即可.【详解】〔1〕因为，所以．又因为函数是“双奇函数〞，所以对任意且成立，所以，解得．〔2〕〔i〕〔，且〕．由〔1〕求解知，，那么，所以．令，得；令，得，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔ii〕．当时，．令，那么〔舍去〕．分析知，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点，不存在极大值点．当时，当时，．令，得〔舍〕．假设，即，那么，所以在上单调递增，函数在区间上不存在极值点；假设，即，那么当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上存在一个极小值点，不存在极大值点．．当时，．令，得，记．假设，即时，，所以在上单调递减，函数在上不存在极值点；假设，即时，那么由，得．分析知，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数存在两个极值点．综上，当时，函数存在两个极值点，且极小值点，极大值点；当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点，无极大值点．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都非常突出(1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考察数形结合思想的应用．中，圆的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取一样的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为，且点是直线与圆的一个公一共点．〔1〕务实数的值；〔2〕判断直线与圆的位置关系．【答案】〔1〕，，；〔2〕相交【解析】【分析】〔1〕将点A的极坐标代入极坐标方程可得的值；参数方程化为直角坐标方程可得实数b的值；由极坐标为的点在圆上计算可得c的值；〔2〕由〔1〕求解知，直线的直角坐标方程是，圆的直角坐标方程是，由圆心到直线的间隔与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【详解】〔1〕因为极坐标为的点在直线上，所以．所以直线的直角坐标方程是．参数方程为〔为参数〕的圆的普通方程为，所以．又因为极坐标为的点在圆上，所以，解得．〔2〕由〔1〕求解知，直线的直角坐标方程是，圆的直角坐标方程是，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的间隔．因为，所以直线与圆相交．【点睛】此题主要考察直角坐标方程与参数方程互化的方法，直线与圆的位置关系等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.．〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕假设对任意成立，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕当时，利用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，由此求解出不等式的解集.〔2〕将原不等式等价转化为对任意成立，利用含有一个绝对值的不等式的解法，求得的取值范围.【详解】〔1〕当时，不等式可化为．当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得，故．综上，当时，不等式的解集为．〔2〕因为对任意成立，所以任意成立，所以对任意成立，所以对任意成立，又当时，，故所务实数的取值范围是．【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察含有一个绝对值的不等式的解法，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
安徽省合肥市2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题含解析
2022-2023学年度第一学期高三年级期末联考数学（答案在最后）本试卷共4页，22题。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A B =，{}1,2,3,4A B =，则（）A.2A ∈，2B ∉B.3A ∈，3B ∈C.4A ∈，4B ∉D.5A ∉，5B ∉2.已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（） A.1-B.2-C.1D.23.2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar 2022）是第二十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2022年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办.由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1-11月份说法错误的是（）A.有5个月平均气温在30℃以上B.有4个月平均降水量为0mmC.7月份平均气温最高D.3月份平均降水量最高4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差不为0，若510S S =，则（） A.50S =B.80S =C.150S =D.170S =5.一般地，声音大小用声强级I L （单位：dB ）表示，其计算公式为：1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中I 为声强（单位：)2W /m .若某种物体的发出的声强为1025W /m -，其声强级约为（lg 20.30≈）（） A.50dBB.55dBC.60dBD.70dB6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为11A B ，11B C 的中点，过M ，N 的平面截正方体所得截面为四边形，则该截面最大面积为（） A.22 B.25310D.927.已知222:O x y r +=，直线2:23l x y r +=，若l 与O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上 C.点(2,3)P 在O 内 D.点(2,3)P 在O 外8.已知函数()e (sin cos )xf x x x =+在区间(2,0)π-内有两个极值点1x ，2x 且12x x <，则（） A.12x x π+=B.()f x 在区间()12,x x 上单调递增C.()()120f x f x +>D.()()121f x f x -<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在ABC △中，已知32A C π==，3CD DB =，则（）A.AB AC BC +=B.2AC AD =C.1344AD AB AC =+ D.AD BC ⊥10.已知121326a b ++==，则（） A.1a b <<B.1b a <<C.12ab >D.2a b +>11.已知抛物线E 的焦点为F ，顶点为O ，过F 做两条互相垂直的直线1l ，2l ，它们分别与E 相交于A ，B 和C ，D ，则（） A.AOB ∠为锐角B.COD ∠为钝角C.OA OB OC OD ⋅=⋅D.FA FB FC FD ⋅=⋅12.已知球O 的表面积为36π，三棱锥P ABC -的顶点都在球面上，该棱锥体积取最大值时，下列结论正确的是（） A.32PA =B.26AB =C.PA PB ⊥，PB PC ⊥D.PA BC ⊥，PB AC ⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.社区从甲乙等5名志愿者中随机选3名到A 地参加服务工作，则甲乙都入选的概率为_____. 14.已知函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象过点(0,1)-，则8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 15.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，P 为C 上一点满足123F PF π∠=，则C 的离心率取值范围是_____.16.已知函数1()ln f x x x=+，过点(0,)m 有两条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，等比数列{}n b 满足211b a =-，321b a =-. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求满足(410)n m T S n =<≤的所有数对(,)n m . 18.（12分）为落实国家全民健身计划，提高居民身体素质和健康水平，某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长60分钟，每天固定时间播放.为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取150名，将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.（1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在选取的150位观众中，男女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满意，低于30分钟为不满意.据统计有48位男士满意，请列出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“满意度与性别有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K K ≥ 0.100.05 0.0100K2.7063.841 6.63519.（12分）在ABC △中，点D 在BC 上，满足AD BC =，sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅. （1）求证：AB ，AD ，AC 成等比数列；（2）若2BD DC =，求cos B . 20.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -3，底面是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是BC ，1AA 的中点，DE BC ⊥.（1）求证：侧面11BCC B 是矩形；（2）若1DE AA ⊥，求直线1AA 与平面11AC D 所成角的余弦值. 21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是1，记点P 的轨迹为C .（1）求证：曲线C 是双曲线的一部分；（2）设直线l 与C 相切，与其渐近线分别相交于M ，N 两点，求证：OMN △的面积为定值. 22.（12分） 已知函数1()e x f x x=+. （1）求()f x 的导函数()f x '的单调区间；（2）若方程()()f x ax a =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且12301x x x <<<<，求实数a 的取值范围.高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 【解析】由已知选D.2.A 【解析】设i z a b =+，则2222(2)a b a b ++=+，故1b =-，故选A. 3.D 【解析】由图可知，选D.4.C 【解析】由已知得80a =，故158150S a ==，故选C.5.A 【解析】由已知得1012510lg 10(1210lg5)10(210lg 2)5010I L --⎛⎫==⨯-=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故选A.6.D 【解析】最大面积的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中2MN =，22AC =5AM CN ==，高为13252h =-=132922)222⋅=，所以选D. 7.C 【解析】由已知：圆心到直线的距离大于半径，即不妨设0r >213r >，故13r OP >=，故选C. 8.D 【解析】由()2cos 0xf x e x '==，故132x π=-，22x π=-，所以122x x π+=；由3,22x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在区间()12,x x 上单调递减；()321f x e π-=，()22f x eπ-=-，所以()()322120f x f x eeππ--+=-<，()()322121f x f x eeππ---=+<，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD 【解析】由已知AB AC AB AC CB BC +=-==；131444AD AC BC AB AC =+=+；234AD AB AB ⋅=，214AD AC AC ⋅=，因为223AC AB =，所以AD AB AD AC ⋅=⋅；故()0AD AB AC ⋅-=，即AD BC ⊥，所以2AC AD =.故选ABD.10.AD 【解析】3log 2a =，4log 3b =，故01a <<，01b <<，12ab =.22a b ab +>=，223333334log 2log 2log 4log 8log 2log 41log 322a b +⎛⎫⎛⎫==<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a b <<.故选AD. 11.BC 【解析】设抛物线E 方程为22(0)y px p =>，1:2p l y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立得2220ky py kp --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122p y y k +=，212y y p =-.()212212121223044y y OA OB x x y y y y p p ⋅=+=+=-<，故AOB ∠为钝角.所以21:2p l y x k ⎛⎫=--⎪⎝⎭，与抛物线联立得2220y pky p +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则342y y pk +=-，234y y p =-.同理可得234OC OD p ⋅=-，故COD ∠为钝角，所以212121222111122p p OA OB OC OD FA FB x x y y y y p k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=--+=+=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2223434341122p p FC FD x x y y k y y p k ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故1k ≠±时，FA FB FC FD ⋅≠⋅.所以选BC.12.BD 【解析】由已知设球O 的半径为R ，则2436R ππ=，所以3R =.设底面ABC 的外接圆心为1O ，可知当ABC △为正三角形时，其面积最大.设正三角形ABC 的底面边长为a ，1OO d =，三棱锥的高为h .则22393a d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故()2239a d =-.所以三棱锥的体积：()222313133(3)279334344V a h a d d d d ≤⋅≤⋅+=+--.令232793M d d d =+--，由3(1)(3)0M d d '=--+=，得1d =.因为[)0,3d ∈，故当1d =时，M 取最大值，即三棱锥的体积取的最大值.此时可求得：6a =即26AB BC AC ===26PA PB PC ===.