泰勒幂级数展开
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数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
1、复数项级数
数学物理方法
2、幂级数
3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解
析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就
所以
z 1 n n ln(1 z ) dz (1) z dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n 1
数学物理方法
1 例 3.3.6 将函数 在 z0 0 处展开成幂级数. 2 (1 z )
解: 由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
数学物理方法
3.3.1泰勒级数 泰勒(Taylor)展开定理 设 f ( z ) 在区域 D：z z0 | R 内 | 解析，则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) an ( z z0 ) n ,
f '( z ) 1 z
1! z2
f '(1) 1
f ''( z ) 1!
f ''( z )
f (3) ( z )
2! z3
f (3) ( z ) 2!
……
于是可写成 z0 1 在邻域上的泰勒级数
数学物理方法
1 1! 2! 2 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 1! 2! 3! 2 3 4 ( z 1) ( z 1) ( z 1) n 2 i ( z 1) 2 3 4
1 n (1 n ) z 2 n0
作业
数学物理方法
P52
（2）， （3）， （5），（6），（8）
补充：
（1）将 shz 在 z0 0 领域展开。
补充 泰勒展开的方法（参见陆全康教材）
数学物理方法
1、替换法 z 1 例 将函数 f ( z ) 3 ，以为 z 1 中心展开为幂
数学物理方法
例 3.3.5 将函数 f ( z ) ln(1 z ) 在
z0 0 处展开成幂级数.
数学物理方法
解: 我们知道， ln(1 z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 z 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
1 因为 ln(1 z ) (1) n z n , ( z 1), 1 z n 0
假设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f ( z ) bn ( z z0 )
n 0
n
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
f n ( z0 ) bn an , (n 0,1, 2,) n!
故展开式系数是唯一的。
(3.3.6)
' 1
f1(3) (0) 1
f1(4) (0) 0
故有
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
数学物理方法 同样的方法，可求得 cos z 在 z0 0 邻域上的泰勒级数
z z z cos z 1 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d f ( z) ( z z0 ) n C ( z0 )n1 2 i n 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
zn e z , z ; n 0 n ! (1) n z 2 n 1 sin z , n 0 (2n 1)!
z .
(3.3.10)
数学物理方法
例 3.3.4 将函数 f ( z ) sin z 和
f ( z ) cos z 在 z0 0 处展开成幂级数.
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2πi (0,1, 2,)
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z z0 | R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
(3.3.2)
数学物理方法 其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0
从而
z0
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0
f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1
f ( z ) e z 在 z0 0 领域上的泰勒级数写为 故
z z 2 z3 e z 1 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大
数学物理方法 例3.3.2 在 z0 0 的邻域把 f1 ( z ) sin z 和 f 2 ( z ) cos z 展开。
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下：
1 z n , z 1; 1 z n 0 1 (1) n z n , z 1; 1 z n 0
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
1 z n , (| z | 1) 1 z n 0
因为
根据
数学物理方法
z z z z 2 ( z z )n 1 1 0 0 0 1 z z 0 z0 z0 ( z0 )n1 n 0
' 解： 函数 f1 ( z ) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z ) cos z
f1'' ( z ) sin z
f1(3) ( z ) cos z
f1(4) ( z ) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
f1'' (0) 0 且在 z0 0 有 f (0) 1
n 0
(| z z0 | R)
(3.3.1)
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2 i
(n 0,1, 2,) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数 级数。
n 0
f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方 (n) 法，即求出 f ( z0 ) 代入即可，这种方法称 为直接展开法.
例3.3.1 在 z0 0 的邻域上把 f ( z ) e
z
百度文库
展开。
f ( z ) e z 的各阶导数 f ( k ) ( z ) e z 而 解：函数
正整数）。 解：先计算展开系数
f ( z ) (1 z )
m
f (0) 1m
f '( z ) m(1 z )
m 1
f '(0) m1m
m2
f ''( z ) m(m 1)(1 z )
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) ( z ) m(m 1)(m 2)(1 z ) m3
z
级数.
