二次函数的图像与性质----系数讨论
二次函数的性质及其图像变化
二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。
本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。
一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。
对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。
3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。
4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。
5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。
当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。
1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。
当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。
2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。
b的符号改变时，平移方向也会相应改变。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质，包括其图像的形状、顶点、轴对称性、零点和判别式等方面。
一、二次函数的图像形状二次函数的图像形状通常为一个开口向上或向下的抛物线。
它的开口方向由二次项的系数决定。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是其图像的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标称为函数的轴对称轴，可以通过公式 x = -b/2a 来计算。
顶点的纵坐标即为函数的最值。
三、二次函数的轴对称性由于二次函数是关于轴对称轴对称的，其图像可以通过轴对称轴进行折叠。
例如，如果一个点 (x, y) 在二次函数上，则点 (-x, y) 也在同一二次函数上。
四、二次函数的零点二次函数的零点即为函数与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
我们可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来找到二次函数的零点。
其中，a、b 和 c 分别代表二次函数的三个系数。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式可以用来判断二次函数的零点情况。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
当判别式大于0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相同的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，只有虚根。
六、二次函数的导数与凹凸性二次函数的导数是一个一次函数，其斜率与二次函数切线的斜率相等。
根据导数的正负可以判断二次函数的凹凸性。
当导数大于0时，二次函数在该区间上是上凹的；当导数小于0时，二次函数在该区间上是下凹的。
七、二次函数的平移和缩放二次函数通过平移和缩放可以变换其图像的位置和形状。
平移是通过在函数中加上或减去一个常数来实现，而缩放是通过在函数的系数前面乘以一个常数来实现。
综上所述，二次函数是一个具有多种性质的函数，包括图像形状、顶点、轴对称性、零点、判别式、导数与凹凸性以及平移和缩放等方面。
二次函数图像性质总结
二次函数图像性质总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其图像性质有很多，下面是对二次函数图像性质的总结：1. 首先，二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由二次项的系数决定。
当二次项的系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项的系数小于0时，抛物线开口向下。
而当二次项的系数等于0时，二次函数就变为一次函数，其图像是一条直线。
2. 二次函数的图像既有一个顶点，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中a、b、c是二次函数的系数。
顶点的横坐标就是二次函数的轴对称线的纵坐标，是图像的抛物线对称的中心点。
3. 二次函数的轴对称线是指通过二次函数的顶点且垂直于x轴的一条直线。
与轴对称线平行的直线上的点关于轴对称线是对称的，并且它们与轴对称线的距离是相等的。
4. 二次函数的图像关于轴对称线对称。
也就是说，如果某个点(x, y)在二次函数的图像上，那么它关于轴对称线的对称点(-x, y)也在图像上。
5. 二次函数的图像在轴对称线两侧是对称的。
也就是说，如果点A在图像的一侧，那么在其对称点A'在轴对称线的另一侧。
这种对称性是图像性质的一个重要特点。
6. 二次函数的图像与x轴的交点叫做二次函数的零点或者根。
二次函数有零点的情况分为以下三种情况：当a不等于0且二次项的判别式大于0时，二次函数有两个不等的实根；当二次项的判别式等于0时，二次函数有一个重根；当二次项的判别式小于0时，二次函数无实根，但在复数域中有两个共轭复根。
7. 二次函数的图像在顶点处取得极值。
当二次项的系数大于0时，抛物线的顶点是最小值点；当二次项的系数小于0时，抛物线的顶点是最大值点。
8. 二次函数的图像在顶点处的函数值等于c。
即f(-b/2a) = c。
9. 二次函数的图像呈现出对称轴附近的斜率较大，而离开对称轴越远，斜率越小。
这是因为离对称轴较远的两个点的坐标差较大，导致斜率的绝对值较小。
10. 二次函数的图像的开口程度由二次项系数a的绝对值的大小决定。
二次函数总结
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数图像与性质分析
二次函数图像与性质分析引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将对二次函数的图像和性质进行详细的分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这是因为二次函数的一次导数是一次函数，其斜率为常数，因此二次函数的图像是平滑的曲线。
2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为函数值最大或最小的点。