三棱锥P ABC -为正四面体，故PA BC ⊥，PB AC ⊥，故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.310【解析】甲入选的概率为1335310C P C ==. 62-()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以622sin 8462f πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 15.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，11PF r =，22PF r =，则122r r a +=，由余弦定理得22212124r r r r c +-=，故()221243r r a c =-，因为2212122r r r r +≥，即22121212r r r r r r +-≥，故()222443c a c ≥-，解得12e ≥，由01e <<，所以C 的离心率取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16.(ln 2,)+∞【解析】由1()ln f x x x =+，21()x f x x -'=，设切点为0001,ln x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线方程为：()00020011ln x y x x x x x ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭，故0021ln m x x =-+有两根.令2()1ln g x x x =-+，22()x g x x -'=，()g x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增.因为min ()ln 2g x =，故实数m 的取值范围是(ln 2,)+∞.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解】（1）由21n a n =+，所以13a =，25a =，故22b =，34b =. 所以等比数列{}n b 的公比为322b q b ==，…………2分 故11b =，所以12n n b -=，即等比数列{}n b 的通项公式为12n n b -=…………4分（2）由已知得：(321)(2)2m m mS m m ++==+由（1）可知122112nn n T -==--…………6分 由(410)n m T S n =<≤，所以21(2)nm m -=+即222121(2)n n m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故221nm =-…………8分 因为m 正整数，410n <≤，所以6n =，3217m =-=，8n =，42115m =-=，10n =，52131m =-=故满足条件所有数对为(6,7)，(8,15)，(10,31).………………10分18.【解】（1）由频率分布直方图可知：样本数据在[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分 故调查表平均值为：50.1150.12250.16350.28450.20550.14⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.5 1.849.897.732.8=+++++=所以该节目收看观众的平均时间为32.8分钟.………6分 （2）由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：0.280.200.140.62++=所以观看平均时间不低于30分的样本数为：1500.6293⨯=.……8分 由已知可得22⨯列联表如下：不满意 满意 总计 男 27 48 75 女 30 45 75 总计5793150……10分22150(30482745)1500.2547 2.70675759357589K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”.………12分 19.【解】（1）在ABC △中，由正弦定理得：sin sin BC ACBAC B=∠①…………2分 由已知得：sin sin AD BAC AB B ⋅∠=⋅②由①②联立得：AD BC AB AC ⋅=⋅ 因为AD BC =，所以2AD AB AC =⋅. 故AB ，AD ，AC 成等比数列.…………4分（2）在ABC △中，记A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 故AD BC a ==.由（1）知：2a bc =③ 在ABD △中，设ADB α∠=，由已知得23BD a =， 由余弦定理得222244cos 93c a a a α=+-④…………6分 在ACD △中，设ADC πα∠=-，由已知得13CD a =，由余弦定理得222212cos 93b a a a α=++⑤由⑤+④2⨯整理得：2221123c b a +=⑥…………8分由③⑥联立整理得：2261130b bc c -+= 解得：32b c =或13b c = 当13b c =时，可求得3a =，所以a b c +<故舍去.…………10分 当32b c =时，可求得62a c =，在ABC △中由余弦定理得222222239624cos 22462c c ca cb B ac c +-+-===⋅. 综上：6cos B =…………12分 20.【解】（1）连接AD ，由已知ABC △为等边三角形，所以AD BC ⊥. 由已知DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，…………2分 又1AA ⊂平面ADE ，1BC AA ⊥. 因为11AA BB ∥，所以1BC BB ⊥，又侧面11BCC B 为平行四边形，所以侧面11BCC B 是矩形.……4分 （2）取AD 中点O ，连接1OA .由已知得13AA AD ==. 因为1DE AA ⊥，所以13A D AD ==1ADA △是等边三角形. 故1A O AD ⊥，由（1）可知1A O BC ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC .……6分以O 为原点，以OD ，1OA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图. 故30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，130,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1332AA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，11(13,0)AC AC ==-，1330,2DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则110AC n ⋅=，10DA n ⋅=.故3030x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，3y =1z =，则3,1)n =…………9分 直线1AA 与平面11AC D 所成角为α， 则11139sin cos ,133AA n AA n AA n α⋅====⋅…………11分 故2130cos 1sin αα=-=所以直线1AA 与平面11AC D 130.…………12分 21.【解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由已知得2x ≠±， 则直线AP ，BP 的斜率分别为：2AP y k x =+，2BP yk x =-…………2分 由已知122y yx x ⋅=+-，化简得224x y -=. 故曲线C 的方程为：224(0)x y y -=≠ 所以曲线C 是除去顶点的双曲线.…………4分（2）设直线l 与C 相切的切点坐标为()()000,0x y y ≠，斜率为k 则直线l 的方程为：()00y y k x x -=-，与224x y -=联立整理得：()()()22200001240k x k y kx x y kx ------=由已知21k ≠，且上方程有两个相等的实数根， 故()()()2222000044140ky kx k y kx ⎡⎤-+--+=⎣⎦化简得：()22200004240x k x y k y --++=①…………6分 又22004x y -=，即22004x y -=，22004y x +=②由①②得，222000020y k x y k x -+=，即()2000y k x -=，所以0x k y =故直线l 的方程为：004x x y y -=…………8分双曲线C 的两条渐近线方程为y x =，y x =-，所以OMN △为直角三角形.不妨设004x x y y -=与y x =交点为M ，解得000044,M x y x y ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理，设004x x y y -=与y x =-交点为N ，解得000044,N x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.…………10分 可求得：0042OM x y =-，0042ON x y =+， 所以OMN △的面积2200000011424216422S OM ON x y x y x y ====+-- 故OMN △的面积为定值.…………12分22.【解】（1）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，21()x f x e x '=- 记()()g x f x '=，则33322()x x x e g x e x x+'=+=.…………2分 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增.…………3分当(,0)x ∈-∞时，记3()2x x x e ϕ=+，2()(3)xx x x e ϕ'=+. 所以(,3)x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减；(3,0)x ∈-时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增.()x ϕ的极小值为33(3)20e ϕ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故()0x ϕ>. 故()0g x '<，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减.综上：故()f x '在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减.……5分（2）令1()()x F x f x ax e ax x =-=+-，21()()x F x f x a e a x''=-=-- 问题等价于()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<当0a ≤时，因为0x >，故()0F x >，此时()F x 在(0,)+∞无零点；……6分 当0a >时，由（1）可知()F x '在(0,)+∞上单调递增.由指数函数性质可知：0x →，()F x '→-∞；x →+∞，()F x '→+∞故存在00x >，使得()00F x '=.()00,x x ∈，()0F x '<，()F x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增.①若1a e =+，则(1)10F e a =+-=，不符合题意；……8分 ②若01a e <<+，(1)10F e a =+->.当01x ≥时，(0,1)x ∈，()0F x >，不符合题意.当01x <时，(1,)x ∈+∞，()0F x >，不符合题意.……9分③若1a e >+，则(1)10F e a =+-<，(1)10F e a '=--<，所以01x >. 又0x →，()F x →+∞；x →+∞，()F x →+∞，故存在2301x x <<<，使得()()230F x F x ==.……10分 此时当0x <时，()10xF x e a a '<-<-<，故()F x 在(,0)-∞上单调递减，由1(1)10F e a --=-+>，11110a a F e a e e a --⎛⎫-=-+<-< ⎪⎝⎭ 故存在10x <，使得()10F x =所以当1a e >+时，()F x 有三个零点1x ，2x ，3x ，12301x x x <<<<. 综上：实数a 的取值范围是(1,)e ++∞，……12分。
高三数学上册期末联考3
高三数学上册期末联考2高三数学上册期末联考数学试题(文)命题人:黄冈中学李新潮审题人:黄冈中学王宪生校对人:黄冈中学李新潮一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若,则a的取值范围是A． B．C．D．2．在下列函数中,图象关于直线对称的是A． B．C．D．3．在等差数列中,,,则数列的前9项之和等于A．66 B．99 C．144 D．2974．若,,,,则A．B．C．D．5．下列判断正确的是A．〝正四棱锥的底面是正方形〞的逆命题为真命题B．〝〞的充要条件是〝〞C．若〝p或q〞是真命题,则p.q中至少有一个是真命题D．不等式的解集为6．设椭圆的左.右焦点分别是.,线段被点分成5︰3的两段,则此椭圆的离心率为A．B．C．D．7．有一个正方体,六个面上分别写有数字1.2.3.4.5.6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n,那么的值为A．3B．7C．8D．118．若.是两个不重合的平面,给定以下条件:①.都垂直于平面;②内不共线的三点到的距离相等;③.是内的两条直线,且l∥,m∥;④l.m是两条异面直线,且l∥.l∥.m∥.m∥．其中可以判定∥的是A．①②B．②③C．②④D．④9．已知平面向量,,若,,,则的值为A．B． C． D．10．在△ABC内部有任意三点不共线的_个点,加上A.B.C三个顶点,共有_个点,把这_个点连线,将△ABC分割成互不重叠的小三角形,则小三角形的个数为A．4017 B．4015 C．4013 D．4012二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在题中横线上．11．若函数的反函数为,则的值为．12．在△ABC中,,,△ABC的周长为,则_的值为．13．设,式中的变量_.y满足约束条件则z的最大值为．14．若长方体的三个面的面积分别是..,则长方体的外接球的体积为．15．已知点在圆上运动,当角变化时,点运动区域的面积为．三.解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知向量,,其中．记．(1)若的最小正周期为,求函数的单调递增区间;(2)若函数图象的一条对称轴的方程为,求的值．17．(本小题满分12分)在△ABC中,∠A.∠B.∠C的对边的边长分别为a.b.c,且成等比数列．(1)求角B的取值范围;(2)若关于角B的不等式恒成立,求m的取值范围．18．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝AC＝4,∠BAC＝90°,D为侧面ABB1A1的中心,E为BC的中点．(1)求证:平面DB1E⊥平面BCC1B1;(2)求异面直线A1B与B1E所成的角;(3)求点C1到平面DB1E的距离．19．(本小题满分12分)已知二次函数,为偶函数,函数的图象与直线相切．(1)求的解析式;(2)若函数在上是单调减函数,求k的取值范围．20．(本小题满分13分)已知双曲线的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,,．(1)求双曲线的方程;(2)设Q是双曲线上的一点,且过点F.Q的直线l与y轴交于点M,若,求直线l的斜率．21．(本小题满分14分)已知数列满足(,且),其前n项和．(1)求证:为等比数列;(2)记,为数列的前n项和,那么:①当时,求;②当时,是否存在正整数m,使得对于任意正整数n都有?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由．数学(文)参考答案1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．B 11．－1 12． 13．17 14．15．16．(1)．∵,∴,∴．由得．故函数的单调递增区间为．(8分)(2)∵直线是函数图象的一条对称轴,∴,,得．又∵,∴令,得．(12分)17．(1)∵,∴,当且仅当时,,∴．(5分)(2)．∵,∴．∵不等式恒成立,∴,得．故m的取值范围为．(12分)18．(1)连结AE．∵AB＝AC,且E为BC的中点,∴AE⊥BC．∵BB1⊥平面ABC,∴AE⊥BB1,∴AE⊥平面BCC1B1,∴平面DB1E⊥平面BCC1B1．(3分)(2)延长AB至F,使AB＝BF,连结B1F.EF．在△EBF中,．,．在△EB1F中,,∴∠EB1F ＝．∵B1F∥A1B,∴∠EB1F即为异面直线A1B与B1E所成的角．故异面直线A1B与B1E所成的角为．(8分)(3)作C1H⊥B1E于H．∵平面DB1E⊥平面BCC1B1,∴C1H⊥平面DB1E,∴C1H的长即为点C1到平面DB1E的距离．∵△B1 H C1∽△B1BE,∴,∴．故点C1到平面DB1E 的距离为．(12分)19．(1)∵为偶函数,∴,即恒成立,即恒成立,∴,∴,∴．∵函数的图象与直线相切,∴二次方程有两相等实数根,∴,∴,．(6分)(2)∵,∴．∵在上是单调减函数,∴在上恒成立,∴,得．故k的取值范围为．(12分)20．(1)由条件知,,,∴,代入中得,∴,．故双曲线的方程为．(7分)(2)∵点F的坐标为,∴可设直线l的方程为,令,得,即．设,则由得,即,即∵,∴,得,．故直线l的斜率为．(13分)21．(1)当时,,整理得,所以是公比为a的等比数列．(4分)(2)∵,∴,∴．①当时,,,两式相减,得,化简整理,得．(9分)②因为,所以:当n为偶数时,;当n为奇数时,．所以,如果存在满足条件的正整数m,则m一定是偶数．,其中．当时,,所以．又因为,所以:当时,,即;当时,,即．故存在正整数,使得对于任意正整数n都有．(14分)。
