纵断面设计 竖曲线
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第4章纵断面设计
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
设置凹竖曲线的主要目的是缓和行车时的离心力
Lmin
2．当L>ST:
h1
d12 2R
，则d1
2Rh1
h2
d
2 2
2R
，则d
2
2Rh2
ST d1 d2 2R ( h1 h2 )
R
ST2
2( h1 h2 )
最小长度：
Lmin 2(
S 2
S 2
h1 h2 )2 4
最小半径：
Rmin
Lmin
凸形竖曲线最小半径和最小长度 :
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
山区公路可缩短里程，降低造价。
各级公路最大纵坡的规定（表4-3）
设计速度 （km/h）
120 100 80 60 40 30 20
最大纵坡（%）
345
6
7
8
9
城市道路最大纵坡约为按公路设计速度计算的最大纵坡 减少1%
1. 设计速度为120km／h、l00km／h、80km／h 的高速公路受地形条件或其他特殊情况限制时， 经技术经济论证，最大纵坡值可增加1％。
最小合成坡度不宜小于0.5%。
当合成坡度小于0.5时，应采取综合排水措施，以 保证路面排水畅通。
3. 合成坡度指标的控制作用 ： 控制陡坡与急弯的重合； 平坡与设超高平曲线的配合问题。
当陡坡与小半径平曲线重合时，在条件许可的情 况下，以采用较小的合成坡度为宜。
▪ 特别是下述情况，其合成坡度必须小于8%。
一、纵坡设计的一般要求
1．纵坡设计必须满足《标准》的各项规定。 2．为保证车辆能以一定速度安全顺适地行驶，纵 坡应具有一定的平顺性，起伏不宜过大和过于频繁。
公路设计 纵断面设计 坡度、坡长的应用及竖曲线半径的选取及设计高程的计算
i合 i纵2 i横 2 0.082 0.0482 9.33% 9%
五、纵坡设计的一般要求（P139）
1、纵坡设计必须满足《公路工程技术标准》中的各项 规定。
2、为保证汽车能以一定的车速安全舒顺地行驶，纵坡 应具有一定的平顺性，起伏不宜过大及过于频繁。 尽量避免采用极限纵坡值，合理安排缓和坡段，不 宜连续采用极限长度的陡坡夹最短长度的缓和坡段。 连续上坡或下坡路段，应避免设置反坡段。越岭线 垭口附近的纵坡应尽量放缓一些。
（一）坡长限制 坡长－－指变坡点与变坡点之间的水平长度。
坡长
➢坡长限制，主要是对较陡纵坡的最大长度和一 般纵坡的最小长度加以限制。
最小坡长限制：任何路段 最大坡长限制：陡坡路段
1．最小坡长限制 :
（1）规定最小坡长的原因
①纵断面上若变坡点过多，纵向起伏变化频繁影响了行车的 舒适和安全；
②相邻变坡点之间的距离不宜过短，以便插入适当的竖曲线 来缓和纵坡的要求，同时也便于平、纵面线形的合理组合与 布置。
最大纵坡（％）
3
456 7 8
9
➢ 设计速度为120km/h、100km/h、80km/h的高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证合理，最大纵 坡可增加1％。
➢ 公路改建中，设计速度为40km/h、30km/h、20km/h的利 用原有公路的改建路段，经技术经济论证合理，最大纵坡可增 加1%。
(3) 自然因素：海拔高程、气候（积雪寒冷等）。 ➢ 纵坡度大小的优劣： 坡度大，行车困难，上坡速度低，下坡较危险。 山区公路可缩短里程，降低造价。
2．最大纵坡的确定
我国《公路工程技术标准》规定各级公路的最大纵坡 规定如表3-9所示。
最大纵坡
表3-9
五、纵坡设计的一般要求（P139）
1、纵坡设计必须满足《公路工程技术标准》中的各项 规定。
2、为保证汽车能以一定的车速安全舒顺地行驶，纵坡 应具有一定的平顺性，起伏不宜过大及过于频繁。 尽量避免采用极限纵坡值，合理安排缓和坡段，不 宜连续采用极限长度的陡坡夹最短长度的缓和坡段。 连续上坡或下坡路段，应避免设置反坡段。越岭线 垭口附近的纵坡应尽量放缓一些。
（一）坡长限制 坡长－－指变坡点与变坡点之间的水平长度。
坡长
➢坡长限制，主要是对较陡纵坡的最大长度和一 般纵坡的最小长度加以限制。
最小坡长限制：任何路段 最大坡长限制：陡坡路段
1．最小坡长限制 :
（1）规定最小坡长的原因
①纵断面上若变坡点过多，纵向起伏变化频繁影响了行车的 舒适和安全；
②相邻变坡点之间的距离不宜过短，以便插入适当的竖曲线 来缓和纵坡的要求，同时也便于平、纵面线形的合理组合与 布置。
最大纵坡（％）
3
456 7 8
9
