河北省衡水中学2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
河北省衡水中学2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15852．如图所示，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )．A.2143 B.289 C.273D.8093.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为A ．148B ．124C ．112D ．164．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ） A ．[0.4,1) B ．(0,0.4] C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)5.设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240，则展开式3x 的系数为（ ）A ．-150B ．150C ．-500D ．5006．下列正确的个数是（ ）(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。
(2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。
(3)一个样本的方差是s 2=120[(x 1一3)2+-(X 2—3) 2+…+( X n 一3) 2]，则这组数据的总和等于60.(4) 数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为24σA . 4 B. 3 C .2 D . 17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若A E F S ∆＝6cm 2，则A D FS ∆为( )． A ．54 cm 2B ．24 cm 2C ．18 cm 2D ．12 cm28. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )．A.29B.118C.13D.239. 如图所示，⊙O 的两条弦AD 和CB 相交于点E ，AC 和BD 的延长线相交于点P ，下面结论：①PA ·PC ＝PD ·PB ；②PC ·CA ＝PB ·BD ；③CE ·CD ＝BE ·BA ； ④PA ·CD ＝PD ·AB .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．对于二项式(),11999x -有下列四个命题正确的是（ ）A.展开式中100099910001999T C x =. B.展开式中非常数项系数和是1.C.展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；D.当2000=x 时，()19991x -除以2000的余数是111. 如图所示，P 、Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则ARRP( )． A ．3∶14 B ．14∶3 C ．17∶3 D ．17∶1412．若一个三位正整数123a a a 满足123a a a <>，则称这样的三位数 为凸数， 则所有的三位凸数的个数是A.240B.204C.729D.920 二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在题中横线上）13.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是14.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是15.如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．16．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得2231b S PF F =∆，则该椭圆的离心率的取值范围是 。
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率(2)；设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )．18.（本题满分12分）如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,弧AE 等于弧AC,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,求PF 的长度.19.（本题12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158.得到了如下列联表：(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析是否有百分之九十五以上的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？ (Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附表20.（本题满分12分）如图,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD BC ⊥于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P .(1)求证:BF EF =；(2) 若PB BC ==求PA 的长.21. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R)．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求tan θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R)的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，试说明理由．高二期中理科数学答案一、选择题 BADBB ACDAD AB二、填空题 13.60014. a ≥e 15. 23＋ln2_ 16. )1,23[三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（以下评分标准仅供参考）17. 解 (1)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝420＝15， ∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45. --------5分(2)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12， P (AB )＝C 14C 36＝15， ∴P (A |B )＝P ABP B ＝25. ------------10分18. 解：连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧AE AC =弧可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD PCO ∠=∠,故PFD∆PCO ∆,∴PF PD PC PO=, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. ----------12分19.解（Ⅰ） (3)分由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X === ……………9分所以X 的分布列为：X 的数学期望为：448156012.1391917EX =⨯+⨯+⨯= ……………12分20. (1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．BF CF EF CFDG CG AG CG==∴，． BF EFDG AG=∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴． ------------------6分(2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是圆O 的直径，90BAC ∠=∴°． 在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴． BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．所以2326236PA PB PC === 所以6PA = -----------12分21. 解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a ＝2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. ----------4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， Δ＝(2k )2－4×(k 2＋4)×(－3)＝16(k 2＋3)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ----------6分由OA →⊥OB →，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.由－4k 2＋1k 2＋4＝0，得k ＝±12，此时OA →⊥OB →. ------------10分当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2 ＝42172＋4×1217＝42×52172， 所以|AB →|＝46517. ----------12分22． [解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， 由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1. -----------2分(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ------------5分 ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，0≤tan θ≤a23 当a >3时，0≤tan θ≤2a －3--------------8分 (3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点． -----12分。
衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题
衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.21<a B. 21≤a C. 1≤a D. 1<a 2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．2434.已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A.12B. 12-D. 5.已知已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A.2B. 3C. 22D. 326.若(x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．1207. 设集合}3,2,1,0{=A ，如果方程02=--n mx x （A n m ∈,）至少有一个根A x ∈0，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）A.6B.8C. 9D.108.如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ．349.设0>ϖ,函数23sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πϖx y 的图像向右平移34π个单位 后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A32. B.34 C.23D.3 10.点P 到点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A ，()2,a B 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A.21 B.23 C.21或23 D. 21-或2111. 从点P 出发的三条射线,,PA PB PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为43π，则OP 两点之间的距离为( )C.1.5D. 212.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
河北衡水中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
2013—2014学年度高二上学期中考试高二年级数学试卷（理科）第I 卷一，选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1． 已知向量1(1,2,)3a =-，下列向量中与a 平行的向量是 （ ）A ．1(1,2,)3--B ．5(5,10,)3--C ．5(5,10,)3-- D ．(3,6,1)- 2．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1.“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知方程ab by ax =+22和01=++by ax (其中0≠ab ,b a ≠)，它们所表示的曲线可能是（ ）4. 2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜105. 已知双曲线()0,12222>>=-b a by a x ，两渐近线的夹角为60︒，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 或26．已知123{,,}e e e 是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）①1223,2,e e e e - ②221212,,2e e e e e -+ ③1223132,,5e e e e e e ++-+ ④31313,,e e e e e ++A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面8. 如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A 2132a b c -+B 211322a b c ++ C 11a b c +- D 21a b c +-9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与平面ACB 1间的距离为( )A.33 B.36 C.32 D.4210.椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则 ）11. 椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为21,F F ,点P 在第一象限，且在椭圆C 上，点P在第一象限且在椭圆C 上，满足212PF PF =,则点P 的坐标为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛554,553 B. ⎪⎭⎫⎝⎛1,23 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛330,26 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4153 12.已知F 1,F 2右焦点，点P 在椭圆上，记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )ABCD第Ⅱ卷（非选择题90分）二.填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13.已知()()()λ,5,4,2,4,1,6,2,4=--=-=c b a ，若,,a b c 三向量共面，则λ=________ 14.正三棱锥ABC P -的高为2，侧棱与地面ABC 成045，则点A 到侧面PBC 的距离为 15已知直线l 与椭圆2222=+y x 交于21,P P 两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k (k 1≠0)，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于16.已知函数()1log -=x y a ()1,0≠>a a 恒过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F ,若A,B是抛物线上的两点，且0=⋅BF AF ,直线AB 的斜率不存在，则弦AB 的长为 三.解答题（共6小题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17.（本题满分10分）如图，在四棱锥ABCD S -，CD AB AD AB //,⊥,33==AB CD ,平面⊥SAD 平面ABCD ,E 是线段AD 上一点，AD SE ED AE ⊥==,3(1) 证明：平面SBE ⊥平面SEC(2) 若1=SE ,求直线CE 与平面SBC 所成角的余弦值。
河北衡水中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学理试卷Word版含答案
2013—2014学年度高二上学期中考试高二年级数学试卷（理科）第I 卷一，选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1． 已知向量1(1,2,)3a =-，下列向量中与a 平行的向量是 （ ）A ．1(1,2,)3--B ．5(5,10,)3--C ．5(5,10,)3-- D ．(3,6,1)- 2．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1.“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知方程ab by ax =+22和01=++by ax (其中0≠ab ,b a ≠)，它们所表示的曲线可能是（ ）4. 2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜10 5. 已知双曲线()0,12222>>=-b a by a x ，两渐近线的夹角为60︒，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 或26．已知123{,,}e e e 是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（）①1223,2,e e e e - ②221212,,2e e e e e -+ ③1223132,,5e e e e e e ++-+ ④31313,,e e e e e ++A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面8. 如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A 2132a b c -+B 211322a b c ++ C 11a b c +- D 21a b c +-9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与平面ACB 1间的距离为( )A.33 B.36 C.32 D.4210.椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则 ）11. 