有限元法的分析过程
第三讲 有限元分析过程及例题讲解
→
Q2
Ke 23
→
K25
注意要用累加运算！
K25
=
K25
+
Ke 23
累加前总刚要清零！
长安大学汽车学院车辆工程系 王童
⎡ K11 K12
⎢ ⎢
K21
K22
⎢ K31 K32
⎢ ⎢
K41
K42
⎢ ⎢ ⎢
K51 K61
K52 K62
⎢ ⎢ ⎣
K71 K81
K72 K82
Tel：17792594186
K13 K14 K15 K16 K17 K18 ⎤
Ve
Ve
Ve
令： {Pbe}= ∫∫∫ [N ]T {Fb}⋅ dV 称单元等效体力载荷向量 Ve
{ } { } 单元体力虚功可以表示为： Wbe = Qe T Pbe
2）表面力虚功
W
e s
=
∫∫
{u}T {Fs }⋅ dA
=
∫∫
{Q e }T
[N ]T {Fs }⋅ dA
=
{Q e }T
∫∫
[N
]T {Fs }⋅ dA
y
Q6
③
Q5
3
4
Q7
①
Q2
②
④
Q4
1
Q1
2
Q3
x
长安大学汽车学院车辆工程系 王童 Tel：17792594186 Email：wangtong@
以单元①为例
①
Qe 2
Qe 1
Qe 4
Qe 3
⎧Q1e → Q1
局部自由度与整体自由 度的对应关系为
⎪⎪⎪⎨QQ32ee
→ →
有限元分析的一般过程
有限元分析的一般过程一、结构的离散化将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。
这一步要解决以下几个方面的问题:1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。
2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。
对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。
3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。
4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。
要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。
5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。
二、选择位移插值函数1、位移插值函数的要求在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。
位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。
但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。
2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求：1）位移插值函数必须包含常应变状态。
2）位移插值函数必须包含刚体位移。
3、复杂单元形函数的构造对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。
因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。
形函数的性质：1）相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。
2）形函数之和恒等于 1。
1、建立数学模型（特征消隐，理想化，清除）（（即从 CAD 几何体→FEA 几何体），共有下列三法：▲ 特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。
▲ 理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理▲ 清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。
有限元法分析过程
有限元法分析过程有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。
对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。
在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。
有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。
这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。
有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。
在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。
有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。
一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。
因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。
有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。
它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。
附：FELAC 2.0软件简介FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。
FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。
该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。
并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。
ANSYS结构有限元分析流程
ANSYS结构有限元分析流程下面将介绍ANSYS结构有限元分析的流程，包括前处理、求解和后处理三个主要步骤。
1. 前处理（Preprocessing）:首先，需要将结构的几何形状导入到ANSYS中，并对其进行几何建模和网格划分。
几何建模可以使用ANSYS自带的几何建模工具，也可以导入CAD套件的几何模型。
然后，对结构进行网格划分，将其划分为有限元网格。
ANSYS提供了多种不同类型的有限元单元，可以根据具体情况选择合适的单元类型，并进行适当的划分。
在划分网格之后，还需要定义边界条件和加载条件。
边界条件包括约束和支撑条件，用于限制结构的自由度。
加载条件包括施加在结构上的载荷和其它外部作用，如压力、温度等。
这些边界条件和加载条件可以通过ANSYS界面设置或者通过命令的方式输入。
2. 求解（Solving）:在设置好边界条件和加载条件之后，可以进行求解。
ANSYS使用有限元法将结构离散成许多小的有限元素，并通过求解线性或非线性方程组来预测结构的响应。
求解过程中需要选择求解方法、步长等参数，并可以通过迭代求解来稳定计算过程。
在求解过程中，可以观察结构的应力、应变、变形、位移等结果，并进行后处理分析。
ANSYS提供的针对不同目的的分析工具，如静力学分析、动力学分析、热力学分析等，可以根据需要选择相应的分析类型。
3. 后处理（Postprocessing）:求解完成后，可以对计算结果进行后处理和分析。
ANSYS提供了多种后处理工具，用于可视化计算结果、绘制结构的应力、应变、变形等图形，并进行数据分析等。
可以根据需要导出计算结果，用于生成工程报告、论文等。
此外，在分析过程中还可以根据需要进行参数化分析、优化设计等。
参数化分析可以通过改变结构的几何形状、材料性质等参数，来研究这些参数对结构响应的影响。
优化设计可以根据指定的优化目标和约束条件，通过反复分析和优化，得到满足要求的最优结构。
总的来说，ANSYS结构有限元分析流程包括前处理、求解和后处理三个主要步骤。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元分析的基本步骤
