高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)
高中人教版数学必修五教案
高中人教版数学必修五教案教学目标：1. 理解数列和数列的定义；2. 掌握数列的通项公式和递推公式；3. 能够根据数列的性质进行问题求解；4. 掌握常数项数列、等差数列、等比数列的相关概念和性质。
教学重点：1. 数列的定义和概念理解；2. 数列的通项公式和递推公式的应用；3. 常数项数列、等差数列、等比数列的性质和求解方法。
教学难点：1. 能够灵活运用数列的公式解决具体问题；2. 掌握不同类型数列的特点和求解方法。
教学过程：第一课时：数列的定义和概念1. 引入数列的概念，让学生了解数列的定义；2. 通过具体案例，让学生理解数列的基本特点和规律；3. 练习一些简单的数列题目，让学生熟悉数列的表示方法。
第二课时：数列的通项公式和递推公式1. 讲解数列的通项公式和递推公式的概念；2. 通过实例演练，让学生掌握数列的通项公式和递推公式的求解方法；3. 练习一些相关题目，让学生熟练应用数列的公式。
第三课时：常数项数列、等差数列、等比数列1. 分别介绍常数项数列、等差数列、等比数列的概念和特点；2. 通过实例讲解，让学生掌握常数项数列、等差数列、等比数列的求解方法；3. 练习一些综合性题目，让学生灵活应用不同类型数列的求解方法。
课堂练习：1. 由前几项写出数列的通项公式：1, 4, 9, 16, ...2. 求解等差数列中第n项的公式，并计算第10项是多少：2, 5, 8, 11, ...3. 计算等比数列中的比值和首项，给出通项公式，并计算第5项是多少：3, 6, 12, 24, ... 教学反思：本节课主要围绕数列的基本概念展开，并以常数项数列、等差数列、等比数列为例，让学生了解不同数列的性质和求解方法。
在教学过程中，通过实例演练和课堂练习，让学生掌握数列的基本概念和相关公式的使用方法，提高他们的解题能力和应用能力。
同时，教师要引导学生积极思考，灵活运用数列的知识解决实际问题，提高他们的数学思维能力和创新能力。
高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案
高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案教学准备
教学目标
理解数列的概念，掌握数列的运用
教学重难点
理解数列的概念，掌握数列的运用
教学过程
【知识点精讲】
1、数列：按照一定次序排列的一列数(与顺序有关)
2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。
(通项公式不唯一)
3、数列的表示:
(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;
(2) 图解法:由(n,an)点构成;
(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1
(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1
4、数列分类：有穷数列，无穷数列;递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列;有界数列，无界数列
5、任意数列{an}的前n项和的性质
[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解
例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。
详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。
(理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法)
变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。
详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。
[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差(比)数列公式，也很必要。
人教版高中数学必修5数列教案
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N∈，则S q S=偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k qk q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3 C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216B ．－216C ．217D ．－2176．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4a B ．1.1 5a C ．1.1 6a D ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．。
高中数学必修5教案
高中数学必修5教案教案：高中数学必修5教案一：数列课时安排：1课时教学目标：1. 认识数列的概念，了解等差数列和等比数列的特点；2. 学习数列的通项公式和求和公式；3. 能够通过已知的前几项求解数列的通项公式和求和公式。
教学内容：1. 数列的概念和表示法；2. 等差数列和等比数列的特点；3. 数列的通项公式和求和公式。
教学步骤：1. 引入数列的概念，说明数列的表示方法；2. 介绍等差数列和等比数列的特点，并通过例题引导学生发现其中的规律；3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题演示应用；4. 练习题。
教学方法：1. 通过引入具体的例子和问题，激发学生对数列的兴趣和好奇心；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解数列的通项公式和求和公式，加深学生对公式的理解和掌握。
教学资源：1. 教学课件，包含数列的概念、特点、通项公式和求和公式的说明；2. 练习题集，包含了不同难度的练习题。
教学评估：1. 在课堂中给予学生相关概念和公式的解释和运用问题；2. 布置作业，要求学生独立完成一些练习题，检查他们对数列的理解和应用能力。
教案二：三角函数课时安排：2课时教学目标：1. 认识三角函数的概念和基本性质；2. 学习正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 掌握三角函数的周期性和变换规律；4. 能够解决简单的三角函数方程和不等式问题。
教学内容：1. 三角函数的定义和基本性质；2. 正弦函数和余弦函数的图像及其性质；3. 三角函数的周期性和变换规律；4. 三角函数方程和不等式的解法。
教学步骤：1. 介绍三角函数的概念和定义；2. 讲解正弦函数和余弦函数的图像和性质，引导学生观察和总结规律；3. 教授三角函数的周期性和变换规律，并通过图像演示详细说明；4. 教授三角函数方程和不等式的解法，并通过实例演示应用。
教学方法：1. 通过实际生活中的例子和问题，引入三角函数的概念和定义，提高学生对三角函数的兴趣和理解；2. 通过示意图和计算过程，详细讲解三角函数的图像和性质，加深学生对函数的理解和掌握。
高中数学人教版必修5教案 数列复习教案
基本练习用四道小题，回忆等差（比）数列的基本公式，概括基本方法。
