教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件
一：教材分析 二：目标分析 三：重点难点 四：过程分析 五：教法分析
一：教材分析
教材的地位及作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 选修2-3、第一章第3节、二项式定理第3课 时，前面已经学习了组合、组合数及二项式 定理。在此基础上继续学习杨辉三角，研究 二项式系数的性质。可以进一步深化认识组 合数，导出一些组合数的恒等式，进行组合 数的计算和变形。又与概率统计中的二项分 布有其内在联系。
设计意图：在例1的基础上及时巩固，目的在于 对赋值法领会及运用能力；
综合跃升
1、在(x＋y)n的展开式中，第四项与第八项的
系数相同，则展开式中系数最大的项是（ ）
A 第6项
B 第 5项
C 第5项和第6项 D 第6项和第7项
2、已知(1+2x)10=a0+ a1x+ a2x2+ …+a10x10
求(1) a0+ a1+ a2+… +a9+ a10的值；
质》
特征：
1 、 两端都是1
11 121
2 、 对称性
1331
3 、 中间数最大 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 、 除1之外的每一个数都等于“肩上” 两个数的和
2021/1/7
质》
【设计意图 ： 】
由学生自己动手计算、填表、主动去发现 规律，可以培养学生观察、分析、比较、 归纳、猜想的积极探索能力
4、巩固新知
• 1、求 (a b)6展开式中的倒数第三项的二项 式系数。
• 2、(1 x)n 展开式中只有第十项二项式系数 最 大，求n的值.
设计意图：对性质1、2及时巩固应用
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
1.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质-王后雄学案
张喜林制1.5 “杨辉三角”与二项式系数的性质教材知识检索考点知识清单由“杨辉三角表”可以看出，二项式定理具有下面的性质：(1)表中每行的两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，事实上，设表中任一不为1的数为,1r n C +那么它肩上的两个数分别为 和 ，由组合数的性质，有=+rn C 1+(2)与首末两端“等距离”的两个二项式系数(3)当 时，二项式系数是逐渐增大的；当 时，二项式系数是逐渐减小的，且系数呈对称性．若n 为偶数，则中间的一项 为最大值；若n 为奇数，则中间的两项相等，且同时为最大值.n b a ))(4(+的展开式中的各个二项式系数的和等于=+++=+++ 531420)5(n n n n n n C C C C C C要点核心解读1．二项式系数的推导对于n 是较小的正整数时，可以直接写出展开式中各项的系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算．表中有如下规律：“每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”， 类似这样的表，早在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，反映了我国古代数学发展的成就，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能，图1-5 -1叫“杨辉三角”，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数． 2．二项式系数的特点及性质(1)由二项式系数表可以发现：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等……②图中每行两端都是1，而且除l 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（如图1-5 -2）； ③表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为,210=第2行的两数之和为,21第3行的三数之和为 22第7行的各数之和为62（如图1-5 -2）．(2)-般地，n b a )(+展开式的二项式系数n nn n C C C ,,,10 有如下性质： ;;11mn m n m n m n n m n C C C C C +--=+=②①③当21-<n r 时，;1+<r n r n C C 当21->n r 时，,1rn r n C C <+ .210n nn n n C C C =+++ ④[说明] ①对于二项式系数),,,(10n nn n C C C 有：当n 为偶数时，二项式系数中，以nnC 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以1nn C-和1n n C+（两者相等）最大；②在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即有 +++=+++531420n n n n n n C C C C C C性质④的证明用赋值法，这是本节中最常用且很重要的一种数学方法．3．对二项式系数增减性与最大值的理解如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺序是,21)1(,1,1210⋅-===n n C n C C n n n ,321)3)(1(3⋅⋅--=n n n C n,)1(321)2()2)(1(1-⋅⋅+---=-k k n n n n C k n,)1(321)1)(2()2)(1(kk k n k n n n n C k n ⋅-⋅⋅+-+---=.1=n n C其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n ，n-l ，n-2，…），分母是乘以逐次增大1的数（如1，2，3，…）．因为一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当 k 依次取1，2，3，…时，kn C 的值即各项的二项式系数从开始起是逐渐增大．原 因在于此时11>+-k k n （即),21+<n k 而当11≤+-k k n （即≥k )21+n 时，kn C 的值转化为不递增而递减了，因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，n+l 是奇数，展开式共有n+l 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为.2n nC当n 为奇数时，n+l 是偶数，展开式共有n+l 项，所以有中间两项，这两项的二项式系数相等并且最大，最大为2121+-=n nn nC C4．二项式系数的有关问题(1)在n b a )(+的展开式中，利用赋值法可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)对形如m n c bx ax b ax )(,)(2+++的式子：①求其展开式各项系数之和，只需令x=l 即可；②求展开式中的常数项，只需令x=0即可．对于n by ax )(+的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l 即可．典例分类剖析考点1 “杨辉三角”的探索命题规律理解定理的发现推导过程；考查学生观察、比较、分析、概括的能力． [例1]下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？[解析]仔细分析每一个数字的特点，从而发现规律．（不必证明）[解] (1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设,,10,6,3,14321 ====a a a a若令,1n n n a a b -=+则,4,3,2321===b b b 所以可得}{n b 是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．[点拨]探索数字排列规律，应遵循从特殊到一般的归纳、猜想与证明的原则．母题迁移 1．如图1-5 -4所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．考点2 求展开式中系数（或二项式系数）最大的项 命题规律(1)依据二项式系数的性质对nb a )(+的n 进行讨论，直接得出二项式系数最大的项；(2)由通项得出第r+l 项的系数,1+r t 解不等式组⎩⎨⎧≥≥+++,,211r r r r t t t t 即可得到系数最大的项．[例2] 已知n a )221(+的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．[解] 因为,2564n n n C C C =+所以=-+-)6(!6!)