基于马尔科夫更新过程的侦察系统可靠性分析

２０１０—０３ ２９（３）
鼻工Ｉ动化 Ｏｒｄｎａｎｃｅ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ
·７·
ｄｏｉ：１０．３９６９０．ｉｓｓｎ．１００６—１５７６．２０１０．０３．００３
基于马尔科夫更新过程的侦察系统可靠性分析
沈吉锋１，张永志１，宋朝河２，陈芬１ （１．蚌埠坦克学院计算机教研室，安徽蚌埠２３３０５０：２．解放军炮兵学院研究生４５队，安徽合肥２３００３１）
Ｂ ａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｒｋｏｖ Ｒｅｎｅｗａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓ Ｃｒｅｄｉｂｉｌｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｒｅｃｏｎｎａｉｓｓａｎｃｅ Ｓｙｓｔｅｍ
ＳＨＥＮ Ｊｉ．ｆｅｎｇｌ，ＺＨＡＮＧ Ｙｏｎｇ．ｚｈｉｌ，ＳＯＮＧ Ｃｈａｏ．ｈｅ２，ＣＨＥＮ Ｆｅｎｌ （１．Ｓｔａｆｆ Ｒｏｏｍ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｂｅｎｇｂｕ Ｔａｎｋ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｂｅｎｇｂｕ ２３３０５０，Ｃｈｉｎａ；
ｈｉ（ｆ）＝ｇｉ（ｆ）＋三ｆ ＪＩｌＪ（ｆ－－Ｕ）ｄＱⅡ（“），ｆ∈Ｅ
即：
ｈｉ（ｆ）＝ｇｉ（ｆ）＋∑ａ口（ｆ）宰ｈｊ（ｆ一“），ｆ∈Ｅ
ｊＥＥ
其中，ｈｆ（ｆ）、ｇｆ（ｔ）都是定义在【Ｏ，ｏｏ）上的非负、 在任何有限区间上的有界函数。
１ 马尔科夫更新过程的概念
２侦察系统可靠性分析模型
设随机变量乙取值在Ｅ＝｛Ｏ，１，…，Ｋ）中，而随机 变量Ｌ取值在【０，ｏｏ）中，且有０＝死≤ｒｌ≤疋≤…≤ 兀，ｎ＝Ｏ，ｌ，…，如果对所有ｊ『∈Ｅ，忿０，有Ｐ｛乙＋ｌ习，
Ｏ：一个部件开始工作，另一个部件储备； ｌ：一个部件开始工作，另一个部件开始修理； ２：一个部件发生故障，另一个部件在修理。 进一步假设ｘ（ｏ表示时刻ｔ系统所处的状态； 瓦（丁ｏ＝０）表示系统第，１次发生状态转移的时刻。令 ｚ。－－－ｘ（Ｌ＋Ｏ），表示系统在第ｎ次状态转移的时刻所 进入的状态，因此，｛乙，丁。，ｎ＝Ｏ，１，…｝构成马尔科 夫更新过程。根据系统的假设以及马尔科夫更新过 程理论，得到系统状态之间的转移关系如图１。
表１ 系统寿命时间统计表（单位：ｈ）
统计次数
寿命时间
～一一一一一一 一一一一一一一 维修时间
统计次数 寿命时间 维修时间
一 ～一～一
万方数据
根据表ｌ并结合式（１０），对寿命时间和维修时 间分布函数的参数估计可得：互＝ｏ．１ｌ；西：４．７９： 丘＝０．１０。由式（３）可知，系统稳态可用度 Ａ＝０．９５０７。对式（３）作拉普拉斯反变换，得到雷 达系统的瞬时可用度，如图２（虚线）。
根据ＭＲＰ过程极限定理可知。系统稳态可用度
为：Ａ＝ｌ，ｉ．＋ｍ。ＪＡ。（ｊ）＝互：Ｆ丢孑：；笔专耘ｃ４，
３）侦察系统的瞬态可用度 对式（３）作拉普拉斯反变换，可得系统的瞬态 可用度。但是冷储备系统的工作时间通常比系统进 入稳态可用度的时间短，稳态可用度很难描述系统 瞬态可用度的动态变化；而且当寿命时间和维修时 间函数较为复杂时，无论是拉普拉斯变换还是反变 换都会遇到计算困难。故采用时域迭代法求解更新 方程组，以获取冷储备系统的瞬态可用度。为讨论 方便，改写更新方程组为：