河北省部分学校2023-2024学年高三上学期期末质量监测联考试题 数学含答案
河北省2024届高三年级质量监测考试数学（答案在最后）命题：本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}210M x x =-≥，{}12N x x =-<<，则M N ⋂=（）A.{}1x x >-B.{}1x x ≥-C.{}11x x -<< D.{}12x x ≤<2.i 为虚数单位，复数z 满足()22i i z -=，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若2= a ，1a b -=，则b 的最大值为（）A.3B.5C. D.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，则2003S为（）A.0B.2C.2023D.40465.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（）种A.144B.264C.288D.4326.过点()1,0的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点（A 在第一象限），过点B 作直线=1x -的垂线，垂足为M ，若3AO OM =，则直线l 的斜率为（）A.33B.1C.2D.37.函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如下图所示，若()f x 在区间π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围是（）A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C.58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦8.已知函数()21f x x =-，则曲线()()[]()0,1y f f x x =∈与1y =围成的面积为（）A.14B.12C.1D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若随机变量()211,:X N μσ，()222,:Y N μσ，X 、Y 的分布密度曲线如图所示，则（）A.12μμ<B.12σσ<C.()()1122P X P Y μσμσ≤+<≤+D.()()1221P X P Y μσμσ≤+<≤+10.过点()1,2A 与函数()3f x x x =+相切的直线为（）A .240x y +-= B.310x y --=C.420x y --= D.7410x y -+=11.圆O 的半径为定长r ，M 是圆O 所在平面内一个定点（点M 与点O 不重合），P 是圆O 上任意一点，线段MP 的垂直平分线与直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O 上运动时（）A.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆B.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线C.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆的一部分D.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线的一支12.正四面体ABCD 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 、D 到α的距离分别为3、3、2（B 、C 、D 在α同侧），则（）A.平面ABC 与α夹角正弦值为23B.平面BCD 与α夹角正弦值为13C.正四面体ABCD 的内切球表面积为2πD.正四面体ABCD 的外接球体积为42π3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知多项式()()2423456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a =______，123456a a a a a a +++++=______．14.已知tan22θ=，则sin sin 1cos 1cos θθθθ--+的值为______．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．16.牛顿法求函数()y f x =零点的操作过程是：先在x 轴找初始点()11,0P x ，然后作()y f x =在点()()111,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()22,0P x ，再作()y f x =在点()()222,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()33,0P x ，再作()y f x =在点()()333,Q x f x 处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数()2xf x =，初始点为()10,0P ，若按上述过程操作，则所得前n 个三角形112PQP △，223P Q P △，……，1n n n P Q P + 的面积和为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin sin 22B A C+是()sin B A -与sin C 的等差中项．（1）求A 的值；（2）若∠A 的平分线交BC 于点D ，且1AD =，2BD DC =，求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足11a =，且12n n a a n +-=．（1）求n a ；（2）n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：12n S ≤<．19.如图所示，直角梯形PABC 中，AB PC ∥，90B Ð=°，D 为PC 上一点，且22AB PA PD DC ====，将PAD 沿AD 折起到SAD 位置．（1）若SD CD ⊥，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；（2）若SB =SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．20.已知函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．（1）求a ；（2）证明：()f x x ≥．21.从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．22.()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点．（1）结论一：动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为定值；结论二：动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为定值；从以上两结论中任选一个进行证明；（2）过点()11,0F -且斜率为正值的直线1l 交C 于点A ，过2F 且与1l 垂直的直线2l 与曲线C 交于点B ，当四边形12ABF F 在x 轴上方时，求其面积的最大值．河北省2024届高三年级质量监测考试数学命题：本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}210M x x =-≥，{}12N x x =-<<，则M N ⋂=（）A.{}1x x >-B.{}1x x ≥-C.{}11x x -<< D.{}12x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】求出集合M 中元素范围，再求交集即可.【详解】集合{}{2101M x x x x =-≥=≥或}1x ≤-，所以{}12M N x x ⋂=≤<．故选：D ．2.i 为虚数单位，复数z 满足()22i i z -=，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算及复数几何的意义从而求解.【详解】由已知()22i i 1z -==-，所以()()()2i 121i 2i 2i 2i 55z -+-===----+，z 对应点坐标为21,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故C 正确.故选：C ．3.若2= a ，1a b -=，则b 的最大值为（）A.3B.5C. D.【答案】A 【解析】【分析】（法一）设a 与a b -夹角为θ．因为()b a b a =-- ，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为2a =r ，如图设a OA = ，b OB = ，由1a b -= 知点B 在以A 为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案.【详解】（法一）设a 与a b - 夹角为θ．因为()b a b a =-- ，得()()()22222b a b a a ba b a a=--=---⋅+ 222cos a b a b a aθ=---⋅+ 14cos 4θ=-+，当cos 1θ=-时，2b 最大值9， b 的最大值3，故选：A ．（法二）因为2a =r ，如图设a OA = ，b OB = ，由1a b -=知点B 在以A 为圆心1为半径的圆上，当点B 与O 、A 在一条直线，位于图中B '位置时，b 的最大值3.故选：A.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，则2003S为（）A.0B.2C.2023D.4046【答案】B 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出q 的值，然后利用等比数列的求和公式可求得2023S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()21211n n n n n S S a a a q ++++-=+=+，若1q =-，则()2110n n n S S a q ++-=+=，此时，数列{}()*2n n S S n +-∈N 不是等比数列，合乎题意；若1q ≠-，对任意的n *∈N ，则0n a ≠，则()()2312111n n n n n n a q S S q S S a q ++++++-==-+，此时，数列{}()*2n n S S n +-∈N是等比数列，不合乎题意.综上所述，1q =-，所以，()()()202320231202321112111a q S q⎡⎤⨯---⎣⎦===---.故选：B.5.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（）种A.144B.264C.288D.432【答案】B 【解析】【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有34A 种不同方法，对于34A 中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3，则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种．反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种．同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种，则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种，所以双面绣不同色彩设计方法共有34A 11264⨯=种．故选：B ．6.过点()1,0的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点（A 在第一象限），过点B 作直线=1x -的垂线，垂足为M ，若3AO OM =，则直线l 的斜率为（）A.33B.1C.D.【答案】D 【解析】【分析】法一：由题意可证得A 、O 、M 在一条直线上，可得3AF FB =，根据抛物线的定义作出几何图形，可求得直线l 的斜率.法二：由法一得到3AF FB =，即可得123y y =-，联立直线和抛物线方程，韦达定理，即可求得直线l 的斜率.法二：由法一得到3AF FB =，结合点差法，可求得A 点的坐标，由()1,0F ，根据两点的斜率公式即可求得.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0F ，()21,M y -，()111,FA x y =- ，()221,FB x y =-，因为A 、B 、F 三点共线，//FA FB，所以()()1221110x y x y ---=，因为2114y x =，2224y x =，则2114y x =，2224y x =，所以22122111044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()121240y y y y -+=，因为120y y -≠，则124y y =-，因为()11,OA x y =，()21,OM y =- ，21212114+=+y y x y y y ，又124y y =2121121114044-+=+=+=y y y x y y y y ，则//OA OM，又,OA OM 有一个公共点，所以点A 、O 、M 在一条直线上，由3AO OM =，得3AF FB =．（法一）过点A 作AN 垂直与=1x -于点N ，作BD AN ⊥于点D ，因为2:4C y x =得3AF AN r ==，BFBM r ==，所以4AB r =，2AD AN BM r =-=，则在Rt △ABD 中，2AB AD =，30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，则直线l 的倾斜角为60︒，所以直线l的斜率tan 60k ==（法二）设直线():1l y k x =-与24y x =联立得2440y y k--=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y k+=，124y y =-，由3AF FB =得123y y =-，由121212443y y ky y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，解得123y y k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩或123y y k ⎧=⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎩因为A在第一象限，所以123y y k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩（舍去），所以k =（法三）设()11,A x y ，()22,B x y ，2114y x =①2222224936y x y x =⇒=②①－②得()()()1212123349y y y y x x -+=-③由3AF FB =得3AF FB =，()()11221,31,x y x y --=-，1234x x +=，1230y y +=．