中国海洋大学2012春概率答案

n
i 1 n
（A）有相同的数学期望 （C）服从同一泊松分布
（B）服从同一离散型分布 （D）服从同一连续型分布
4．设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， X 和 S 2 为样本均值和样本方差，则（） (A) X 服从标准正态分布 （C） n X 服从标准正态分布 （B） X i2 服从自由度为 n 1 的 2 分布
n 1 n （A ） X i n i 1
{ X i } ； （C） E ( X ) ; (D) D( X ) ； （B） max 1i n
6.设随机变量 X ~ N (0,1),Y ~ N (2,9) 且相关系数 XY (A) PY 3X 4 1 (C)
P Y 3X 2 1
n
n
lnL n ln ( x 2n) ；
i 1
n
n d ln L n ( xi 2n) 0 d i 1
故 的极大似然估计是
^
1 X2

。
1 e x , x0 (四) （10 分） X i (i 0,1,2,n) 的分布函数是 F ( x) 其它 0,
2 y Y 的边际分布密度 p2 ( y) p( x, y)dx 0
（3）
p( x, y) p1 ( x) p2 ( y) 所以 X 、 Y 独立， （4） PX Y
x y
px, y dxdy
^
2 5
（三） （共 12 分，每小题 6 分） 解 EX
cx 2 y p ( x, y ) 0
0 x 1,0 y 1 其他
1.求常数 c
2. 求出 X 、 Y 的边际分布密度
3. 说明 X 、 Y 是否独立，为什么？ 4.求 PX Y
（三） （12 分） ）已知总体的概率密度
X 1 , X 2 ,, X n 为来自总体 X
则 Z min{X 1 , X 2 X n } 的分布函数为
1 e nx , ne nx , z0 z0 FZ ( z ) 1 [1 F ( z )] , Z 的概率密度为 f Z ( z ) 其它 其它 0, 0,
n

于是 E（Z）
nz zne dz 0
四、 （6 分）试写出总体 X ~ N (, 2 )
H 0 : 0
2 已知时,参数假设检验
( 0 己知)的检验水平为 的检验步骤。
参考答案
一、 1 e2 2 1. 2.2e 3. 4.1 4 二、 1. A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 三、 3 （一） 5 提示：令A j “放入甲盒的4个球中有j只白球”, j 0,1, 2, 3, 4. B 从两盒中各任取一球，颜色相同 4 4 j 4 j 则P ( A j ) , 而后计算出P ( B | A j ). 8 4 利用贝叶斯公式可得P ( A2 | B ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) 5. 1 n 1
X 0

；
n
④ 若 Z z 则拒绝 H 0 ；否则接受 H 0 。
1 ，则(
)
(B) ； （D）
P Y 3X 4 1 PY 3 X 2 1
三、计算题（50分）
（一） （12 分）设有白球黑球各 4 只，从所有球中任取 4 只放入甲盒，余下的 4 只放入乙盒，然后分别在两盒中各任取 1 球，颜色正好相同。试求放入甲盒的 4 只球中恰有 2 只白球的概率 （二） （16 分）设随机变量 X 、 Y 的联合分布密度函数为
i 1 n
（D） (n 1)S 2 服从自由度为 n 1 的 2 分布
5．设总体 X
1 1 ~ U ( , ) ，其中 2 2
n i
是未知参数，设 X 1 , X 2 , X n 为来自该总体的样本，
则当 S 2 1 ( X i ) 2 中的 为（ ）时， S 2 不是统计量
2．假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y min{X ,2} 的分布函数（
（A）是连续函数； （B）有两个间断点； （C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点 3．设随机变量序列 X 1 , X 2 , X n , 相互独立，根据辛钦大数定律，当 n 时， 1 X i 依概率收敛于其数学期望， {X n , n 1} 只要满足（ ）
i 1 n
n ( X )2 的 n 1
。
数学期望是 2 （其中 2 为总体 X 的方差） ，则 a _________
二． 选择题(每题4分,共24分,答案写在试卷上)
1．设 f ( x) 是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f ( x) 一定是（ (A) 可积函数 ） (B) 单调函数 （C）连续函数 （D）可导函数 ）
2
( x ) 是一概率密度函数，则 k _______.
4.若 P( X x2 ) 1 ， P( X x1 ) 1 ，其中 x1 x2 ，则 P( x1 X x2 ) __________ . ________ 5. 设 X 1 , X 2 , X n 是取自总体 X 的简单随机样本， a X i2


2
xe
( x 2 )
dx
1

2
令 EX , 即
1

2 ，于是 的矩估计
1 X2

样本 X 1 , X 2 ,, X n 的极大似然函数为
( xi 2 n ) n , 一切xi 2 L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi , ) e i 1 i 1 0, 否则
e ( x 2) , x2 ( 0) ， f ( x) x2 0,
的简单随机样本。
求 的矩估计和极大似然估计。 (四)（10 分） X 1 , X 2 , X n 为采自总体 X 的简单随机样本，
X
服从数学期望为 1 的指数分布,
1.求 Z min{X 1 , X 2 X n } 的分布密度函数 2.求 Z min{X 1 , X 2 X n } 的数学期望和方差。
12.Chun 一．填空题（每小题4分，共20分，答案 写在试卷上）
1． 设两两独立的三个事件 A , B , C 且 ABC , P( A) P( B) P(C ) 1 ,
2
且 P( A B C )
9 ,则 P( A) __________ __ . 16
2.设 X 服从参数为 的泊松分布， P{X 1} P{X 2} ,则 P{0 X 2 3} __________ . _______ 3．设 f ( x) ke x 2 x3
P( A
j 0
4
.
j
) P( B | Aj )
（二） （16 分）解 （ 每小题 4 分）

（1）

p( x, y)dxdy 1

dx cx 2 ydy 1
0 0
1
1
c6
0 x 1 其它
0 y 1 其它
3x 2 （2） X 的边际分布密度 p1 ( x) p( x, y )dy 0
1 2
E ( Z 2 ) z 2 ne nz dz
0

2 n2
D( Z )
1 n2
四． （6 分） ① 选取统计量 Z
X 0

； ② 给出检验水平 ，查标准正态分布表使 ( z ) 1 ，
n
即 H 0 成立时， PZ z ；③ 根据样本观察值 x1 , x2 ,, xn , 算得 Z