有限元分析方法

假定一系列边界条件，结合平衡条件即可求出 kij
首先假设：vi=1，θzi=vj=θ zj=0
由梁的变形公式有：
vi=Fyil3/(3EI)－ Mzil2/(2EI)=1
θi=Mzil/EI－
Fyil2/(2EI) =0
解得：
Fyi=12EI /l3=k11 Mzi=6EI/l2=k21
由力、力矩的平衡条件：
第5章 有限元分析方法
• • • • 概述 有限元法中单元特性的导出方法 有限元法的解题步骤 有限元法的前后置处理简介
参考书：《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学 王勖成 邵敏
5.1 概 述
有限元分析方法
•是一种现代设计计算方法，是随着电子计算机技术的发 展而发展起来的；
•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析（连续体力 学分析）； •后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
或 内力所做的虚功
A ( x x y y xy xy )dV
式中， { } { }dV {q}
T V
T
[ B] [ D][ B]dV {q}
T V
代入虚功方程，有
{F } [ B]T [ D][B]dV{q}
按式(5.6a)和(5.7)可求得单元内各点将产生的虚位移和虚应变为：
u [ N ]{q} v
{ } [ B]{q}
则单元节点力所做的虚功
AF ui Fxi vi Fyi u j Fxj v j Fyj uk Fxk vk Fyk
三、能量变分原理方法
能量变分方法 1.最小位能原理 弹性体受外力作用产生变形时伴随着产生变形能U和外力能 W，所以系统总位能Π可写成
一种用变分法求能量泛函的极值方法
由于{ }和{ }是位移u，v，w的函数，所以Π是一个函数的函数， 即“泛函”。
其意义为：
在所有满足几何关系和边界条件的多组可能位 移中，只有满足平衡方程式的那组位移 u, v, w 才能使物体的总位能为最小。该组位移 u, v, w
设定梁单元的位移函数为
v( x) a1 a2 x a3 x2 a4 x3
式中i为待定系数。
梁单元的自由度为{q}T = [vi zi vj zj]。 上式写成矩阵形式:
a1 a 3 2 x ] [ S ]{a} a3 a 4
v( x) [1 x
u v u v , y , xy , x y y x
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bk 0 ck
3.根据虎克定律，通过应变求应力
对平面应力问题，有： { } [ D]{ } [ D][B]{q}
1 E 其中， [ D] 2 1 0 0 1 0 1 0 2
4.由虚功原理求单元的刚度矩阵
根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给 出的节点虚位移下，外力(节点力){F}及内力{}所做的虚功之和 应等于零，即
AF A 0
虚功方程
给单元节点以任意虚位移{ }：
{ } ui vi u j v j uk

vk
T
单元内各点 的位移用节 点位移插值 表示。
通过矩阵求逆可得[c]-1。 于是，{d} = [S]{a} = [S][C]-1{q} = [N] {q} [N] ：形状函数
2. 由位移函数求应变 由弹性力学有： x 可得
u x x u { } x u v y x y bi ui b j u j bk u k u 1 c v c v c v i i j j k k y v 2 A c v c v c v b u b u b u i i j j k k i i j j k k x bi 1 0 2A ci ui v 0 i u j ck [ B ]{q} vj bk u k vk
的值就是问题的正确解答。