➢ 设计速度为120km/h、100km/h、80km/h的高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证合理，最大纵 坡可增加1％。
➢ 公路改建中，设计速度为40km/h、30km/h、20km/h的利 用原有公路的改建路段，经技术经济论证合理，最大纵坡可增 加1%。
(3) 自然因素：海拔高程、气候（积雪寒冷等）。 ➢ 纵坡度大小的优劣： 坡度大，行车困难，上坡速度低，下坡较危险。 山区公路可缩短里程，降低造价。
2．最大纵坡的确定
我国《公路工程技术标准》规定各级公路的最大纵坡 规定如表3-9所示。
最大纵坡
表3-9
公路线形设计中,什么是平曲线,什么是竖曲线？
在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。
竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。
道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。
道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两ห้องสมุดไป่ตู้线形，二者是纵断面线形的基本要素。竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。
在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。
纵断面设计——竖曲线设计
纵断面设计——竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。
竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。
当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。
一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i1-i2 ，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。
当i1- i2为正值时，则为凸形竖曲线。
当i1 - i2 为负值时，则为凹形竖曲线。
（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。
其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长：L = Rω3、竖曲线切线长：T= TA =TB ≈ L/2 =4、竖曲线的外距：E =⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；R—为竖曲线的半径，m。
二、竖曲线的最小半径(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。
（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。
为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。
《纵坡竖曲线》课件
纵坡与竖曲线的关系：在排水设计中，纵坡和竖曲线是相互影响的，需要协调好 两者的关系。
纵坡的作用：控制水流速度，防止水流过快导致冲刷和侵蚀。
竖曲线的作用：控制水流方向，防止水流过于集中导致冲刷和侵蚀。
协调方法：根据实际情况，合理设置纵坡和竖曲线的坡度、长度和位置，确保水 流平稳、均匀、安全地通过排水系统。
确定纵坡竖曲线的位置和长度
测量纵坡竖曲线的坡度和曲率
检查纵坡竖曲线的平整度和稳 定性
测量纵坡竖曲线的宽度和深度
控制点设置原 则：根据设计 图纸和现场实 际情况，合理
设置控制点
控制点类型： 包括高程控制 点、平面控制 点、坡度控制
点等
控制点测量： 采用全站仪、 水准仪等测量 仪器进行测量， 确保测量精度
纵坡计算公式：i = h/l，其中i为纵坡， h为高差，l为水平距 离
纵坡的表示方法： 通常用百分比表示，%之间 ，具体取值根据道路等 级和设计速度确定
纵坡的计算注意事项 ：在计算纵坡时，需 要考虑地形、地质、 水文等因素，确保道 路的安全性和舒适性 。
施工人员必须佩戴安全帽、安全带等防护用品 施工过程中注意保持施工现场整洁，避免杂物堆积 施工过程中注意观察周围环境，避免发生意外事故 施工过程中注意遵守交通规则，避免发生交通事故
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01.
02.
03.
04.
05.
06.
