第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数
跟 踪 训 练
1．已知函数 f(x)＝ln x－2x，求函数 f(x)的极值．
1 解析：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－2. 1 1 令 f′(x)＝x－2＝0，解得 x＝ . 2 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表： 1 1 1 x 0， ，＋∞ 2 2 2 0 f′(x) ＋ － 1 f(x ) ↗ ↘ 极大值 ln 2e
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为 (－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，∴f(x)在 x＝2 处取 得极小值． 答案：2
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时 取得极值，则 a 等于( A．2 B．3 ) C．4 D．5
栏 目 链 接
1 ∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，且极大值为 f(1)＝－ ； 6 1 当 x＝2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(2)＝－ . 3 点评：求可导函数 f(x)的极值的方法： (1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
栏 目 链 接
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题型1
求函数的极值
例1 求函数 f(x)＝1x3－3x2＋2x－1 的极值． 3 2
解析：f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表： x y′ y (－∞，1) ＋ ↗ 1 0 1 极大值－ 6 (1,2) － ↘ 2 0 1 极小值－ 3 (2，＋∞) ＋ ↗
第一章
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
《函数的极值与导数》教案新人教A版选修
数学：1.3.2《函数的极值与导数（2）》教案（新人教A版选修2-2）
1．3．2 函数的极值与导数(2)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值
的步骤.
三、教学过程：
（一）复习引入
（1）函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点
不能成为极值点．
（2）、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值
不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
（3）函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，
像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
练习：（1）见课件
（2）见课件
（二）讲授新课
练习：（1）已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝
－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f (x)
的极小值，并求a、b、c的值
（三）小结
（四）作业：见资料。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
【人教A版数学选修2-2】导数及其应用1-3-2
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当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e) e (e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
1 e
因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝1e，没有极
小值．
函数的草图如图所示：
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求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其 重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号 的，若异号，则是极值；否则，不是极值.另外，在求函数的极 值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极 值.
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类型二
已知函数的极值求参数的值
【例 2】 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极 值，且 f(1)＝－1.
(1)试求常数 a，b，c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明 理由．
0，右
侧 f′(x) <
0.
(3)结论： 点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b) 叫
做函数 y＝f(x)的极大值．
3．极值的定义 (1) 极大值 与 极小值 统称为极值．
(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况 ，刻
画的是函数的 局部性质．
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第一章 1.3 1.3.2 第19页
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∴当 x＝0 时，y 有极小值且 y 极小值＝0. 函数的草图如图所示：
2016-2017学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数
1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1．函数的极值与导数 （1）函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值.若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. （2）可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________.充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号. （3）函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=.当0()0f x '=时：①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________. 2．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 参考答案：1．（1）()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< （2）0()0f x '= （3）①极大值 ②极小值一、求函数的极值1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）.【解析】由题设知0a ≠，2()363()f x ax x ax x a'=-=-.令()0f x '=得0x =或2x a=.当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值. 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a ==--+极小值. 故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值.【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小.二、极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件. 【例2】在122,3x x ==处取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【解析】（1）2()a x bx a f x x b x x ++'=++=，令2()0x bx af x x++'==， 根据题意，得 2，3是方程20x bx a ++=的两根， 则有235236b b a a +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨⨯==⎩⎩. 此时，21()6ln 52f x x x x =+-，经检验，()f x 在122,3x x ==处取得极值. （2）21()6ln 52f x x x x =+-， 则19(1)522f =-=-， 得9(1,)2P -.又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=.从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．三、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．【例3】已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值.【解析】由2()e 1xf x ax bx =---，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-. 因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--. 当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增. 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； 当e2a ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在区间[0,1]上单调递减. 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--； 当1e22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈. 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增. 于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--. 