泰勒幂级数展开
泰勒级数展开
解：先计算展开系数
f (z) (1 z)m
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
……
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z2
1!
2!
m(m 1)(m 2) 1m z3 L 3!
易求其收敛半径为1，故
(1 z)m 1m{1 m z m(m 1) z2 m(m 1)(m 2) z3 L }, ( z 1)
1!
2!
3!
式中 1m (ei2n )m ei2nm
(| z | 1)
1 z n0
1
z
1 z0
1
z
z0 z0
z
z0 z0
2
n0
(z z0 )n
( z0 )n1
以此代入(3.3.2)，并把它写成
i f
(z)
n0
1
2
i
C
f
(
( )d
z0 )n1
(
z
z0
)n
利用解析函数的高阶导数公式，Fra bibliotek式即为其中
f (z) an (z z0 )n n0
(3.3.3)
i an
1 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2,L )
(3.3.4)
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
泰勒Taylor级数展开
zk f ( z ) e ak ( z z 0 ) k 0 k 0 k!
z k
z2 z3 zk 1 z ... ... 2! 3! k!
例2：将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式，可得
eiz e iz 1 (iz ) k (iz ) k coБайду номын сангаас(z ) 2 2 k 0 k! k ! k 0
一、定理(泰勒定理)：
设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析，则对于圆内任意 z点，f(z)可展开为幂级数
f ( z ) ak ( z z 0 ) k
k 0
其中
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( ) ak d k 1 C 2i R1 ( z0 ) k!
收敛半径为R=|b-a|，收敛圆为|z-a|< |b-a|
例3：f(z)=lnz，在z0=1处展开 f(z)=lnz是多值函数，如理解为定义在黎曼 面上，则可看成单值解析函数。 支点为：0，∞ z0=1不是支点，以z0=1为中心展开时，邻域 内不能包含支点，这样各单值分支相互独立， 各自可看成单值解析函数。
当f(z)较复杂时，求f(n)(z0)比较麻烦，根据泰勒 展开式的唯一性，通常用间接展开法，即利用基 本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求 导或逐项积分等将函数展开。
初等函数幂级数展开式举例：
例1：将f(z)=ez在z=0处展开 f(z)=ez在复平面上解析(整函数)
f ( k ) (0) 1 ak k! k!
z 2 k 1 (1) (| z | ) (2k 1)! k 0
k
例5：把函数 幂级数，其中a、b是不相等的常数。
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值
利用幂级数和泰勒级数展开法计算pai的值计算π的值是数学中的一项重要任务，有多种方法可以用来计算π的近似值。
其中两种常见的方法是幂级数展开和泰勒级数展开法。
1.幂级数展开法：幂级数展开法是一种将函数用无穷级数的形式表示的方法。
这里，我们可以使用Taylor级数展开来计算π的值。
泰勒级数展开方法是将一个函数表达为一系列项的无穷级数之和的一种方法。
泰勒级数展开方法适用于在一些特定点附近进行展开，并可以用来计算在该点附近的函数值。
首先，我们需要选择一个函数，它在π/4附近的展开式是已知的。
一个常用的函数是arctan(x)，其在x=0处的泰勒展开式为：arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...由于arctan(1) = π/4，我们可以使用arctan(1)的级数展开来计算π/4的近似值，然后将该值乘以4得到π的近似值。
为了得到更高精度的近似值，我们可以使用更多的项进行展开。
下面是一个例子，展开8项：arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ...现在我们可以计算π的近似值：π=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+...)为了计算π的精确性，我们可以根据需要选择展开的项数。
展开的项数越多，计算出的π的精确性越高。
2.泰勒级数展开法：泰勒级数展开法是一种用函数的纵坐标值和其在一些特定点的导数值来逼近函数的方法。
泰勒展开式允许我们用多项式进行逼近，并且这个多项式的次数可以任意选择。
需要注意的是，这种方法只在函数在展开点附近有效。
对于展开点附近的值，泰勒级数展开法可以给出函数的高精度近似值。
在计算π的近似值时，我们可以选择一个特定的函数来展开。
一个常用的函数是arcsin(x)，其在x=0处的泰勒展开式为：arcsin(x) = x + x^3/6 + x^5/120 + x^7/5040 + ...然后，我们可以用arcsin(1)的级数展开来计算π/2的近似值，最后将结果乘以2来得到π的值。
泰勒公式和幂级数展开
泰勒公式和幂级数展开摘要：1.泰勒公式和幂级数展开的定义与区别2.泰勒公式和幂级数展开的联系3.泰勒公式和幂级数展开的应用4.总结正文：一、泰勒公式和幂级数展开的定义与区别泰勒公式和幂级数展开都是数学中常见的用于描述函数近似的方法，它们之间有着密切的联系，但也存在一些区别。
泰勒公式是指用多项式来近似函数，使得多项式的表达比函数的形式更加友好。
泰勒公式可以用来求解函数在某一点附近的值，它的展开式包含有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项。
幂级数展开则是指将一个函数展开为一个函数项级数，这个级数的每一项均为与级数项序号n 相对应的以常数倍的（x-a）的n 次方。
幂级数展开可以看作是泰勒公式在某一点的特殊情况，它要求函数在展开点a 的各阶导数存在且有限。
二、泰勒公式和幂级数展开的联系尽管泰勒公式和幂级数展开在定义上有所区别，但它们之间存在着紧密的联系。
