线面面面相对位置
空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
建筑制图第5章
例7： 求四棱锥与正垂面的截交线。 ： 求四棱锥与正垂面的截交线。
s
Qv
1' 4' 2' 3'
解：由图知：棱锥有 由图知： 四条一般棱线与正 垂面相交。 垂面相交。 则四交点的V投影 则四交点的 投影 已知。 已知。 1）在V投影中标出 ） 投影中标出 四个交点； 四个交点；
线面、 第五章 线面、面面位置关系
线面、 第五章 线面、面面位置关系
c a a c
bd h
g
f i e a
c
b e d
f
e a h i bd g f (a)
e c (b)
b
d f
a) AC//GH,CB//GI， ， b) BC//DE,BA//DF
线面、 第五章 线面、面面位置关系
作一平面， ［例2］过点K作一平面，是其与平面 平行。 ABC平行。
b
d a
m'
c e
a e b d
m
c
线面、 第五章 线面、面面位置关系
判别可见性
投影知： 由V投影知： 投影知 d'm'段在平面 段在平面 上方， 上方，故H投 投 影上dm可见 可见。 影上 可见。
d b
m' 1' a 2'
c e
a e 1(2)
或通过重影 通过重影 判别。 点判别。
b d
m
c
线面、 第五章 线面、面面位置关系
e d
a′b′⊥ ′n′， ′ ′⊥ ′ ′⊥c′
a a
c
m
即为所求。 则AB即为所求。 即为所求
c
n
e
b
线面、 第五章 线面、面面位置关系
空间线、面位置关系梳理
须 证
F D
垂 直 于 平
，
是 每年必 考 的知识 点
．
平 移法
是求 异 面
内的两 条 相 交 直线
，
F C
与
E 0
的等 地 位 的
，
直线所 成 的角 的主要 方法
。
”
不 易证 明 E 0 上 F C
故考虑证 明
C D 上 () M
，
上 CD
E O
J_F M
．
ji么
。
∥
为证
一
E o 上 CD
，
须 证
．
，D F
所
c
以 A E
1
∥平 面
B
D F
同理
2
B
。
E
，
∥平 面
E
= = =
D F
．
本 例是 用 平 行 四 边 形 的性 质
A B
．
，
在 图形
又 A E n B
E
，
所 以平 面 A
：
，
E
∥平 面
， B
c
。
D F
．
中向几 何体外平 移
解 法
(
横 向转 化 )
因 为
A E 上 E F
。E
l _E F
，
．
要 特
— 平 面 A L
．
所 以 么
3 0
。
D A B
一
么 D A C
一
别 注 意判 定定 理 与性 质定 理 成 立 的条 件
一
么
D A M
一
9 0
又 么 A B D
线面投影及位置(工程图学)
g c d
3、平面上的投影面平行线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面 平行线。有三类 : 面上水平线 、正平线、侧平线。
V
B
a’ A
图示水平线AB
b a PH
a’
e’
b’ d’
c’ a e
b d
c
分析水平线、正平线且在平面上
例3: 已知点E 在ABC平面上，且点E距离V 面10，距离H面15，试 求点E的投影。本三
EK正面投影可见
e
k
1
a c
a’ f’
作图步骤 1. 利用积聚性求出K点水平投 影k 2. 利用点在线上的投影特性求 出K点正面投影k ’ 3. 判别可见性 c’
b’
1’(2’)
k’ e’
b
f
2
y1＞y2,即点Ⅰ在点Ⅱ前方，
EK正面投影可见
e
k
1
a c
1、利用积聚性求交点和交线
（1）一般位置直线与特殊位置平面相交
a′
Zab
x a
ΔZab
α
b′
b
重作
a
YH
3 . 一般位置平面
对三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。
投影特性 1 、 △ abc、△abc、△abc 均为 ABC的类似形。 2 、 不反映 、、 的真实角度 。
二、平面上的点和直线
1、平面上的点
在给定平面上取点，可直接取自该平面上的已知直线
e d
据此特性可以解决以下问题:
(1) 作直线垂直平面或平面 垂直直线
(2) 判断线面是否垂直
例1：试过定点S作一平面垂直于已知直线EF。
n’
f’
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
中职线线、线面、面面关系归纳总结