V
{ }T ( )dV {q}T {F }
与虚功原理法的结果一致。
于是，求解直梁的问题即为：在给定的边界条件下解上述微 分方程式，求出v(x)。
上述问题是在给定的边界条件下解微分方程。
对于简单梁问题，这并不困难；但对复杂结构则比较困难，有 时甚至是不可能的。于是，就产生了“泛函变分的近似解法” 。 里兹法就是其中的一种。 里兹法是假设一个线性组合形式的位移函数 y aii
例： |d|=∑aiφi
ai：待定系数
φi：坐标的某种函数
b）分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义，找出单元节点力节点位移间的关 系式。
需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力 和位移间的方程式，进而导出单元刚度矩阵。
c）计算等效节点力
有限元分析中，假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元。 实际情况：力是从单元间的公共边界传递到另一个单 元中去的。
5.2 有限元法中单元特性的导出方法
单元特性：刚度矩阵、质量矩阵、热矩阵等。 建立刚度矩阵的方法：
1）直接方法 2）能量变分原理方法 3）虚功原理法 4）加权残数法
一、直接方法 直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分 析单元特性的一种方法，这种方法仅能用于简单形状的单元。 梁的抗弯刚度 例：
u i 1 xi v 0 0 i u j 1 x j q v j 0 0 u k 1 x k v k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 xi 0 1 yi 2 0 3 [c] y j 4 0 5 yk 6
写成矩阵形式
a1 a 2 u 1 x y 0 0 0 a3 {d } [ S ]{ } v 0 0 0 1 x y a4 a5 a6
三个节点上的位移：
ui=α1+α2xi+α3yi，vi=α4+α5xi+α6yi uj=α1+α2xj+α3yj，vi=α4+α5xj+α6yj uk=α1+α2xk+α3yk，vi=α4+α5xk+α6yk 写成矩阵形式：
Fyj=－ Fyi
Mzj=Fyil－Mzi 解得： Fyj=-12EI /l3=k31
Mzj=6EI/l2=k41
再假设：θzi=1，vi=vj=θ zj=0 由梁的变形边界条件又可求得：k12、k22、k32、k42 以同样方法还可求得平面弯曲梁单元的刚度矩阵中的其他元素。
平面弯曲梁单元的刚度矩阵为：
i 1 n
,
它是一个容许函数，其中的ai是待定系数。然后，把该函 数代入所求问题的泛函II中去，求其变分II。再从极值条 件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得
的值代入 y aii 的函数中去，即得问题的正确解。
i 1
n
例：
采用能量变分原理的有限元法(里兹法)来计算平面直梁问题
作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都 要等效地移到节点上去 即用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。
3）单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原 来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程：
4）引入边界条件，解方程组
将u1=v1=v3=v3=0代入方程，可得
由此可解得结构的节点未知位移，进而求得轴向力 和应力。 根据方程组的特点选择合适的求解方法。
2）单元特性分析
a）选择位移模式
•位移法：选择节点位移作为基本未知量；单元 的一些物理量(位移、应变、应力等) 由节点位移来表示。 •力法：选择节点力作为基本未知量；
•混合法：取一部分节点力和一部分节点位移 作为基本未知量； 位移法易于实现计算自动化，故应用广泛。
单元中位移的分布采用位移函数（能逼近真实函数的近似函数）描述； 通常将位移表示为坐标变量的简单函数。 反映真实的 位移分布
梁在外载 荷作用下 产生弯曲。 把梁看成是 一个单元， 它具有两个 节点：i 和 j。
单元的节点位移列阵 单元的节点力列阵
挠度和剪力向上为正， 倾角和弯矩逆时针方 向为正方向。
在弹性小位移范围内，梁的节点力和节点位移间的关系可表为 单元的有限元方程 单元刚度矩阵 简写为：
K=[kij]4×4 kij: 单元的j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。 单元刚度矩阵是对称的 由功的互等定理有：kij= kji Fyi=k11vi+k12θzi+k13vj+k14θ zj Mzi=k21vi+k22θzi+k23vj+k24θ zj
0 0 1 xj 0 0 1 xk
由上式可解得：
[c]1 q
已知
1 x i 0 0 1 x j [c ] 0 0 1 x k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 xi 0 yi 0 yj 0 yk
0 0 1 xj 0 0 1 xk
x2
于是
位移函数
从方程组中解出待定系数ai之值，代入位移函数v(x)中去， 即得问题的正确解。
3.位移函数
在有限元法中，一般设定位移函数是多项式
用它近似地描述实际的位移变化规律 式中i是待定系数 对位移函数的要求 从数学意义上看，设定的位移函数至少应具有分片连续的一阶 导数，这样才能使泛函的积分有意义。这是因为泛函含有应变
y ii
i 1 n