弹塑性力学论文

工程中张量概念的思考
摘要：针对用张量表示弹性力学基本概念的应用，从几何与代数角度分析张量，进而掌握其在力学表达式中的简明记法与意义。

关键词：弹性力学；应力张量；应变张量；
张量是几何与代数中的基本概念之一。

从代数角度讲， 它是向量的推广。

我们知道， 向量可以看成一维的“表格”， 矩阵是二维的“表格”， 那么n 阶张量就是所谓的n 维的“表格”。

张量的严格定义是利用线性映射来描述的。

从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。

向量也具有这种特性。

张量在物理和工程学中很重要。

最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量。

应力张量
可表示为 （i =1,2,3; j =1,2,3）
应变张量
可表示为 （i =1,2,3; j =1,2,3）
约定：
英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3. 在该约定下，上述简写表达式后的说明（i=1,2,3）或（j=1,2,3）在以后的写法中将被略去。

n 阶张量可表示为
求和约定 （ Einstein 求和约定）
哑标：
在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。

该重复指标称为“哑标”或“伪标”。

⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσij σ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x εεεεεεεεεij ε)3,2,1;;3,2,1;3,2,1(21...321=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==n i i i i i i i a n 123...n
i i i i a →
自由指标：
一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的的指标，称为自由指标。

对于自由指标可以从最小数取到最大数。

例题： i 为自由指标，j 为哑标 表示如下3个方程：
置换符号 一、定义：
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
例如：
（不为0的共六项，三项为正1，三项为负1）。

含偏导数项的下标记号表示
i
j
循环方向
3
232221212e e e e A A A ++='j ij
i e e A ='3132121111
e e e e A A A ++='3332321313
e e e e A A A ++='⎪⎩
⎪
⎨⎧-=不循环当为逆循环当为顺循环当k j i k j i k j i e ijk
,, 0,, 1,, 11(,,)(1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)1(,,)(2,1,3)1323210,,ijk i j k e i j k i j k =⎧⎪
==⎨⎪
⎩若或或时
正排列顺序
－若或（，，）或（，，）时逆排列顺序
若中任意两指标相同时
1312231123===e e e 1132213321-===e e e 023*******==== e e e 3
32
211x a x a x a x a a i i i
i ∂∂+
∂∂+∂∂=∂∂=，
例如弹性力学平面问题基本方程的张量表示：
变形协调方程（应变相容方程）
对于平面情形，取 i 、j =1、2，m = n = 3，有
用坐标 x ，y 表示，有 —— 平面问题的变形协调方程
参考文献：
吴家龙.弹性力学[M].北京:高等教育出版社，2001. 黄炎.工程弹性力学[M].北京：清华大学出版社，1982.
徐芝纶.弹性力学简明教程（3版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
3
3
2211,x x x x i i i j ij j ij ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=σσσσσ0,=ln j ikm kl ij e e ε12312322,11e e ε21312321,12e e ε+12321312,21e e ε+021321311,22=+e e ε22,11ε21,12ε-12,21ε-011,22=+εy x x
y xy y x
∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=∂∂+∂∂γεε2122222y x x y xy y x
∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2222。