!4(!4n n n n ⋅-).5(!5!2n n即 ,098ln 22=+-n 解得.714或=n当n =14时，第8项的二项式系数最大，.)21.(77148C T =.3432)2(77a a =当n=7时，第4项与第5项的二项式系数最大，.70)2()21.(C ,235)2.)21.(4434753344a a T a a C T =⋅==<=ξ[点拨] 本题关键是求出n ，根据条件构造出关于n 的方程，并正确解方程，问题就基本解决了，一般地，二项式n b a )(+的展开式中，当n=2k 时，二项式系数最大的项是中间项，即第k+l 项；n=2k +1时二项式系数最大的项是中间的两项，即第k+l 项和第k+2项．母题迁移 n x )21(2+⋅的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项． [例3](1)求7)21(x +展开式中系数最大的项； (2)求7)21(x -展开式中系数最大的项．[解析] 利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而求出其最大值． [解] (1)设第r+1项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥++--②①,2.2.,2.2.11771177r r r r r r r rC C C C即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-⋅--+≥⋅-⋅+--≥⋅-112.)17()!1(!72)!7(!!7,2)!17()!1(!72)!7(!7r r r r r r r r r r r r ！！⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+≥--≥⇔1271,812r r r r 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅≥≤313,316r r即.5,315314=∴≤≤r r ∴ 系数最大的项为.672255557156x x C T T =⋅⋅==+(2)展开式共有8项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因7)21(x - 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需要比较5T 和7T 两项系数大小即可，,14)2()2(173766744775>⨯⋅=-⋅-⋅=C C C C T T 系数系数所以系数最大的项是第五项，.560)2(44475x x C T =-=[点拨] (1)本例中第一小题中的解法，是求系数最大的项的一般方法，而第二小题的解法，则通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化，可谓之“巧解”，更值得仔细品味．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组的方法求解．母题迁移 3．设∈+++=n m x x x f nm ,)1()1()(（),+N 且其展开式中关于x 的一次项的系数的和为11.m 、n 为何值时，含2x 项的系数取最小值？这个最小值是多少？考点3 求展开式的系数和或部分项的系数和命题规律给定二项展开式，利用赋值法求展开式各项的系数和（或部分项的系数和）．[例4] 已知,)21(7722107x a x a x a a x ++++=- 求：;)1(721a a a +++ ;)2(7531a a a a +++;)3(6420a a a a +++.||||||||)4(7210a a a a ++++[解] 令,1=x 则,176543210①-=+++++++a a a a a a a a 令,1-=x 则,3776543210②=-+-+-+-a a a a a a a a(1)因为1070==C a （或令⋅=,0x 得),10=a 所以++++ 321a a a )2(27⋅-=a 由（①一②）÷2得=--=+++23177531a a a a .1094-(3)由(①+②)÷2得=+-=+++23176420a a a a .1093(4)方法一：因为7)21(x -展开式中，6420,,,a a a a 大于零，而7531,,,a a a a 小于零，所以||||||210a a a ++-+++=++)(...64207a a a a a =--=+++)1094(1093)(7531a a a a .2187方法二：|,|||||||7210a a a a ++++ 即7)21(x +展开式中各项的系数和，所以.21873||||||7710==+++a a a [点拨] 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=l 可得所有项系数之和，令x= -1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x= -1则可得各项系数绝对值之和[例5] 已知,7292222332210=+++++n n n n n n n C C C C C 则nnn n n C C C C ++++ 321等于( )． 63.A 64.B 31.C 32.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 逆用二项式定理得：+++++ 33221222n n n n C C C C ,7293)21(2==+=nnnn nC 所以,6=n 所以++++ 321n n n C C C .631642066=-=-=C C n n故选A ． [答案] A[点拨] 逆用二项式定理，可化简含有组合数的代数式，从而解决问题，但应特别注意二项展开式的规律，当不符合规律时，可适当变形再逆用二项式定理．母题迁移 4．(1)若++++=- 22102010)21(x a x a a x ),(20102010R x x a ∈则+++++++ )()()(302010a a a a a a =+)(20100a a （用数字作答）(2)若多项式++++++=+9910102)1()1(x a x a a xx ,)1(0110+x a 则9a 的值是优化分层测训学业水平测试1．二项式10)1(xx -的展开式中二项式系数最大的项为( )．A ．第6项B ．第5、6项C ．第7项D ．第6、7项 2．设,)2(1010221010x a x a x a a x ++++=+ 则++20a a （-++2104)a a 2931)(a a a +++ 的值是( )．1.A 1.-B 0.C 10)12(-⋅D3．把9)1(-x 按x 降幂排列，系数最大的项是( )．A ．第四项和第五项B ．第五项C ．第五项和第六项D ．第六项 4．若n xx )13(-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )．540.-A 162.-B 162.C 540.D5．在472)12()1(+-+x x x 的展开式中，奇数项的系数的和为84)1.(6xx +展开式中系数最大的项为7．用杨辉三角展开.)(5b a +8．在20)25(y x -的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．二项式11)1(ba +的展开式中二项式系数最大的项为( )． A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项 D ．第6、7项n x x )1.(22-展开式的所有二项式系数的和为128，则展开式中二项式系数最大的项是( )．535.x A 235.x B 553535.x x C -和 253535.x x D 和-3．若,)124(2222102n n n x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a n a a 24++ 的值为( )．215.+n A 215.-n B n C 5. 1.D4．（2008年安徽高考题）设,)1(88108x a x a a x +++=+ 则,0a 81,,a a 中奇数的个数为( )．2.A3.B4.C5.D5．（2011年新课标全国高考题）5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．40.-A 20.-B 20.C 40.D2019.21123.19204321171819202119201.6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+的值为( )． 172.A 182.B 192.C 202.D7．（2010年湖北黄冈模拟题）,+∈N n 二项式n b a 2)(+的展开式各项系数中的最大系数一定是( )．A ．奇数．B ．偶数C ．不一定是整数D ．是整数，但奇偶与n 的取值有关 8．（2009年陕西高考题）若+++=- x a a x 1020)21(ω),(20092009R x x a ∈则20092009221222a a a +++ 的值为( )．