事实上，泰勒公式可以看作是幂级数展开的一种推广。
当泰勒公式中的拉格朗日余项趋于零时，泰勒公式就退化为幂级数展开。
也就是说，一个函数在某点附近的泰勒展开如果满足拉格朗日余项趋于零，那么这个函数在这个点附近就可以展开成一个幂级数。
三、泰勒公式和幂级数展开的应用泰勒公式和幂级数展开在数学以及实际应用中都有着广泛的应用。
在数学研究中，泰勒公式和幂级数展开常常用来研究函数的性质，比如函数的零点、极值、曲率等。
在实际应用中，泰勒公式和幂级数展开可以用来近似计算复杂函数的值，这在工程、物理等领域中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，泰勒公式和幂级数展开常用来计算二维或三维图形的像素颜色值。
四、总结总的来说，泰勒公式和幂级数展开都是数学中重要的概念和工具，它们在理论研究和实际应用中都有广泛的应用。
八个泰勒公式展开式
八个泰勒公式展开式泰勒公式是数学中一种用幂级数来表示一个函数的展开式的方法。
它利用函数在一些特定点的一阶、二阶、三阶……导数值来逼近函数在该点附近的近似值。
下面将介绍八个常用的泰勒公式展开式。
1.一阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个展开式是最简单的泰勒公式展开式，它将函数在点a的一阶导数值f'(a)和函数在点a的函数值f(a)结合起来来逼近函数在点x的值f(x)。
2.二阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2这个展开式在一阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的二阶导数值f''(a)和(x-a)^2项，用来更精确地逼近函数在点x的值f(x)。
3.三阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3这个展开式在二阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的三阶导数值f'''(a)和(x-a)^3项，用来更加精确地逼近函数在点x的值f(x)。
4.四阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4导数值f''''(a)和(x-a)^4项，进一步提高了精确度。
5.五阶泰勒公式展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2)f''(a)(x-a)^2+(1/6)f'''(a)(x-a)^3+(1/24)f''''(a)(x-a)^4+(1/120)f'''''(a)(x-a)^5这个展开式在四阶泰勒公式展开式的基础上加上了函数在点a的五阶导数值f'''''(a)和(x-a)^5项。
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。
使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。
2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。
一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。
例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。
请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。
因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。
泰勒级数展开讲解
f (z) bn (z z0 )n n0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
bn
f
n (z0 n!
)
an
,
(n 0,1, 2,
)
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
内展开成幂级数.
数学物理方法
2、加减法
例 3.3.4 将函数 f (z) cos z 在 z0 0 处
展开成幂级数。
cos z 1 (eiz eiz ) 1 (
(iz)n
(iz)n )
2
2 n0 n! n0 n!
z2 z4 1
(1)m z2m
(3.3.3)
1
an 2πi
f ( )d C ( z0 )n1
f (n) (z0 ) n!
(0,1, 2, )
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f (z) 在圆| z z0 | R 内的幂级数展
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f (0) 1m
f '(z) m(1 z)m1
f '(0) m1m
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3
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数学物理方法
3.3.1泰勒级数 泰勒(Taylor)展开定理 设 f ( z ) 在区域 D：z z0 | R 内 | 解析，则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) an ( z z0 ) n ,
n
数学物理方法
z 例 3.3.8 将函数 f ( z ) ，在 | z | 1 ( z 1)( z 2)
内展开成幂级数.
解：
z 1 2 f ( z) ( z 1)( z 2) z 1 z 2
1 1 z n ( z / 2) n 1 z 1 z / 2 n0 n0
1 n (1 n ) z 2 n0
作业
数学物理方法
P52
（2）， （3）， （5），（6），（8）
补充：
（1）将 shz 在 z0 0 领域展开。
补充 泰勒展开的方法（参见陆全康教材）
数学物理方法
1、替换法 z 1 例 将函数 f ( z ) 3 ，以为 z 1 中心展开为幂
f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1
f ( z ) e z 在 z0 0 领域上的泰勒级数写为 故
z z 2 z3 e z 1 1! 2! 3!