解：令 z 1 即
z 1 2 3 z (1 )3
利用 (1 z )
m
a
k 0
m k
z 得到
k
(1 ) 3 ak3 ( ) k
m m
式中 1m (ei 2 n ) m ei 2 nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。
数学物理方法
f ( z ) 较复杂时，求 f ( n ) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 二、当
n
数学物理方法
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数.
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n0 n0
2
4
6
数学物理方法 例3.3.3 在 z0 1 的邻域把 f ( z ) ln z 解：多值函数 f ( z ) ln z 的支点在 展开。
z 0, z
现在展开中心 z0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 f ( z ) ln z f (1) ln1 n2 i
数学物理方法
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) C z d 2πi
点 z 1，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1 内可展开成 z 的幂级数.
1 1 ( 1) n z n (1 z ) 2 1 z n0
(1) n 1nz n 1 , z 1
n 0
可以求得上式的收敛半径为1。因此
( z 1) ( z 1) ln z n2 i ( z 1) ( z 1) 2 3
2 3
上式n＝0的那一个单值分支叫作 ln z 的主值。
数学物理方法
m z0 0 的邻域把 f ( z ) (1 z ) 展开（m不是 例3.3.3 在
zn 解：利用 e z , z ; 有 n 0 n !
1 iz iz 1 (iz ) n (iz ) n sin z (e e ) ( ) 2i 2i n 0 n ! n 0 n ! z3 z5 z 2 m 1 z (1) m 3! 5! (2m 1)! z 2 m 1 (1) m (2m 1)! m0
数学物理方法
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
内展开成幂级数. z 1 解： f ( z ) 1 z 1 1 z
1 1 ( z 1) 2
1 1 1 n z 1 1 1 (1) 2 1 z 1 2 n 0 2 2 ( z 1) n 1 (1) n , ( z 1 2) n 1 2 n 0
……
m m
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
m m m(m 1) m 2 (1 z ) 1 1 z 1 z 1! 2! m(m 1)(m 2) m 3 1 z 3!
数学物理方法
易求其收敛半径为1，故
m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 z ) 1 {1 z z z }, ( z 1) 1! 2! 3!
陈尚达
材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
1、复数项级数
数学物理方法
2、幂级数
3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解
析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就
所以
z 1 n n ln(1 z ) dz (1) z dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n 1
数学物理方法
1 例 3.3.6 将函数 在 z0 0 处展开成幂级数. 2 (1 z )
解: 由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
数学物理方法
3.3.1泰勒级数 泰勒(Taylor)展开定理 设 f ( z ) 在区域 D：z z0 | R 内 | 解析，则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) an ( z z0 ) n ,
f '( z ) 1 z
1! z2
f '(1) 1
f ''( z ) 1!
f ''( z )
f (3) ( z )
2! z3
f (3) ( z ) 2!
……
于是可写成 z0 1 在邻域上的泰勒级数
数学物理方法
1 1! 2! 2 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 1! 2! 3! 2 3 4 ( z 1) ( z 1) ( z 1) n 2 i ( z 1) 2 3 4
1 n (1 n ) z 2 n0
作业
数学物理方法
P52
（2）， （3）， （5），（6），（8）
补充：
（1）将 shz 在 z0 0 领域展开。
补充 泰勒展开的方法（参见陆全康教材）
数学物理方法
1、替换法 z 1 例 将函数 f ( z ) 3 ，以为 z 1 中心展开为幂
数学物理方法
例 3.3.5 将函数 f ( z ) ln(1 z ) 在
z0 0 处展开成幂级数.
数学物理方法
解: 我们知道， ln(1 z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 z 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
1 因为 ln(1 z ) (1) n z n , ( z 1), 1 z n 0
假设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f ( z ) bn ( z z0 )
n 0
n
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
f n ( z0 ) bn an , (n 0,1, 2,) n!
故展开式系数是唯一的。
(3.3.6)
' 1
f1(3) (0) 1
f1(4) (0) 0
故有
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
数学物理方法 同样的方法，可求得 cos z 在 z0 0 邻域上的泰勒级数
z z z cos z 1 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d f ( z) ( z z0 ) n C ( z0 )n1 2 i n 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
zn e z , z ; n 0 n ! (1) n z 2 n 1 sin z , n 0 (2n 1)!
z .
