第四节泰勒级数与幂级数

第四节 泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos xe x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式。

教学难点：幂级数的收敛域及和函数。

教学时数：4 教学内容：一、函数项级数的概念1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3)n u x n =都在D 上有定义，则称表达式121()()()nn u x u x u x ∞==++∑为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1()()n k k S x u x ∞==∑称为部分和函数．2．收敛域 定义：设1()n n u x ∞=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0xD ∈，若数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称0x 是1()nn u x ∞=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．3．和函数 定义：设函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得1()()n n S x u x ∞==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1()nn u x ∞=∑的和函数．1．幂级数的定义 定义：设{}(0,1,2,)n a n =是一实数列，则称形如00()nn n a x x ∞=-∑的函数项级数为0x 处的幂级数．00x =时的幂级数为0n n n a x ∞=∑．2．阿贝尔定理 定理：对幂级数()nnn a x x ∞=-∑有如下的结论：⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都绝对收敛；⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都发散．例1：若幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：由阿贝尔定理知，幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛且绝对收敛．3.幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它具有下述性质：⑴ 当0x x R -<时，0()nnn a x x ∞=-∑绝对收敛；⑵ 当0x x R ->时，()nnn a x x ∞=-∑发散．如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑在(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．则称上述R 为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛区间．4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径R法一：⑴ 求极限11000()()lim ()n n n n n a x x x x a x x ρ++→∞--=- ⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =；法二：若n a 满足0n a ≠，则1limnn n a R a →∞+=； 法三；⑴求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．例2： 求下列幂级数的收敛域⑴12!n n n x n ∞=∑⑵1n n ∞= ⑶221212n nn n x ∞-=-∑ 解：⑴ 收敛半径1112(1)!limlim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞， 所以收敛域为(,)-∞+∞；⑵收敛半径1lim1n n n n a R a →∞+=== 当51x -=-时，对应级数为1nn ∞=∑这是收敛的交错级数，当51x -=时，对应级数为1n ∞=这是发散的P -级数， 于是该幂级数收敛域为[4,6)；⑶ 由于22122212()lim 2(21)2nn n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<，可得x <，所以收敛半径为R =当x =1212n n ∞=-∑，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为(． 5.幂级数的性质 设幂级数()nnn a x x ∞=-∑收敛半径为1R ；0()nnn b x x ∞=-∑收敛半径为2R ，则1．00()()()()nnn nnnn n n n a x x b x x ab x x ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；2．00001[()][()]()()nnnn nn i n i n n n i a x x b x x a b x x ∞∞∞-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；3．幂级数()nnn a x x ∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有11()[()][()]()nnn nnnn n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑．5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有1000001()[()][()]()1xxxnnn n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑⎰⎰⎰例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴11(11)n n nxx ∞-=-<<∑ ⑵411(11)41n n x x n +∞=-<<+∑解：⑴ 令11()(11)n n S x nxx ∞-==-<<∑，则111()()1xx n n n n x S x dx nxdx x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 所以2211(),(11)(1)(1)x x S x x x x -+==-<<--； ⑵ 令411()(11)41n n x S x x n +∞==-<<+∑，则 4144411()()411n nn n x x S x x n x +∞∞==''===+-∑∑ 所以4422001111()(1)12121xx x S x dx dx x x x ==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111ln arctan 412x x x x +=+--，(11)x -<<． 例4：求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域，并求其和函数。

解：易求得收敛域为(1,1)-因为0(21)nn n x ∞=+∑=02nn nx ∞=∑+0nn x ∞=∑=012()1nn x x x ∞='+-∑=012[]1nn x x x ∞='+-∑21112()11(1)xx x x x +'=+=---，(1,1)x ∈-。

所以和函数为21(),(1,1)(1)xs x x x +=∈--。

三、函数展开成幂级数 1.函数展开成幂级数的定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数()nnn a x x ∞=-∑，使得()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数．2.展开形式的唯一性定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则其展开式是唯一的，且()0()(0,1,2,)!n n f x a n n ==．3.泰勒级数与麦克劳林级数⑴ 泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果()f x 在0x 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数()()00000000()()()()()()()!1!!n n n n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞='-=+-++-+∑为函数()f x 在0x 点的泰勒级数． 当00x =时，称幂级数()()0(0)(0)(0)(0)!1!!n n n nn f f f x f x x n n ∞='=++++∑为函数()f x 的麦克劳林级数． ⑵ 函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞=．4.函数展开成幂级数的方法 ⑴ 直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法．⑵ 间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．幂级数常用的七个展开式0,(,)!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑210sin (1),(,)(21)!n nn x x x n +∞==-∈-∞+∞+∑20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑1ln(1)(1),111n nn x x x n +∞=+=--<≤+∑2(1)(1)(2)(1)(1)1,(1,1)2!!n n x x x x x n αααααααα----++=+++++∈-1,(1,1)1n n x x x ∞==∈--∑1(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑．例5：将()ln1xf x x=+展开成1x -的幂级数。