1、公差为d等差数列{an}中,如果a5=10 ,S3=3,则( )(A) a1= -2,d=3 (B) a1= 2,d= -3(C) a1= -3,d=2 (D) a1= 3,d= -22、已知等比数列的公比为2，且前四项和为1，那么前八项和为（）（A）15 （B）17 （C）19 （D）213、在等差数列{an}中,a3+ a4+a5+a6+a7=45,则, 则它的前9项和S9=( )(A) 36 (B) 45 (C)63 (D)81学生先解答前两道题，老师巡视；个别指导。
3分钟后，老师提问学生不同的解法，强调用基本量解题的普适性。
第3小题，要求学生在1分钟内得出结论，老师提问，点评。
让学生感悟灵活运用公式、性质解题的优势，激发他们深入探究的兴趣。
1、培养学生用基本量解题的意识。
2、简便方法，让学生感悟公式变用之妙，激发学生进一步探究的兴趣。
3、落实等差（比）数列的简单性质。
1、等差数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈+=++2、等比数列)rkqp,Nr,k,q,p(aaaarkqp+=+∈⋅=⋅+12分钟左右深入探究两道例题分别体现等差、等比的综合应用和对公式的深入理解。
例1设{}n a是公差不为0的等差数列，12a=且136,,a a a成等比数列，求{}n a的前n项和nS例2等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为nS和nT，且231nnS nT n=+，（1）求55ba的值（2）设)Nn(cbannn+∈=，试求nc的最小值.例1学生在老师引导下分析解题思路，构造出关于公差d方程，计算由学生完成，老师给出答案。
例2老师可以引导学生从n=1,2,3…,寻找规律，进而给出一般性推证。
对于数列单调性的探究方法，可借助例2（2）进行一般性总结。
例1主要引导学生从所求出发分析所需，再根据已知构造方程，求出需要的量。
人教版高中数学必修五数列的应用教案
人教版高中数学必修五数列的应用教案一、数列的基本概念和表示方法数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本节主要介绍数列的基本概念和表示方法。
1. 数列的定义数列是按一定顺序排列的一列数，可以用通项公式或递推公式来表示。
2. 数列的表示方法数列可以用集合形式、函数形式、数号形式和图形形式等多种方式来表示。
其中，集合形式和函数形式是最常见的表示方法。
二、等差数列的应用等差数列是数列中最简单的一种形式，其特点是每个数与它的前一个数之差都相等。
在实际应用中，等差数列有着广泛的应用。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列求和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2。
3. 等差数列应用举例（1）利用等差数列的概念和公式，解决生活中的实际问题，如求和、平均数等。
（2）在几何图形中，利用等差数列的性质，可以推导出一些重要结论。
三、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的一种特殊数列。
在生活和科学研究中，等比数列有着广泛的应用。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)，其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。
2. 等比数列求和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
3. 等比数列应用举例（1）金融领域中的复利计算问题可以用等比数列求解。
（2）在生活中，等比数列常用于解决与倍数关系相关的问题，如考试分数的计算等。
四、斐波那契数列的应用斐波那契数列是指数列中，每个数都是其前两个数之和的一种数列。
在自然界和人文领域中，斐波那契数列都有着广泛的应用。
1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中，F0 = 0，F1 = 1。
高中数学数列教案及答案
高中数学数列教案及答案
教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 掌握数列的通项公式和求和公式的应用；
3. 能够解决数列相关的问题。
教学内容：
1. 数列的定义和分类；
2. 等差数列和等比数列的性质；
3. 数列的通项公式和求和公式。
教学步骤：
1. 引入数列的概念，让学生了解数列是一组按照一定规律排列的数的集合；
2. 讲解等差数列和等比数列的定义和性质；
3. 教授数列的通项公式和求和公式，让学生掌握其应用方法；
4. 练习相关的题目，加深对数列的理解。
教学评估：
1. 布置相关的练习题，考察学生对数列的掌握情况；
2. 进行课堂讨论，提出问题让学生展示解题思路；
3. 采用小测验的方式，检验学生对数列知识的掌握程度。
教学答案范本
1. 求等差数列$1, 4, 7, \ldots$的第$n$项公式。
答：这是一个公差为3的等差数列，通项公式为$a_n = 1 + 3(n-1)$。
2. 求等比数列$2, 6, 18, \ldots$的第$n$项公式。
答：这是一个公比为3的等比数列，通项公式为$a_n = 2 \times 3^{n-1}$。
3. 求等差数列$3, 6, 9, \ldots$前100项的和。
答：首项$a_1 = 3$，末项$a_{100} = 3 + 99 \times 3 = 300$，项数$n = 100$，和为$S_{100} = \frac{n(a_1 + a_{100})}{2} = \frac{100(3+300)}{2} = 15150$。
高中数学必修5数列教案
高中数学必修5数列教案
教学内容：数列
教学目标：
1. 了解数列的概念和性质；
2. 能够求解数列的通项公式和前n项和；
3. 能够应用数列的知识解决实际问题。
教学重点：
1. 数列的定义和常见性质；
2. 求解数列的通项公式和前n项和；
3. 应用数列解决实际问题。
教学难点：
1. 应用数列的知识解决实际问题；
2. 思维拓展，提高问题解决能力。
教学方法：讲述、举例、练习
教学过程：
一、引入：
通过一道生活中的问题引入数列的概念，让学生了解数列在实际生活中的应用。
二、概念讲解：
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列成的一组数字的集合。
2. 数列的常见性质：等差数列、等比数列等。
三、求解数列的通项公式和前n项和：
1. 求解等差数列的通项公式和前n项和；
2. 求解等比数列的通项公式和前n项和。
四、应用实例：
通过一些实际问题，让学生应用数列的知识解决问题，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
五、课堂练习：
让学生进行相关题目的练习，巩固所学知识。
六、作业布置：
布置相关的作业，让学生在家里进行巩固和复习。
七、小结：
总结本节课的内容，强调数列在数学中的重要性和应用价值。
教学反思：
本节课主要介绍了数列的概念和性质，以及如何求解数列的通项公式和前n项和。
通过实际例题的讲解和练习，帮助学生掌握数列的相关知识，并能够应用到实际问题中去解决。
同时也需要引导学生在学习数列的过程中，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
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数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。