2.A 0.B 1.-C 2.-D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 9．已知,)2(20202210102x a x a x a a x x ++++=-- 则++20a a =+⋅+204...a a10.设,)31(9922109x a x a x a a x ++++=- 则++||||10a a =++||||92a a11.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数,)1(1rnC n +就得到一个如图1 -5 -5所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出,1)1(1)1(11rn x n r n nc C n C n -=+++其中=x 令,)1(1160130112131221nn n C n nc a +++++++=- 则-n a =21 三、解答题（共45分） 12.（7分）求84)21(xx +展开式中系数最大的项．13．（7分）已知+++=++++++ x a a x x x n 102)1()1()1(.n n x a 若.509121n a a a n -=+++-求自然数n 的值．14.（7分）在杨辉三角中，每一个数值是它上面的两个数之和，这个三角形中开头几行如图l -5 -6.试求：在杨辉三角的某一行中会出现相邻的三个数，它们的比是3:4：5吗？15.（12分）求12)31(x -的展开式中，(1)各项二项式系数和；(2)奇数项二项式系数和；(3)偶数项二项式系数和；(4)各项系数和；(5)各项系数绝对值和；(6)奇数项系数和与偶数项系数和．16.（12分）已知n xx x )1(3+的展开式中前三项的二项式系数之和为37.(1)求菇的整数次幂的项．(2)展开式中的第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数？单元知识整合1．知识网络归纳2．热点透视(1)对于易混淆的知识，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中项的系数等，应着眼于搞清它们之闽的区别和联系．(2)运用两个基本计数原理时，首先要明确需完成的事件是什么，然后再分析用什么方法去完成，如果一次不能完成整个事件，则需要“分步”；如果有几类办法均可完成，则需要“分类”，分类时要做到不重不漏．(3)解决单纯的排列应用题要根据不同题型选择不同方法，即“相邻”问题采用“捆绑”法；“不相邻”问题采用“插空法”；“在与不在”问题常优先考虑有限制条件的元素或位置．(4)要正确区分排列与组合应用题，解决组合问题常用的方法有直接法、间接法、分类法与分步法等．(5)对于排列组合综合应用题，要注意一般先“选”后“排”．(6)用二项式定理解决与“项”有关的问题时，如系数最大的项、常数项等，通常利用二项展开式的通项列方程，求出r ，再求某些特定项．具体计算时，应注意处理好符号及根式计算和指数运算，避免出错．(7)本章内容概念性强 、抽象性强、灵活性强、思维方法独特，因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，认真地研究典型例题，搞深摘透，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托，着眼于分析问题、解决问题能力的提高．(8)注意分类讨论、等价转换、整体思想、正难则反等数学思想的运用． 3．思想方法总结中学数学中的排列组合是一类思考方式较为独特的问题，它对分析能力要求较高，解法也非常灵活，是高考的难点之一，因此，恰当地选择思想方法，对于解决排列组合问题至关重要．下面结合几个例子谈谈排列组合中常用的几种思想方法．类型1 分类讨论的思想就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以各个击破，这是人们解决问题最常用的策略思想．[例1] 已知集合,,,|),,{(+∈=N c b a c b a S 且≤≤b a S c ,}6≤中共有元素，____个．[解析]根据a 、b 、c 中相等的个数把元素分为四类：第一类61≤==≤c b a 时，有16C 个；第二类 61≤<=≤c b a 时，有26C 个；第三类61≤=<≤c b a 时，有26C 个；第四类61≤<<≤c b a 时，有 36C 个，所以，集合．s 中共有元素562362616=++C C C 个． [方法归纳] 这里S 中的元素可以看成是一个三维坐标，要探索元素个数必须分别看a 、b 、c 的取值情况，而其中a ，b ，c 相等的情况直接影响元素的个数，于是根据这一特点对元素进行分类，考蚕了分类讨论思想的灵活应用，这种数学思想在高考中占有重要的地位，这类题目也会成为高考命题的热点， 类型2 数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，从而达到化抽象为具体，化难为易的目的．[例2]（2010年苏州模拟题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共 有 种．（用数字作答） [解析] 解法一：如图1-1所示，从原点跳5次到达点P(3，O)必须向右跳4次，向左跳一次，才能满足条件，记向右跳一次为1，向左跳一次为-1．所求的不同运动方法就是四个1和一个-1的排列方法，共有5个位置，选好一个位置排-1，即有5种方法，故填5． 解法二：树状图（如图1-2所示）求解．共计5种．故填5．[点拨]本例解法一是通过适当建模（记向右跳一次为1，向左跳一次为-1），把问题转化为排列、组合的模型（问题转化为四个1和一个-1的排列方法），从而使问题顺利地解决；而解法二则是利用树状图的形象直观直接求解．由此可见，解答高考中的排列、组合的应用题关键是在实际问题 中选择恰当的解题切入点，建立有关模型，利用模型来分析解决问题，类型3 转化与化归的思想就是把有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去，从而求得问题的解决．[例3] 方程12=+++d c b a 有多少组正整数解．[解] 不难发现本题可以转化为12个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有多少种不同的放法？建立隔板模型，将12个小球排成一列，12个小球中间有11个空当，从中任取3个空当，如图l -3．将12个小球分成四堆，每一堆对应a ，b ，c ，d 中的一个，易求得共有165311=C 组．[方法技巧] 由于方程未知数的个数大于方程的个数，不能用常规解法，可以建立模型：并列排着12个1，就是如何将这12个1分成4组，且每组都不空的问题．即用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解组数的有效途径， 类型4 函数与方程的思想[例4] 一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？[解析] (1)红球的个数要大于或等于白球的个数，当红球取4个时取法是,44C 当红球取3个、白球取一个时取法是,1634C C ⋅当红球取2个、白球取2个时取法是,2624C C ⋅因此取法共有1152624163444=⋅+⋅+C C C C C （种）． (2)可设取红球x 个，取白球y 个，则满足以下关系⎩⎨⎧≥+=+.72,5y x y x 得.2≥x 因此可分三类：第一类红球取2个、白球取3个共有3624C C ⋅种； 第二类红球取3个、白球取2个共有2634C C ⋅种； 第三类红球取4个、白球取1个共有1644C C ⋅种， 因此所有取法共有186164426343624=⋅+⋅+⋅C C C C C C （种）． [方法技巧] 列出不等式，得出红球至少取多少个，再分类求解，注意分类要不重不漏．新典考题分析[例1] (1)（2010年全国高考题）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种(2)（2010年全国高考题）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )． A.12种移 B.18种 C ．36种 D ．54种(3)（2010年湖北高考题）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )．152.A 126.B 90.C 54.D(4)（2010年湖南高考题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有O 和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )．10.A 11.B 12.C 15.D[解析] (1)分两类，A 类选修课1门，B 类选修课2门，或者A 类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有.131423C C C +⋅3024=C 种选法．