易求收敛半径无限大
数学物理方法 例3.3.2 在 z0 0 的邻域把 f1 ( z ) sin z 和 f 2 ( z ) cos z 展开。
' 解： 函数 f1 ( z ) sin z 的前四阶导数分别为 f1 ( z ) cos z
f1'' ( z ) sin z
f1(3) ( z ) cos z
f1(4) ( z ) sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
f1'' (0) 0 且在 z0 0 有 f (0) 1
1 z n , (| z | 1) 1 z n 0
因为
根据
数学物理方法
z z z z 2 ( z z )n 1 1 0 0 0 1 z z 0 z0 z0 ( z0 )n1 n 0
数学物理方法
【证明】 设函数 f ( z ) 在区域 D： z z0 R 内解析，任取一点 D ，以 z0 为 中心， 为半径( R )作圆周 C:
z0 ，如图
z z0
C
R
由柯西积分公式知 1 f ( ) f ( z) C z d 2πi
数学物理方法
3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方 (n) 法，即求出 f ( z0 ) 代入即可，这种方法称 为直接展开法.
例3.3.1 在 z0 0 的邻域上把 f ( z ) e
z
展开。
f ( z ) e z 的各阶导数 f ( k ) ( z ) e z 而 解：函数
' 1
f1(3) (0) 1
f1(4) (0) 0
故有
z z z z sin z 1! 3! 5! 7!
3
5
7
数学物理方法 同样的方法，可求得 cos z 在 z0 0 邻域上的泰勒级数
z z z cos z 1 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
数学物理方法
例 3.3.5 将函数 f ( z ) ln(1 z ) 在
z0 0 处展开成幂级数.
数学物理方法
解: 我们知道， ln(1 z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内 是解析的，而 1 是它的一个奇点，所以它在 z 1 内可以展 开成 z 的幂级数.
1 因为 ln(1 z ) (1) n z n , ( z 1), 1 z n 0
点 z 1，而在 z 1 内处处解析，所以它在 z 1 内可展开成 z 的幂级数.
1 1 ( 1) n z n (1 z ) 2 1 z n0
(1) n 1nz n 1 , z 1
n 0
的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及 幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展 开成幂级数，基本展开公式如下：
1 z n , z 1; 1 z n 0 1 (1) n z n , z 1; 1 z n 0
(3.3.7) (3.3.8) (3.3.9)
正整数）。 解：先计算展开系数
f ( z ) (1 z )
m
f (0) 1m
f '( z ) m(1 z )
m 1
f '(0) m1m
m2
f ''( z ) m(m 1)(1 z )
f ''(0) m(m 1)1m
f (3) ( z ) m(m 1)(m 2)(1 z ) m3
假设 f ( z ) 在 | z z0 | R 内可展开为另一展开式
f ( z ) bn ( z z0 )
n 0
n
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z z0 可得到系数
f n ( z0 ) bn an , (n 0,1, 2,) n!
故展开式系数是唯一的。
(3.3.6)
f '( z ) 1 z
1! z2
f '(1) 1
f ''( z ) 1!
f ''( z )
f (3) ( z )
2! z3
f (3) ( z ) 2!
……
于是可写成 z0 1 在邻域上的泰勒级数
数学物理方法
1 1! 2! 2 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 1! 2! 3! 2 3 4 ( z 1) ( z 1) ( z 1) n 2 i ( z 1) 2 3 4
所以
z 1 n n ln(1 z ) dz (1) z dz 0 1 z 0 n 0 z
z (1) , z 1 n 1 n 0
n
n 1
数学物理方法
1 例 3.3.6 将函数 在 z0 0 处展开成幂级数. 2 (1 z )
解: 由于函数
1 在单位圆周 z 1 上有一个奇 2 (1 z )
数学物理方法
z 例 3.3.7 将函数 f ( z ) ，在 | z 1| 2 z 1
内展开成幂级数. z 1 解： f ( z ) 1 z 1 1 z
1 n z 1 1 1 (1) 2 1 z 1 2 n 0 2 2 ( z 1) n 1 (1) n , ( z 1 2) n 1 2 n 0
(3.3.2)
数学物理方法 其中z在C的内部,，而 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z z0
从而
z0
z z0 1 z0
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0
以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d f ( z) ( z z0 ) n C ( z0 )n1 2 i n 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
m m
式中 1m (ei 2 n ) m ei 2 nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫 作 (1 z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式 定理。
数学物理方法
f ( z ) 较复杂时，求 f ( n ) ( z0 ) 比较麻烦。根据泰勒展式 二、当
zn e z , z ; n 0 n ! (1) n z 2 n 1 sin z , n 0 (2n 1)!
z .
(3.3.10)
数学物理方法
例 3.3.4 将函数 f ( z ) sin z 和
f ( z ) cos z 在 z0 0 处展开成幂级数.
z
级数.
解：令 z 1 即
z 1 2 3 z (1 )3
利用 (1 z )
m
a
k 0
m k
z 得到
k
(1 ) 3 ak3 ( ) k
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2πi (0,1, 2,)
(3.3.4)
数学物理方法
这样便得到了 f ( z ) 在圆 | z z0 | R 内的幂级数展 开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
2
4
6
数学物理方法 例3.3.3 在 z0 1 的邻域把 f ( z ) ln z 解：多值函数 f ( z ) ln z 的支点在 展开。
z 0, z
现在展开中心 z0 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数 f ( z ) ln z f (1) ln1 n2 i