欧几里得空间几个等价定义

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收稿日期： "&&)
万方数据 ， 男， 陕西合阳县人， 延安大学副教授# 作者简介： 刘兴祥 （ !/%+ ）
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延安大学学报 （ 自然科学版）
第 (% 卷
则有定义 ( 成立) 定义 ’ : 定义 ) ， 显然成立) 定义 ) : 定义 ’ 只需证明下式成立即可： -* , , ， -%、 ! , ’， 有（ ! *%， （ %， !） & *! !）也即需逐次证明以下式子成 立) （’） 对于任意正整数 *， 有（ ! *%， （ %， ； !） & *! !） （ ( ）对于整数 & ， 有（ ! & %， ! %， !） & &（ !） & & ； （ ! ）对于整数 - ’ ， 有（ ! （ - ’） ! %， %， !） & - （ ； !） （%） 对于任意负整数 *， 有（ ! *%， （ %， ； !） & *! !） 由 （’） 、 （(） 、 （!） 、 （ % ）综合即知 有（ ! *%， （ %， ； -* , . ， -%、 ! , ’， !） & *! !） （)） 有 -/ , . 且 / + & ， -%、 ! , ’， （ ! %， !（/ 0 !） & （ 即： （ ! ’ ’ ） （ %， %， !） & /! !） / / & "， "! （ #， $） & "#$（ ! # $ #， $） &
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欧氏空间的几个等价定义
定义 !" 设 # 是实数域 $ 上的一个向量空间， 如
果对于 # 中任意一对向量 !、 有一个唯一确定的记 "， 作为 〈 !， 并且确定的实数 〈 !， "〉的实数与它们对应， "〉如果满足下列条件： （!） 有 〈 !， ； -!、 " , #， "〉 %〈 "， !〉 （"） 有 〈 ! & "， -!、 "、 # , #， #〉 %〈 !， #〉&〈 "， ； #〉 （.） 有 〈 ’!、 ’ !， ； -’ , $ ， -!、 " , #， "〉 % 〈 "〉 （+） 〈 !， -! , # 且 ! + & 时有 !〉 ( & ； 则称 〈 !， 为向量 ! 与 " 的内积" 定义了这种内积的 "〉 实数域上的向量空间称为欧氏空间" 定义 #" 设 # 是实数域 $ 上的一个向量空间， ) 是 # * # 到 $ 上的一个映射， 即 )： # *#%$
［ ( ］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组+ 高等代数 ［ ,］ + 北京： 高等教育出版社， ’--/+ ［ ! ］曹锡皓， 等+ 高等代数 ［ ,］ + 北京师范大学出版社， ’-/.+
〔 责任编辑0 贺小林〕
万方数据
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欧氏空间等价定义的证明
定义 ’ 9 定义 ( 证明： 定义 ’ 与定义 ( 只是形式叙述的不同) 定义 ( 9 定义 ! 证明： 如若定义 ( 成立， 则有定义 ! 中的下式也
成立： （ ! *% + !， ! *%， ! !， （ %， %） & （ "）+ （ "） & *! "）+ ! !， （ ； "） 则定义 ! 成立) 定义 ! : 定义 % 证明： 如若定义 ! 成立， 则由 （ ’ ）当 % & ! & & 时， 有（ ! &， "） & & ； （(） 当 ! & & 时， 有（ ! *% + & ， -%、 " , ’， "） & *! （ %， ! &， （ %， （ %， ； "）+ （ "） & *! "）+ & & *! "） （!） * & ’ 时， 则有 -%、 有（ ! % + !， !、 " , ’， "） &（ ! %， ! !， ； 则有定义 ( 成立) "）+ （ "） 定义 ( : 定义 % 证明： 如若定义 ( 成立， 则 -& 、 ’ , ,， -%、 !、 " ’ ， 有 , （ ! &% + ’!， ! &%， ! ’!， ! %， " ）& （ "）+ （ "）& &（ "） + ’（ ! !， ) 则有定义 % 成立) "） 定义 % : 定义 ( 取 & & ’ & ’， 有（ ! % + !， ! %， ! !， "） & （ "）+ （ ； 当 & 取任意实数， 有（ ! &% + & !， "） ’ & &， "） & ! &%， （ ! & !， ! %， ! !， ! %， "）+ （ "） & &（ "）+ &（ "） & &（ ， 也即： （ ! &%， ! %， ； "） -& , , ， -%、 " , ’， "） & &（ "） 参考文献：