(2)第一步，从3个信封中挑选1个信封放置标号为1，2的卡片，有13C 种不同的方法；第二步，将标号为3，4，5，6的4张卡片放入另外2个信封中，每个信封放2个，有2224C C 种不同的方法，由分步计数原理得，所求的不同的放法数.18222413==C C C N(3)依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有.241313C C C ⋅⋅10812=C （种）（注：13C 表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数：2413C C ⋅表示从除司机工作外的其余3项工 作中任选定1项，让该项工作有2人从事的方法数；12C 表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数）；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有183323=⋅A C （种）（注：23C 表示从除甲、乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法数；33A 表示余下的3人分别从事另外3项不同工作的方法数）．因此，满足题意的方法有108 +18 =126（种）．(4)恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为,,,12414C C 故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1112414=++C C 个，故选B ．[答案]A )1( B )2( B )3(B )4([例2] (1)（2010年江西高考题）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）． (2)（2010年浙江高考题）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有 种（用数字作答）．[解析] (1)由题意知=⨯⨯⨯⨯=⋅=24222615442222122426A A A C C C N .1080 (2)上午的总测试方法有2444=A 种；我们以A 、B 、C 、D 、E 依次代表五个测试项目，若上午测试E的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试B 、C ，确定上午测试A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E 的同学下午测试A 、B 、C 之一，则上午测试A 、B 、C 中任何一个的下午都可以测试E ，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3x3 =9种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据乘法原理，总的测试方法共有24×11= 264种．[答案] 1080)1( 264)2([例3] (1)（2010年全国高考题）若9)(xa x -的展开式由3x 的系数是- 84，则=a (2)（2010年湖北高考题）在204)3(y x +的展开式中，系数为有理数的项共有 项． (3)（2010年安徽高考题）6)y (xyx -的展开式中，3x 的系数等于(4)（2010年辽宁高考题）62)1)(1(xx x x -++的展开式中的常数项为 [解析] (1)本小题主要考查考生对二项式定理的掌握情况，尤其是对展开式的通项是否能准确掌握以及能否区分项的系数与二项式系数， 对于二项展开式中具体项的问题，．般利用通项法求解．解：通项为,)()(299991r r r r r r r r x C a x a x C T ---+-=-⋅=令,329=-r 得,3=r 故,84)(393-=-C a解得.1=a(2)本小题主要考查二项式定理的应用及其相关知识．解：注意到二项式204)3(y x +的展开式的通项是=+1r T rrr y xC )3(42020⋅⋅-..320420r r r r y x C ⋅⋅=-当,16,12,8,4,0=r 20时，相应的项的系数是有理数，因此204)3(y x +的展开武中，系数是有理数的项共有6项.6))(3(xy yx -的通项为=-=-+r r rr xy yx C T )().(661,)1(3232366---r r r ryx C 令,3236=-r 得,0323,2=-=r r 故3x 的系数为.15)1(226=-C6)1)(4(x x -的展开式的通项=-=-+r r r r xx C T )1(661rr r xC 266)1(--令,026=-r 得,3=r 令,126-=-r 得27=r （舍去），令,226-=-r 得.4=r 所以所求的常数项为： .51520)1()1(464363-=+-=-+-C C[答案] 1)1( 6)2( 15)3( 5)4(-参考答案。
教学设计5：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法: 引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C rn 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n m n n -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1C C n r rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C n r nn n n n n =++++++四、讲解范例： 问题导学一、与杨辉三角有关的问题 活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 二、二项式系数的性质 活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得． 三、二项式系数、展开式系数的求和 活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________． 迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164． 【答案】C迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值． 解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6． 迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项． 【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210． 【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6， 令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1． 【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出． 【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4， 令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81， 又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1． 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41． 【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1． 【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6． 而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729． 【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项 【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r ·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1． 【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+， 即132171m m +=+．解得m ＝6． 【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C·24·2042x-＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项． 