一个典型的ANSYS分析过程可分为以下6个步骤：1定义参数2创建几何模型3划分网格4加载数据5求解6结果分析1定义参数1.1指定工程名和分析标题启动ANSYS软件，选择Jobname命令选择Title菜单命令1.2定义单位(2) 设置计算类型ANSYS Main Menu: Preference→Material Props →Material Models →Structural →OK(3) 定义分析类型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Loads →Analysis Type →New Analysis→STATIC →OK1.3定义单元类型选择Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete命令单击[Options]按钮，在[Element behavior]下拉列表中选择[Plane strs w/thk]选项，单击确定1.4定义单元常数在ANSYS程序主界面中选择Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit/Delete命令单击[Add]按钮，进行下一个[Choose Element Type]对话框1.5定义材料参数在ANSYS程序主界面，选择Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models命令(1)选择对话框右侧Structural→Linear→Elastic→Isotropic命令，并单击[Isotropic]选项，接着弹出如下所示[Linear Isotropic Properties for Material Number 1]对话框。
在[EX]文本框中输入弹性模量“200000”，在[PRXY]文本框中输入泊松比“0.3”，单击OK2创建几何模型在ANSYS程序主界面，选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Creat→Areas→Rectangle →By 2Corners命令选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Creat→Areas→Circle→Solid Circle命令3网格划分(之前一定要进行材料的定义和分配)选择Main Menu→Preprocessor→Modeling→Operate→Booleans→Subtract→Arears Circle命令选择Main Menu→Preprocessor→Meshing→Mesh→Areas→Free命令，弹出实体选择对话框，单击[Pick All]按钮，得到如下所示网格4加载数据(1)选择Main Menu→Preprocessor→Loads→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines命令，出现如下所示对话框，选择约束[ALL DOF]选项，并设置[Displacement value]为0，单击OK。
有限元分析过程
有限元分析过程有限元分析过程可以分为以下三个阶段：1.建模阶段: 建模阶段是根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型——有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。
有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格。
但是还是要处理许多与之相关的工作：如结构形式处理、集合模型建立、单元特性定义、单元质量检查、编号顺序以及模型边界条件的定义等。
2.计算阶段: 计算阶段的任务是完成有限元方法有关的数值计算。
由于这一步运算量非常大，所以这部分工作由有限元分析软件控制并在计算机上自动完成。
3.后处理阶段: 它的任务是对计算输出的结果惊醒必要的处理，并按一定方式显示或打印出来，以便对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并作为相应的改进或优化，这是惊醒结构有限元分析的目的所在。
注意：在上述三个阶段中，建立有限元模型是整个有限分析过程的关键。
首先，有限元模型为计算提供所以原始数据，这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精度；其次，有限元模型的形式将对计算过程产生很大的影响，合理的模型既能保证计算结构的精度，又不致使计算量太大和对计算机存储容量的要求太高；再次，由于结构形状和工况条件的复杂性，要建立一个符合实际的有限元模型并非易事，它要考虑的综合因素很多，对分析人员提出了较高的要求；最后，建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当大的比重，约占整个分析时间的70%，因此，把主要精力放在模型的建立上以及提高建模速度是缩短整个分析周期的关键。
原始数据的计算模型，模型中一般包括以下三类数据：1.节点数据: 包括每个节点的编号、坐标值等；2.单元数据：a.单元编号和组成单元的节点编号；b.单元材料特性，如弹性模量、泊松比、密度等；c.单元物理特征值，如弹簧单元的刚度系数、单元厚度、曲率半径等；d.一维单元的截面特征值，如截面面积、惯性矩等；e.相关几何数据3.边界条件数据：a.位移约束数据；b.载荷条件数据；c.热边界条件数据；d.其他边界数据.建立有限元模型的一般过程：1.分析问题定义在进行有限元分析之前，首先应对结果的形状、尺寸、工况条件等进行仔细分析，只有正确掌握了分析结构的具体特征才能建立合理的几何模型。
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
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有限元法的分析过程
有限元法是一种数值分析方法，用于求解实际问题的物理场或结构的
数学模型。
它将连续的实体分割成离散的小单元，通过建立节点和单元之
间的关系，对物理问题进行逼近和求解。
以下是一般的有限元法分析过程。
1.问题建模和离散化
在有限元分析中，首先需要对实际问题进行建模，确定物理场或结构
的几何形状和边界条件。
然后，将几何形状分割成一系列小单元，例如三
角形、四边形或四面体等。
2.网格生成
根据问题的几何形状和离散化方式，生成网格。
网格是由一系列节点
和单元组成的结构，节点用于描述问题的几何形状，单元用于划分问题域。
通常，节点和单元的位置和数量会直接影响有限元法的精度和计算效率。
3.插值函数和基函数的选择
有限元法中的节点通常表示问题域中的几何点，而节点之间的关系由
插值函数或基函数来描述。
插值函数用于建立节点和单元之间的关系，基
函数用于对物理场进行逼近。
选择适当的插值函数和基函数是有限元法分
析的关键。
4.定义系统参数和边界条件
确定相关物理参数和材料性质，并将其转化为数值形式。
在有限元分
析中，还需要定义边界条件，包括约束条件和加载条件。
5.定义数学模型和方程
根据问题的物理场或结构和所选择的基函数，建立数学模型和方程。
有限元方法可以用来建立线性方程、非线性方程、静态问题、动态问题等。
具体建立数学模型和方程的过程需要根据问题的特点进行。
6.组装刚度矩阵和力载荷向量
根据离散化的节点和单元，组装刚度矩阵和力载荷向量。
刚度矩阵描
述节点之间的刚度关系，力载荷向量描述外部加载的作用力。
7.求解代数方程
通过求解代数方程，确定节点的位移或物理场的数值解。
通常，使用
迭代方法或直接求解线性方程组的方法来求解。
8.后处理和分析
得到数值解后，可以进行后处理和分析。
包括计算节点和单元的应变、应力等物理量，进行矫正和验证计算结果的正确性。
还可以通过有限元法
的网格适应性来优化问题的计算效率和精度。
以上是一般的有限元法分析过程，具体的步骤和方法可能会因不同的
问题而有所不同。
在具体的应用中，需要根据问题的特点和要求进行调整
和扩展。
有限元法是一种灵活、可靠且广泛应用的数值分析方法，可以用
来解决各种物理场和结构问题。