纵坡是指道路在纵向上的坡度，通常用百分比表示。 纵坡的坡度决定了车辆行驶的速度和稳定性。 纵坡过大或过小都会对车辆行驶产生不利影响。 纵坡的设置需要考虑地形、地质、气候等因素。
竖曲线是道路 设计中的一种 特殊曲线，用 于连接不同坡
度的路段。
竖曲线的形状 通常是一个弧 形，其半径和 坡度可以根据 道路设计要求
道路工程图—识读路线纵断面图
1:500。 ⒉ 地面线：细实线，设计中心线（中心桩）原地面高 程连线。 3 设计线：粗实线，路基边缘点设计高程。 由设计线和地面线的相对位置，可决定填挖地段和填 挖高度。
路线纵断面图的内容
包括图样和资料表两部分： 图样部分： 4 竖曲线：在设计线的变坡点，设置圆弧竖曲线，便 于车辆平稳行驶。分凸、凹两种曲线。
路线纵断面图
一、作用
表达路线的纵向设计线型（坡度、竖曲线）及路线 中心线处地面的高低起伏状况。
二、图示特点
用假想的铅垂面沿着路线中心线进行剖切，然后 展开绘制（即展开断面图）；
纵向比例比横向比例放大10倍。
路线纵断面图的内容
包括图样和资料表两部分： 图样部分： 1 比例：水平1:2000或1:5000；垂直1:200或
H2 i H1 L
△H=H2-H1
其中， L称为坡
长， i上坡为正 ，下坡为负。
各级公路最大纵坡最小纵坡的规定
※最大纵坡
设计速度(KM/h)
120 100 80 60 40 30 20
最大纵坡（%）
3
4
5
6
7
8
9
原理：坡度太大，行车困难，上坡速度低，下坡危险， 限制纵坡对山区公路而言，可以缩短里程，减低造价。
离。
3.0 600
表示路线为上坡，坡度3.0%，坡 长600m
1.0 380
表示路线为下坡，坡度1.0%，坡 长380m
3.0
1.0 其中分格线“ ”表示两坡边坡点
600 380 位置，与图形部分变坡点里程一致
纵坡定义及计算
纵坡：路线的纵线坡度，为高差与水平距的 比值，用i表示。
i=(H2-H1)/L*100%
※最小纵坡
路线纵断面图的内容
包括图样和资料表两部分： 图样部分： 4 竖曲线：在设计线的变坡点，设置圆弧竖曲线，便 于车辆平稳行驶。分凸、凹两种曲线。
路线纵断面图
一、作用
表达路线的纵向设计线型（坡度、竖曲线）及路线 中心线处地面的高低起伏状况。
二、图示特点
用假想的铅垂面沿着路线中心线进行剖切，然后 展开绘制（即展开断面图）；
纵向比例比横向比例放大10倍。
路线纵断面图的内容
包括图样和资料表两部分： 图样部分： 1 比例：水平1:2000或1:5000；垂直1:200或
H2 i H1 L
△H=H2-H1
其中， L称为坡
长， i上坡为正 ，下坡为负。
各级公路最大纵坡最小纵坡的规定
※最大纵坡
设计速度(KM/h)
120 100 80 60 40 30 20
最大纵坡（%）
3
4
5
6
7
8
9
原理：坡度太大，行车困难，上坡速度低，下坡危险， 限制纵坡对山区公路而言，可以缩短里程，减低造价。
离。
3.0 600
表示路线为上坡，坡度3.0%，坡 长600m
1.0 380
表示路线为下坡，坡度1.0%，坡 长380m
3.0
1.0 其中分格线“ ”表示两坡边坡点
600 380 位置，与图形部分变坡点里程一致
纵坡定义及计算
纵坡：路线的纵线坡度，为高差与水平距的 比值，用i表示。
i=(H2-H1)/L*100%
※最小纵坡
公路勘测设计 纵断面设计
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
(一)竖曲线设计基本知识
1、纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车
平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲 线。
2、为方便设计和计算，竖曲线的形状一般采用二次 抛物线形式。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
3、转坡角
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角 用转坡角表示。
Q
l
xA
h
Y L
TB M
O E ω t
xB
i2
B
X
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
2、竖曲线曲线长： L = Rω
3、竖曲线切线长：
T=
TA
=TB
≈
L/2
= R
2
4、竖曲线的外距： E = T 2
2R
5、竖曲线上任意点至相应切线的距离： y x2
2R
式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；
R—为竖曲线的半径，m。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
(三)竖曲线的最小半径 1、竖曲线最小半径的确定
（1） 凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素： 缓和冲击； 经行时间不宜过短； 满足视距的要求。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
（2）凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素 缓和冲击； 前灯照射距离要求； 跨线桥下视距要求； 经行时间不宜过短。
《公路勘测设计》
二、纵坡及坡长设计
2、最大纵坡、最小纵坡和坡长限制 （1）最大纵坡
最大纵坡是指在纵坡设计时各级道路允许使用的最大坡 度值。
①确定最大纵坡应考虑的因素 （ⅰ）汽车的动力性能； （ⅱ）公路等级； （ⅲ）自然因素。
三、公路竖曲线设计
(一)竖曲线设计基本知识
1、纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车
平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲 线。
2、为方便设计和计算，竖曲线的形状一般采用二次 抛物线形式。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
3、转坡角