解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. 33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略） 教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此 我们要采用抽象分析法来化简计算.。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn ． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，Cn ＋12n相等，且同时取到最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.对二项式性质的理解(1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件．(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( ) (3)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项答案：C在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )A．8 B．9C．10 D．11答案：C如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－1探究点1 与杨辉三角有关的问题(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461【解析】(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.【答案】(1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01、C11；第2行中的数是C02、C12、C22；第3行中的数是C03、C13、C23、C33；…；第n行中的数是C0n、C1n、C2n、…、C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.答案：34探究点2 二项式系数和问题已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T r＋1＝C r5(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.[变问法]在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解：(1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1.如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，那么n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选A.因为展开式中各项系数之和为128，所以令x ＝1，得2n＝128，所以n ＝7. 2．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( ) A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131解析：选C.由题意可知a 8＝(－2)7＝－128，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C. 探究点3 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项已知二项式(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【解】 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， 所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×(12)4×23＝352，T 5的系数为C 47×(12)3×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， 所以T 8的系数为C 714×(12)7×27＝3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第(r ＋1)项的系数最大， 由于(12＋2x )12＝(12)12·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，所以9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0，1，2，…，12}，所以r ＝10， 所以系数最大的项为T 11，且T 11＝(12)12·C 1012·(4x )10＝16 896x 10.(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． 解：(1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3， 解得n ＝10，因为通项：T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10x 5－5r 6，当5－5r 6为整数时，r 可取0，6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440.(2)设第r ＋1项系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1，2，3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 360x －56，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10x －103＝1 024x －103，所以系数绝对值最大的项为T 8＝－15 360x －56.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n＝5.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.3．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212B ．211C ．210D ．29解析：选D.因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.知识结构深化拓展释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.[A 基础达标]1．若(x 3＋1x2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210. 2．已知(x ＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r5·a 5－r·x r，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. 4．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70D ．80解析：选C.因为(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， 所以a ＋b ＝41＋29＝70.5．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n－12 C ．2n ＋1D.3n＋12解析：选D.令x ＝1得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n .① 令x ＝－1得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n .② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， 所以a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解析：依题设，得2n＝256，解得n ＝8. 通项C r8·x8－r 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 8(－2)r·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2.故常数项为C 28(－2)2＝112.答案：1127．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，所以 a ＝3. 答案：38．