10.4二项式定理(三)

课 题： 二项式定理(三)教学目的：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n nn n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r nnn x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：二项式系数的性质引入:()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，则对应的二项式系数形成右表:说明:在三角形中的一种几何排列。

了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。

帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家·贾宪中国北宋11世纪《释锁算术》·杨辉中国南宋1261《详解九章算法》记载之功·朱世杰中国元代1299《四元玉鉴》级数求和公式·阿尔·卡西阿拉伯1427《算术的钥匙》·阿皮亚纳斯德国1527·施蒂费尔德国1544《综合算术》二项式展开式系数·薛贝尔法国1545·B·帕斯卡法国1654《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。

中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

[3]应用：性质1和性质2是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。

杨辉三角的图算与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数.即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 以此类推。

又因为性质6：第n 行的m 个数可表示为C(n,m-1)，即为从n 个不同元素中取m-1个元素的组合数。

因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。

求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。

用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

1、二项式系数表（杨辉三角）()na b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，nnC ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n nn n n n k n k C C k k----+-+==⋅，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k-+决定，1112n k n k k-++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式01()()n n n r n rr n n n n n n a b C a C a b C ab C b n N -*+=+++++∈ 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)nnnn n n n nC C C C C -=-+-++- ，即02130()()n n nn C C C C =++-++ ， ∴0213n n nn C C C C ++=++ ， 即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n nn C C C C -++=++= . 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ .解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415= ∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为例5.已知n2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4nC 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r510r 10rr 2r10r101r xC )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；（2）1)n x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．（3）0n C +12n C +24n C ++ 2n n n C 729=，则123nnn n n C C C C ++++= （ ）A ．63 B.64C.31D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x -=++++ ，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++ 的值 答案：（1）202，203，11；（2） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴ 10n =， 3734101()T C x==； （3）A ．五、小结 ：1．性质1是组合数公式r n r n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++- ，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1n a na +≈+。