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角 用转坡角表示。
Q
l
xA
h
Y L
TB M
O E ω t
xB
i2
B
X
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
2、竖曲线曲线长： L = Rω
3、竖曲线切线长：
T=
TA
=TB
≈
L/2
= R
2
4、竖曲线的外距： E = T 2
2R
5、竖曲线上任意点至相应切线的距离： y x2
2R
式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m；
R—为竖曲线的半径，m。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
(三)竖曲线的最小半径 1、竖曲线最小半径的确定
（1） 凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素： 缓和冲击； 经行时间不宜过短； 满足视距的要求。
《公路勘测设计》
三、公路竖曲线设计
（2）凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素 缓和冲击； 前灯照射距离要求； 跨线桥下视距要求； 经行时间不宜过短。
《公路勘测设计》
二、纵坡及坡长设计
2、最大纵坡、最小纵坡和坡长限制 （1）最大纵坡
最大纵坡是指在纵坡设计时各级道路允许使用的最大坡 度值。
①确定最大纵坡应考虑的因素 （ⅰ）汽车的动力性能； （ⅱ）公路等级； （ⅲ）自然因素。
纵断面设计
（2）竖曲线要素计算
T L R 2 2 L E 8
几个参数： 前坡，后坡，坡差（正凹负凸）
（1）二次抛物线的基本公式
E
T 2 2R
2 x 设计高程计算： h 2R
对于凸曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高-h 对于凹曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高+h
X
现行方法
h
X
2.竖曲线的限制因素
2.设置条件
公路：①.高速、一级公路纵坡长度受限 制路段（i＞4% ）。②.V下降到容许速度。 城道：①.快速路及V≥60km/h的主干道， i＞5%的路段。②.大车V下降，80→50、 60→40。③.由于上坡路段混入大型车辆的 干扰降低适行能力时。④.经综合分析认为 设置爬坡车道比降低纵坡经济合理时。 坡车道宽3.5m。
(1）作用：
①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。
(2）规定
①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为 宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
三、爬坡车道
1.定义
陡坡路段为载重车上坡行驶所设置的专 用附加车道。为了消除陡坡上车辆的坡度阻 力及车辆混合行驶时对快车的行驶自由度限 制等不利影响，宜在陡坡路段增设爬坡车道， 把载重车与小汽车分离，以确保行车安全和 提高路段的通行能力。 但容易造成路线迂 回或路基高填深挖，解决问题的根本是精选 路线，定出纵坡值较小而经济使用的路线。
(2)最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最 低容许速度时所行驶的距离称为最大坡 长限制。①.上坡时，汽车的动力性能 （水箱开锅，爬坡无力）。②.下坡的行 车安全（频繁制动而发热失效）。大于 5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3% 的缓坡。其长度应大于最小坡长。
T L R 2 2 L E 8
几个参数： 前坡，后坡，坡差（正凹负凸）
（1）二次抛物线的基本公式
E
T 2 2R
2 x 设计高程计算： h 2R
对于凸曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高-h 对于凹曲线，设计标高=未设竖曲线时的标高+h
X
现行方法
h
X
2.竖曲线的限制因素
2.设置条件
公路：①.高速、一级公路纵坡长度受限 制路段（i＞4% ）。②.V下降到容许速度。 城道：①.快速路及V≥60km/h的主干道， i＞5%的路段。②.大车V下降，80→50、 60→40。③.由于上坡路段混入大型车辆的 干扰降低适行能力时。④.经综合分析认为 设置爬坡车道比降低纵坡经济合理时。 坡车道宽3.5m。
(1）作用：
①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。
(2）规定
①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为 宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
三、爬坡车道
1.定义
陡坡路段为载重车上坡行驶所设置的专 用附加车道。为了消除陡坡上车辆的坡度阻 力及车辆混合行驶时对快车的行驶自由度限 制等不利影响，宜在陡坡路段增设爬坡车道， 把载重车与小汽车分离，以确保行车安全和 提高路段的通行能力。 但容易造成路线迂 回或路基高填深挖，解决问题的根本是精选 路线，定出纵坡值较小而经济使用的路线。
(2)最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最 低容许速度时所行驶的距离称为最大坡 长限制。①.上坡时，汽车的动力性能 （水箱开锅，爬坡无力）。②.下坡的行 车安全（频繁制动而发热失效）。大于 5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3% 的缓坡。其长度应大于最小坡长。
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坡差
TA
Y L
TB
A
M
P
O
（1）二次抛物线的基本公式
Q
h
E
ω
l
t
y x2 2R
x
x
A
B
竖曲线计算图示
i 2
B
X
（2）竖曲线要素计算
L R
T1 T2 L/2 R
2
h l2 2R
E T2 2R
