惯性矩计算

h 2
h
9
h
h-y b(y) b
dy y z
h C b
2h/3 h/3
z0 z
I z = I z0 + Ad 2
bh bh h I z0 = I z − Ad = − 12 2 3 bh3 = 36
3
2
2
10
[例] 求图示 形截面对 0轴的 例 求图示T形截面对 形截面对z 惯性矩。 惯性矩。 解：确定形心位置。 确定形心位置。
dx dx x y dA y
惯性积一定等于零 。
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy =
Iy , A
ix =
Ix A
例2_1 解：
轴的惯性矩。 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
dA = b dy
2 h 2 h − 2 2 3
I x = ∫A y dA
2
bh = ∫A y dA = ∫ by dy = Ix 12
1
二、简单截面的惯性矩 1. 矩形截面的惯性矩
h/2 h/2 z y dy
C dA b
bh Iz = 12
3
I z = ∫ y dA = 2∫
2 A
h/2
0
by 2dy
2 3 = by 3
h/2 0
1 3 = bh 12
[练习 求图示矩形截面对 轴的惯性矩。 练习] 求图示矩形截面对z轴的惯性矩 轴的惯性矩。 练习
I y = I y + Ab 2
0
其中， 为形心轴， 轴与 轴平行，相距为b。 轴与y 其中，y0为形心轴，y轴与 0轴平行，相距为 。 [例] 求图示矩形截面对 轴的惯性矩。 例 求图示矩形截面对z 轴的惯性矩。
h/2 h/2 C b z0 z
h I z = I z0 + A 2 bh3 h2 = +bh ⋅ 12 4 1 3 = bh 3
7
2
[例] 求图示截面对 轴的惯性矩。 例 求图示截面对z 轴的惯性矩。
20
解：
40 20 20 40 20
z1 C1 C C2 80 40 z 40 z2
I z = I z矩 − 2 I z圆
= I z矩 − 2( I z1 + A1 y12 )
80 × 1603 π × 404 π × 402 = − 2×( + × 402 ) 12 64 4
3 2 0
2π
Iz =
πD
64
=[
ρ4
4 π D4 = 64
]
D/2 0
sin 2α 2π ⋅[ − ]0 2 4
α
3
3. 环形截面的惯性矩
Iz =
D d C z
π
64
(D4 − d 4 )
(1 − α 4 )
Iz =
y
π D4
64
其中， 其中，α = d/D
4
4. 极惯性矩与惯性矩的关系
I p = ∫ ρ 2dA = ∫ ( y 2 + z 2 )dA
dA h dy b y z
解： I z =
∫
A
y dA = ∫ by 2dy
2 0
h 0
h
1 3 = by 3
1 3 = bh 3
2
2. 圆形截面的惯性矩
dA = ρ dα dρ
α C dα
D dA z
y = ρ sin α
I z = ∫ y 2 dA
A
=∫
4
D/2
0
ρ dρ ∫ sin α dα
4
C1 C C2 y
16 × 43 = + 4 ×16 × (5.53 − 2) 2 12 4 ×123 + + 4 ×12 × (10.57 − 6) 2 12
= 2416.76 mm 4
12
12
§ A-4 极惯性矩 惯性矩 惯性积
y
定义： 定义：
dA y ρ x 0
截面对 o 点的极惯性矩为
x
4
16 C1 C C2 y
z y1 z0 4 y2
4 ×16 × 2 + 4 ×12 ×10 y1 = 4 ×16 + 4 ×12
12
= 5.43 mm
y2 = 16 − 5.43 = 10.57 mm
11
16
I z0 = I z1 + A d + I z2 + A d
2 1 1
2 2 2
z y1 z0 4 y2
A 2 C A
2
∫
A
dA
= I z0 + 2bS z0 + a 2 A
∵ S z0 = 0 ∴ I z = I z0 + Aa 2
截面对任一轴的惯性矩，等于对其形心轴 截面对任一轴的惯性矩，等于对其形心轴z0的惯性矩加 上截面面积与两轴间距离平方的乘积。 上截面面积与两轴间距离平方的乘积。 6
同理可得： 同理可得：
3
y
Iy
=
hb 12
dy h C y x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为 y
Iρ =
πd 32
4
I x + I y = Iρ
Ix = Iy
x
所以
Ix = Iy =
πd 64
4
= 2.30341×107 mm 4
8
[练习 求图示三角形截面对 和z0 轴的惯性矩。 练习] 求图示三角形截面对z 轴的惯性矩。 练习
h-y b(y) b dy y z b 2h/3 C h/3 z
h
h
z0
b 解： b ( y ) = ( h − y ) h
b I z = ∫ y b( y )dy = ∫ (h − y ) y 2dy 0 0 h h b 3 b 4 bh 3 = y − y = 4h 0 12 3
§A-2 惯性矩
一 、截面惯性矩 O
2
z y z dA
I z = ∫ y dA,
2 A
I y = ∫ z dA
A
分别称 为截面对 z 与 y轴的惯性矩。 轴的惯性矩 轴的惯性矩。 惯性矩恒为正，单位为： 惯性矩恒为正，单位为：m4。 y 组合图形的惯性矩 A1 A2 z
I z = I z1 + I z 2 + ⋯ = ∑ I zi
A A
O
z
ρ
z
y
= Iz + I y
对于圆截面， 对于圆截面，
64 πd4 Ip = 2I z = 32
Iz = I y =
πd4
dA
,
y
5
§A-3 惯性矩平行轴定理
O a y C y0 (A) y y0 dA z0 z
I z = ∫ y 2dA = ∫ ( yC + a) 2 dA
A
A
= ∫ y dA + 2a ∫ yC dA + a
截面对 x ,y 轴的惯性矩分别为
Iy Ix
= ∫ A x dA
2
= ∫ A y dA
2
因为
ρ = x +y
2 2
y
2
dA y ρ x 0
x
所以
Iρ = Ix + Iy
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy = ∫ A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。 也可能等于零。 若 x , y 两坐标轴中有一个为 截面的对称轴， 则截面对 x , y 轴的 截面的对称轴，