椭圆149:22=+y x C 的左右焦点分别为21,F F ,点P 在第一象限，且在椭圆C 上，点P 在第一象限且在椭圆C 上，满足212PF PF =,则点P 的坐标为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛554,553 B. ⎪⎭⎫⎝⎛1,23 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛330,26 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4153 12.已知F 1,F 2右焦点，点P 在椭圆上，记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )ABCD第Ⅱ卷（非选择题90分）二.填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13.已知()()()λ,5,4,2,4,1,6,2,4=--=-=c b a ，若,,a b c 三向量共面，则λ=________ 14.正三棱锥ABC P -的高为2，侧棱与地面ABC 成045，则点A 到侧面PBC 的距离为 15已知直线l 与椭圆2222=+y x 交于21,P P 两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k (k 1≠0)，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于16.已知函数()1log -=x y a ()1,0≠>a a 恒过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F ,若A,B是抛物线上的两点，且0=⋅BF AF ,直线AB 的斜率不存在，则弦AB 的长为 三.解答题（共6小题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17.（本题满分10分）如图，在四棱锥ABCD S -，CD AB AD AB //,⊥,33==AB CD ,平面⊥SAD 平面ABCD ,E 是线段AD 上一点，AD SE ED AE ⊥==,3(1) 证明：平面SBE ⊥平面SEC(2) 若1=SE ,求直线CE 与平面SBC 所成角的余弦值。
河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期二调考试 数学理试题 含答案
2013—2014学年度上学期高二年级二调考试数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分)一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若a ，b 都是实数，则“0>-b a ”是“022>-b a ”的(）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.若点P 在椭圆2212x y +=上，1F 、2F 分别是该椭圆的两焦点，且1290F PF∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A. 1 B 。
2 C 。
D.123．下列命题中,是真命题的个数：（ ） （１）3x >且6y >是9x y +>的充要条件； (２)命题“若x AB ∈，则x A ∈"的逆命题与逆否命题；（３）命题“若3x <-，则13x ->”的否命题与逆否命题； （４）,x R y R ∀∈∃∈，使0x y +=。
A ．0个 B.1个 C 。
2个 D.3个 4. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n （n ＝1，2,3，…),若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 14 5．椭圆2249144xy +=内一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程 （ )A. 01223=-+y x B 。
23120x y +-=C.491440x y +-=D.941440x y +-=6。
方程(x+y —=0表示的曲线是( ）A 一个圆和一条直线B 半个圆和一条直线C 一个圆和两条射线D 一个圆和一条线段7．椭圆42x +32y =1上有n 个不同的点P 1，P 2,P 3，…，P n , F 是右焦点,|P 1F ｜，｜P 2F |，…，|P n F |组成等差数列，且公差d 〉1001，则n的最大值是（ ）A.99 B 。
【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题
【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．（5分）设，B={x|x ＞a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．a ≤1 D ．a ＜1考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用． 专题：阅读型．分析： 根据题意A 集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A ⊆B ，求出a 符合的条件即可． 解答： 解：∵A={x|＜x ＜5，x ∈Z}，∴A={1，2，3，4} ∵A ⊆B ，∴a ＜1 故选D点本题考查集合中参数的取值问题．正确理解集合评： 语言是解决此类题的关键．2．（5分）（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A ． 6 B ．8 C ．10 D ．12考点： 分层抽样方法． 专题：计算题． 分析： 根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 解答： 解：∵高一年级有30名， 在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名， ∴要抽取40×=8，故选B ．点评： 本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．3．（5分）（2011•密山市模拟）已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=（ ） A ． 64 B ．81 C ．128 D ．243考点：等比数列． 分析： 由a 1+a 2=3，a 2+a 3=6的关系求得d ，进而求得a 1，再由等比数列通项公式求解． 解答： 解：由a 2+a 3=q （a 1+a 2）=3q=6，∴q=2 ∴a 1（1+q ）=3，∴a 1=1，∴a 7=26=64 故选A点评： 本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．4．（5分）已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（ ）A ．B ．﹣ C ．D ．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出•=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值． 解答： 解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cos θ==﹣故选：B点评： 本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A ． 2B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题：计算题． 分析： 通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a ，b ，然后求出双曲线的离心率． 解答：解：点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e==2． 故选A ．点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a 、b 、c 的区别，考查计算能力．6．（5分）（2007•重庆）若（x+）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ． 10 B ．20 C ．30 D ．120考点： 二项式系数的性质． 专题：计算题． 分析： 根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果． 解答： 解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =64， ∴n=6． T r+1=C 6r x 6﹣r x ﹣r =C 6r x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，∴r=3， 常数项：T 4=C 63=20， 故选B ．点评： 本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．7．（5分）设集合A={0，1，2，3}，如果方程x 2﹣mx ﹣n=0（m ，n ∈A ）至少有一个根x 0∈A ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） A ． 7 B ．8 C ．9 D ．10考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析： 让m 分别取0，1，2，3，求出对应的n 值，则不同的（m ，n ）的个数即为所求．解答： 解：若方程为合格方程时，由于m ，n ∈A={0，1，2，3}，故对m 的取值进行分类讨论： 当m=0时，方程x 2﹣n=0，由于方程x 2﹣n=0至少有一个根x 0∈A ，故此时n=0，1； 同样地，当m=1时，n=0，2； 当m=2时，n=0，3； 当m=3时，n=0． 