为竖曲任意点至竖曲线起点的距离
一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
（2）Y轴过抛物线起点。
y
1 2R
x2
i1x
式中：R——抛物线顶点
B
处的曲率半径 ；
i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。
A
2．竖曲线诸要素计算公式
（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R：
L = xA - xB
L R , R L
（2）竖曲线切线长T：
因为T = T1 = T2，则
B
T L R
一、纵断面设计的一般要求
1、满足设计标准 2、尽量避免使用极限值 3、纵断面和地形协调 4、填挖平衡 5、满足最小填土高度和排水要求 6、桥头和交叉口处应该平缓 7、考虑通道和农田的要求
二、纵坡及坡长设计
1、最大纵坡
3%、4%的最大纵坡适合于高速公路和一级公路，当高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证最大纵坡可增加 1% 。8% 9%的最大纵坡适合于设计速度为30km/h 的三级公路以 及设计速度为20km/h 的四级公路上低速行驶。5%6% 7%的最大 纵坡适合于80km/h 60km/h 40km/h 的设计速度。
i
22
2
A
（3）竖曲线上任一点竖距h：
x2
x2
h PQ yP yQ 2R i1x i1x 2R
式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，
y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差。
L-x i
2
h’
h
(4) 竖曲线外距E： ▪ 上半支曲线x = T1时：
▪下半支曲线x = T2时：
E1
T12 2R
E2
T22 2R
▪ 由于外距是变坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E
或
2R
R 2 L T
E 8 84
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为k5+030.00， 高程H1=427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖的计算公式
1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）Y轴过抛物线底（顶）部；
y 1 x2 2R
式中：R——抛物线顶点
A
B
处的曲率半径
1.竖曲线的几何要素
几个参数：
i1, i2 ,
i2
i1
前坡，i后坡， 1
3000m以上，比正常值减1～3%。 F，高寒冰冻：公路：i≯8%， 城市道路：i≯6%
一般公路，路基未设加宽超高前的路肩边缘的高程。
设计标高
设分隔带公路，一般为分隔带外边缘。 设计标高
城市道路：行车道中线 中央分隔带中线
设计标高
2、最小纵坡
为使道路上行车快速、安全和通畅，希望道路纵坡设计的小一些为 好。但是在挖方、低填方路段以及其它横向排水不畅路段，为保证 排水需要，均应设置不小于0.3%的最小纵坡，一般使用0.5%。当 必须设置平坡（0%）或小于0.3%的纵坡时，其边沟应做纵向排水
《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要 求。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513
5000
+950 190.013
第三章 纵断面设计
3.3 纵断面设计
本章主要内容： 一、纵断面设计的一般要求（1） 二、纵坡及坡长设计（1） 三、爬坡车道（1） 四、合成坡度（1） 五、竖曲线（1） 六、纵断面设计方法及表达（1） 七、视觉分析及平纵组合（1）
设计任务：1.纵断面设计，2.拉坡设计， 设计成果：1.纵断面设计图 ，2.竖曲线表
t
V 1.2
则
Rmin
Lmin
V
1.2
▪3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
凸形竖曲线最小半径和最小长度 :
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
2、设计标高 ①新建公路的路基设计标高高速公路和一级公路采用中
央分隔带的外侧边缘标高；二、三、四级公路采用路基边缘 标高，在设置超高、加宽地段为设超高、加宽前该处边缘标 高。
②改建公路的路基设计标高一般按新建公路的规定办理， 也可视具体情况而采用中央分隔带中线或行车道中线标高。
最大纵坡的总结： A，城市道路为公路按设计车速的最大纵坡-1%。 B，大、中桥≯4% C，非机动车≯ 2.5%，＞2.5%时有坡长限制。 D，隧道≯3% E, 海拔：公路：2000m以上，i≯8%。
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
②按变坡点分界计算：
横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m
竖距
y2
x
2 2
2R
202 0.10 2 2000
602 2 2000
0.90
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00)
= 426.18m 设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
第三节 竖曲线
1．定义：
纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值 之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
i3 凹型竖曲线
ω>0 i1 α1
i2 ω α2
试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00和k5+100.00处 的设计高程。
解：1．计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
