鲁教版初中数学知识梳理代数

初中数学知识一（代数部分）

目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数

一、数及运算

1 —1数新的扩充

初中一开始引入《负数》的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到《有理数》，以后再引入《无理数》的概念，数的范围由有理数，扩充的

《实数》（七册上）。最后一次引入《虚数》的概念。数的范围由实数扩充的《复数》。这是高中学习的内容。

1 —2实数的运算

实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：

结合律：（a+ b）+ c= a+（b+ c）

交换律： a + b= b+ a

又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，这样把乘、除看做同一种运算。它们满足：

结合律：（a ? b）? c = a ? （b ? c）

交换律： a ? b= b ? a

分配律：a ? （b+ c）= a ? b+ a ? c

m ___

又有分数指数的的意义，a n= n a m（a> 0，m>0,n >0）。这样乘方、开方又统一起来。

对于乘方运算，要熟练理解和掌握以下概念：乘方，幕，底数，指数（第六册上）。求n个相同的因数a的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幕。a n叫幕，a叫底数。N叫指数

n

n

a a a a

开方的概念：如果x =a（n > 1是正整数），已知a和指数n,求底数x的运算叫开方。开方运算的结果叫方根。X叫做a的n次方根。记坐n a。

方根的性质：

①奇次方根：正数的奇次方根是正数。3 27 3。负数的奇次方根是负数。

3 27 3。零的奇次方根是零3 0 0。

②偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。x2 16则x 4 16 2。

负数的偶次方根无意义。零的偶次方根还是零。

③算术根：正数的正方根叫做算术跟。n a，（a On 1整数）。零的算术根是零。

开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a 有两个平方根，记作土、. a , 其中+ ,a 叫做算数平方根。0的平方根是0,负数没有平方根。开立方，正数的 立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数。

1 — 3数轴和绝对值（六册上）

数轴是有原点、长度单位、方向的直线。任何实数都可以用数轴上的点来表 示。在数轴上比

较两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表 示一个实数。就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。

绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的 距离。

a a 0

a = a a 0

0 a 0

1 — 4近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。

二、代数式

代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。

2— 1整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式 的次数（六册

下）

2 — 2整式的加减运算

整式的加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。 合并同类项是整式的加减运算的核心。

2—3幂的运算

同底数幕相乘： m

n m n

a a a 。

幂的乘方： m

n

mn

a

a

。

积的乘方： n

n

n

ab a b 。

同底数幕相除： m

n

m n

a a a

(a 0 ）。

负指数： p 1 a

a p

(a 0 p 是正整数） 零指数：

a 1

(a

0)

分数指数：

m a 下n ?a m

a 0， m > 0,n > 0)

2—4整数的乘除运算

整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以 多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们的运算法则。以上 运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。

（a + b）（a —b）=a 2- b 2

2=a 2+ 2ab + b 2 2=a 2-2ab + b 2

3=a 3+ 3a 2b — 3ab 2+ b 3 3=a 3— 3a 2b + 3ab 2— b 3

(a + b)(a 2— ab + b 2)=a 3+ b 3

(a — b)(a 2+ ab + b 2)=a 3— b 3 2— 5分解因式

把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。 分解因式和乘法是互逆

运算。这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。

(1) 提取公因式法

例 —6n3n2— 3n2n3+ 12n2n2=— 3n2n2 ( 2m + n — 4 )

注，第一项的符号为负时，将负旦 内各项都要变号。公因式的系数应是各项系数的最大公约数， 同字母的指数最低的

(2) 公式法

例

x 2

(3) 十字相乘法

二次三项式可以用十字相乘法。

(4) 分组分解法

对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法

2 2 2

…x y z 2xy 2yz 2xz 例

2 2

x y 2z x y z x

(按比例拆项法)

…x 3 x 2 12 x 3 2x 2 3x 2

例 2

x x 2 3x x 2 6 x 2 注，系数比为1: (-2 )

4

x

3x 3 2 x 3x 2 4 x 2x 3 —

x x 2 2

x x 2 x x 2

例

x 2 3 x

2 x x 1 x x 2 x 1 x 2

1 x

2 x 2 2 2

x 2xy y 2yz 2xz z 2

y z

6x 6x 12 2

x 2 x 3x 6

? 3 y* 2 2 y* c

x 2x x 2x x 2

c

c 3

2 x

x 2 x 2 x x x 1 2

2 x x 1 x 1

1 2 x 1

2 6分式(八册上)

(1) 概念

(a + b )

(a — b) (a + b) (a — b) 号一起提出，使括号内第一项为正，但括号 字母应提取各项相 3 x

2

x xy

3

2

y 2

y

3 y

2

x xy 3

y

2

y

例 1 y 20y 2

20y 2

y

4y 1 5y 1

4y

x 1

5y -1

基本性质：分式的分子和分母都乘以 (或都除以)同一个不等于零的代数式,

分式的值不变

符号：分子、分母和分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变 最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。

求代数式的值：一般先化简，再求值。

整理有,

二当 x 4时，分子1 一 °，而分母3x 2 x 4

°，

x 1

故x 4时分式的值为零。 (2) 分式的乘、除法

法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为 积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。

(3) 分式的加减法

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加 减，先通分，化为同分母的分式，再运算。

2— 7二次根式(八册上)

(1) 带有二次根号的式子叫做二次根式。女口 .5， a ， . x 3 (2) 根式的性质：

基本性质 n a m np a mp

a 0，m

n 、p 都是正整数，并且n 1

乘积的算术根

n

.ab n

a n

b a 0 b

除式中含有字母的有理式叫做分式。例如,

为0.

2a

2

，分式的分母不能

5 x

例 当x

取何值时，分式3x 2 x 1

有意义？它的值等于零?

x 4

解: ① 令 3x 2 x 4 0 及 x 1

由 3x 2

x 4

0 得花

1 或

X 2

4

3

由 x 1 0得 x 1

1

?

当 i x

1 和

x

-时, 分式才有意义。

3

②

令分子为零，即1

分式的算术根n a

a 0, b

n b

根式的的乘方n.a 'm n a m a 0

根式的开方

mn

.a

（3）最简二次根式

① 被开方数的指数和根指数是互质数。

② 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数。 ③ 被开方数不含分母。

4.6 8

a b c

d 10

同类根式：几个根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，根指 数也相同，

这几个根式叫做同类根式。（与根式前面的系数无关）

同次根式：根指数相同的根式叫做同次根式。（与被开方数无关） （4）根式的运算

① 根式的加、减法。把各根式化成最简根式后，再 合并同类根式 ② 根式的乘、除法。把各根式化成 同次根式后，再应用公式

n

；a 灯b v'ab a 0 b 0，二a 0 b 0

V b F b

例 计算 4 2 3 解：原式= ,.3 2、. 3 1 .3

1 2 i3 1

例计算 5 2 6 解：原式=.、3 2-. 3 2

2

3 \ 2 2 . 3 2

（5）分母有理化

把分母的根号化去，叫做分母有理化。

1

例 一

3

2

va

例化简6

解：原式=6

a 2

b 3

c 4 2 a 2b 3c 4 3

a 2

b 3

c 4d

d 5

d 5

d 6

b

C 3a 2cd d 2

(x