代入③得1290x x -=，解得13x =，1y =(3,A ，()1,0F，23031AF k -==-线AB故选：D ．7.函数()()()2sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如下图所示，若()f x 在区间π0,2⎛⎤⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围是（）A.47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.47,33⎛⎤⎥⎝⎦C.58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.58,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象求出ϕ，由x 的取值范围求出2π3x ω+的取值范围，再结合正弦函数图象得到不等式组，解得即可.【详解】由图可知函数过点(，所以()02sin f ϕ==，即sin 2ϕ=，又0πϕ<<，所以π3ϕ=或2π3ϕ=，依题意可得0ω>，若π3ϕ=则靠近y 轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去；所以2π3ϕ=，即()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2π2ππ2π,3323x ωω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦．又sin y x =，2π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭的图象如下所示：要使函数()f x 在区间π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦恰有一条对称轴和一个对称中心，则3ππ2π2π223ω≤+<，解得5833ω≤<，即ω的取值范围是58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C ．8.已知函数()21f x x =-，则曲线()()[]()0,1y f f x x =∈与1y =围成的面积为（）A.14B.12C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由题设得到()f x 分段函数形式，讨论自变量范围求()()[]()0,1y f f x x =∈的解析式，数形结合求图象围成的面积即可.【详解】由()121,221112,2x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，又()()()21f f x f x =-，当10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12112,12f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()21212114f f x f x x x =-=--=-，当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()121120,2f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()12121241f f x f x x x =-=--=-，当13,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()121210,2f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()12122134f f x f x x x =-=--=-，当3,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()12121,12f x x x ⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，()()()()21221143f f x f x x x =-=--=-，函数图象如下图所示，故曲线()()y f f x =，[]0,1x ∈与1y =围成的面积为12．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若随机变量()211,:X N μσ，()222,:Y N μσ，X 、Y 的分布密度曲线如图所示，则（）A.12μμ<B.12σσ<C.()()1122P X P Y μσμσ≤+<≤+D.()()1221P X P Y μσμσ≤+<≤+【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的图象，结合正态曲线的性质，逐项分析判断即得.【详解】观察图象知，X 的均值比Y 的均值小，X 的标准差比Y 的标准差大，即12μμ<，12σσ>，即A 正确，B 错误；111111((1))22P P X X μσμσμσ≤+-≤≤+=+，22222211()()22P P Y Y μσμσμσ=+≤+-≤+≤，而11112222)()(P P X Y μσμσμσμσ=-≤≤≤+-≤+，则1122(())P X P Y μσμσ≤+=≤+，C 错误；由12μμ<，12σσ>，得21221211,μσσμμσσμ<+<+++，因此12121122)(()())(P X P X P Y P Y μμμσσσσμ+<≤+≤<≤=≤++，D 正确.故选：AD10.过点()1,2A 与函数()3f x x x =+相切的直线为（）A.240x y +-=B.310x y --=C.420x y --=D.7410x y -+=【答案】CD 【解析】【分析】当A 为切点时，根据()1f '的值和()1,2A 直接求解出切线方程；当A 不是切点时，设出切点()3,B t t t +，然后根据AB 斜率的表示求解出B 的坐标，则切线方程可求.【详解】因为()3f x x x =+，所以()231f x x ='+；若A 点是切点，则()14f '=，则切线方程为()241y x -=-，即420x y --=，故C 正确；若A 点不是切点，设切点()3,B t t t +，则B 处切线斜率为()231f t t =+'，又因为直线AB 的斜率为321ABt t k t +-=-，则322311t t t t +-+=-，3233312t t t t t -+-=+-，化简可得()()22110t t +-=，所以12t =-或1t =（舍去，此时,A B 重合），所以点B 为15,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故切线斜率为1724f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'，则切线方程为()7214y x -=-，即7410x y -+=，故D 正确．故选：CD ．11.圆O 的半径为定长r ，M 是圆O 所在平面内一个定点（点M 与点O 不重合），P 是圆O 上任意一点，线段MP 的垂直平分线与直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O 上运动时（）A.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆B.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线C.若点M 在圆内，则点Q 的轨迹是椭圆的一部分D.若点M 在圆外，则点Q 的轨迹是双曲线的一支【答案】AB 【解析】【分析】利用椭圆和双曲线定义求解.【详解】当点M 在圆O 内且不与点O 重合时，由图可知：||||||||QM QO QP QO r +=+=，又||OM r <，由椭圆的定义可得：点Q 的轨迹是以点O 、M 为焦点的椭圆，即点Q 的轨迹是椭圆；当点M 在圆外时，由图可知：||||||||||||QM QO QP QO r -=-=，又||OM r >，由双曲线的定义可得：点Q 的轨迹是以点O 、M 为焦点的双曲线，即点Q 的轨迹是双曲线，故选：AB12.正四面体ABCD 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 、D 到α的距离分别为3、3、2（B 、C 、D 在α同侧），则（）A.平面ABC 与α夹角正弦值为3B.平面BCD 与α夹角正弦值为13C.正四面体ABCD 的内切球表面积为2πD.正四面体ABCD的外接球体积为3【答案】BC 【解析】【分析】A,求出四棱锥的边长，即可得出结论；B 项，求出,MH MD 即可得出平面BCD 与α夹角正弦值；C 项，求出内切球半径即可得出表面积；D 项，求出外接球半径即可得出体积.【详解】由题意，点B 、点C 到α的距离均为3，∴BC α∥设BC 中点为M ，M 、D 在α内投影为M '，D ¢，则3MM '=，2DD '=，正四面体中设AD x =，则2AM x =，2MD x =，()cos cos MAD MAM DAD ∠=∠-∠''23322x x =+解得x =，∴3AM =,3MD =∴点M 到α的距离均为3，∴面ABC ⊥面α，故A 错误，由几何知识，321MH MM HM ''=-=-=,平面BCD 与α夹角为MDH ∠，1sin 3MH MDH MD ∠==，B正确．C 项，取CD 中点E ，连接,AE BE ，取点A 在BCD △的投影为F ，连接AF ，在AF上取一点G 使得FH HI =，则内切球半径r HF HI ==，由几何知识，123,32AC AD CD BC CE DE CD =======，3123,1,2233AE BE BC EF BE BF BE =======,1,EF EI ==2AI AE IE ===在AEF △中，由勾股定理得,2222AF AE EF =-=在AHI 中，由勾股定理得,()22222rr -=+,解得：22r =，∴正四面体ABCD 的内切球表面积为2224π4π2π2r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确.D 项，在AF 上取一点G 使得AG BG =，则外接球半径R AG BG ==，在BFG 中，由勾股定理得()2222R R=+,解得：322R =,∴正四面体ABCD 的外接球体积为3344ππ332V R ⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭故D 错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查内切球与外接球，勾股定理，二面角，考查学生分析和处理问题的能力，作图能力，具有很强的综合性.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知多项式()()2423456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a =______，123456a a a a a a +++++=______．【答案】①.4②.4-【解析】【分析】利用二项式定理及赋值法求解即可【详解】由题意()()()()244221441x x x x x =+-++-则含3x 的项为：()()()322322133333444C 14C 14C 1424416x x x x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=--=⋅⋅+，故34a =；令0x =，即04a =，令1x =，即01234560=++++++a a a a a a a ，∴1234564a a a a a a +++++=-，故答案为：4；4-．14.已知tan 22θ=，则sin sin 1cos 1cos θθθθ--+的值为______．【答案】32-【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.【详解】（法一）22222sincos 2sin cossin sin 22221cos 1cos 1cos sin 1cos sin 2222θθθθθθθθθθθθ-=--+⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222sincos 2sin cos cos sin 1222222tan 22sin 2cos sin cos tan 22222θθθθθθθθθθθθ=-=-=13222=-=-．（法二）因为tan 22θ=，所以22tan2242tan 1431tan 2θθθ⨯===---，则()()22sin sin 2sin cos 2sin cos 2sin cos 2cos 21cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin tan θθθθθθθθθθθθθθθθθ-====-+-+-33242⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为：32-．15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为______．【答案】193π81【解析】【分析】首先根据几何关系球内切球的半径和截面圆的半径，再代入圆台体积公式，即可求解.【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面，1BM =，2AB =，所以60B ∠= ，所以1tan 303OM =⨯=，AB =，23AO AM =过球心O 且与圆锥底面平行的截面的截面圆的半径为22133⨯=，所得圆台的体积1423193ππ1393381V ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭故答案为：193π8116.牛顿法求函数()y f x =零点的操作过程是：先在x 轴找初始点()11,0P x ，然后作()y f x =在点()()111,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()22,0P x ，再作()y f x =在点()()222,Q x f x 处切线，切线与x 轴交于点()33,0P x ，再作()y f x =在点()()333,Q x f x 处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数()2xf x =，初始点为()10,0P ，若按上述过程操作，则所得前n 个三角形112PQP △，223P Q P △，……，1n n n P Q P + 的面积和为______．【答案】41e 1log e e en n n ---【解析】【分析】导数求切点处切线的方程，得11ln 2n n x x +-=-，122311ln 2n n PP P P P P +==== ，()11e n nf x -=，表示出1122231n n n PQP P Q P P Q P S S S ++++ ，利用等比数列求和公式结合对数的运算求值.【详解】设(),0n n P x ，则()(),n n n Q x f x ，因为()2x f x =，所以()2ln 2xf x ='，则()(),n n n Q x f x 处切线为()2ln 2·2n n x xn y x x =-+，切线与x 轴相交得()11,0n n P x ++，11ln 2n n x x +-=-，因为10x =得1ln 2n n x -=-，所以122311ln 2n n PP P P P P +====，()()211log e ln 21122en n n n f x -----===，所以112223123*********ln 2e e e e n n n PQ P P Q P P Q P n S S S +-⎛⎫+++=⋅+++++ ⎪⎝⎭423111111111111e 1e 1e 1log e 12ln 2e e e e 2ln 22ln 2e e e e 1e n n n n n n n n ------⎛⎫=+++++==⋅ ⎪--⎝⎭- ．