顶点的坐标可以通过求导数或使用顶点公式来确定。
3. 抛物线的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程的形式为x=h，其中h为顶点的横坐标。
4. 抛物线的焦点和准线当抛物线开口向上时，焦点在对称轴上方，准线在对称轴下方；当抛物线开口向下时，焦点在对称轴下方，准线在对称轴上方。
焦点和准线的计算可以使用焦点公式和准线公式。
三、二次函数的性质分析1. 零点和因式分解二次函数的零点是函数值为0的横坐标，可以通过求解二次方程来求得。
而二次函数可以因式分解为两个一次因子的乘积形式，这在求解零点和分析函数性质时非常有用。
2. 增减性和极值二次函数的增减性取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，函数在对称轴两侧递增；当a<0时，函数在对称轴两侧递减。
二次函数的极值即为顶点，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3. 零点和系数的关系二次函数的零点与系数之间存在着重要的关系。
对于形式为y=ax^2+bx+c的二次函数，其零点的和为-x轴对称点的横坐标的相反数，即x1+x2=-b/a；而零点的乘积等于常数项c的相反数，即x1*x2=c/a。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是中学数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。
本文将围绕二次函数的图像与性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x = -b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
2. 二次函数的图像特点（1）开口方向：根据a的正负值可以判断二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
（2）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条特殊直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分。
（3）顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入计算得到。
（4）零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即函数值为0的点。
零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。
3. 二次函数的平移通过对二次函数进行平移，可以改变其图像的位置。
平移的方式有两种：平移横坐标和平移纵坐标。
（1）平移横坐标：将二次函数的横坐标都加上一个常数h，可以使得图像向左平移h个单位；将横坐标都减去一个常数h，可以使得图像向右平移h个单位。
（2）平移纵坐标：将二次函数的纵坐标都加上一个常数k，可以使得图像向上平移k个单位；将纵坐标都减去一个常数k，可以使得图像向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，最大值对应开口向下的二次函数，最小值对应开口向上的二次函数。
最值可以通过求解二次函数的顶点坐标得到。
5. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，因此可以应用于物体的抛射运动问题；二次函数也可以用于建模和预测，如根据历史数据拟合二次函数，预测未来的趋势。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
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y
4
2 1
O
1
3
x
【点评】首先由题意画出函数大致图像;此题方程的解 可通过观察对比可知此题方程的解可向左平移图像直接 得出结果。
重要的解题方法：数形结合
补练
劳动中学 唐治文
【练习目标】 1、由图象确定a、b、c的符号；一元二次方程的根与抛物线 之间的关系。 2、通过练习能用数形结合的方法确定a、b、c的符号，能掌 握二次函数图象与x轴交点的位置关系及特殊点的运用，能 运用两个函数交点的横坐标与方程的解的关系解决有关问题； 3、养成认真观察与全面思考的习惯，提高数学分析与解决 问题的能力。 【重难点】 掌握二次函数图象与x轴交点的位置关系及特殊点的运用， 能运用两个函数交点的横坐标与方程的解的关系解决有关问 题。
二、精典题型剖析：
考点二、一元二次方程的根与抛物线之间的关系
练习、二次函数y ax 2 bx的图象如图，若一元二次 方程ax 2 bx m 0有实数根，则m的最大值为（ A. 3
B、3 C、-6 D、9
B
）
-3
【点评】一元二次方程的根的情况由对应抛物线与x轴的 交点个数决定;此题方程的根情况可以通过上下平移图像 直接得出结果。
C
y ( x a)( x b)
y
y ( x a )( x b) 1
O
x1
a
b
x2
x
【点评】一元二次方程的根的情况由对应抛物线 与x轴的交点个数决定。此题首先由题意画出函数 大致图像；方程的解通过平移图像直接得出结果。
二、精典题型剖析：
考点二、一元二次方程的根与抛物线之间的关系
由二次函数的一般形式 2a
2 a b3 c am bm c b
1时， a , 2 4a c 2b 2 y又 ax c(a a 0) 可得 xbx 1时， bc 0 2
x
c 0 3b b2 cc 可看作是函数 y1 a 与0 y2 am 2 bm c
解： x 1 时， ymax a b c,
又 m 1, x m 时，a b c am2 bm c a b am2 bm
的函数值大小的比较。
-2
四、本课你学到了什么？
1、a、b、c符号的确定；
2、二次函数图象与x轴交点的位置关系 及特殊点运用； 3、两个函数交点的横坐标与方程的解的 关系
三、小试牛刀
√ X X √ √
y
3
1
O
1
2
3
x
点评：本题由图像判断系数的符号，对称性、增减性、 点亦解，解亦点的运用、及最值代数式的变换。做此类 题型，一定要认真仔细观察、全面思考，以数形结合的 方法解题。
三、小试牛刀
√ பைடு நூலகம் X √ B
ba b am2 bm b x 2时， ② 由题意得： 分析： 4a 2b c 0 ③
方向 大小 向上 小 向下
大
a 的值决定形状
y
左 y
y
原点 正 负
两个不相等
两个 两个相等
只有一个 没有 没有
1
二、精典题型剖析：
a>0 b<0 c<0 √ √
X
. -1
X
B
二、精典题型剖析：
C X
a<0
b>0
c>0 X
√
X
【点评】特殊点的代数式及对称性的运用
二、精典题型剖析：
考点二、一元二次方程的根与抛物线之间的关系