关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0,1,2,3,...的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1,1,1,1,...的通项公式为1n a =（*n N ∈）； 1111,,,,...234的通项公式为1n a n =（*n N ∈）； 要点诠释：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和：指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12...n n S a a a =+++； n a 与n S 的关系当1n =时11a S =；当2n ≥时，1211211(...)(...)n n n n n n a a a a a a a a S S ---=+++++-+++=-故1*1,1,2n n n S n a S S n n N-=⎧=⎨-≥∈⎩且. 要点四、数列的表示方法通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。
给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，……，用n a 表示第n 项，……，依次写出得数列{}n a ．数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(,)n n a 为坐标在平面直角坐标系中做出点。
所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
如：数列：-3，1，5，9，13，…，可用递推公式：113,4(2)n n a a a n -=-=+≥表示。
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：12123,5,(3)n n n a a a a a n --===+≥表示。
要点五、数列与函数（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1,2,3,...,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数()y f x =,如果()f i （1,2,3,...,,...i n =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，()f n ，…；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。
给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在y 轴右侧的一群孤立的点数列()n a f n =的图象是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标的一系列孤立的点(,)n n a ，这些点都落在函数()y f x =的图象上。
因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0,23,38,415,…； (2) 1, 43-,95,167-,…； (3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6, 1, 6,1,….【解析】（1）将数列改写为1112-，2122-，3132-，4142-，…， 故21n n a n-=. （2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1(1)n +-来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列， 故1221(1)n n n a n+-=-⋅. （3）将数列改写为1101-, 2101-, 3101-, 4101-，…，故101n n a =-.（4）将数列每一项减去6与1的平均值27得新数列25, -25,25, -25,…， 故175(1)22n n a +=+-⋅或75cos(1).22n a n π=++ 【总结升华】写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n 作指数，让数列中隔项出现倒数；③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列-1，1，-1，1，…的通项公式为(1)n n a =-；数列1，2，3，4，…的通项公式为n a n =；数列1，3，5，7，…的通项公式为21n a n =-；数列2，4，6，8，…的通项公式为2n a n =；数列1，4，9，16，…的通项公式为2n a n =；数列1，12，13，14，…的通项公式为1n a n =。
举一反三：【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1, 1, 1, 1,…；(2) -1, 1, -1, 1, …；(3) 1, -1, 1, -1, …； (4)1111--234，，，, …；(5) 2，0，2，0，….【答案】(1)1n a =；(2)2(1)n n a +=- ；(3)1(1)n n a +=-； (4)11(1)n n a n+=- ； (5)11(1)n n a +=+-；类型二：通项公式的应用例2.设数列{}n a 满足2n n a n =+，写出这个数列的前五项。
【思路点拨】只需在给出数列{}n a 的通项公式中依次取1,2,3,4,5n =，便可以求解.【解析】数列{}n a 的前五项为：113a =；22142a ==；335a =；44263a ==；557a =. 【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。
举一反三：【变式1】设数列{}n a 满足(1)nn a n-=，写出这个数列的前五项。
【答案】1-，12，13-，14，15-. 【变式2】根据下列数列{}n a 的通项公式，写出它的第五项.（1）21n n a n =-； （2）sin 2n n a n π=， 【答案】（1）59；（2）5. 例3．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？(1) 94；(2) 71.【思路点拨】先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标n N +∈，那么是数列中的项，否则，不是.【解析】（1）设9432n =-, 解得32n =.故94是数列{}n a 的第32项.（2）设7132n =-，解得1243n N *=∉.故71不是数列{}n a 的项.【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，1,,,,n n n a d S a 中知三求二，就是采用了方程的思想.举一反三：【变式】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++,（1）若9900n a =，试问n a 是第几项？（2）56和28是否为数列{}n a 的项？【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.类型三：递推公式的应用【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】例4. 设数列{}n a 满足：11a =，111n n a a -=+(2)n ≥，写出这个数列的前五项。