切线长 外距
T L 180 90 22
E T 2 902 2.03 2R 2 2000
称为最大坡长限制。①.上坡时，汽车的动力性能。②.下坡的行车 安全。大于5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3%的缓坡。其长 度应大于最小坡长。
4、缓和坡段
大于限制坡长应设＜3%的缓和坡段，其长度应大于最小坡长。
5、平均纵坡
某段路线高差与水平距离之比。i平=H/L（%） (1）作用： ①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。 (2）规定 ①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
凸型竖曲线 ω<0
2．竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。
（2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。
3. 竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。
抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
a v2 V2 , R V2
R 13R
13a
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。
Rm in
V2 3.6
,
或
Lm in
V 2
3.6
2．时间行程不过短 最短应满足3s行程。
Lmin
V 3.6
设3、计。坡长限制
大于i1为陡坡，汽车减速行驶，初速为V1，终速不低于V2，大于i2 的纵坡要限制其长度。 （1）最小坡长的限制
小坡长限制主要是指从汽车行驶平顺陛、路容美观、相邻竖曲线 设置、纵面视距等考虑．通常以计算行车速度9～15s的行程作为规 定值。《标准》规定值见表
（2）最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最低容许速度时所行驶的距离
第一节 概 述
定义：沿道路中线竖向剖面的展开图即为路线纵断面。
纵断面设计：研究路线线位高度及坡度、坡长变化情 况的过程。
任务：研究纵断面线形的几何构成及其大小与长度。
依据：汽车的动力特性、道路等级、当地的自然地理 条件以及工程经济性等。
路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线
TA
Y L
TB
A
M
P
O
（1）二次抛物线的基本公式
Q
h
E
ω
l
t
y x2 2R
x
x
A
B
竖曲线计算图示
i 2
B
X
（2）竖曲线要素计算
L R
T1 T2 L/2 R
2
h l2 2R
E T2 2R
为竖曲任意点至竖曲线起点的距离
一、竖曲线要素的计算公式 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式：
（2）Y轴过抛物线起点。
y
1 2R
x2
i1x
式中：R——抛物线顶点
B
处的曲率半径 ；
i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。
A
2．竖曲线诸要素计算公式
（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R：
L = xA - xB
L R , R L
（2）竖曲线切线长T：
因为T = T1 = T2，则
B
T L R
一、纵断面设计的一般要求
1、满足设计标准 2、尽量避免使用极限值 3、纵断面和地形协调 4、填挖平衡 5、满足最小填土高度和排水要求 6、桥头和交叉口处应该平缓 7、考虑通道和农田的要求
二、纵坡及坡长设计
1、最大纵坡
3%、4%的最大纵坡适合于高速公路和一级公路，当高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证最大纵坡可增加 1% 。8% 9%的最大纵坡适合于设计速度为30km/h 的三级公路以 及设计速度为20km/h 的四级公路上低速行驶。5%6% 7%的最大 纵坡适合于80km/h 60km/h 40km/h 的设计速度。
i
22
2
A
（3）竖曲线上任一点竖距h：
x2
x2
h PQ yP yQ 2R i1x i1x 2R
式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，
y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差。
L-x i
2
h’
h
(4) 竖曲线外距E： ▪ 上半支曲线x = T1时：
▪下半支曲线x = T2时：
E1
T12 2R
E2
T22 2R
▪ 由于外距是变坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E
或
2R
R 2 L T
E 8 84
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为k5+030.00， 高程H1=427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖的计算公式
1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）Y轴过抛物线底（顶）部；
y 1 x2 2R
式中：R——抛物线顶点
A
B
处的曲率半径
1.竖曲线的几何要素
几个参数：
i1, i2 ,
i2
i1
前坡，i后坡， 1
3000m以上，比正常值减1～3%。 F，高寒冰冻：公路：i≯8%， 城市道路：i≯6%
一般公路，路基未设加宽超高前的路肩边缘的高程。
设计标高
设分隔带公路，一般为分隔带外边缘。 设计标高
城市道路：行车道中线 中央分隔带中线
设计标高
2、最小纵坡
为使道路上行车快速、安全和通畅，希望道路纵坡设计的小一些为 好。但是在挖方、低填方路段以及其它横向排水不畅路段，为保证 排水需要，均应设置不小于0.3%的最小纵坡，一般使用0.5%。当 必须设置平坡（0%）或小于0.3%的纵坡时，其边沟应做纵向排水