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________． 解析：令x ＝1，得a 0＝－2. 令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：29．已知(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 则a 0＝f (0)＝25＝32， 又a 0＋a 1＋…＋a 10＝f (1)＝0， 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝f (1)f (－1)＝0. 10．已知(x ＋m x)n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x8－r (m x)r ＝C r 8m r x 8－2r， 故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1C r 8m r ≥C r ＋18mr ＋1， 化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.[B 能力提升]11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1解析：选D.(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017，令x ＝12，则(1－2×12)2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.12．(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a (0≤a ＜7)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.因为487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a ＝6.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r，令6－3r ＝－3，得r ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320.13．已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n ＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n－2n＝992，解得n ＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r5(x 23)5－r(3x 2)r ＝3r C r5x10＋4r 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，又r ∈N，所以r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405263.14．(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C k －1n ，C kn ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1nC k n，45＝Ck n Ck ＋1n，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！（k －1）！（n ＋1－k ）！×k ！（n －k ）！n ！，45＝n ！k ！（n －k ）！×（k ＋1）！（n －1－k ）！n ！，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝kn ＋1－k ，45＝k ＋1n －k，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。
“杨辉三角”与二项式系数的性质(教案)
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅L ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k-+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++L L三、讲解范例：例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n nn n n n C C C C C -=-+-++-L ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++L L ， ∴0213n n n n C C C C ++=++L L ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=L L . 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（Λ=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C第二课时例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012nn a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++L ①又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ② ∵r n rn n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，由①+②得：()0122nn n n nS n C C C C =++++L ， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C Λ. ④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ,令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ…(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a Λ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a Λ.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n+=， 又展开式中二项式系数和为2n， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n Λ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+L 3n=，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--L011228(88)8k k k k C C C -=+++L （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------L ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 21．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6312+= 六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
高中三年级上学期数学《杨辉三角的性质》教学设计
杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。
高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。
杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。
1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。
2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。
4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。
5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。
【优选整合】高中数学人教A版选修2-3132“杨辉三角”与二项式系数的性质教案.docx
1・3・2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、教学目标：知识与技能：掌握二项展开式屮的二项式系数的基本性质及其推导方法；过程与方法：通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。