(3.3.10)
数学物理方法
例 3.3.4 将函数 f ( z ) sin z 和
f ( z ) cos z 在 z0 0 处展开成幂级数.
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2πi (0,1, 2,)
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z z0 | R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
(3.3.2)
数学物理方法 其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0
从而
z0
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0
f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1
f ( z ) e z 在 z0 0 领域上的泰勒级数写为 故
z z 2 z3 e z 1 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大
数学物理方法 例3.3.2 在 z0 0 的邻域把 f1 ( z ) sin z 和 f 2 ( z ) cos z 展开。
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下：
1 z n , z 1; 1 z n 0 1 (1) n z n , z 1; 1 z n 0
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
1 z n , (| z | 1) 1 z n 0
因为
根据
数学物理方法
z z z z 2 ( z z )n 1 1 0 0 0 1 z z 0 z0 z0 ( z0 )n1 n 0
' 解： 函数 f1 ( z ) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z ) cos z
f1'' ( z ) sin z
f1(3) ( z ) cos z
f1(4) ( z ) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
f1'' (0) 0 且在 z0 0 有 f (0) 1
n 0
(| z z0 | R)
(3.3.1)
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2 i
(n 0,1, 2,) ,
且展式是唯一的。
特别地，当 z0 0 时，级数 级数。
n 0
f ( n ) (0) n z 称为麦克劳林 n!
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方 (n) 法，即求出 f ( z0 ) 代入即可，这种方法称 为直接展开法.
例3.3.1 在 z0 0 的邻域上把 f ( z ) e
z
百度文库
展开。
f ( z ) e z 的各阶导数 f ( k ) ( z ) e z 而 解：函数
正整数）。 解：先计算展开系数
f ( z ) (1 z )
m
f (0) 1m
f '( z ) m(1 z )
m 1
f '(0) m1m
m2
f ''( z ) m(m 1)(1 z )
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) ( z ) m(m 1)(m 2)(1 z ) m3
z
级数.
解：令 z 1 即
z 1 2 3 z (1 )3
利用 (1 z )
m
a
k 0
m k
z 得到
k
(1 ) 3 ak3 ( ) k
m m
式中 1m (ei 2 n ) m ei 2 nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。
数学物理方法
f ( z ) 较复杂时，求 f ( n ) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 二、当
n
数学物理方法
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数.
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n0 n0
2
4
6
数学物理方法 例3.3.3 在 z0 1 的邻域把 f ( z ) ln z 解：多值函数 f ( z ) ln z 的支点在 展开。
z 0, z
现在展开中心 z0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 f ( z ) ln z f (1) ln1 n2 i
数学物理方法
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) C z d 2πi
点 z 1，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1 内可展开成 z 的幂级数.
1 1 ( 1) n z n (1 z ) 2 1 z n0
(1) n 1nz n 1 , z 1
n 0
可以求得上式的收敛半径为1。因此
( z 1) ( z 1) ln z n2 i ( z 1) ( z 1) 2 3
2 3
上式n＝0的那一个单值分支叫作 ln z 的主值。
数学物理方法
m z0 0 的邻域把 f ( z ) (1 z ) 展开（m不是 例3.3.3 在
zn 解：利用 e z , z ; 有 n 0 n !
1 iz iz 1 (iz ) n (iz ) n sin z (e e ) ( ) 2i 2i n 0 n ! n 0 n ! z3 z5 z 2 m 1 z (1) m 3! 5! (2m 1)! z 2 m 1 (1) m (2m 1)! m0
数学物理方法
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
内展开成幂级数. z 1 解： f ( z ) 1 z 1 1 z
1 1 ( z 1) 2
1 1 1 n z 1 1 1 (1) 2 1 z 1 2 n 0 2 2 ( z 1) n 1 (1) n , ( z 1 2) n 1 2 n 0
……
m m
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
m m m(m 1) m 2 (1 z ) 1 1 z 1 z 1! 2! m(m 1)(m 2) m 3 1 z 3!
数学物理方法
易求其收敛半径为1，故
m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 z ) 1 {1 z z z }, ( z 1) 1! 2! 3!