《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要 求。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
凹形竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
作业：
某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：
变坡点桩号 设计高程 竖曲线半径
K12+450 172.513
5000
+950 190.013
第三章 纵断面设计
3.3 纵断面设计
本章主要内容： 一、纵断面设计的一般要求（1） 二、纵坡及坡长设计（1） 三、爬坡车道（1） 四、合成坡度（1） 五、竖曲线（1） 六、纵断面设计方法及表达（1） 七、视觉分析及平纵组合（1）
设计任务：1.纵断面设计，2.拉坡设计， 设计成果：1.纵断面设计图 ，2.竖曲线表
t
V 1.2
则
Rmin
Lmin
V
1.2
▪3．满足视距的要求：
凸形竖曲线：坡顶视线受阻
凹形竖曲线：下穿立交
4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
凸形竖曲线最小半径和最小长度 :
竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度 的3秒行程 。
（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度
2、设计标高 ①新建公路的路基设计标高高速公路和一级公路采用中
央分隔带的外侧边缘标高；二、三、四级公路采用路基边缘 标高，在设置超高、加宽地段为设超高、加宽前该处边缘标 高。
②改建公路的路基设计标高一般按新建公路的规定办理， 也可视具体情况而采用中央分隔带中线或行车道中线标高。
最大纵坡的总结： A，城市道路为公路按设计车速的最大纵坡-1%。 B，大、中桥≯4% C，非机动车≯ 2.5%，＞2.5%时有坡长限制。 D，隧道≯3% E, 海拔：公路：2000m以上，i≯8%。
= 431.18m 设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支
②按变坡点分界计算：
横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m
竖距
y2
x
2 2
2R
202 0.10 2 2000
602 2 2000
0.90
切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00)
= 426.18m 设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m （凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支
第三节 竖曲线
1．定义：
纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。
变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值 之差代替，用ω表示，即
ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
i3 凹型竖曲线
ω>0 i1 α1
i2 ω α2
试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00和k5+100.00处 的设计高程。
解：1．计算竖曲线要素
ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m
切线长 外距
T L 180 90 22
E T 2 902 2.03 2R 2 2000
称为最大坡长限制。①.上坡时，汽车的动力性能。②.下坡的行车 安全。大于5%有坡长限制，大于限制坡长应设＜3%的缓坡。其长 度应大于最小坡长。
4、缓和坡段
大于限制坡长应设＜3%的缓和坡段，其长度应大于最小坡长。
5、平均纵坡
某段路线高差与水平距离之比。i平=H/L（%） (1）作用： ①.衡量纵断面线型质量。 ②.可供放坡定线参考。 (2）规定 ①.越岭线高差200～500m时，i平≈5.5%为宜。 ②.越岭线高差＞500m时，i平≈5.0%为宜。 ②.任何连续3km内，i平≤5.5%。 ④.要考虑公路等级影响。
凸型竖曲线 ω<0
2．竖曲线的作用：
（1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。
（2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。
3. 竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。
抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
a v2 V2 , R V2
R 13R
13a
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。
Rm in
V2 3.6
,
或
Lm in
V 2
3.6
2．时间行程不过短 最短应满足3s行程。
Lmin
V 3.6
设3、计。坡长限制
大于i1为陡坡，汽车减速行驶，初速为V1，终速不低于V2，大于i2 的纵坡要限制其长度。 （1）最小坡长的限制
小坡长限制主要是指从汽车行驶平顺陛、路容美观、相邻竖曲线 设置、纵面视距等考虑．通常以计算行车速度9～15s的行程作为规 定值。《标准》规定值见表
（2）最大坡长限制 当汽车在坡道上行驶，车速下降到最低容许速度时所行驶的距离
第一节 概 述
定义：沿道路中线竖向剖面的展开图即为路线纵断面。
纵断面设计：研究路线线位高度及坡度、坡长变化情 况的过程。
任务：研究纵断面线形的几何构成及其大小与长度。
依据：汽车的动力特性、道路等级、当地的自然地理 条件以及工程经济性等。
路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线