第二章点、直线、平面之间的位置关系一、知识点归纳二、规律方法总结(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内．(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直．(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质． (7)证线面垂直：常用判定定理、定义． (8)证面面垂直：常用判定定理、定义．(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角．线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
BMHSCA一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
线面,面面位置关系中的化归思想
线面，面面位置关系中的化归思想靳明瑜线面，面面位置关系中的化归是想立体几何的相关知识，历年来都是高考的重点内容，同时也是学生在学习中的难点所在。
高考所考察主要是线面平行与垂直的相关内容。
这部分内容出现在新课程改革后的必修二的第二章。
虽然这部分只是立体几何的初步知识。
但是，对于刚刚升入高中的学生来说，学习的困难较大。
其困难在于缺乏解决空间立体几何的技能，缺乏空间想象能力。
在教学的实践过程中，我发现如果学生能很好的运用数学中的化归思想，将空间的问题，转化到平面中，将面面问题转化到线线问题。
以及将平面问题放入空间中，将线线问题转化到线面或面面问题。
那么对这部分知识的学习，将会比较容易。
因为，学生已经拥有相当的平面几何知识基础。
要想熟练的运用化归思想来解决立体几何问题。
那就首先将直线与平面位置关系的相关内容，以及它们之间的构成与联系理清楚。
而要理清楚它们之间的构成与联系理清楚，最好的方法就是将本章节的文字性叙述的定理转化为数学语言。
将文字性叙述的定理数学化的优点在于语言简洁明确。
可以很直观明了定理的条件都有哪些，最终如何得到什么结论。
方便学生记忆。
特别是在做解答题的时候，能帮助学生完善解答过程，指导解题思路。
下面，就给出本章节定理的数学语言的表示。
1、 线面平行判定定理：,,||||l a l a l ααα⊄⊂⇒ 2、 线面平行性质定理：||,,||l l a l aαβαβ⊂=⇒3、 面面平行判定定理：,,,||,||||a b a b a b ααββαβ⊂⊂≠∅⇒4、 面面平行性质定理：||,,||a b a b αβαγβγ==⇒5、 线面垂直判定定理：,,,,,l a b a b l a l b l αααα⊄⊂⊂≠∅⊥⊥⇒⊥6、 线面垂直性质定理：,||a b a b αα⊥⊥⇒7、 面面垂直判定定理：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥8、面面垂直性质定理：,,,a l l a l αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥接下来，我们就来看一下如何在学习过程中具体的应用数学的化归思想来解决问题。
高中数学 点、直线、平面之间的位置关系
点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条 答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点． 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行 平行 解析：如图所示，。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
考点26 线线、线面、面面的位置关系(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员考点26 线线、线面、面面的位置关系（教师版）【高考再现】热点一平行关系1.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2. (2012年高考山东卷文科19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD-是四棱锥，△ABD为正三角形，CB CD EC BD=⊥.,(Ⅰ)求证：BE DE=；(Ⅱ)若∠120BCD=︒，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【方法总结】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行. 热点二 垂直关系3．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC 将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直4.(2012年高考安徽卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）()A充分不必要条件()B必要不充分条件D即不充分不必要条件()C充要条件()5.(2012年高考北京卷文科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行相交垂直综合举例
