2018届湖南省雅礼中学高三第七次月考文科数学试题及答案

湖南省雅礼中学2018届高三第七次月考数学文试题(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1.全集{,,,,}U a b c d e =，{,}M a d =，{,,}N a c e =，则M C N U ⋂为 ( A ) A ．{,}c e B ．{,}a c C ．{,}d e D ．{,}a e2.复数21i-化简的结果为 AA.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i -- 3.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 B A ．45 B ．50 C ．55D ．604．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5， 则输出s 的值是 CA ．4B ．7C ．11D ．165.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ C ）A. B ． C. D ．6.“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7.已知,A B 是单位圆上的动点,,单位圆的圆心为O ,则OA AB ∙=（C ）A ．BC ．32-D ．328.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ B ） A．0x =B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=9.某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ A ）年后需要更新设备.A. 10B. 11C. 13D. 2110.对于函数f (x )和g (x )，其定义域为[a , b ]，若对任意的x ∈[a , b ]总 有 |1－()()g x f x |≤110， 则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (xx ∈[4，16]的是( D )A. g (x )=2x +6 x ∈[4，16]B. g (x )=x 2+9 x ∈[4，16]C. g (x )= 13(x +8) x ∈[4，16] D. g (x )=15(x +6) x ∈[4，16] 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11.已知}{n a 为等差数列，10,7713=+=a a a ，n s 为其前n 项和，则使n s 达到最大值的n 等于___________.612..在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线4πθ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为55()22，13.在区间[]ππ-，内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数222()44f x x ax b π=+-+有零点的概率为14π-14.已知实数,x y 满足012210x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数,(0)z ax y a =+≠取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为15.任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++ ）则1___.a =0； e三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.ABC ∆中,角A,B,C所对的边之长依次为,,a b c ,且222cos )5A a b c =+-= (I)求cos 2C 和角B 的值;(II)若1,a c -=求ABC ∆的面积. 解:(I)由cosA =,0A π<<,得sin A =由2225()a b c +-=得cosC ∴=0C π<< ,sinC ∴=24cos 22cos 15C C ∴=-=,∴()cos cos cos sin sin A C A C A C +=-=2=∴()cos cos 2B AC =-+=-, ∴0B π<<,∴135B =︒(II)应用正弦定理sin sin a cA C=,得a =, 由条件1,a c -=得1a c =111sin 12222S ac B ==⨯=17.某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+），由=x x A B，得17x y +=． ① ……………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（），由22=A B s s ，得228+8=1x y --（）（）． ② ………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，，因为x y <，所以8,9x y ==． …6分 (Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品，从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ， ()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ，………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. (12)分 18.已知在四棱锥P ABCD-中,//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====,,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面;(Ⅱ) 若PB AD =,求二面角F BE C --的大小.(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，,故BCDE 是平行四边形,所以//BE CD BE CD =，,因为AD CD ⊥,所以BE AD ⊥,由PA=PD 及E 是AD 的中点,得PE AD ⊥, 又因为BE PE E = ,所以D BE A P ⊥平面 (Ⅱ) 解:设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,则PF =,又2PB AD a ==,EB CD a ==, 故222PB PE BE =+即PE BE ⊥, 又因为BE AD ⊥,AD PE E = ,所以BE PAD ⊥平面,得BE PA ⊥,故BE FG ⊥,取CD 中点H ,连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====, 故=60FGH ∠ ,所以二面角F-BE-C 等于6019.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足n n a S -=2,*N n ∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n n na b 2=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:2≥n T . (1)当1=n 时,111==S a当2≥n 时,n n a S -=2112---=n n a S两式相减得:11--+-=-n n n n a a S S , 整理得12-=n n a a∴1-n n a a =21(2≥n ) ∴{}n a 是以1为首项,21为公比的等比数列 ∴n a =(21)1-n(2)222)21(2--===n n n n nn na b+++=∴-11232221o n T 23221--+-+n n nn ①+++=21023222121n T 12221--+-+n n nn ② ①-②得:++++=-21012121212121n T 12221---+n n n1211221422112112------=---+=n n n n n n∴T=8-321-n -22-n n=8-222-+n n ∵021)228()238(1211>+=+--+-=----+n n n n n n n n T T 在*N n ∈时恒成立即n n T T >+1,{}n T ∴单调递增 {}n T ∴的最小值为223811=-=-T∴2≥n T20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,左,右顶点分别为12,A A .过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 的一个交点为M2).(1) 求椭圆C 的标准方程;(2)动直线l :1x my =+与椭圆C 交于P ,Q 两点, 直线1A P 与2A Q 交于点S .当直线l 变化时, 点S 是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.解（Ⅰ）3=c , 32222-=-=a c a b . 点)2,3(M 在椭圆上, ………2分134322=-+a a , 24223493a a a a -=+- 091024=+-a a 0)1)(9(22=--a a 92=a 或221c a <=(舍去). 6222=-=c a b .∴椭圆C 的方程为16922=+y x .………5分（Ⅱ）当x l ⊥轴时,)334,1(P ,)334,1(-Q , 又)0,3(1-A , )0,3(2A )3(33:1+=x y l P A , )3(332:2-=x y l Q A , 联立解得)34,9(S . 当过椭圆的上顶点时, x y 66-=,)6,0(P , )564,59(-Q若定直线存在,则方程应是9=x .………8分下面给予证明.把1+=my x 代入椭圆方程,整理得,0164)32(22=-++my y m0>∆成立, 记),(11y x P , ),(22y x Q ,则324221+-=+m m y y , 3216221+-=m y y . )3(3:111++=x x y y l P A , )3(3:222--=x x y y l Q A………11分 当9=x 时,纵坐标y 应相等,363122211-=+x y x y , 须264122211-=+my y my y 须)4()2(21221+=-my y my y , 须)(42121y y y my +=而3244321622+-⨯=+-⨯m mm m 成立.综上,定直线方程为.9=x …………13分21.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．(Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)设[]1()()1(1)xg x xf x a x +=--，若对任意(0,1)x Î恒有()2g x <-，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意()1ln xk f x x+==，0x > ……………………………………1分所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………………………………2分·11· 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………………………3分 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………5分（Ⅱ）有题可知, 0a ¹，因为(0,1)x Î,所以1ln 01x x x +<-.当0a <时, ()0g x >,不合题意.当0a >时,由()2g x <-,可得2(1)ln 01a x x x-+<+.………8分 设2(1)()ln 1a x h x x x -=++,则22(24)1()(1)x a x h x x x +-+¢=+. 设2()(24)1t x x a x =+-+，2(24)416(1)a a a D =--=-.(1)若(]0,1a Î,则0D ?，()0t x ³，()0h x ¢³，所以()h x 在(0,1)内单调递增，又(1)0h =所以()(1)0h x h <=.所以01a <?符合条件. ……………………………10分(2)若()1,a ??,则0D >,(0)10t =>,(1)4(1)0t a =-<,所以存在0(0,1)x Î,使得0()0t x =,对任意0(,1)x x Î,()0t x <,()0h x ¢<.则()h x 在0(,1)x 内单调递减,又(1)0h =,所以当0(,1)x x Î时,()0h x >,不合要求. ……………………………12分综合(1)(2)可得01a <?.…………………………………………13分。