必修5简单线性规划第2课时PPT课件
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人教新课标版数学高二B必修5课件3.5.2简单线性规划(二)
明目标、知重点
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示.
明目标、知重点
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)， 把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280)时，z的值最小，∵点M的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运 280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少.
∴甲种原料154×10＝28 (g)，乙种原料 3×10＝30 (g)，费用
最省.
明目标、知重点
探究点二 非线性目标函数的最值问题 思考 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用 数形结合的思想加以解决，例如： ①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方； ②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y) 与点(a，b)距
明目标、知重点
1234
y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1，
x＋y≥1，
1 则 z＝x2＋y2的最小值为__2__.
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部
分所示，
则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故 zmin＝ 122＝12.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范.
明目标、知重点
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨
煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)万元，
即z＝780－0.5x－0.8y，
x≥0 y≥0 其中 x，y 应满足230000－ －xy≥ ≥00 x＋y≤280 200－x＋300－y≤360
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示.
明目标、知重点
设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)， 把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280)时，z的值最小，∵点M的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运 280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少.
∴甲种原料154×10＝28 (g)，乙种原料 3×10＝30 (g)，费用
最省.
明目标、知重点
探究点二 非线性目标函数的最值问题 思考 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用 数形结合的思想加以解决，例如： ①z＝x2＋y2表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)距离的平方； ②z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域中的点(x，y) 与点(a，b)距
明目标、知重点
1234
y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1，
x＋y≥1，
1 则 z＝x2＋y2的最小值为__2__.
解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部
分所示，
则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 故 zmin＝ 122＝12.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范.
明目标、知重点
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨
煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)万元，
即z＝780－0.5x－0.8y，
x≥0 y≥0 其中 x，y 应满足230000－ －xy≥ ≥00 x＋y≤280 200－x＋300－y≤360
人教课标版高中数学必修5《简单的线性规划(第2课时)》名师课件
连线的斜率的最大值．由图可以看出直
线OP的斜率最大，故P为
与
的交点，即A点．∴ ．故答案
为．
注：解决本题的关键是理解目标函数
的几何意义，当然
本题也可设 ，则y=tx ，即为求y=tx的斜率的最大值．
由图可知， y=tx过点A时，t最大．代入y=tx ，求出t ，即得到
的最大值是 ．
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3.3.2 简单的线性规划问题 (第2课时)
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问题探究一：直线的斜率型 例1.已知实数x、y满足不等式组
,求函数
的值域.
解：所给的不等式组表示圆
的右半圆(含边界)，
可理解为过定点P(-1,-3) ，斜率为
y
z的直线族．则问题的几何意义为：求过
半圆域
上任一点与点P(-1,-3)
的直线斜率的最大、最小值．由图知，过
-2 O
2
x
点P和点A(0,2)的直线斜率最大，
-2
（-1，-3）
过点 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为B(a,b) ，则过B点的
例3.已知实数x、y满足
的最小值.
解： 目标函数 其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小 距离的平方减5.由实数x、y所满足的不等 式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的
距离，由点到直线的距离公式可求得
，
数学人教B版必修5课件：3.5.2 简单线性规划2
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可行域 内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行域内 的点．故选 A.
【答案】A
变式训练 1：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知 1 个 单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；1 个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需 要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质 和 54 个单位的维生素 C.如果 1 个单位的午餐、晚餐的费用分别 是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预订多个单位的午餐和晚餐？
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【解析】本题考查线性规划与最优解．
由 x、y 满足的约束条件3x－x＋y－y－26≤≥00 y－3≤0
，画出可行域如图，
容易求出 A(2,0)、B(5,3)、C(1,3)， 可知 z＝y－2x 过点 B(5,3)时， z 最小值为 3－2×5＝－7.
【答案】A
例 1：4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶
杯与 3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶
的价格比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，
则46xx＋＋53yy＜＞2224 x，y∈N
0≤x≤2 变式训练 2：在条件0≤y≤2
x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值
范围是________．
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单线性规划(二)
解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，满足
的条件是
2x y 15，
xx
2y 3y
18， 27，
x
0,
x
N
，
y 0, y N .
目标函数：z=x+y.
可行域如图
y
M(18/5,39/5) x+y=0
BB(3,9) CC(4,8)
M
x
0 作出一组平行直线z=x+y2，x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27
解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收
入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是y 500，
x
0，
y 0.