故答案为：41e 1log e e en n n ---（其它形式只要正确均得分）．【点睛】关键点点睛：本题关键步骤是利用()(),n n n Q x f x 处的切线方程求出()11,0n n P x ++坐标，得到1n n x x +-和()n f x 的值，从而得到每个三角形的底和高，可求出面积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin sin 22B A C+是()sin B A -与sin C 的等差中项．（1）求A 的值；（2）若∠A 的平分线交BC 于点D ，且1AD =，2BD DC =，求△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）338【解析】【分析】（1）由题意可知，()2sin cos sin sin 22B BB AC =-+，再结合三角恒等变形，进行化简，即可求得角A ；（2）根据角平分线定理可得，2c b =，再根据三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】△ABC 中πA B C ++=，π222A CB ++=，所以sincos 22A C B+=，()sin sin C A B =+，又因为sinsin 22B AC +是()sin B A -与sin C 的等差中项，得()()()2sincos sin sin sin sin 22B BB AC B A A B =-+=-++，2sincos 2sin cos 22B BB A =，sin 2sin cos B B A =，()1cos 0π2A A =<<，π3A =．【小问2详解】由题意得，2BD AB DC AC ==，即2cb=，所以2c b =，因为ABD ACD ABC S S S +=△△△，所以111sin 30sin 30sin 60222b c += ，所以b c +=．因为2c b =，所以32b =，c =所以1sin 6028ABC S bc ==△．18.已知数列{}n a 满足11a =，且12n n a a n +-=．（1）求n a ；（2）n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：12n S ≤<．【答案】（1）21n a n n =-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由递推公式12n n a a n +-=利用累加法从而可求解.（2）由（1）知可得()()11111111111n a a n n n n n n⎛⎫≤=<=- ⎪-+--⎝⎭，利用裂项求和从而可求解.【小问1详解】12n n a a n +-= ，212a a ∴-=，324a a -=，L ，()121n n a a n --=-．由上述n 1-个等式相加得()()1242221n a a n n -=+++-+- ，()()212421111n a n n n n n ∴=++++-=-+=-+ ．【小问2详解】证明：11a =，210n a n n =-+>，所以10na >，1231111111n n S a a a a a =++++≥= ，当2n ≥时，()()111111111n a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+--⎝⎭，21112a ∴<-，311123a <-，411134a <-，L ，1111n a n n <--．123111111111111222231n n S a a a a n n n=++++<+-+-++-=-<- ．综上，12n S ≤<，得证．19.如图所示，直角梯形PABC 中，AB PC ∥，90B Ð=°，D 为PC 上一点，且22AB PA PD DC ====，将PAD 沿AD 折起到SAD 位置．（1）若SD CD ⊥，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；（2）若6SB =SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217．【解析】【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；（2）以O 为原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面SAD 与平面SBC 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】梯形PABC 中，//AB PC ，90B Ð=°，易知1cos cos 2DAB ADP ∠=∠=，所以60ADP ∠=︒，而PA PD =，所以PAD 为等边三角形，∴SD AM ⊥，又∵SD CD ⊥，//CD AB ，∴SD AB ⊥，,AB AM ⊂面AMB ，AB AM A = ，∴SD ⊥面AMB ，∵SD ⊂面SAD ，∴平面AMB ⊥平面SAD ；【小问2详解】由（1）知△SAD 为等边三角形，∴BAD 为等边三角形，取AD 的中点O ，得SO AD ⊥，3SO =，3BO =，∵6SB =SO OB ⊥，因为,OB AD ⊂面ABCD ，OB AD O = ，∴SO ⊥面ABCD ．以O 为原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，得()B，3,,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(S，(SB =，3,,22SC ⎛=- ⎝ ，设平面SBC 的法向量为(),,n x y z =，∴00n SB n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得033022x y =⎨-+=⎪⎩，令1x =，则y z ==，则(1,n =．取平面SAD的法向量为()OB =，cos ,7n OB n OB n OB⋅===⋅．∴平面SAD 与平面SBC夹角的余弦值为7．20.已知函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．（1）求a ；（2）证明：()f x x ≥．【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率即可得解；（2）可转化为求证ln e ln 1x x x x +≥++，换元后求证e 1≥+t t ，构造函数后求函数的最小值不小于0即可得证.【小问1详解】()e ln 1x f x x a x =--，得()()1e x a f x x x'=+-，所以()12e f a '=-．函数()e ln 1xf x x a x =--在1x =处的切线斜率为2e 1-．2e 2e 1a -=-，得1a =．【小问2详解】由（1）得()e ln 1xf x x x =--．证明()f x x ≥，即证e ln 1x x x x --≥，即ln e ln 1x x x x +≥++，设ln x x t +=，即证e 1≥+t t ．下面证明e 1≥+t t 成立：构造函数()e 1=--tg t t ，求导得()e 1tg t '=-，则(),0t ∈-∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；()0,t ∈+∞时，()0g t '>，()g t 单调递增．故函数()()00≥=g t g ，即e 1≥+t t 恒成立，得ln e ln 1x x x x +≥++，所以e ln 1x x x x --≥，()f x x ≥得证．21.从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）甲：56.39.59.26乙：7.27.36.677.9（1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；（2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为12，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．【答案】（1）应该派甲去，理由见解析（2）1023256．【解析】【分析】（1）由平均数和方差的公式求出,x x 甲乙，22,s s 甲乙，再比较它们的大小即可得出答案；（2）设比赛局数为随机变量X ，求出X 的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出()E X ，再结合错位相减法求出()E X ，即可得出答案.【小问1详解】分别计算甲乙运动员在平均成绩x 甲，x 乙和方差22,s s 甲乙，5 6.39.59.267.25x ++++==甲，7.27.3 6.677.97.25x ++++==乙，而()()()()()22222217.25 6.37.29.57.29.27.267.2 3.2765s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()22222217.27.27.37.2 6.67.277.27.97.20.185s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，因为x x =甲乙，22s s >甲乙，所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应该派甲去，有可能超常发挥取得更好成绩．【小问2详解】设比赛局数为随机变量X ，由题意知X 的可能取值必须为偶数：2、4、6……20．则()11111222222P X ==⨯+⨯=，当4X =时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两局二人各胜一局的概率为1112222⨯⨯=．故()1111114222224P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．发现，当418X ≤≤时，双方前两局，前四局，……到前2X -局甲乙胜负局数均相同，且第1X -局，第X 局均为甲胜或乙胜，于是设()*2,29X n n n =∈≤≤N ()1111111112222222222n n nP X n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．显然1n =时，也满足上式．而20n =时，说明双方前两局，前四局，……到前18局甲乙胜负局数均相同，()99111202222P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故X 的分布列为X2468……1820P12212⎛⎫ ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭412⎛⎫ ⎪⎝⎭912⎛⎫ ⎪⎝⎭912⎛⎫ ⎪⎝⎭故X 的数学期望()2349911111124681820222222E X =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ．设23491111124681822222Y =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ ①则234510111111246818222222Y =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ ②①－②得2345910111111112222821822222222Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 234591011111112182222222⎛⎫=++++++-⨯ ⎪⎝⎭ 910911111122218212212⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-⨯=--81142Y =-()98981111110232042042222256E X Y =+⨯=-+⨯=-=．所以需要进行的比赛局数的数学期望为1023256．【点睛】关键点睛：本题的关键点是设比赛局数为随机变量X ，求出X 的可能取值，及其对应的概率，由均值公式表示出()E X ，再结合错位相减法求出()E X ，即可得出答案.22.()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点．（1）结论一：动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为定值；结论二：动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为定值；从以上两结论中任选一个进行证明；（2）过点()11,0F -且斜率为正值的直线1l 交C 于点A ，过2F 且与1l 垂直的直线2l 与曲线C 交于点B ，当四边形12ABF F 在x 轴上方时，求其面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）8136249+【解析】【分析】（1）()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，根据条件列式整理即可；（2）根据（1）的结论分别求出12,AF BF ，然后表示出四边形12ABF F 的面积，利用三角变形求其最值.【小问1详解】选结论一证明，()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，022x -≤≤，所以2200143x y +=，得2200134y x =-，即2200334x y =-．动点M 与定点()11,0F -的距离和M 到定直线4x =-的距离的比为0000===00041422x x +===+．选结论二证明，()00,M x y 为椭圆22:143x y C +=上一动点，022x -≤≤所以2200143x y +=，得2200134y x =-，即2200334x y =-．动点M 与定点()21,0F 的距离和M 到定直线4x =的距离的比为00===041242x x -===-；【小问2详解】过点A 作4x =-的垂线垂足为Q ，过点1F 作1F P 垂直于AQ ，垂足为P ，由（1）知112AF AQ =，所以12AF AQ =，123AP AQ PQ AF =-=-，设1AF O θ∠=，则1QAF θ∠=，111123cos cos AP AF QAF AF AF θ-∠===，得11cos 23AF AF θ⋅=-，即132cos AF θ=-，因为12AF BF ⊥，所以2π2BF O θ∠=-，同理可得232sin BF θ=-则四边形12ABF F 面积121133222cos 2sin AF BF θθ=⋅=⋅⋅--()()()919122cos 2sin 242sin cos sin cos θθθθθθ=⋅=⋅---++设sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=，且π4t θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为θ为锐角，所以ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，(t ∈，所以()2214742sin cos sin cos 2422t t t t θθθθ--+-++=-+=．函数2472t t y -+=在(t ∈单调递减，当t =时，2472t t y -+=取到最小值9422-，所以四边形ABEF 面积最大值为981249+=．【点睛】关键点点睛：一：充分利用第一问的结论来解决第二问的问题；二：充分利用sin cos θθ+和sin cos θθ的关系，利用换元法求最值.。
大联考2023届高三上学期期末数学试题
所以 ．
故选：D
5.在三棱锥 中， ，且 ， ，则该三棱锥的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ， ，求出 为等边三角形， ，由余弦定理得到 ，从而由勾股定理逆定理得到 ， ，结合三角形面积公式得到 ， ，作出辅助线，得到 ，从而求出该三棱锥的表面积.
