(整理)光量子学习题答案

《光量子学基础》习题答案（沈建其提供，2009年6月）说明：习题难度非常低，大多习题均可以在ppt 中直接找到答案。

第一次习题：1．计算（1）：de Broglie 波长均为5埃（Å）的电子、中子与光子的动量与能量各为多少？答：这三种粒子的动量都是3424106.6310 1.3310510p h λ---⨯===⨯⨯Kg ·m/s (或241.310-⨯ Kg ·m/s)。

电子的动能 ()224218300 1.33100.96510220.91110k pE m ---⨯===⨯⨯⨯J 6.03=eV （或6eV ） （1电子伏特＝191.6010-⨯焦耳）中子的动能 ()224221270 1.33100.5261022 1.6710k p E m ---⨯===⨯⨯⨯J 20.33010-=⨯eV 以上使用牛顿力学的动能公式（6.03eV 远比电子的静止能量20m c 约0.5MeV 小，0.0033eV 远比中子的静止能量20m c 约990MeV 小，说明没有必要使用相对论来计算） 但光子是相对论性粒子，必须用相对论来计算：光子动能（总能）2481.3310 3.0010k E pc -==⨯⨯⨯J ＝4.001610-⨯J=2.50310⨯eV 。

说明：虽然以上问题中，牛顿力学的动能公式是非常良好的近似，但使用相对论亦可。

有的学生计算了动能部分，有的学生计算了总能量2E mc =，答案是开明的，都属对，但要知道2E mc =与动能22p m 之间如下关系：粒子总能量2E mc =，动质量m =2E mc =可以用泰勒展开：2246001...2E m c m v av bv =++++，其中20m c 为静止能量（rest energy ）, 2012m v 为牛顿动能（它只是2E mc =的一部分）。

只有当低速的时候，220012m c m v +才重要，其中2012m v更重要。

当高速的时候，2012m v 不再重要。

此时应该用2E mc =等来计算。

因此，本习题求中子与电子的动能时，可以用如下两法：①使用p =求出速度v ，代入2E =，求出总能量E, 再减去静止能量20m c ，即是动能。

② 利用动量p 的数值，使用222240E p c m c =+，求出总能量E, 再减去静止能量20m c ，即是动能。

以上两法是等价的。

以上两法对于光电系学生不作要求，但还是有不少学生就使用了以上两法，说明他们对于普通物理掌握得不错。

值得赞赏！！计算（2）：当电子与中子的速度都为1000m/s 时，它们的物质波（de Broglie波）波长各为多少？当它们通过一个宽度为10nm 的细缝时，谁的衍射效应强？哪者需要使用量子论研究，哪者可以近似用牛顿力学处理？普朗克常数346.6310h -=⨯J ·s, 约化（reduced ）普朗克常数341.05102hπ-==⨯J ·s, 电子质量300.91110-⨯Kg, 质子与中子质量接近，可以取271.6710-⨯Kg 。

答： 电子的物质波波长347306.63107.30100.911101000h p λ---⨯===⨯⨯⨯m ＝730nm ， 中子的物质波波长3410276.6310 3.97101.67101000h p λ---⨯===⨯⨯⨯m ＝0.4nm ， 根据衍射理论，屏幕上衍射暗条纹之间的距离为/L a λ （L 为细缝与屏幕 之间的垂直距离，a 为缝宽）。

波长越短，粒子性越强；波长越长，波动性越明显，衍射效应越强。

电子的衍射效应强，电子需要使用量子论研究，本例中子可以近似用牛顿力学处理。

2． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Compton （康普顿）散射理论独立推导一遍，体会光子的确具有客观实在性，同时锻炼自学能力。

答：略3． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Bohr （波尔）的氢原子结构理论的数学独立推导一遍，体会Bohr 创建原子模型的心路历程，同时锻炼自学能力。

答：略第二次习题：1．下面各个状态中，哪个与1ψ描写同一个状态？理由是？2/2/3/1232/(2)/2/456,,,,3,(42).i x i x i x i x i x i x e e e e e i e πψψψψψψ--+====-==+答：146(),(),()x x x ψψψ描述同一个状态（差别仅在于无关紧要的常数系数，它们可以通过归一化手续去掉）。

2．有两个波函数12sin()||()1,2,3,20||sin()||()1,2,3,20||n A x a x a x n ax a n A x a x a x n ax aπψπψ⎧-≤⎪==±±±⎨⎪>⎩⎧+≤⎪==±±±⎨⎪>⎩1()x ψ与2()x ψ是否等价？理由是？对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，是否等价？理由是？ 答：()()12sinsin sin cos cos sin ;2222222sin sin sin cos cos sin 2222222n n n n n n n A x a A x A x A x a aa a n n n n n n n A x a A x A x A x a a a a πππππππψπππππππψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以看出：当n 是偶数的时候， sin 02n π⎛⎫±= ⎪⎝⎭，1()x ψ与2()x ψ等价。

