导数的概念及性质
导数的概念与性质
导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念由数学家高斯于18世纪提出，至今仍被广泛应用于各个领域。
本文将对导数的概念以及其性质进行论述。
一、导数的概念导数是用来描述函数在某一点处的变化率的数值。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记作f'(a)，表示函数在点x=a处的瞬时变化率。
导数可以用极限的概念来定义，即：f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中，f(x)表示函数f在点x处的取值。
导数的概念可以形象地理解为函数图像上某一点处切线的斜率。
当函数在某点处的导数存在时，说明函数在该点处是光滑的，即函数图像在该点处没有转折或断裂的情况。
二、导数的性质导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的存在性：一般而言，函数在某点处的导数可能存在也可能不存在。
当函数在某点处的导数存在时，我们称其为可导，否则称其为不可导。
2. 导数与函数的关系：导数是描述函数变化率的工具，它与函数的关系密切。
如果函数在某一范围内的导数都存在，那么我们可以得到函数在该范围内的变化趋势。
3. 导函数的性质：如果函数f(x)在某一点处可导，那么它的导函数f'(x)就是由f(x)导出的一个新函数。
导函数具有以下性质： - 导函数是原函数的变化率函数，描述了原函数在各点处的变化率。
4. 导数的运算规则：导数满足一些基本的运算规则，使我们能够更方便地求解复杂函数的导数。
其中，常见的导数运算规则包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
5. 导数与函数图像：导数不仅可以解释函数的变化率，还能给出函数图像的一些重要信息。
例如，函数在某一点处的导数为正，则说明函数在该点处上升；导数为负，则说明函数在该点处下降。
三、导数的应用导数在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学中的运动学：导数可以描述物体的位置、速度和加速度之间的关系，帮助我们分析物体的运动规律。
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数的定义与性质解析
导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。
切线的斜率即为导数的值。
- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。
- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。
- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。
- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。
- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。
- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。
综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。
导数的基本概念与性质知识点总结
导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。
这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。
二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。
一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。
具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。
三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。
导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数性质知识点总结
导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。
如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。
导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
函数的导数性质与计算方法
函数的导数性质与计算方法函数的导数是微积分中重要的概念之一，它不仅具有一系列重要的性质，还有多种计算方法。
本文将探讨函数的导数性质以及几种常见的计算方法。
一、导数的定义与性质函数的导数定义为函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义如下：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称函数f(x)在点x处可导。
导数用f'(x)或者dy/dx来表示。
对于可导函数，它具有以下性质：1. 导数的唯一性：一个函数在某一点处的导数只有一个值。
2. 运算性质：如果函数f(x)和g(x)都在某一点x处可导，那么它们的和、差、乘积和商的导数分别为：(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)(f / g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g^2(x))这些运算性质可通过导数的定义和极限运算进行推导。
3. 反函数与复合函数的导数：如果函数f(x)在某一点x处可导，且其反函数f^(-1)(x)也在相应点处可导，那么反函数的导数可以表示为： (f^(-1))'(x) = 1 / f'(f^(-1)(x))对于复合函数，如(f(g(x))), 它的导数可以表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)这些性质提供了计算导数的基础。
二、常见的导数计算方法1. 基本导数公式：对于常见的基本函数，存在一些常用的导数公式，如：- 常数函数的导数为0：(k)' = 0- 幂函数的导数为幂乘以原函数的幂减一：(x^n)' = n * x^(n-1)- 指数函数的导数等于指数乘以常数：(a^x)' = a^x * ln(a)- 对数函数的导数等于1除以自变量：(ln(x))' = 1 / x- 三角函数的导数与函数本身有关：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)这些公式可以通过导数的定义以及对基本函数的求导规律导出。
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姓名学生姓名填写时间2016-1-7 学科数学年级高二教材版本人教版
阶段第（2 ）周观察期□：维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时
课题名称导数的概念及其极值问题课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间2016-1-9
教学目标1、掌握导数的相关概念问题
2、掌握导数的运算法则
3、掌握极值问题在函数图象中的具体运用问题
教学重点1、导数的概念的理解及其运算问题
2、极值在函数图象中的反映
教学
难点
数形结合思想加以分析导数问题的过程以及函数与导函数问题的相互关系
教学过程
教师活动
一、导数的概念及其运算问题
1、函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．相应的,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：
例1.设函数1
)
(2-
=x
x
f，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
例2.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
x
f
x
f
x
)1(
)
1(
lim
-
+
→
= ( )
A．2 B．1 C．
2
1
D．
4
1
例3、求曲线1
22-
=x
y的斜率等于4的切线方程．
例4、抛物线1)(2
+=x x f 在哪一点处的切线平行于直线54-=x y .
例5、求过曲线x y cos =上点⎪⎭
⎫
⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程．
练习1：
1.函数)1()1(2
-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
3．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -3
4．设()f x 在0x x =处可导，且000(3)()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆＝1,则0()f x '＝( )
A.1
B.0
C.3
D.1
3
二、导数的运算
=
-=-)(',2)1(2
x f x x x f 则
（1） （2）
（3）
例：求下列函数的导数：
（1）41
x
y =
（2）53x y =． （3）y=3x(x2+2) （4）y=(x-1)(2x2+1) （5）;sin 2
5x x
x x y ++=
（6）);3)(2)(1(+++=x x x y
二、导数在函数单调性中的具体反映 1、函数单调性的求法
2、参数问题下的函数单调性
例、若函数5)(2
3
-+-=x x ax x f 在的取值范围上单调递增，求a ),(+∞-∞
练习：上是增函数在若已知函数]1,0()(,0],1,0(,2)(3
x f a x x ax x f >∈-=，求a 的取值范围
3、函数的图象与导函数图象的相互关系
例、设
)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能是
( )
例2、方程x 3－6x 2
+9x －10=0的实根个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
例3、若函数f (x )=132
3
+-x a x 的图象与直线y =3只有一个公共点,则实数a 的取值范围是
例4.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )
练习：1、如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
x
y
O
1 2
x y
y
x y x
y
x
O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2
A D
C B
①f(x ）在［-2，-1］上是增函数； ②x=-1是f(x)的极小值点；
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x=3是f(x)的极小值点.
其中判断正确的是 .
2.函数f(x)的导函数y=)(x f '的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .
一、函数的极值及最值问题
1、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f ’(x)=0的根
（3）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 注：
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值 或极小值
（2）极大值不一定比极小值大
（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 例：y=x3
例1、求函数()31
443
f x x x =-+的极值
例2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
4.曲线y=e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.4
9e 2
B.2e 2
C.e 2
D.2
e
2
5.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足f(x)=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .
6. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3
2时，
y=f(x ）有极值. （1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.
注：此表用作每次课的教学设计方案。