故合格方程的个数为7个， 故选A ．点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．8．（5分）如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O ，且通过点C ，则阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 定积分． 专题：计算题． 分析： 以抛物线的顶点为原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x 轴所围成的曲边梯形的面积．解解：建立如图所示的坐标系，答：因为正方形ABCD 的边长为1，所以C （1，）， 设抛物线方程为y=ax 2（a ＞0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：==． 故选D ．点评： 本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题．9．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ． B ．C ．D ．3考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题；待定系数法． 分析： 求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答： 解：将y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k π，即，又因为ω＞0，所以k ≥1，故≥， 故选C点评： 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．（5分）（2010•马鞍山模拟）点P 到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式；抛物线的应用． 专题：压轴题． 分析：到A 和到直线的距离相等，则P 点轨迹是抛物线方程，再注意B 点，用上P 到的距离和点P 到B 的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a 的值． 解答： 解：法一 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （，y ），则有（+）2=（﹣a ）2+（y ﹣2）2，化简得（﹣a ）y 2﹣4y+a 2+=0，当a=时，符合题意；当a ≠时，△=0，有a 3﹣++=0，（a+）（a 2﹣a+）=0，a=﹣．故选D ．法二 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上，当a=﹣时，B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ． 故选D ．点评： 本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．11．（5分）（2011•大连二模）从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为，则OP 两点之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2考点： 点、线、面间的距离计算． 专题：计算题． 分析： 连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：O'A==．由AO'⊥PO ，OA ⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=1，进而求出答案．解答： 解：连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：△ABC 和△PAB 为正三角形， 所以O'A==．因为AO'⊥PO ，OA ⊥PA ，所以，所以．又因为球的体积为， 所以半径OA=1，所以OP=．故选B ．点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m ＞0，若方程3f（x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性． 专题：计算题；压轴题． 分析： 根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．解答：解：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x 2+=1（y ≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示， 同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x ﹣4）2+=1（y ≥0）相交，而与第三个半椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x ﹣4）2+=1 （y ≥0）得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2（t ＞0）， 则（t+1）x 2﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2＞15，且m ＞0得 m ， 同样由 y=与第三个椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）由△＜0可计算得 m ＜， 综上可知m ∈（ ，） 故选B点本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判评：断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知cos2θ=，则sin 4θ+cos 4θ= ．考点： 二倍角的余弦． 专题：计算题． 分析： 把sin 4θ+cos 4θ配方为完全平方式，然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，把cos2θ的值代入即可求出值． 解答： 解：==；故答案为．点评： 本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．14．（5分）在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=x+9y（写出一个适合题意的目标函数即可）．简单线性规划．考点：专不等式的解法及应用．题：分画出满足约束条件的可行域，设出目标函数析：的解析式，结合目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，可构造出满足条件a，b的关系式，取一组满足条件的a，b的值，即可得到答案．解解：满足约束条件的可行域如下图所示：答：设目标函数为z=ax+by 则y=x+若目标函数z 在点（1，1）取得最大值10， 则令a=1，则b=9满足条件故答案为：x+9y （主观题，满足条件即可） 点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据目标函数z 在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，构造出满足条件a ，b 的关系式，是解答的关键．15．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 12π ．考点： 球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积． 专题：计算题；压轴题． 分析： 将三视图还原为直观图，得四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R ，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．解答： 解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG 根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得AG==a ，所以正方体棱长a=2 ∴Rt △OGA 中，OG=a=1，AO= 即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR 2=12π 故答案为：12π点评： 本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．16．（5分）已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，设b n =2n a n ，则b 1+b 2+…+b n 的结果为 4+n •2n+1 ．考点：数列的求和． 专题：计算题；压轴题．分析： 由已知可得a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2结合等差数首项a 1及公差d 都是整数可得a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1，从而可得a n =2+1×（n ﹣1）=n+1，b n =2n a n =2n （n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9， 所以a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2．∵等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数 ∴a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1． ∴a n =2+1×（n ﹣1）=n+1． ∴b n =2n a n =2n （n+1） 令S n =b 1+b 2+…+b n=2•21+3•22+…+n •2n ﹣1+（n+1）•2n ①∴2S n =2•22+3•23+…+n •2n +（n+1）2n+1② ①﹣②得，﹣S n =2•21+22+…+2n ﹣（n+1）•2n+1==﹣n •2n+1 ∴S n =n •2n+1 故答案为：n •2n+1点等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综评：合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．