【答案】
【解析】
【分析】要使 的值域为 ，只要 时， 在 上有解且 恒成立即可．
【详解】 ，
，
，
易知当 时， ，
若当 时， ，
则当 时， ，
此时显然 的值域不为 ，不符题意，
又 ，
所以不等式 在 内有解，
且 恒成立，
即 在 内有解，且 恒成立，
设 ，
则 ，
综上，当 时， ， 单调递增，
，
设 ，
则 ，
A. B.2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨假设 ， ，则可求 ，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得 ，整理出 ，代入 之后再结合基本不等式即可求出答案
【详解】解：设 ， ，则 ．
∵点B，D都在椭圆C上，∴ 两式相减，得 ．
∴ ，即 ．
∴ ．当且仅当 时取“=”．
故选：B．
8.已知 ， ， ，则（）
（1）求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知当 时， ．若 ，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题干条件分情况 和 求概率,写出分布列计算数学期望即可;
(2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n.
2024届湖北省三市联考高三数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
2024届湖北省三市联考高三数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π2．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2log 33．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或04．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3605．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．66．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．128．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．-C ．18D ．9．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③10．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-111．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -12．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届山东省名校联盟新教材数学高三第一学期期末联考试题含解析
2025届山东省名校联盟新教材数学高三第一学期期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．22．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=3．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．185．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -6．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 7．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．5610．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33B ．3C 33-D ．3211．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]12．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1e 2⎛⎝ B ．12e ⎡⎢⎣C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题(解析版)
2023届福建省龙岩市一级校高三上学期期末联考数学试题一、单选题1．如图，已知U 是全集，,,A B C 是U 的三个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()ABC B ．()A B C C ．()ABCD ．()ABC【答案】C【分析】结合韦恩图分析阴影区域和集合,,A B C 的关系即可.【详解】依题意，阴影部分区域是A 的补集与集合,B C 三者的公共部分，即()A B C .故选：C2．已知复数()()1i 1i λ=++-z 是纯虚数,则实数λ=（ ） A ．－1 B ．1C ．－2D ．2【答案】A【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】()()()1i 1i 11z i λλλ=++-=++-,根据题意得1010λλ+=⎧⎨-≠⎩,解得1λ=-. 故选:A.3．“点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=相交等价于2222214a b a b <⇔+>+，从而有,p q q p ⇒，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B4．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm ，下底面边长为15cm ，侧棱长为10cm ，则该米斗的容积约为（ ）A ．26003cmB ．29003cmC ．31003cmD ．35003cm【答案】B【分析】画出图形，作出辅助线，求出棱台的高，利用棱台体积公式进行计算.【详解】画出此四棱台，如下：则15AB BC CD DA ====cm ，25EF FG GH HE ====cm ，10AE BF CG DH ====cm ，过点B 作BP ⊥底面EFGH 于点P ，点P 落在对角线HF 上，过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，连接BQ ， 因为EF ⊂平面EFGH ，所以BP ⊥EF ， 因为BPPQ P =，,BP PQ ⊂平面BPQ ，所以EF ⊥平面BPQ ， 因为BQ ⊂平面BPQ ， 所以EF ⊥BQ ， 其中()152QF EF AB =-=cm ，同理可得5PQ =cm ， 由勾股定理得：221002553BQ BF FQ =--=， 故22752552BP BQ PQ --，正方形EFGH 的面积为2125625S ==2cm ，正方形ABCD 的面积为2215225S ==2cm ，则该米斗的容积(()1212116125262522537552288733V S S S S BP =+⋅=⨯++⨯=≈3cm故选：B5．已知12ln 23a b -==，，6πsin 7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】A【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.【详解】1ln 2e ,2a =>=6πππ1sinsin sin 7762c ==<=,121323b -==>; 33ln 212ln 2333a b --==因为33222e >>，所以3ln 210->，所以a b >.综上可得a b c >>. 故选：A.6．抛物线E 的焦点为F ，对称轴为l ，过F 且与l 的夹角为3π的直线交E 于A ，B 两点，AB 的中点为M ，线段AB 的中垂线MD 交l 于点D ．若MFD △的面积等于23AB 等于（ ） A ．52B ．4C ．5D ．8【答案】D【分析】依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，不妨设直线AB 的倾斜角为3π，直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出M 的坐标，从而求出直线MD 的方程，则D 的坐标可求，再根据三角形面积求出p ，最后根据焦半径公式计算可得.【详解】解：依题意不妨设抛物线为()220y px p =>，则,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据对称性不妨设直线AB 的倾斜角为3π，则直线:32p AB y x ⎫=-⎪⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 整理得2233504p x px -+=， 所以1253p x x +=，则()121223333p y y x x p +=+-=， 所以53,63p p M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则直线MD 的方程为335336ppyx ，令0y =，解得116p x =，即11,06p D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1112623233MFDp p Sp⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=⨯，解得3p =或3p =-（舍去）， 所以26y x =，则125x x +=， 所以128AB x x p =++=. 故选：D7．定义在区间[]0，a 上的函数()f x 的图象如图所示，记为()()00A f ，，()()B a f a ，，()()C x f x ，为顶点的三角形的面积为()s x ，则函数()s x 的导数()s x 的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当C 从A 运动到B 的过程中，面积先增加再减小，然后再增加再减小，由此求出结果． 【详解】连接AB ，BC ，CA ，以AB 为底，C 到AB 的距离为高h ．让C 从A 运动到B ,明显h 是一个平滑的变化,这样()S x 是平滑的变化．因为函数()12S x AB h =⨯，其中h 上为点C 到直线AB 的距离AB 为定值，当点C 在(]10,x 时，h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正，当点C 在[)12,x x 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负，变化率的绝对值由小变大，当点C 在[)23,x x 时h 越来越大，s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正：变化率由大变小，当点C 在[)3,x a 时，h 越来越小，s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负．故选D ． 【点睛】本题考查原函数图像与导函数图像之间的关系，属于一般题．8．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ） A ．12B ．14C ．124D ．1144【答案】B【分析】随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．【详解】解：随机逐个面试共有66A 种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：①男男男女女女，此时有3333A A 36⨯=种；②男男女男女女，此时有212332A A A 36=⨯⨯种； ③男男女女男女，此时有2233A A 36⨯=种； ④男女男男女女，此时有11223322A A A A 36=种； ⑤男女男女男女，此时有3333A ?A 36=种；故共有365180⨯=种，所以概率为661801A 4=故选：B ．二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，则下列直线中与直线BM 是异面直线的有（ ）A ．1AAB ．1BBC ．1CCD ．1DD【答案】AC【分析】观察图形可得到1BB BM B =，1DD BM M =，1AA 与1CC 与直线BM 是异面直线.【详解】显然1BB BM B =，1DD BM M =，BD 错误；1AA 与1CC 与直线BM 既不平行，也不相交，是异面直线，AC 正确.故选：AC10．某校为调查学生身高情况，按比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，已知其中男生23人，平均数为170.6，方差为12.59；女生27人，平均数160.6，方差为38.62. 下列说法正确的是（ ）A ．这个样本的平均数为165.2B ．这个样本的方差为51.4862C ．该校女生身高分布比男生集中D ．该校男生的身高都比女生高【答案】AB【分析】先求解样本的平均数和方差，结合选项可得答案. 【详解】先求样本的平均数： 23170.627160.6165.2,2327⨯+⨯=+再求样本的方差：222327[12.59(170.6165.2)][38.62(160.6165.2)]51.48625050⨯+-+⨯+-=. 所以A,B 均正确；因为38.6212.59>，所以该校男生身高分布比女生集中，所以C 不正确； 样本数据无法得出男生的身高都比女生高，所以D 不正确. 故选：AB.11．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是周期函数，周期为πC ．()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 的最小值是1-【答案】AD【分析】根据偶函数的定义判断A ，根据周期性的定义判断B ，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简函数解析式，再根据正弦函数的性质判断C ，判断函数的周期，再分[]0,πx ∈，()π,2πx ∈两种情况求出函数的值域，即可判断D.【详解】解：因为()cos sin f x x x =+，所以()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，故()cos sin f x x x =+为偶函数，故A 正确； 对于B ：()()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x f x +=+++=-+≠，故π不是函数的周期，故B 错误；对于C ：当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin 0x >，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则,π3π5π444x ∈+⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在3π5π44,⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错误；对于D ：因为()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=+++=+=， 所以2π是函数的一个周期，当[]0,πx ∈时sin 0x ≥，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 4x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎝⎦⎭，则()f x ∈-⎡⎣，当()π,2πx ∈时sin 0x <，则()πcos sin cos sin 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，则π5π9π,444x ∈⎛⎫+⎪⎝⎭，所以πcos 4x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎭，则()(1f x ∈-，综上可得()f x ∈-⎡⎣，故D 正确；故选：AD12．