２．Ｎｏ．４５ Ｂｒｉｇａｄｅ ｏｆ Ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅ，Ａｒｔｉｌｌｅｒｙ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ ＰＬＡ，Ｈｅｆｅｉ ２３００３ １，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｃｒｅｄｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｌｄ ｓａｖｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｌｉｆｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｏｆ ｍａｉｎｔａｉｎｉｎｇ ｄｉｓｏｂｅｄｉｅｎｃｅ ｏｒ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｂｅｄｉｅｎｃｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｎｏｎ－Ｍａｒｋｏｖ，ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｕｓａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｒｋｏｖ ｒｅｎｅｗａｌ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｕｓａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｄａｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｉｔ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｖａｌｉｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔＯ ｎｏｎ—Ｍａｒｋｏｖ ｓｙｓｔｅｍ．
Ａｏ（ｔ）２ ｊｏＡｔ（卜ｕ）ｄＱ。ｌ（“）＋【１一Ｆ（ｆ）】
删－ｌ
Ａ一１（ｔ－ｕ）ｄＱｌｌ（／／）
’（５）
＋上Ａ２（ｔ—ｕ）ｄＱｌ２（“）＋【ｌ一，（ｆ）】
Ａ２（ｔ）２上Ａｌ（ｆ—ｕ）ｄＱ２１（“）
令“咖等盟；咖）＝了ｄＱｕ（ｕ）Ｕ
：
ａ
Ｑ“
删＝掣；喇＝了ｄＱ２１（ｕ）Ｕ
，并且设峨（ｆ）＜
ｄ
ｏ“
Ｍ，ｔＥ【０，＋∞），ｉ＝Ｏ，１，２，根据幂级数解的形式，则
可靠性分析模型，对这３个可靠性指标进行分析。 １）模型假设 假设２个同型部件构成的贮备系统中，每个部
件的工作寿命ｘ服从韦布尔分布ｗ（ａ，名），密度函
数厂ｘ（ｔ）＝Ｚ ａ（Ａｔ）口一１ ｅ一‘２ ７厂，ｔ≥Ｏ；名，口＞０和 分布函数Ｆ，（ｔ）＝ｌ—ｅ－（２‘ｒ，ｔ≥０， 其中
口以：ｆ［ｔｄＦ，，（ｆ）；部件故障后的修理时间ｌ，服从参 Ｊ０
根据表１，对系统部件的寿命时间和维修时间 参数的估计值，可知其分布为：
Ｆ ｒ（ｔ）＝ｌ—ｅ一（４．７９‘）””，ｔ≥０ Ｆ，（ｔ）＝１一ｅ。０＿ｏ‘，ｔ≥０
运用Ｍａｔｌａｂ计算机程序，对可用度的马尔可夫 更新方程的迭代进行算法计算，结合式（６）得到冷 储备系统的瞬时可用度变化曲线，如图２（实线）。
㈣
（一７）
通过编程计算上述迭代方程，可计算Ｈ｛系统可
万方数据
第３期
沈吉锋，等：基于马尔科夫更新过程的侦察蚕统可靠性分析
·９．
用度的瞬时值。 ４）可靠性分析模型的参数估计 假定系统寿命时间为随机变量，且服从
Ｗ（∥，∥），其分布函数为： Ｆ（Ｙ）＝１一ｅｘｐ｛一（五Ｙ）卢ｌ
其可靠度函数为：Ｒ（ｙ）＝ｅｘｐ｛一（ｆｌＹ）∥）。 其中，Ｙ＞０，∥＞０，∥＞０。