目标函数Z＝3x＋2y，可行域如图所示。
当直线经过点M时，截距最大，Z最大。
易得M（200，100）， Zmax＝3x＋2y＝800。
2、解线性规划问题的步骤：
一列（设未知数，列出不等式组及目标函数式） 二画（画出线性约束条件所表示的可行域和直线l0） 三移（平在移线性直目线标l函0到数取所得表最示的值一的组位平置行）线中，利用平
移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或
四解（通过解方程组求最出小最的优直线解；） 五答（作出答案）
当直线经过点M时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.
作直线x+y=12.
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8).
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
{ 2x+y≥15, x+2y≥18,
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划.pptx
【提示】 z的最大值对应于截距的最小值，z的最小值对应 于截距的最大值．
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1
z 的最大值和最小值．
【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 划问题 问最题大，或称最为小线值性规划问题
可行解 满足线性约束条件的叫做(x可，行y) 解 可行域 由所有组成可的行集解合叫做可行域
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 【提示】 不一定，最优解可能有一个，也可能有多个， 甚至可以有无数多个．
2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值 与截距的对应关系是怎样的？
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S＝13，所以所求的最大值为 13.
【错因】 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14， 故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象， 则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶 点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的 直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…kn，而且目标函数的 直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1的交点一般是 最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题 (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细 推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美． (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加 注意． (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
x－4y≤－3 设 z＝2x＋y，其中 x，y 满足约束条件3x＋5y≤25， 求
x≥1
z 的最大值和最小值．
【思路点拨】 作出可行域 D，平移直线 y＝－2x＋z， 找到目标函数取得最大值和最小值的点．
【解析】
x－4y≤－3 不等式组3x＋5y≤25
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 划问题 问最题大，或称最为小线值性规划问题
可行解 满足线性约束条件的叫做(x可，行y) 解 可行域 由所有组成可的行集解合叫做可行域
1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 【提示】 不一定，最优解可能有一个，也可能有多个， 甚至可以有无数多个．
2．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值 与截距的对应关系是怎样的？
因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S＝13，所以所求的最大值为 13.
【错因】 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14， 故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整 点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象， 则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶 点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的 直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…kn，而且目标函数的 直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1的交点一般是 最优解．
2．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题 (1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值 的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细 推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证 解决问题的准确和完美． (2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加 注意． (3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx
5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
3.3[简单的线性规划(2)]课件(新人教a版必修5)
![3.3[简单的线性规划(2)]课件(新人教a版必修5)](https://img.taocdn.com/s3/m/725ce3de76eeaeaad1f330ab.png)
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例
例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
修Ⅱ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值， 使式中x、y满足下列条件： x y 1, y x, y 0, 答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
探索结论
线性规划
练习2 解下列线性规划问题： 求z=3x+y的最大值，使式中 y 8 x、y满足下列条件：
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪 一侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
y
5
x-y+5=0
O
3
x
表示的平面区域。 x=3
复习二元一次不等式表示平面区域的范例
例3 画出不等式组
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分析：当z取 -2、-1、0、1、2 时，可得到一组 平行线.
3
LI: 3x – y = -2
2
L2: 3x – y = -1
L0: 3x – y = 0 L4: 3x – y = 1 L5: 3x – y = 2
-1 1
-2
由图可知，当L0向上平移时，所对应的z值逐渐减小，
当L0向下平移时，所对应的z值逐渐增大.
4
作出不等式组所表示的可行域如下：
2
-1
12
4
-1
由此，可求出两个临界 -2 坐标点，进而求出了z
的最小值和最大值.
5
例8：求z = 4a – 2b 在约束条件 -1≤a-b≤2 2≤a+b≤4
下的最小值和最大值. 分析：先画出4个不等式所表示的可行域；再 画出基本直线L0，最后平移L0，找出临界坐 标点，从而求出了z的最值.
第2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时
1
复习回顾：
求目标函数 z = ax + by + c 的最值的步骤.
⑴ 画： ⑵ 移： ⑶ 求： ⑷ 答：
2
上节课我们研究了目标函数中y的系数大于0的 情况，本节课我研究y的系数小于0的情况.
例7 在约束条件
x + 2y ≤ 4 x-y ≤1 x+2≥0
下，
求目标函数z = 3x – y 的最小值和最大值.
6
4 2
-1
12
4
-1
-2
7
正式作业： P105 第3题 P108 第6题
8
个人观点供参考，欢迎讨论！