设数集{},,,S a b c d =满足下列两个条件：（1）,,x y S xy S ∀∈∈；（2）,,x y z S ∀∈，若x y ≠则xz yz ≠.则下论断正确的是（ ） A ．a b c d ,,,中必有一个为0 B ．a ，b ，c ，d 中必有一个为1 C ．若x S ∈且1xy =，则y S ∈ D ．{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==【答案】BCD【分析】根据（1）（2）得到0S ∉，1S ∈，A 错误，B 正确；再分1a =，1a ≠，两种情况，经过推理得到C 正确；在C 选项的分析基础上，得到若1a ≠，此时求出{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，若1a =，推理出,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾，得到D 正确.【详解】由（1）得：数集S 中必有1或0， 由（2）得：0S ∉，故1S ∈，A 错误，B 正确； 由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =， 下面证明C 正确，因为x S ∈，若x b =，则y cd =，由（1）知：y cd S =∈，满足要求， 同理若x c =，则y bd S =∈，满足要求，若x d =，则y bc S =∈，满足要求， 若x a =，因为1S ∈，若1a =，则1y S =∈，满足要求，若1a ≠，则,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 由（1）知：ac S ∈，又因为1a ≠，1c ≠，所以ac a ≠，ac c ≠，故ac d =， 同理可得ad c =，所以相乘得ab ad dc ⋅=，解得：21a =， 因为1a ≠，所以1a =-，故取1y S =-∈，满足要求， 综上：若x S ∈且1xy =，则y S ∈，C 正确； 下面证明D 正确；由（1）知：abcd S ∈，故abcd 等于a b c d ,,,中的一个， 不妨设abcd a =，因为0S ∉，所以0a ≠，故1bcd =，若1a ≠，则1abcd ≠，因为,,b c d 中某个等于1，不妨设1b =，由1bcd =得1cd =， 根据C 选项的分析可知：ac d =，ad c =，1a =-，则d c -=，故21cd d =-=，故i d =，i c =-，若i d =-，i c =， 此时{}1,1,i,i S =--，{}i,1,1S ∃-⊆，使得22,x y y z ==，D 正确； 若1a =，则1abcd =，1bcd a ==，由（1）知：cd S ∈， 若1cd a ==，则b bcd a ==，不可能， 若cd c =，则1d a ==，不可能， 若cd d =，则1c a ==，不可能，所以cd b =，故2b bcd a ==，同理可得：22,c a d a ==， 因为a 的平方根有且只有2个，所以,,b c d 中至少有2个相同，这与集合中元素的互异性矛盾， 故不存在1a =即1abcd =的情况，故{},,x y z S ∃⊆，使得22,x y y z ==，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题13．已知3a =，5b =且,45a b =，则a 在b 上的投影向量为__________．【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】因为3a =，5b =且,45a b =， 则a 在b 上的投影向量为232cos 4532510b b a b b=⨯⨯=，. 14．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，若曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，则该曲线在1x =处的切线方程为___________.【答案】30x y +-=【分析】依题意可得()12f -=且()11f '-=，又()f x 为偶函数，即可求出()1f ，再对()()f x f x -=两边求导，即可求出()1f '，从而求出切线方程.【详解】解：因为曲线()y f x =在1x=-处的切线方程为30x y -+=，所以()12f -=，且()11f '-=， 又()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()()112f f =-=，对()()f x f x -=两边求导可得()()f x f x ''--=，所以()()111f f ''=--=-，所以该曲线在1x =处的切线方程为()211y x -=--，即30x y +-=. 故答案为：30x y +-=15．三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,23,4,30ABC PA PC AB AC BAC ====∠=.若三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.【答案】18π【详解】试题分析： 由题意，得，∵，∴，∴的外接圆直径，设球心为,的中点为,球的半径为,则∴，则有该三棱锥的外接球的半径，∴该三棱锥的外接球的表面积为.【解析】球的体积和表面积.【方法点睛】本题主要考查的是三棱锥的外接球表面积，直线与平面的位置关系，属于中档题，对于本题而言，根据题中条件画出立体几何图形，求出，假设出球心，利用勾股关系，可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积,因此确定三棱锥的外接球的半径是解决此类题目的关键.16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若122PF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为________.【答案】【分析】由122PF PF =和122PF PF a -=计算可得14PF a =，22PF a =，易得12FO F O =，PO MO =，可得出四边形12PF MF 为平行四边形，又得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中利用余弦定理计算得出3c a =，最后可得出离心率. 【详解】由题122PF PF =，①由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，②由①②可得14PF a =，22PF a =，又12FO F O =，PO MO =， 所以四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ︒∠=，可得1260F PF ︒∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a ︒⋅⋅⋅=+-， 即2224208c a a =-，223c a =，可得3c a =，所以3==ce a. 故答案为：3.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.四、解答题17．已知正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且a 1＝1，21n a +＝Sn ＋1＋Sn .（1）求{an }的通项公式；（2）设212n an n b a -=⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .【答案】（1）()n a n n N +=∈ ； （2）1(23)26n n T n +=-⋅+.【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合递推式21n a +＝Sn ＋1＋Sn 即可求解.（2）由n b =(2n －1)·2n ，利用错位相减法求和即可. 【详解】解：（1）由21n a +＝Sn ＋1＋Sn ① 所以当n ≥2时，2n a ＝Sn ＋Sn －1，②①－②得21n a +－2n a ＝an ＋1＋an ，即(an ＋1＋an )(an ＋1－an )＝an ＋1＋an ，因为an >0，所以an ＋1－an ＝1，所以数列{an }从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知22a ＝S 2＋S 1，因为a 1＝1，所以a 2＝2， 所以当n ≥2时，an ＝2＋(n －2)×1，即an ＝n .③ 又因为a 1＝1也满足③式，所以an ＝n (n ∈N *)．（2）由（1）得212n an n b a -=⋅＝(2n －1)·2n ， 则Tn ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －1)·2n ，④ 2Tn ＝22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，⑤ ④－⑤得－T n ＝2＋2×22＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1， 所以－Tn ＝2＋()3121212n ---－(2n －1)·2n ＋1，故Tn ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n 项和n S 与n a 的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.18．ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos B b A b -=. (1)求A 的大小；(2)若ABC 的周长等于3，求ABC 的面积的最大值. 【答案】(1)π3【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合角A的范围，可求出角A 的值，（2）由余弦定理结合基本不等式可得1bc ≤，然后利用三角形的面积公式可求出ABC 面积的最大值.【详解】（1sin cos B b A b -=，sin sin cos sin A B B A B -=，又sin 0B ≠cos 1A A -=，11cos 22A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-①， 又3a b c ++=，所以3a b c =--，代入①得222(3)b c b c bc --=+-， 整理得6639b c bc +=+，又因为2b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号， 因为3b c +<，所以32bc <， 所以430bc bc -+≥，解得1bc ≤或3bc ≥（舍去），故1bc ≤，故ABC 的面积133sin 244S bc A bc ==≤，当且仅当1b c ==时取等号， 所以ABC 面积的最大值为34. 19．在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，2222,90BC AD AB ABC ︒===∠=，如图把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD .(1)若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由. 【答案】2 (2)14【分析】（1）以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到面的向量距离公式求解；（2）由（1）中已经求出的平面ACD 的法向量，设出N 的坐标，写出AN ，利用线面角的向量公式列式计算即可.【详解】（1）由已知条件可得2,2,BD CD ==CD BD ⊥． 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，根据面面垂直的性质定理，故CD ⊥平面ABD ．过点D 在平面ABD 作Dz DB ⊥，则Dz DC ⊥．以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ．则(0,2,0)CD =-，(1,0,1)AD =--，(1,1,0)MC =-.设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则,CD n AD n ⊥⊥，0,0,y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，得平面ACD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，于是点M 到平面ACD 的距离22n MC d MC⋅==．（2）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60． 设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-，(12,2,1)AN λλ=--， 又平面ACD 的法向量(1,0,1)n =-且直线AN 与平面ACD 所成角为60︒，∴221213sin 60221(12)4AN nAN n λλλ⋅-+===⋅+-+28210λλ+-=， ∴1142λλ==-或（舍去）．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ． 20．甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军.假定甲队在主场获胜的概率为12，在客场获胜的概率为13，在第三场比赛中获胜的概率为25，且每场比赛的胜负相互独立.(1)已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；(2)比赛主办方若在决赛的前两场中共投资m （千万元），则能盈利2m（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资n （千万元）n .若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？【答案】(1)15(2)34千万元.