结合式（１），对式（２）作ＬＳ变换，求解可用度
更新方程组，可得：
五。（Ｊ）：坠型娶幽土盟生丛 。。 ｓ【１一Ｆ（Ｓ）＋Ｆ（ｓ＋∥）】
Ａ，（，）：
！！二！生掣
‘３’
ｓ Ｌｌ—Ｆ【ｓ）＋Ｆ【ｓ＋芦）Ｊ
Ａ，（Ｊ）：
笪！！二！兰！！！己
一一
ｓ【ｓ＋∥）【１一Ｆ【Ｓ）＋Ｆ（ｓ＋∥）Ｊ
因此有．１圳Ｊ— ｉ＇ｍＵ ｓＡ。（ｓ）－ｌ删Ｊ—ｉ＋ｍＵ ｓＡｌ（ｓ）．１圳Ｊ—ｉ＇ＵｍｓＡ２（ｓ）。
摘要：针对系统部件寿命或修理时间不服从，或不完全服从指数分布的非马尔科夫型冷贮备可修系统的可用性， 基于马尔科夫更新过程理论建立可用性分析模型，并依据时域迭代法分析系统的瞬时可用度。通过对雷达系统的可 用性分析，检验了模型的可行性，为非马尔可夫型系统的可用性分析提供了有效的方法．
关键词：马尔科夫更新过程；可用度；时域迭代法；极大似然估计 中图分类号：Ｎ９４５．１７ 文献标识码：Ａ
部件１
ｌ●●●
Ｉ●●● ●●●
部件２ 系统状态
●●●● ●●●●
ｌ
Ｉ
Ｉ工作▲····Ｉ 修理 Ｌ－……～Ｊ储备
图１ 系统状态转移关系图
根据半马尔科夫核的表达式，可知：
Ｑ０１（ｆ）＝ｅ｛ｘ≤ｆ）＝１一ｅ一‘五’’４ Ｏｌｌ（ｆ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｔ，Ｙ＜Ｘ｝
５¨足（ｆ）一日（ｕ）］ｆｙ（ｕ）ｄｕ
Ｑ１２（ｆ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｔ，Ｘ＜Ｙ｝
ｍ
哪
嘶
叫
眦
咖
一表示迭代法模拟曲线 …一－拉普拉斯逆变换计算结果 图２侦察系统瞬时可用度曲线
４ 结束语
该模型为寿命时间服从韦布尔分布的冷贮备系 统提供了可靠性分析方法。满足增失效率序的寿命 函数的非马尔可夫系统是否均可运用该模型进行可 靠性分析，还要在后续研究工作中进行探索。
参考文献：
【１】曹晋华，程侃．可靠性数学引论【Ｍ】．北京：科学出版 社．２００６：２６６—２７１．
布Ｇ（石）可知：
Ｉ厂ｌ＝了一，矽
Ｔ＋７ｉ ｛
兀２秒２ ，
【ｙｚ ２
（９）
其中，ｒ＝－０．５７７ ２１５为欧拉常数。
由上述分析可得（∥，∥）的矩估计分别为：
ｆ互：ｅｘｐ』一三一二垂二！生坚王二』堕’｝
｛【Ｊຫໍສະໝຸດ （１０）卜瓤ｎＱ＿ｐ２卜
其中，Ｐ＝∑＿ｌｏ ｏｇ ｘ。‘ ；ａ＝∑＿（１０９ Ｘ。“’）２。
３ 雷达系统的可靠性分析
在装备的可靠性分析中，最重要的指标是系统 首次故障前的时间分布、系统可靠度以及系统的平 均故障次数。故基于马尔可夫更新过程理论，建立
Ｌ＋１一Ｌ９ ＩＺｏ，Ｚｉ，…，乙，Ｔｏ，Ｔｌ，…，Ｌ）＝Ｐ｛乙＋ｌ＝Ｊ，死＋ｌ一死
９％｝，则随机过程（Ｚ＇Ｔ）＝ｌＺｎ，Ｔｎ，ｎ＝０，１，…｝称为状
态空间Ｅ上的马尔科夫更新过程；又如果对所有ｆ， Ｊ∈Ｅ ｔ之０，ｅ｛ｚ肿ｌ＝ｊ，Ｔ。＋广Ｔ。５ ｔ ＩＺ。＝ｉ｝＝Ｑｉｊ（ｔ）与ｎ 无关，则称（Ｚ’乃是时齐的，称｛Ｑｆ，（力，‘＿『∈Ｅ Ｊ为半 马尔科夫核。当状态空间只有一个状态Ｅ－＇｛Ｏｌ时， 则｛瓦＋１一瓦，ｎ＝０，ｌ，…ｌ是独立同分布随机变量序列， 故｛死，ｎ＝０，１，…ｌ是部分和过程，即马尔科夫更新过 程成为更新过程。根据分析，经过化简可求得马尔
假定得到系统的寿命时间试验的以个完全样本 数据为：ｘｌ，ｘ２，…，墨。这，１个数据可看作来自 总体ｗ（∥，∥）的容量为，ｚ的样本，则ｌｏｇＸｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ 是独立同分布的随机变量，其共同分布为极值分布：
Ｇ（工）＝１－ｅｘｐ（．ｅｘｐ（孚））
（８）
其中，ｉ＝ｌｏｇ（口），０＝五。
记扎＝Ｅ［（１０９ ｘ，）‘】，ｋ＝１，２，…，根据极值分
（１）