理论力学--第3章解剖

FR Fi 0 （3-9）
由式（3-8）知，为使合力为零必须同时满足
X Yi
i
0 0
Zi 0
（3-10）
空间汇交力系的 平衡方程
结论： 空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该力系中所有各
力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
例3.4
已知： CE EB DE a 30 EBF 30
实际工程中，绝大多数结构所受力系中 各力的作用线往往不是分布在同一平面内的， 而是在空间范围内任意分布，这样的力系称 为空间力系。空间力系是最一般的力系。本 章将研究空间力系的简化和平衡问题。
空间力系实例
§3-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影
z
ZF
g ob
X aY
x
图3.1
X F cosa
解：X=3，Y=4，Z=-5
F (X )2 (Y )2 (Z)2 5 2kN cos(F,i) X 3 0.4243
F 52 cos(F, j) Y 4 0.5657
F 52 cos(F,k) Z 5 0.7071
F 52
(F, i) a 64.9 (F, j) b 5555' (F, k) g 135
P 10kN 试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解： 取起重杆AB与重物为研究对象，受力分析和选取 坐标轴如图所示，列平衡方程如下：
X 0 F1 sin 45 F2 sin 45 0
Y 0 FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
Z 0 F1 cos 45sin 30 F2 cos 45sin 30 FA cos30 P 0
X 1 2 0 2 5kN Y 10 15 5 10 30kN
Z 3 4 1 2 6kN
代入（3-8）式得合力的大小为：
FR ( X i )2 ( Yi )2 ( Zi )2 52 302 62 31kN
合力的方向：
cos(FR ,i)
Xi 5 FR 31
cos(FR , j)
Yi 30 F R 31
cos(FR ,k)
Zi 6 FR 31
(F , i) a 8043' (F , j) b 1436' (F, k) g 7850'
由于一般空间汇交力系合成为一合力，因此空间汇交 力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零，即
解得
F1 F2 3.54 kN
FA 8.66 kN
§3.2 力对点之矩和力对轴之矩
力对点之矩实例
F
力对点之矩的定义
M0(F) r F 大小：
M O (F ) = r ×F = F • h = 2 AΔOAB
矩矢方向：按右手螺旋法则确定 方位：沿力矩作用面的法线方向
r xi yj zk F Xi Yj Zk
力矩矢MO(F) 的始 端必须在矩心，为
M0(F) r F
定位矢量
i jk

x y z (Zy Yz)i (Xz Zx) j (Yx Xy)k
XYZ
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
M= r×F
力对点之矩几点结论
❖ 力对点之矩是定位矢量，矢量作用在O点,垂直于r 和F 所确定的平面。
C
D
X3 1500cos cos 805N Y3 1500cos sin 1073N Z3 1500sin 671N
X 2 1000 sin 60 866 N , Y2 1000 cos 60 500 N , Z 2 1000 cos90 0N
例3.2已知力沿直角坐标轴的解析式为F=3i+4j -5k(kN), 试 求这个力的大小和方向。
y
Y F cosb （3-1）
Z F cosg
一次（直接）投影法
二次（间接）投影法
z
ZF
g
o
X
x
Y
y
Fxy
图3.2
X F sing cos
Y F sin g sin （3-2） Z F cosg
应该注意：力在轴上的投影是代数量， 而力在平面上的投影是矢量。
力沿直角坐标轴的分解
z
Fz F
k
o
Fx i
j
Fy y
x
图3.3
F Fx Fy Fz Xi Yj Zk （3-3）
力F在坐标轴上的投影和力F沿坐标轴的
正交分量间的关系为：
Fx Xi
Fy Yj
Fz Zk （3-4）
若已知力F在坐标轴上的投影X、Y、Z，则该力的大小及方向为
F X2 Y2 Z2
cosa X cosb Y
F
F
cosg Z
F
（3-5）
例 3.1 长 方 体 上 作 用 有 三 个 力 ， F1=500N, F2=1000N, F3=1500N,方向及尺寸如图所示，求各力在坐标轴上的投影。
解 力F1及F2应用直接投影法，力F3用二次投影法
X1 500cos90 0, Y1 500cos90 0, Z1 500cos180 500N
力对轴之矩是代数量，其正负号由右手螺旋法则确定
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于该轴的平 面投影 ,力的投影与投影至轴的 垂直距离的乘积。
❖矢量的模即为力对点之矩的大小 M0 (F ) = r ×F = Fh
❖矢量方向由右手螺旋法则确定。
力对轴之矩实例
Fz Fy
Fx
力对轴之矩的定义
力对轴之矩是力使物体绕某一轴转动效应的量度,是一个 代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对 这个平面与该轴的交点的矩。
M z (F ) = Mo (Fxy ) = ±Fxyh = ±2 AΔOab
2．空间汇交力系的合成与平衡条件
若某汇交力系由几个力组成，则合力等于各分力的矢量和，
合力的作用线通过汇交点。合力矢为：
FR F1 F2 Fn Fi
由式（3-3）可得
（3-6）
FR ( Xi )i ( Yi ) j ( Zi )k
（3-7）
由此可得合力的大小和方向余弦：
FR ( Xi )2 (Yi )2 ( Zi )2
（3-8）
cos(FR
,
i)
Xi FR
cos(FR ,
j)
Yi FR
cos(FR , k)
Zi FR
例3.3：在刚体上作用有四个汇交力，它们在坐标轴上的 投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。
F1
F2
F3
F4 单位
X
1
2
0
2
kN
Y 10
15
-5
10 kN
Z
3
4
1
-2 kN
解：由上表得