【分析】(1)甲获胜，且比赛进行了三场，说明前两场一队赢一场，第三场中立场甲赢； (2)根据总盈利和进行的场次有关，求出总盈利2m，即比赛只需进行两场的概率，再求出总盈利为2m+. 【详解】（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场， 所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场， 设甲获得冠军时，比赛需进行的场次为X ，则111121(3)11232355P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由题可得1m n +=，所以[]1,0,1m n n =-∈ 比赛结束需进行的场次即为Y ，则2,3Y =，设决赛总盈利为Z ，则,22m mZ = 11111()(2)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11111((3)11223232m P Z P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以决赛总盈利为Z 的分步列如下，所以11111()2222222m m E Z m n ⎛=⨯+⨯=+-+ ⎝，所以211()22E Z =-，12=，即14n =时，二次函数211()22E Z =-有最大值为58，所以以决赛总盈利的数学期望为决策依据， 则其在前两场的投资额应为13144m =-=千万元.21．已知2EF =，动点C 满足：4FC =且,,E F C 三点共面.线段EC 的垂直平分线为l ，点M 在l 上且FM FC ⊥，P 为线段CF 延长线上的点，且PCM PEM ∠=∠，记P 的轨迹为曲线Γ. (1)求证PE PF FC +=，并建立适当的坐标系，求Γ的方程； (2)判断直线l 与Γ公共点的个数，并说明理由. 【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)1个公共点【分析】（1）由待证表达式可以猜想轨迹是椭圆，故可以EF 的中点为原点建立坐标系，结合题干条件，构造全等三角形证明待证表达式，从而易得椭圆的方程；（2）分直线EC 的斜率是否存在作为切入点，此即等价于考虑0x 是否等于1±，写出l 方程后，联立直线l 和椭圆方程，计算判别式进行求解.【详解】（1）以EF 所在的直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy 如图，在线段FC 上取点Q ，使得PF FQ =，因为MF PQ ⊥，所以MP MQ =，因为M 在EC 的垂直平分线上，所以ME MC =，又因为PEM PCM ∠=∠，所以△MPE 和MQC △全等，所以PE QC =，所以4PE PF FQ QC FC +=+==；又FC EF >，即P 的轨迹是以,E F 为焦点的椭圆，设Γ的方程为()222210x y a b a b+=>> ，则24a FC ==，得2a =，2213b a =-=，又因为当C 在直线EF 上时，点M 不存在，所以τ的方程为()221043x yy +=≠（2）设()00,C x y ，则EC 的中点为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，00y ≠. 1°当01x =-时，此时EC ()220014x y -+解得023y =±l 的方程为3y =此时l 与τ恰有一个公共点，和椭圆相切与上顶点（或下顶点）（如图）；2°当01x ≠-时，如图，则EC 的斜率为001y x +，l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得：2200000112x x y y x y y +-+=-+，因为()2200116x y -+=，所以l 的方程可化为000017x x y x y y ++=-+，代入22143x y +=得：()()2200217143x x x x y -+++⎡⎤⎣⎦+=， 整理得：()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦（＊） 由()2200116x y -+=得()2200161y x =--代入“＊”并整理得：()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=，由()2200116x y -+=可知，07x ≠-，此时[]22200008(1)(7)416(7)(1)0x x x x ∆=-++-⨯⨯++=，l 与τ恰有一个公共点.综上，l 与τ恰有一个公共点．22．已知()e cos x af x x -=+.(1)若3π2a =，求f （x ）在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； (2)若1a ≤，证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【答案】(1)1. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数3π2()e sin x f x x -'=-，由此令3π2()e sin x g x x -=-，根据其导数判断()f x '的单调性，进而判断其值的正负，可得()f x 的单调性，进而求得最值;（2）由于要证明()e sin 0x f x x α-'=->在(0,)+∞是恒成立，故根据其结构特征，先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，利用这两个结论即可证明()e sin 0x f x x α-'=->，从而证明结论.【详解】（1）若3π2a =，则3π2()e cos x f x x -=+，故3π2()e sin x f x x -'=-， 令3π2()e sin x g x x -=-，则3π2()e cos 0x g x x -'=->在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，故()f x '在 π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，又ππ()e 102f -'=-< ，3π()1102f '=+>，故存在π3π(,)22k ∈，使得()0f k '=，则π[,)2x k ∈时，()0f x '<，3π(,]2x k ∈时，()0f x '>，故()f x 在π[,)2k 递减，在3π(,]2k 递增，故max π3π()=max{()()}22f x f f ，，又ππ()e 2f -= ，π3π()1e 2f -=> ，故()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为3π()12f =.（2）先证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立．令()()e 1xh x x =-+，则()e 1x h x '=- ，当0x >时，()0h x '> ，当0x <时，()0h x '< ， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 所以()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥ ，即e 1x x ≥+恒成立．令()sin ,(0)x x m x x =-≥，则()1cos 0m x x '=-≥，仅在0x =时取等号， 所以()m x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00m x m ≥= ，即sin ,0x x x ≥≥成立，所以()()()()e sin 1sin sin 1x f x x x a x x x a α-'=-≥-+-=-+-，由于sin 0,0x x x -≥≥，当0x >时，sin 0x x ->，而1a ≤，则10a -≥ ，故0fx，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【点睛】关键点点睛：利用导数证明()f x 在(0,)+∞上单调递增，即要证明其导数在(0,)+∞上大于或等于0恒成立，求出导数()e sin x f x x α-'=-后，关键在于根据其结构特征，构造函数证明e 1x x ≥+成立，再证明sin ,0x x x ≥≥成立，从而利用这两个结论，证明()e sin 0x f x x α-'=->成立.。
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高三上学期期末联考数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量
，，且，则实数的值为
A ．
B ．
C ．
D ． 2.设集合
，
，若，则实数的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知直线平面,直线
,则“”是“”的
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 定义：
.若复数满足
，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．
5.函数
在处的切线方程是 A ．B ．C ．D ．
6. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是 A ． B ．C ．
D ．
7.若函数
的图象（部分）如图所示，
则和
的取值是
A ．
B ．
C ．
D ．
(3,1)a = (,3)b x = a b ⊥
x 91-9-{}
U =1,2,3,4{
}25M =x U x x+p =0
∈-{}2,3U
C M =p 4-46-6⊥l αβ平面⊂m βα//m l ⊥a b
ad bc
c d
=-z 1
12z
i
i i
=-+-z 1i +1i -3i +3i -()ln(1)sin 2f x x x =+-0x =0x y -=0x y +=10
x y -+=10x y +-=2
)(x x f =x
x f 1)(=
x
e x
f =)(x x f sin )(=()cos()f x x ωϕ=+ωϕ1,4
4π
ωϕ==-
1,4
4π
ωϕ==
,4
4π
π
ωϕ=
=
,4
4π
π
ωϕ=
=-
8.若函数的零点与
的零点之差的绝对值不超过，则可以是
A ．
B ．
C ．
D ． 9．已知，若方程
存在三个不等的实根，则的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知集合,。
若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．无数个
第二卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡上.
11.已知随机变量
，若，则等于******． 12．某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是 ****** ．
13.已知抛物线的准线与双曲线相切，
则双曲线的离心率****** ．
)(x f 224)(-+=x x g x
1
4)(x f 14)(-=x x f 2)1()(-=x x f 1)(-=x
e x
f )21
ln()(-=x x f ⎪⎩⎪⎨⎧
>
≤≤--=)1( log )10( |2
1|21)(2013x x x x x f m x f =)(321,,x x x 321x x x ++)2013,1()2013,2()2014,1()2014,2({(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z {(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z ,a b A B ≠∅ (,)a b 22{(,)|108}C x y x y =+≤),0(~2σξN 2.0)02(=≤≤-ξP )2(≥ξP 2
8y x =2
22:1x C y a -=C e =
14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为 ****** ．
15.已知不等式，若对任意
且，该不等式恒成立，则实 数的取值范围是 ****** ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（本小题满分13分） 在等差数列
中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，
公比为，且，．
（Ⅰ）求
与
；
（Ⅱ）证明：
．
17. （本小题满分13分）
已知向量
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。
18.（本小题满分13分）图一，平面四边形关于直线对称，
，
，
．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．
对于图二，完成以下各小题： （Ⅰ）求
两点间的距离；
0,40,x y x y x a +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
a
22
2xy ax y ≤+[]2,1∈x []3,2∈y a {}n a 31=a n n S {}n b 11=b q
1222=+S b 2
2b S q =
n
a n
b 121111233
n S S S ≤+++< 22(sin ,cos sin ),(4sin ,cos sin ),()4x a x x b x x x f x a b
π+=+=-=⋅ )(x f )(x f y x ABCD AC 3π
=
A 2π
=
C 2=C
D ABD BD C BD A --33
C
A ,
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
19.（本小题满分13分）二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒．引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm ．罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率； （Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及E ξ
20.（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点
,为椭圆
的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
⊥AC BCD AC ABD x C (0,1)Q C C 6(,0)
5-C A B
①若直线垂直于轴，求
的大小;
②若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直
线的方程；如果不存在，请说明理由. 21.(本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，
①方程
有实数根；②函数的导数满足．
x AQB ∠x QAB ∆M M x f ∈)(0)(=-x x f )(x f )(x f '1)(0<'<x
f。