三.解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30）20.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型． 分析： （I ）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II ）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人． （III ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答： 解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商， ∴ （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2．则任选2人共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b 1，b 2）一种， ∴所求概率为． 点评： 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．18．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f （a n ）． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求证：数列{a n +1}为等比数列； （3）求数列{a n }的前n 项和S n ．考点：数列与函数的综合． 专题：综合题；转化思想． 分析：（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式．（2）由a n+1=2a n +1，变形得a n+1+1=2（a n +1），由等比数列的定义可知数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得a n =2n ﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得．解答：解：（1）∵又∵α为锐角 ∴α=∴∴f （x ）=2x+1（2）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1） ∵a 1=1∴数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由上步可得a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1 ∴点评： 本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n 项和．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中AD ∥BC ，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，，BC=4．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PDC 所成的角； （Ⅲ）设点E 在棱PC 上，，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F 分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；（2）由（1）即可得到平面PDC 的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；（3）先求出平面PAB 的法向量，若DE∥平面PAB，则即可得出λ．解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C则，∵，∴BD⊥PC．（2）由（1）知．由条件知A（1，0，0），B（1，，0），设AB与面PDC所成角大小为θ，则．∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，即直线AB与平面PDC所成角为60°．（3）由（2）知C（﹣3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，∴，==．设为平面PAB的法向量，则，即，即取z=1，得x=a，进而得，由DE∥平面PAB，得，∴﹣3aλ+a﹣aλ=0，而a≠0∴．点评： 熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC 的法向量为与斜线的夹角得到线面角DE ∥平面PAB ⇔等是解题的关键．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），且其右焦点与抛物线的焦点F 重合．①求椭圆C 1的方程；②直线l 经过点F 与椭圆C 1相交于A 、B 两点，与抛物线C 2相交于C 、D 两点．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c 可求，结合椭圆的隐含条件及点M （1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；②分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A ，B ，C ，D 四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值． 解答： 解：如图，①解法1：由抛物线方程为y 2=4x ，得其焦点F （1，0），∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1． 故a 2﹣b 2=c 2=1 ① 又椭圆C 1经过点，∴②由①②消去a 2并整理，得，4b 4﹣9b 2﹣9=0，解得：b 2=3，或（舍去）， 从而a 2=b 2+1=4． 故椭圆的方程为．解法2：由抛物线方程，得焦点F （1，0）， ∴c=1．∴椭圆C 1的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ∵椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），∴=4．∴a=2，则a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．故椭圆的方程为．②当直线l垂直于x轴时，则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，﹣2）．∴．当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．联立，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．△=（﹣8k2）2﹣4×（3+4k2）×（﹣12）=64k4+192k2+144＞0．∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B （x2，y2）．则，．所以，===．由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=[﹣（2k 2+4）]2﹣4k 4=16k 2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． ∵k ≠0，∴，由抛物线的定义，得．∴=．综上，当直线l 垂直于x 轴时，取得最大值．点评： 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．21．（12分）（2010•海淀区二模）给定椭圆，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为．（I ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．（II ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N ．①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：综合题；压轴题；分类讨论． 分析： （I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II ）（1）由准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k ．从而得l 1，l 2方程（2）分两种情况①当l 1，l 2中有一条无斜率和②当l 1，l 2都有斜率处理． 解答： 解：（I ）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x 2+y 2=4．（II ）（1）因为准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2， 所以，消去y ，得到（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点， 所以△=144k 2﹣4×9（1+3k 2）=0， 解得k=±1．所以l 1，l 2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率， 因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l 1方程为时，此时l 1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l 1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t 1•t 2=﹣1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：因为l 1，l 2经过点P （x 0，y 0），又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直， 所以线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，所以|MN|=4．