高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4
（一）等差等比数列前n 项求和
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
n 项求和
② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
{}n n a b ⋅的前n 项和.
此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.
例23. 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x
例24.求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
一般地，当数列的通项12()()
n c
a an
b an b =
++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n
a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设1
2
n a an b an b λ
λ
=
-
++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
21
c
b b λ=
-，从而可得
122112
11
=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++
常见的拆项公式有： ①
111(1)1n n n n =-++； ②
1111
();(21)(21)22121
n n n n =--+-+
③
1a b
=-- ④11;
m m m
n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n
…… 例25. 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例26. 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n
如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

特征：
121...n n a a a a -+=+=
例29.求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1)
123...;2
n n n +++++=
②2
135...(21);n n ++++-= ③22221
123...(1)(21).6
n n n n ++++=
++ ④233
3
3
)]1(2
1[321+=+
+++n n n
答案详解
例23. 解：由题可知，{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比
数列{1-n x } 的通项之积。

132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………. ①
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例24. 解：由题可知，{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1}的通项之积。

设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………②
（设制错位） ①－②得 14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S （错位相减）
112
2212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
例25. 解：设n n n n a n -+=++=
111 （裂项） 则 1
13
21
211
+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n
例26. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )11
1(82
122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]11
1()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）
＝)1
11(8+-n ＝
18+n n
例27. 解：设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n
k n
k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32 （分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
＝2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2
)
2()1(2++n n n
例28. 解：设)231
()71()41(
)11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n （分组）
当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n
n -+
--=＝2)13(11n n a a a n -+---
例29. 证明： n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序） 又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12( …………… ② ①+②得 n n
n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）
∴ n n n S 2)1(⋅+=
例30. 解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②
（反序）
又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5。