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"#$（ ! # $ %， !） & "#$ # $（ ! %， !） &
*! （ %， !） 即 -* , , ， 有（ ! *%， （ %， -%， ! , ’， !） & *! !） 也即定义 ’ 成立) 当然我们也可设想： 若把定义 ’ 中的条件 （!） 删去， 还能定义欧氏空间吗？ 如若能， 如何证明； 如若 不能， 能举出反例吗？
［ ’ ］张禾瑞， 等+ 高等代数 ［ ,］ + 北京： 高等教育出版社， ’--.+
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’ ’ ! %， ； %， !） & （ !） / / $ $ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ， 有（ ! ! %， %， !） & （ !） / / /
也即对于任意有理数
即： 有（ ! *%， （ %， -* , 1， -%、 ! , ’， !） & *! !） 存 在 有 理 数 列｛# $ ｝ ， 使得 （*） -, , , - 1， "#$ # $ & , ， 有 -* , , - 1， -%、 ! , ’， （ ! *%， ） & （ ! "#$ # ， ） & ! $% !
欧几里得空间的几个等价定义
刘兴祥! ，徐秋霞"
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（ !# 延安大学 数学与计算机科学学院， 陕西 延安 $!%&&& ； "# 陕西铜川师范学校， 陕西 铜川 $"$&&$ ）
摘’ 要： 给出了欧几里得空间的几个等价定义， 证明了它们之间相互等价性# 旨在于激发教师和学 生在教授学习新知识的同时， 注意新旧知识之间的衔接以及各学科的相关性# 关键词： 内积； 向量空间； 欧几里得空间 中图分类号： (!)!’ ’ ’ 文献标识码： *’ ’ ’ 文章编号： !&&+,%&"（ "&&) ） &",&&".,&" ! ! 在向量空间的定义中， 向量之间的基本运算只 )： （ $， ) $， %）% （ %） 映射 ) 如果满足以下条件： （!） 有〈 ) !， ) "， ； -!、 " , #， "〉 % 〈 !〉 （"） 有（ ) ! & "， ) !， -!、 "、 # , #， #） % （ #） & （ ) "， ； #） （.） 有（ ) ’!、 （ !， -’ , $ ， -!、 " , #， "） % ’) ； "） （+） 有（ ) !， -! , # 且 ! + & ， !） ( & ； 则称（ ) $， 为向量 $ 与 % 的内积， 记为 〈 $， " 定义 %） %〉 了这种内积的实数域上的向量空间称为欧氏空间" 定义 $" 设 # 是实数域 $ 上的一个向量空间， ) 是 # * # 到 $ 上的一个映射， 即 )： # *#%$ )： （ $， ) $， %）% （ %） 映射 ) 如果满足以下条件： （!） 有（ ) !， ) "， ； -!、 " , #， "） % （ !） （"） 有（ ) ’! & "， -’ , $ ， -!、 "、 # , #， #） % ’) （ !， ) "， ； #）& （ #） （.） ) !、 -! , # 且 ! + & 有 （ !） ( & ； 则称 （ ) $， 〈 $， " %）为向量 $ 与 % 的内积记为 %〉 定义了这种内积的实数域上的向量空间称为欧氏空 间" 定义 %" 设 # 是实数域 $ 上的一个向量空间， ) 是 # * # 到 $ 上的一个映射， 即 )： # *#%$ )： （ $， ) $， %）% （ %） 映射 ) 如果满足以下条件： （!） （ ) !， ) "， ； -!、 " , #， "） % （ !） （"） 有（ ) ! & "， ) !， -!、 "、 # , #， #） % （ #） &