综上所述，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-；当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--；当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--. 【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值.（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个.四、最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值.【例4】 （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2()f x 的最小值是0，求实数a 的值． 【解析】（1）2211()a ax f x x x x-'=-+=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为(0,)+∞； 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为1(0,)a． （2）当1a ≤时，()f x 在1[,1]2上单调递减，则min ()(1)10f x f ==≠； 当2a ≥时， ()f x 在1[,1]2上单调递增，则min 11()()2ln022f x f a ==+=，解得22ln 2a =≥； 当12a <<时，()f x 在11[,]2a 上单调递减，在1[,1]a上单调递增，则min 11()()ln 0f x f a a aa==+=，解得e a =，舍去. 综上，得2ln 2a =． 【名师点睛】本题中的参数a 对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a 进行分类讨论.五、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．【例5】已知函数2()(1)exf x x -=+，，[0,1]x ∈.（1 （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）要证[0,1]x ∈时，2(1)e 1xx x -+≥-，只需证明(1)e (1)e x x x x -+≥-.记()(1)e(1)e xx h x x x -=+--，则()(e e )x x h x x -'=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈. 要证[0,1]x ∈时，，只需证明e 1x x ≥+， 记()e 1xK x x =--，则()e 1xK x '=-，当(0,1)x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，（2，则()2sin G x x x '=-， 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当(0,1)x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G ''<=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=， 从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，当(0,1)x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[0,1]上是减函数， 于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-. 解法二：先证当[0,1]x ∈时，，则()sin F x x x '=-+， 记()sin G x x x =-+，则()cos 1G x x '=-+，当(0,1)x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.因为当[0,1]x ∈时，，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取中的较小值）满足00()()f x g x <.即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()a f x ≥或()a f x ≤的形式，然后利用导数求出函数()f x 的最值，则由max ()a f x ≥或min ()a f x ≤即可求出参数a 的取值范围.六、因未验根而致误【例6】已知3223()f x ax bx a x =+++在1x =-时有极值0，求常数a ，b 的值． 【错解】因为()f x 在1x =-时有极值0且2()36f x x ax b '=++，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩. 【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证1x =-两侧函数的单调性而导致产生增根． 【正解】因为()f x 在1x =-时有极值0，且2()36f x x ax b '=++.所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩. 当1a =，3b =时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥， 所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去．当2a =，9b =时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'． 当3()x ∈∞--，时，()f x 为增函数； 当3()1x ∈--，时，()f x 为减函数；当1()x ∈-+∞，时，()f x 为增函数． 所以()f x 在1x =-时取得极小值， 因此2a =，9b =.【名师点睛】可导函数在0x x =处的导数为0是该函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0f x '=求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．设函数()e xf x x =，则A ．x ＝1为()f x 的极大值点B ．x ＝1为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f4．若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________. 5．若函数()cos (0)f x x ωω=>在区间ππ(,)34-上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是_________.6．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为_________.7．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.8．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R .（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值.9．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为A ．2[,)e+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．2(,)e+∞ 10在()0,2内有极小值，则 A ．01b << B ．02b << C ．11b -<< D ．12b -<< 11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值.12．已知函数()eln 2x mf x x -=-.（1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.13．（2016·四川）已知a 为函数3()12f x x x -=的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．2 14．（2016·山东）设2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R . （1）令)(()x x g f '=，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.15．（2015·新课标全国Ⅱ）已知函数()ln (1)f x x a x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.1．D 【解析】由极值与最值的概念可知应选D.2．D 【解析】本题考查函数的极值点.由题意得e (())1xf x x '+=，令0()f x '>，得1x >-；令0()f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以1x =-为()f x 的极小值点.3．D 【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ．4．(3,1)- 【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<.5．(3,4] 【解析】()sin f x x ωω'=-，令()sin 0f x x ωω'=-=，得π,x k k ω=∈Z ，即π,k x k ω=∈Z ，又因为函数()cos (0)f x x ωω=>在区间ππ(,)34-上有且只有两个极值点，显然0k =时，0x =是一个极值点；又1k =时，πx ω=，1k =-时，πx ω=-，所以ππ4ππ3ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得34ω<≤.6．37- 【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，'()0f x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-. 7．【解析】2()33,()0,1,1f x x f x x x ''=-==-=令得或. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极大值，为(1)2f -=；当1x =时，()f x 有极小值，为(1)2f =-， 又39(3)18,()28f f -=-=-， 所以函数()f x 在3[3,]2-上的最大值为2，最小值为18-. 8．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x x'=-. （1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-， 故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. （2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值; ②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =.当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值.9．B 【解析】由题意得()()0f x g x ->在[1,e]上有解，即min 2ln 2ln 0,()x ax x a x ->>，设2ln xy x=，则22(1ln )0x y x -'=≥，因此当1x =时，min 2ln ()0xx=，则0a >.故选B ． 10．C 【解析】2()(21)(1)()()]1[f x x b x b b x b x b '=-+++=--+，令()0f x '=，得1x b x b ==+或，当x b <时，()0f x '>，函数是增函数；当1b x b <<+时，()0f x '<，函数是减函数；当1x b >+时，()0f x '>，函数是增函数，1x b ∴=+是极小值点，01211b b ∴<+<∴-<<，．故选C ． 11．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+.由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩.（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-.令()0f x '=，得122,2x x =-=.当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数.由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-.由题设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-，因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-.12． (0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1+)∞，上单调递增，故()f x 有极小值，为(1)1ln 2f =-． （2）因为2m ≤，所以2()eln 2e ln 2x mx f x x x --=-≥-，，易知()g x '在(0,)+∞上单调递增，，则0(1,2)x ∈.当0(0,)x x ∈时，()0g x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以02min 00()()eln 2x g x g x x -==-，又因为所以0022min 00()()e ln 2e x x g x g x x --==-=-，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>．13．D 【解析】2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在(2,2)-上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 14．【解析】（1）由()ln 22,f x x ax a '=-+可得()ln 22,(0,)g x x ax a x =-+∈+∞， 则112()2axg x a x x-'=-=， 当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，1(0,)2x a ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，1,2x a∈+∞（）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.所以当0a ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当0a >时，()g x 的单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a+∞. （2）由（1）知，(1)0f '=. ①当0a ≤时，()f x '单调递增.所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知()f x '在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，112a=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，1012a <<，当1(,1)2x a∈时，()0f x '>，()f x 单调递增, 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在x =1处取得极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 15．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=处取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-. 因此，1()22ln 10f a a a a>-⇔+-<.令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上是增函数，(1)0g =，于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此a 的取值范围是(0,1).。
高中数学极大值和极小值
令 f′(x)＝0，得 x1＝－53，x2＝1， ∴x1＝－53和 x2＝1 是 f(x)可能的极值点．
列表如下：
x
－∞，－53
－
f′ (x)
＋
0
－53，1
1
－
0
(1，＋∞) ＋
极大值
f(x)
f －53
极小值 f(1)
由上表可以看出： f－35＝4207是函数的极大值，f(1)＝－8 是函数的极 小值．
【名师点评】 求函数的极值的一般步骤为：① 求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，解方 程f′(x)＝0；③列表格讨论导函数的正负和原函 数的增减性；④根据极值的定义求出极值．
变式训练1 设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π, 求函数f(x)的单调区间与极值．
极值的逆用
本类问题主要是研究已知函数极值点(极值)的情 况，逆向求参数范围的问题．
例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值 0.求a、b的值． 【思路点拨】 解答本题可先求f′(x)，利用x＝－1 时有极值0这一条件建立关于a、b的方程组．解方程 组可得a、b的值，最后将a、b代入原函数验证极值
情况．
【规范解答】 ∵f(x)在 x＝－1 时有极值 0 且 f′(x) ＝3x2＋6ax＋b，
f′－1＝0
3－6a＋b＝0
∴f－1＝0 ，即－1＋3a－b＋a2＝0 ，
a＝1 a＝2 解得b＝3 或b＝9 . 当 a＝1，b＝3 时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去. 当 a＝2，b＝9 时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当 x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当 x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当 x∈(－1，＋∞)时 f(x)为增函数. 所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值， 因此 a＝2，b＝9.
1.3.2极大值与极小值
极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值.
y
o
abc d e f
gh x
想一想：极大值一定大于极小值吗？ 不一定
极值反映的是函数的局部性质，而不是整体性质.
注意：极值点不是点，而是数，是局部最高点或最低 点的横坐标，极值是局部最高点或最低点的纵坐标.
解：f x的 定义域为 0,
f
x
1
(ln x x2
1)
ln x x2
令f ( x) 0，0 x 1
令f ( x) 0， x 1
x 0,1 1 1,
f(x) +
0
-
f(x)
极大值1
故 f x的 极大值为1，无极小值。
综上所述： 当a 时0，f(x)无极值， 当 a 时0 ，f(x)的极小值为 极大值
1、理解极值与极值点的概念； 2、利用导数求函数的极值.
考纲要求
1.会用导数求函数的极大值和极小值（其 中多项式函数一般不超过三次）。
2.明确利用导数求函数的极值和最值的方 法步骤。
高考动向
1.利用导数解决与极值最值有关的问题： 2018年全国卷（Ⅰ）21题 2016年全国卷（Ⅰ）21题 属于高考中的高频考点
值范围.
（-1,k+4）
解：2个零点，
k 4=0或k 4=0即k= 4或k=4 （1,k-4）
3个零点，
k 4 0 k 4即 4 k 4
课堂总结
1、极值与极值点的概念； 2、求函数极值的步骤:
(1)确定定义域；
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1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：增减2．极小值与导数之间的关系如下表：减增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17][例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0； 在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增， 在(x 1，x 2)内单调递减， 在(x 2，x 3)内单调递增， 在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值， 极小值为f (x 2)．答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[例2] 已知f (x[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0， 即函数f (x )在R 上是单调递增的，因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？ 解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9， 极小值为f (3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．解析：令x＝f(x)，则f′(x)＝a e ax＋3，函数f(x)取极值的点大于0，即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， 由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．8．(重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e－2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值； 当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。