当n 是奇数的时候，cos 02n π⎛⎫±= ⎪⎝⎭，1()x ψ与2()x ψ等价。

说明：我们也可以使用如下更为方便且严密的做法：即把1ψ用2ψ表示出来。

()()()222222422222222222222211sin 2221122sin sin22n n nn n n i x a i x a i x i x i i a a a a n n n n n n n n n n i x i x i x i x i i i i i i a a a a n n iin x a e e e e e e a i i e e e e e e e e e e i i n n n x e eaππππππππππππππππππππππ---------⎡⎤⎡⎤-=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()2x a a+ 其中第三等号后使用了关系421n ie π=。

以上看出，1ψ与2ψ可以互相表示，它们只相差一个常数系数22n i eπ（常数系数之间的差别可以通过归一化手续去掉，所以1ψ与2ψ等价）。

（说明：这里，22(1)n i n e π=-）对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，()1sin sin sin cos 22222n n n n n A x a A x A x a a a πππππψ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2n =±，它们等价。

3．由薛定谔方程22[]2iV t μ∂ψ=-∇+ψ∂证明：2[]2i t μ***∂ψψ=∇⋅ψ∇ψ-ψ∇ψ∂（）， 并与粒子数守恒公式（连续性方程）0J tω∂+∇⋅=∂比较：如果粒子数密度ω定义为*ψψ，那么流密度J 的表达式是什么？答：见PPT 讲义或曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.17.4．一维谐振子处于状态22()exp(/2)x A x ψα=-。

求：归一化系数A （请用α表示）。

答：假设归一化系数A 为实数。

由归一化条件，可得*222()()1exp()1.x x dx A x dx ψψα+∞-∞=⇒-=⎰⎰由数学用表可以查得：22exp()x dx α+∞-∞-=⎰那么21A =，所以A = 说明：如果没有数学用表，我们也可以自己计算22exp()x dx α+∞-∞-⎰（是某一年的数学考研填空题），方法如下：设2222exp()exp()I x dx y dy αα+∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰，()()()22222202222202exp exp 2exp I x y dxdy r rdr r d rααππαααπα+∞-∞∞∞⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-⋅⎣⎦=-=⎰⎰⎰那么，I α=。

那么21A α=，所以A = 注意：以上把,x y 看作直角坐标，2dxdy rdr π=是直角坐标与二维极坐标面积微元之间的转换。

第三次习题：1．一维无限深势阱，其势能分布是：,00,0,x V x a x a ⎧+∞<⎪=≤≤⎨⎪+∞>⎩求势阱中的粒子波函数（包括归一化系数）与对应的能量本征值。

答：答案见曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.32-33.2．大学生应该有相当高的自学能力。

根据 “4-力学量的算符表示与氢原子.ppt ”角动量算符（自学部分），独立推导出如下的角动量算符三个分量公式以及角动量算符平方公式（需要比较高的忍耐力。

也有助于理解直角坐标系与球坐标系之间的关系，此训练具普适性）： ˆ[sin cot cos ]ˆ[cos cot sin ]xy L i L i φθφθφφθφθφ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪=-+⎨∂∂2222211ˆ[(sin )]sin sin L θθθθθφ∂∂∂=-+∂∂∂答：球坐标与直角坐标之间的换算关系式是：)()arctan,arctan /r z y x θϕ===。

利用多元函数求偏微分法则，直角坐标偏导数可以用球坐标偏导数表示：2222,,r x y x x r x x r r x y r y x y y r y y r r x y r z z z r z z r r θϕθϕϕθϕθϕϕθϕθϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂∂ 在ˆx L i y z z y⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭中，我们有 yz y z rr ∂∂=∂∂ 222zy zx z y r r x y ϕ∂∂∂=++∂∂+∂， 所以，x 分量角动量2222ˆsin cot cos ;x zx L i i x y x y ϕθϕθϕθϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪=---=+⎪ ⎪∂+∂∂∂+⎝⎭⎝⎭ 在ˆy L i z x xz ∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂⎝⎭中，我们有222zx zy z x r r x y ϕ∂∂∂=∂∂+∂， xz x z r r ∂∂=∂∂， 所以，y 分量角动量2222ˆcos cot sin ;y zy L i i x y x y ϕθϕθϕθϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪=--=-+ ⎪ ⎪∂+∂∂∂+⎝⎭⎝⎭在ˆz L i x y y x ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭中，我们有 222xy x x y r r x y ϕ∂∂∂=++∂∂+∂，222yx yyx r r x yϕ∂∂∂=∂∂+∂，显然，z分量角动量ˆzL iϕ∂=-∂。