点评： 本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力． 22．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x ≤3），其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；压轴题．分（I ）函数的定义域是（0，+∞），把代入函析：数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II ）即函数F （x ）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值； （III ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m ．解答：解：（I ）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x ）=0，解得x=1．（∵x ＞0）因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减． 所以f （x ）的极大值为，此即为最大值…（4分） （II ），x ∈（0，3]，则有≤，在x 0∈（0，3]上恒成立， 所以a ≥，x 0∈（0，3]，当x 0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）点本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方评：程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．。
河北省衡水中学2013-2014学年高二下学期一调考试 数学理试题 含答案
衡水中学2013—2014学年度第二学期一调考试高二年级理科数学试卷第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
复数z满足()5i-iz，则复数z在复平面内对应的点位于( ）2)(=-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D。
第四象限2．“a = 1"是“复数21(1)-++(a R∈,i为虚数单位）是纯虚数”的（）a a iA 充分不必要B 必要不充分C 充要条件D 既不充分也不必要3。
在证明f（x)＝2x＋1为增函数的过程中,有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f （x）＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（）．A．①②B．②④C．①③D．②③4.设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋错误!，b＋错误!，c＋错误!（)A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不小于－2D．至少有一个不大于－25。
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )A.12B.18C。
24D。
486，已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点（1，0)，则f(x)的极值情况为( ）A．极大值错误!，极小值0 B．极大值0，极小值错误!C．极大值0，极小值－错误!D．极大值－错误!，极小值07．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－错误!＝1(a>0，b〉0）的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于（)．A。
错误!B．2错误!C。
错误!D．2错误!8．已知空间四面体D ABC-的每条边都等于1，点,E F分别是,AB AD的中点，则FE DC⋅等于( )A ．14B ．14-C ．34D ．34-9．函数()1,10cos ,02x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ )A 。
河北省衡水市枣强县中学高二数学下学期期中试题 理
2014-2015学年高二第二学期期中考试数学试卷（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷一、选择题：该题共12个小题，每个小题有且只有一个选项是正确的，每题5分，共60分。
1.曲线y=11 xx-+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（）A．41B．－12C．43D．182.)('xf是)(xf的导函数，)('xf的图象如右图所示，则)(xf的图象只可能是（）A．B．C．D．3.332除以9的余数是（）A．8 B．4 C．2 D．14.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有( )A.48种B.72种C.96种D.108种5.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．7206.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72B．120C．144D．1687.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于()A. 12p B．1－p C．1－2p D.12－p8.从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（）5524....7979A B C D9.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点A．(2,2) B．(1,2) C．(1.5,0) D．(1.5,5)10.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；②如果一组数据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411.已知a b∈R，，且i,i2++ba（i是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++qpxx的两个根，那么p q，的值分别是（）Ａ．45p q==，Ｂ．43p q=-=，Ｃ．45p q=-=，Ｄ．43p q==，12. 实数x、y满足3x2＋2y2=6x，则x2＋y2的最大值为（）A、27B、4C、29D、5第Ⅱ卷二、填空题：该题共4个小题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。
河北省衡水中学2014届高三下学期期中考试数学(理)试题(含答案)
A.2 B.4 C.6 D.8 5．执行如图所示的程序框图后，输出的值为 4，则 P 的取值范围是 （ A．
） D.
7 15 P 8 16
B. P
15 16C．源自7 15 P 8 163 7 P 4 8
6．若函数
1 f ( x) e ax (a＞0, b＞0) 的图象在 x 0 处的切线与圆 x 2 y 2 1 相切，则 b
x2 y2 1 （a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B，点P为双曲线M上除A、B外 a2 b2
）
的一个动点，若 QA PA 且 QB PB ,则动点Q的运动轨迹为（ A .圆 B.椭圆 C. 双曲线
D. 抛物线 ）
10． 设函数 f ( x) e x (sin x cos x) (0 x 2014 ) ， 则函数 f ( x) 的各极小值之和为 （
点横坐标依次成公差为 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值； (2) ⊿ABC 中 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若 （ 个对称中心，且 a=4，求⊿ABC 周长的取值范围。
A 3 ， ) 是函数 f ( x ) 图象的一 2 2
18． （本小题满分 12 分） 今年我校高二理科班学生共有 800 人参加了数学与语文的学业水平测试，现学校决定利 用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样统计，先将 800 人按 001，002， 。 。 。 。 。800 进行 编号： （1）如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号： （下面 摘取了第 7 行至第 9 行）
1 （k∈Z） 4
C．0
D．2k 或 2k 一
1 （k∈Z） 4
2015届河北省衡水中学高二下学期二调考试理科数学试题(含答案解析)
16 2 1 5 x + ) 的 展开式 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 数 项 ，而 5 x
(a 2 + 1) n 的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值．
18. 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相 同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 在取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和 数学期望.