相对位置有平行、相交和垂直三种情况
平行直线与平面平行
平面与平面平行
相交直线与平面相交平面与平面相交
垂直直线与平面垂直平面与平面垂直
平行
1. 直线与平面平行
若直线平行于平面内的
某一直线，则直线与该
平面平行。
若直线平行于具有积聚
性投影的平面，那么平面
具有积聚性的投影与该直
线的同面投影必平行,反
之亦然。
[例]a.过点A 作一般位置平面平行于已知直线MN。
b.过点A作正垂面P平行于已知直线MN。
1. 直线与平面平行
有多少
解
若一平面内两条相交直线对应地平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面相互平行。
若两平行平面同时垂直于一投影面，则其有积聚性的同面投影相互平行。
2. 平面与平面平行
[例]a.过点K 作一平面平行于平面ABC。
b.过点K作一平面P平行于平面ABC。
2. 平面与平面平行
有多少
解
a.有唯一解
b.有唯一解
相交
几何元素间的相交问题包括直线与平面相交、平面与平面相交。
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
平面与平面相交，其交线为直线，它是两平面的共有线。
交线可以由两平面的两个共有点来确定。
求交问题的本质是求共有点。
特殊位置的相交问题是指相交的两元素（直线或平面）中至少
其一为垂直于投影面的情况。
此时该元素的一个投影具有积聚性。
利用积聚性，交点或交线的投影可直接求出。
分析:平面P 是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与ab 的交点即为交点K 的水平投影。
[例]求直线AB 与平面P
的交点，并判断可见性。
1. 直线与平面相交
作图:
用线上取点法求交点K 。
判别可见性。
由水平投影可知，AK 段在平面P 的前方，故正面投影上a ’k ’可见。
以交点K 为可见性分界点，k ’b ’被平面P 遮住的部分不可见。
[例]求铅垂线EF 与三角形ABC
的交点，并判断可见性。
1. 直线与平面相交
分析:直线EF 为铅垂线，其水平投影积聚为一个点，故交点K 的水平投影也积聚在该点上。
作图:
用面上取点法求交点K 。
判别可见性。
由水平投影可知，KF 段边AC 的前方，故正面投影上k ’f ’可见。
以交点K 为可见性分界点，e ’k ’被三角形ABC 遮住的部分不可见。
也可通过重影点判别可见性。
[例]求平面ABC 与铅垂面DEFG
的交线。
2. 平面与平面相交
分析:平面DEFG 为铅垂面，其水平投影积聚为直线，该直线与ab 、ac 的交点即为两个共有点的水平投影，它们的连线即为交线的水平投影。
作图:
求交线。
判别可见性。
[例]求正垂面ABC 与正垂面DEF
的交线。
2. 平面与平面相交
分析:平面ABC 与DEF 均为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX 轴。
作图:
求交线。
判别可见性。
从正面投影可看出，在交线左侧，平面DEF 在上，其水平投影可见。
垂直
1. 直线与平面垂直
A
B C
D
P
M
N
∈∈
AB P∈
,CD P MN ⊥
⊥AB,MN⊥CD ⇒MN⊥P
如果一直线垂直于某一平面内的两条相交直线，则该直线在空间与该平面相垂直
1. 直线与平面垂直
[例]试过点M作一直线三角形ABC相垂直。
1. 直线与平面垂直
[例]试过点A作一平面与已知直线MN相垂直。
2. 两平面垂直
如果一直线垂直于
某一平面P，则以该
直线为轴旋转所的所
有平面均与平面P相
垂直
2. 两平面垂直
[例]试过点M作一平面与三角形ABC相垂直。
此题有
多少解
有无数解
2. 两平面垂直
如果两平面均为投
影面垂直面，且两平
面相互垂直，则这两
个平面在该投影面上
的积聚性投影必然相
互垂直，反之亦然。
综合举例
[例]求一般位置直线AB与平面DEF的交点。
分析:一般位置直线与一般
位置平面的投影均无积聚
性，交点不能直接求出，
需要利用辅助平面的方法
来解决。
一般可通过直线
作一个辅助面如铅垂面，
则线面相交问题转化为面
面相交问题。
作图:
过直线AB作辅助平面。
求辅助平面与已知平面
的交线。
交线与直线AB的交点即
为所求交点。
[例]试通过已知点A作直线CD的垂线。
[例]已知平面ABC、直线EF及点K，试过点K作一直线KL平行于平面ABC，且交直线EF于点L。
结束放映。