通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学牛善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。
难点：如何发现、证明规律。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导.“抓三线”，即（一）知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点",即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流.四、教学过程教学内容、设计学生活动设计意图（一）温故知新二项式定理二项式系数组合数的两个性质学生回忆前而学过的相关知识，集体完成问题。
通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。
（二）探索新知［问题一】计算展开式的二学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。
从学生已有二项式定理的知识及二项式系数的运算出发让学生通过填表发现二项式系数具有一定的规 律。
同时也让学生发现， 这样的表格不利于发现二 项式系数的其它性质，由 此引发思考：如何对表格 进一步整理，得到更方便 观察二项式系数的数字规 律的表格，由此自然引出 “杨辉三角霍这样的二项式系数表，早在我国南 宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》一书里就出现了，我们 把它叫做“杨辉三角”。
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1.3.2二项式系数的性质(第一课时)
学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能
1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.
2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观
1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.
2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质
●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r
n n
n
n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1
(1)1n r r
n n
n x C x C x x +=++++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n
T C a b -+= 二、引入
通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，
n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1
此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年
下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究
观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】
•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中
•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 •3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1
②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）
【提示】设这一数为
r
C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知：
1
1
01C C 02
C 12
C 2
2C 03
C
13
C
23
C
33
C
1
4C 0
4
C 3
4C 2
4C 4
4C 0
5C 1
5C 2
5C 35
C 4
5C 55
C
③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点
n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n .
从函数角度看，r
n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝
当n=5及n=6时，分别作出其图象
图1 图2
据图可分析出函数r
n C r f =)(，图象的对称轴是2
n
r =
3、二项式系数的性质
据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2
n
r =
是图象的对称轴．
[典型问题]
e.g1.已知5
15C =a ，9
15C =b ，那么10
16C =__________；
【2】增减性与最大值
∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅
， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11
12
n k n k k -++>⇔<
， Ⅰ.当21
+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．
当2
1+≥n k 时，二项式系数逐渐增大
根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项1
2n n C -，12n n
C
+取得最大值．
[典型问题]
e.g 2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ e.g 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n e.g 4n
x
x )1(23+
展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416
【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r
n
n n n n n C C C C C =+++
++
+[组合数公式]
[典型问题]
e.g 5.111C
+
3
11C
+…+
1111
C
=____ e.g 6.=+++++++++++++1
1
211101210n n n n n n n
n n n C C C C C C C C ____；
四、经典例题
例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，
令1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n
n n n n C C C C C -=-+-++-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13
n
n n n C C C C ++=++
，
即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
13
12n n
n n n C C C C -++=++
=.
五、拓展训练
1.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++
求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++；
2.若n x
x )21(4+
展开式中前三项系数成等差数列
求（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。
六、小结
①通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：
即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和. 注意灵活利用.
②数学思想：函数思想（a单调性；b图象；c最值）
③数学方法：赋值法、递推法、
七、讨论
• 1.中国古代数学的成就和地位
• 2.东西方数学发展比较
• 3.历史人物[1.杨辉2.帕斯卡]
• 4.中国当代数学大师及其成就
八、课后作业：完成《课时作业九.1.3.2杨辉三角》
九、教学反思
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.。