4 9
B．
1 3
C．
2 9
D．
1 9
2
3.已知随机变量 Z 服从正态分布 N(0,σ ) ,若 P(Z>2)=0.023,则 P(-2≤Z≤2)=（ A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977
）
4.若 A、B 为一对对立事件，其概率分别为 P(A)＝ A．9 B．10 C．6
6
1 4 ，P(B)＝ ，则 x＋y 的最小值为( x y
)
D．8
2 3 4 5 6 5 ． 对 任 意 的 实 数 x ， 有 (2x - 3) = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x + a 5 x + a 6 x ， 则
a 1 + 2a 2 + 3a 3 + 4a 4 + 5a 5 + 6a 6 等于（ ）
A．-12 6.如果 (3a − A．-2835 B．-6 C．6 D．12 ）
河北省衡水中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 无答案
2013～2014学年第二学期高一年级期末考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：一． 选择题：（每小题5分，共60分.下列每小题所给出选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）1.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差距，而男女视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B. 按性别分层抽样C.按学段分层抽样D. 系统抽样 2. 已知向量()1,1a =-，()1,2b =向量c 满足()c b a +⊥，()//c a b -则c =( ) A. ()2,1 B.()1,0 C. 31,22⎛⎫⎪⎝⎭D. ()0,1- 3. 已知向量()2,sin a x =，()2cos ,2cos b x x =则()f x a b =⋅的最小正周期是( )A.2πB.πC. 2πD. 4π 4. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(),a m n =，(),b p q =令a b mq np =-，下面说法错误的是 ( )A. 若a 与b 共线，则0a b =B.a b b a =C. 对任意的R λ∈,有()()a b ab λλ=D. ()()2222ab a b a b +⋅=5.若cos 2sin αα+=tan α等于( ) A.12 B. 2 C.12- D. 2- 6. 在正方形ABCD 内任取一点P ，则使090APB ∠<的概率是 ( )A. 8πB. 4πC.18π-D. 14π-7.2sin 2cos y x x =+在区间2,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则a 的范围是 ( ) A. 22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 22,33ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.点O 是ABC ∆外心，5AB =,3AC =则AO BC ⋅= ( ) A.163 B.163- C. 8 D. 8- 9.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =则b = ( )A. 10B. 9C. 8D. 510. 已知函数()()()sin 1133f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()12......2014f f f +++=( )A. 1 D. 011.函数()()cos 0,0y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数图象的一条对称轴方程为 ( )A. 2x π=B. 2x π=C. 1x =D. 2x =12. 某算法的程序框图如图所示，如果从集合{}55,x x x Z -≤≤∈任取一数作为x 值输入，则输出的y 值大于或等于2的概率为( )A.710 B. 711 C. 611 D. 15第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为060，则a b -= . 14.已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95 1.45y x =+，则t = .15. 如图所示，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =,1AD =,AC AD ⋅ = .16. 有下列说法：①函数cos 2y x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭;③在同一直角坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点；④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数3sin 2y x =的图象；⑤函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,π上是函数. 其中，正确的说法是 （填序号）. 三、解答题17.（本小题满分10分）为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8，9.4,8.9,8.4,8.3 乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5 （1） 画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；（2） 现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由.18.（本小题满分12分）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西060方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值.19.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb += (1)求角A 的大小;(2)若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积S3S ≤≤，且6AB BC ⋅=,AB 与BC 的夹角为θ. （1）求θ的取值范围；（2）求函数()124sin f πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=的最大值.21.（本小题满分12分）已知向量)2,cos 2a x x =，()cos2,cos2b x x =-(1)若当75,2412x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1325a b ⋅+=-，求cos 4x 的值;(2)()1cos ,0,2x x π≥∈，若关于x 的方程12a b m ⋅+=有且仅有一个实根，求实数m 的值.22（本小题满分12分）函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在同一个周期内，当4x π=时，y 取最大值1，当712x π=时，y 取最小值-1. （1）求函数的解析式()y f x =；（2）若函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象；（3）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<<，求在[]0,2π内的所有实数根之和.。